4.4.2-三角函数的图象与性质（二）-专项训练【原卷版】
1．函数f(x)＝2tan的对称中心是( )
A． B．，k∈Z
C．，k∈Z D．，k∈Z
2．函数y＝的图象与函数y＝sin (－4≤x≤8)的图象所有交点的横坐标之和等于( )
A．4 B．8
C．12 D．16
3．设函数f(x)＝sin－cos的最小正周期为T，则f(x)在(0，T)上的零点之和为( )
A． B．
C． D．
4．若函数f(x)＝2sin (n>0)图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆O：x2＋y2＝n2上，则f(1)＝( )
A． B．2
C．－2 D．－
5．若关于x的方程2cos2x－sin 2x＝－m在区间上有且只有一个解，则m的值不可能为( )
A．－2 B．－1
C．－ D．0
6．(多选)给出下面四个结论，其中正确的是( )
A．函数f(x)＝tan是奇函数，且f(x)的最小正周期为2
B．函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)，x∈R的最大值为2，当且仅当φ＝＋kπ，k∈Z时f(x)为偶函数
C．函数f(x)＝tan(－x)的单调增区间是，k∈Z
D．函数f(x)＝sin，x∈[－2π，2π]的单调减区间是
7．(多选)设函数f(x)＝，则( )
A．f(x)＝f(x＋π)
B．f(x)的最大值为
C．f(x)在单调递增
D．f(x)在单调递减
8．已知f(x)＝tan x·(ex＋e－x)＋6，f(t)＝8，则f(－t)＝________．
9．已知x∈，函数y＝3cos x的图象与函数y＝8tan x的图象交于点P，点P在x轴上的垂足为P1，直线PP1交y＝sin x于点P2，则|P1P2|＝___________．
10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足下列3个条件中的2个条件：
①函数f(x)的周期为π；
②x＝是函数f(x)的对称轴；
③f＝0且在区间上单调．
(1)请找出这2个条件，并求出函数f(x)的解析式；
(2)若x∈，求函数f(x)的值域．
解：(1)由①可得＝π ω＝2；
11．若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为( )
A．(5,8) B．(5,8]
C．(5,11] D．[5,11)
12．(多选)下列关于函数y＝tan的说法错误的是( )
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
13．关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称；
②f(x)的图象关于原点对称；
③f(x)的图象关于直线x＝对称；
④f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是________．
14．已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，x∈R．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；
(3)当x∈时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．
15．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象离原点最近的对称轴为x＝x0，若满足|x0|≤，则称f(x)为“近轴函数”．若函数y＝2sin(2x－φ)是“近轴函数”，则φ的取值范围是( )
A．
B．
C．∪
D．
16．知函数f(x)＝cos4x＋2sin xcos x－sin4x．
(1)当x∈时，求f(x)的最大值、最小值以及取得最值时的x值；
(2)设g(x)＝3－2m＋mcos(m>0)，则是否存在m，满足对于任意x1∈，都存在x2∈，使得f(x1)＝g(x2)成立？
4.4.2-三角函数的图象与性质（二）-专项训练【解析版】
1．函数f(x)＝2tan的对称中心是( )
A． B．，k∈Z
C．，k∈Z D．，k∈Z
解析：D 令2x－＝(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，故函数的对称中心为，k∈Z．故选D．
2．函数y＝的图象与函数y＝sin (－4≤x≤8)的图象所有交点的横坐标之和等于( )
A．4 B．8
C．12 D．16
解析：D 在同一坐标系中作y＝与y＝sin (－4≤x≤8)的图象如图所示，则函数y＝关于点(2,0)对称，同时点(2,0)也是函数y＝sin (－4≤x≤8)的对称点，由图象可知，两个函数在[－4,8]上共有8个交点，两两关于点(2,0)对称，设对称的两个点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝2×2＝4，所以8个交点的横坐标之和为4×4＝16．故选D．
3．设函数f(x)＝sin－cos的最小正周期为T，则f(x)在(0，T)上的零点之和为( )
A． B．
C． D．
解析：A 因为f(x)＝sin＝sin，所以T＝π．令2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以f(x)在(0，T)上的零点为，，则所求零点之和为＋＝．故选A．
4．若函数f(x)＝2sin (n>0)图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆O：x2＋y2＝n2上，则f(1)＝( )
A． B．2
C．－2 D．－
解析：A 设相邻最高点和最低点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝2，y2＝－2，又函数f(x)＝2sin (n>0)为奇函数，∴x1＝－x2，当＝ x＝时，函数取得最大值2，∴x1＝，x2＝－，由题，函数f(x)＝2sin (n>0)图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆O：x2＋y2＝n2上，∴2＋(2)2＝n2 n＝4，则f(1)＝2sin ＝．故选A．
5．若关于x的方程2cos2x－sin 2x＝－m在区间上有且只有一个解，则m的值不可能为( )
A．－2 B．－1
C．－ D．0
解析：B 由2cos2x－sin 2x＝－m可得2·－sin 2x＝－m，化简可得cos＝－，即y＝cos的图象和直线y＝－只有1个交点．又x∈，则2x＋∈．当2x＋＝－，即x＝－时，可得y＝cos＝；当2x＋＝0，即x＝－时，可得y＝1；当2x＋＝，即x＝时，可得y＝0．要使得y＝cos的图象和直线y＝－只有1个交点，可得－＝1或0≤－<，解得m＝－2或－16．(多选)给出下面四个结论，其中正确的是( )
A．函数f(x)＝tan是奇函数，且f(x)的最小正周期为2
B．函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)，x∈R的最大值为2，当且仅当φ＝＋kπ，k∈Z时f(x)为偶函数
C．函数f(x)＝tan(－x)的单调增区间是，k∈Z
D．函数f(x)＝sin，x∈[－2π，2π]的单调减区间是
解析：ABD 因为f(x)＝tan＝tan x，所以其是奇函数，最小正周期为＝2，故A正确；
函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)，x∈R的最大值为2，当且仅当φ＝＋kπ，k∈Z时f(x)＝±2cos 2x为偶函数，故B正确；
f(x)＝tan(－x)＝－tan x，其单调递减区间为，k∈Z，无单调增区间，故C错误；
f(x)＝sin＝－sin，令2kπ－≤x－≤2kπ＋，解得4kπ－≤x≤4kπ＋，与x∈[－2π，2π]的公共部分为，故D正确．故选A、B、D．
7．(多选)设函数f(x)＝，则( )
A．f(x)＝f(x＋π)
B．f(x)的最大值为
C．f(x)在单调递增
D．f(x)在单调递减
解析：AD f(x＋π)＝＝＝f(x)，故A正确；
∵f(x)＝＝，∴f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，解得sin 2x＝－，cos 2x＝±．∴f(x)max＝＞，故B错误；
当x∈时，2x∈，此时－4sin 2x－1∈(－1,3)，∴f′(x)有正有负，f(x)在上不单调，故C错误；
当x∈时，2x∈，此时－4sin 2x－1∈(－5，－1)，f′(x)＜0恒成立，f(x)在单调递减，故D正确．
8．已知f(x)＝tan x·(ex＋e－x)＋6，f(t)＝8，则f(－t)＝________．
解析：∵f(x)－6＝tan x·(ex＋e－x)，∴f(－x)－6＝tan(－x)·(e－x＋e－(－x))＝－tan x·(ex＋e－x)＝－[f(x)－6]，即f(x)－6为奇函数，∴f(－t)－6＝－f(t)＋6，故f(－t)＝12－f(t)＝12－8＝4．
答案：4
9．已知x∈，函数y＝3cos x的图象与函数y＝8tan x的图象交于点P，点P在x轴上的垂足为P1，直线PP1交y＝sin x于点P2，则|P1P2|＝___________．
解析：作出图象，如图所示，则|P1P2|即为sin x的值，因为8tan x＝3cos x，即3cos x＝，所以3sin2x＋8sin x－3＝0，解得sin x＝或sin x＝－3(舍)，所以|P1P2|＝．
答案：
10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足下列3个条件中的2个条件：
①函数f(x)的周期为π；
②x＝是函数f(x)的对称轴；
③f＝0且在区间上单调．
(1)请找出这2个条件，并求出函数f(x)的解析式；
(2)若x∈，求函数f(x)的值域．
解：(1)由①可得＝π ω＝2；
由②得＋φ＝kπ＋ φ＝kπ＋－，k∈Z；
由③得＋φ＝mπ φ＝mπ－，m∈Z，≥－＝ ≥ 0<ω≤3；
若①②成立，则ω＝2，φ＝，f(x)＝sin．
若①③成立，则φ＝mπ－＝mπ－，m∈Z，不合题意．
若②③成立，则kπ＋－＝mπ－ ω＝12(m－k)－6，m，k∈Z，由③中的0<ω≤3得m－k∈，与m，k∈Z矛盾，所以②③不成立．
所以只有①②成立，f(x)＝sin．
(2)由题意得，0≤x≤ ≤2x＋≤ ≤f(x)≤1，
所以函数f(x)的值域为．
11．若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为( )
A．(5,8) B．(5,8]
C．(5,11] D．[5,11)
解析：B 由题意，函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin，因为x∈，可得<ωx＋<(1＋ω)，要使得函数f(x)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则满足π<(1＋ω)≤，解得5<ω≤8，所以ω的取值范围为(5,8]．故选B．
12．(多选)下列关于函数y＝tan的说法错误的是( )
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
解析：ACD A项，令kπ－B项，最小正周期T＝＝π，B正确；
C项，令x＋＝，即x＝－＋(k∈Z)，函数y＝tan关于点(k∈Z)成中心对称，C错误；
D项，正切函数没有对称轴，则函数y＝tan也没有对称轴，D错误，故选A、C、D．
13．关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称；
②f(x)的图象关于原点对称；
③f(x)的图象关于直线x＝对称；
④f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是________．
解析：由题意知f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且关于原点对称．又f(－x)＝sin(－x)＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以①为假命题，②为真命题．因为f＝sin＋＝cos x＋，f＝sin＋＝cos x＋，所以f＝f，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，③为真命题．当sin x<0时，f(x)<0，所以④为假命题．
答案：②③
14．已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，x∈R．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；
(3)当x∈时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2＝2sin，
故f(x)的最小正周期为T＝＝π．
(2)由(1)知h(x)＝2sin．
令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)，得t＝＋(k∈Z)，
又t∈(0，π)，故t＝或t＝．
(3)当x∈时，2x－∈，所以f(x)∈[1,2]．
又|f(x)－m|<3，即f(x)－315．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象离原点最近的对称轴为x＝x0，若满足|x0|≤，则称f(x)为“近轴函数”．若函数y＝2sin(2x－φ)是“近轴函数”，则φ的取值范围是( )
A．
B．
C．∪
D．
解析：C y＝2sin(2x－φ)，令2x－φ＝＋kπ，k∈Z，∴图象的对称轴为x＝＋＋，k∈Z．∵|x0|≤，∴≤，k∈Z，∴－－kπ≤φ≤－－kπ(k∈Z)，又|φ|≤，∴当k＝0时，－≤φ≤－；当k＝－1时，≤φ≤，∴φ的取值范围是∪．故选C．
16．知函数f(x)＝cos4x＋2sin xcos x－sin4x．
(1)当x∈时，求f(x)的最大值、最小值以及取得最值时的x值；
(2)设g(x)＝3－2m＋mcos(m>0)，则是否存在m，满足对于任意x1∈，都存在x2∈，使得f(x1)＝g(x2)成立？
解：(1)f(x)＝cos4x＋2sin xcos x－sin4x
＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＋2sin xcos x
＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，
∵x∈，∴2x＋∈．
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)min＝－．
(2)∵x1∈，∴2x1＋∈，
∴sin∈，即f(x1)∈[1,2]．
∵x2∈，∴2x2－∈，
∴cos∈．
又m>0，∴g(x2)＝3－2m＋mcos∈．
假设存在m，满足对于任意x1∈，都存在x2∈，使得f(x1)＝g(x2)成立，则此方程组无解．
故满足题意的实数m不存在．(共27张PPT)
4.4.2 三角函数的图象与性质（二）
核心考点 师生共研
核心考点 师生共研
01
考点一 三角函数的周期性（自主练透）
1.(2023·江苏苏州模拟)已知函数 ，则
函数 的最小正周期为( )
A. B. C. D.
解析：选D.由题意得
，则 .故选D.
√
2.(2023·四川成都模拟)在函数 , , ,
中，最小正周期为 的函数的个数为( )
A. B. C. D.
解析：选C.函数 的图象如
图所示，由图可知，函数
不是周期函数.
√
令 ，则 ,
则函数 的最小正周期为 ,
的最小正周期为 , 的最小正周期为 .故选C.
3.(2023·广东佛山一模)已知函数 的最小正周期为 ,且在 上单调
递减，则 ______________________.（写出符合条件的一个答案即
可）
（答案不唯一）
解析：因为函数 的最小正周期为 ，且在 上单调递减，所以 .
三角函数周期的计算方法
（1）定义法
通过把已知函数变形，利用周期的定义得到 ，从而求得
三角函数的周期.
（2）公式法
函数 ， 的最小正周期为 ，函
数 的最小正周期为 .
（3）图象法
求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期.
考点二 三角函数的奇偶性与对称性（多维探究）
[高考考情] 三角函数的周期性、奇偶性、对称性是高考考查的重要内容，且这三种性质的考查往往融合为一体，多以“小而活”的客观题形式出现，题目难度不大，多为中低档题.
角度1 奇偶性
例1.（1）函数 是( )
A.最小正周期为 的奇函数 B.最小正周期为 的偶函数
C.最小正周期为 的偶函数 D.最小正周期为 的奇函数
√
解析： ,可得 的最小正周期为 .因为 ，所以 是奇函数，所以 是最小正周期为 的奇函数.故选D.
（2）(2023·辽宁抚顺调研)已知函数
是偶函数，则 的值为_ _.
解析：因为函数 为偶函数，所以 , ,解得 ， .又 ，所以 ，经检验，符合题意.
三角函数奇偶性应用技巧
（1）可结合常用结论判断奇偶性.
（2）若 （或 ）为奇函数，则当 时， ；若 （或 ）为偶函数，则当 时， 取最大值或最小值.
角度2 对称性
例2.（1）(2022·新高考卷Ⅰ)记函数 的最
小正周期为T.若 ，且 的图象关于点 中心对称，
则 ( )
A. B. C. D.
√
解析：因为 ，所以 ，解得 .因为
的图象关于点 中心对称，所以 ，且
，即 ，所以
，又 ,所以 ,所以
，解得 ，所以 ，所以
.故选A.
（2）若函数 （ 的值不恒为常数）满足以下两个条件：①
为偶函数；②对于任意的 ，都有 ，则其解析
式可以是 ______________________.（写出一个满足条件的解析式
即可）
（答案不唯一）
解析：因为对于任意的 ，都有 ，所以函数的
图象关于直线 对称.又函数为偶函数，所以函数的解析式可以为
.
三角函数对称性应用技巧
（1）求函数的所有对称轴方程或对称中心坐标时，可利用整体换元法进行求解，注意熟记正弦型、余弦型函数图象对称轴方程、对称中心坐标的形式.
（2）判断某一直线、某一点是否为对称轴、对称中心时，可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质进行检验判断.
【对点训练】
1.已知函数 ，则( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于 轴对称
C. 的图象不关于点 对称 D. 的图象关于点 对称
√
解析：选D.因为 ，所以 的最小正周期不是 ，故A
错误；因为 ，所以 是奇函数，其图象不关于
轴对称，故B错误；因为 ，所
以 的图象关于点 对称，故C错误；因为
，所以 的图象关于点
对称，故D正确，故选D.
2.设函数 ，其中常数 满足 ,若函数
（其中 是函数 的导数）是偶函数，则
( )
A. B. C. D.
解析：选A.由题意得
.
因为函数 为偶函数，所以 , ，解得 ，
.
又 ,所以 .故选A.
√
考点三 三角函数性质的综合应用（师生共研）
例3 (2023·北京第五十七中学模拟)已知函数
，再从条件①：
的最大值为1；条件②： 的一条对称轴是直线 ；条件
③： 的相邻两条对称轴之间的距离为 ，这三个条件中选择能确定函
数 解析式的两个合理条件作为已知，求：
（1）函数 的解析式；
【解】
,
当选条件②， 的一条对称轴是直线 时，
, ,
即 , ，显然不成立.
故条件①③能确定函数 的解析式，
因为 的最大值为1， 的相邻两条对称轴之间的距离为 ,
所以 ， ，解得 ， ，
所以 .
（2）已知 ，若 在区间 上的最小值为 ，求 的最大值.
(2023·北京第五十七中学模拟)已知函数
，再从条件①：
的最大值为1；条件②： 的一条对称轴是直线 ；条件
③： 的相邻两条对称轴之间的距离为 ，这三个条件中选择能确定函
数 解析式的两个合理条件作为已知，求：
【解】 根据题意得 ,
因为 ，所以 ，因为 在区间 上
的最小值为 ,
所以
解得 .
所以 的最大值为 .
（1）探究函数 或 的性质（定义域、
值域、单调性、对称性、最值等）的综合应用时，可利用换元思想（令
），将 看作一个整体，结合 ,
的性质求解.
（2）对于 型的函数，首先用辅助角公式将其转化为
的形式；若是弦切函数并存的函数式，可将切化弦后再
转化为 的形式.
【对点训练】
(2023·湖南株洲高三模拟)已知函数
.
解：
.
（1）若 的最小正周期为 ，求 的值及 的单调递减区间；
解： 因为 ,所以 .
令 ， ,
则 ， ,
所以 的单调递减区间为 .
（2）若 ， 恰有三个解，求 的取值范围.
解： 因为 ,
所以 ，
由题意得 ,
解得 .
所以 的取值范围是 .
