(共40张PPT)
9.7 二项分布与正态分布
课标要求 考情分析
1.通过具体实例，了解伯努利试 验，掌握二项分布及其数字特 征， 并能解决简单的实际问题. 2.通过误差模型，了解服从正态 分布的随机变量，通过具体实 例，借助频率分布直方图，了 解正态分布的特征、均值、方 差及其含义. 考点考法：二项分布、超几何分布、正
态分布是高考命题的热点.常以真实社会
背景为命题情境，主要考查学生应用相
关公式求解实际问题的能力.试题以选择
题、填空题、解答题形式呈现，难度中
档.
核心素养：数据分析、数学运算、逻辑
推理
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.伯努利试验与二项分布
（1）伯努利试验：只包含______可能结果的试验叫做伯努利试验;将一个
伯努利试验独立地重复进行 次所组成的随机试验称为_______________.
（2）二项分布：一般地，在 重伯努利试验中,设每次试验中事件 发生
的概率为 ,用 表示事件 发生的次数，则 的分布列为
_______________, , , , ， .
两个
重伯努利试验
如果随机变量 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 服从二项分
布 ，记作____________.
[提醒] （1）两点分布是二项分布当 时的特殊情形.
（2）超几何分布与二项分布的关系
若将超几何分布的概率模型改成：若有 件产品，其中 件是次品，有放回地任意抽取 件，则其中恰有的次品件数 是服从二项分布的.
（3）二项分布的均值、方差
若 ，则 ____， ___________.
2.正态分布
（1）定义：若随机变量 的概率分布密度函数为 ，
，其中 ， 为参数，则称随机变量 服从正态分布，记为
______________.
（2）正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线_______对称；
②曲线在_______处达到峰值 ；
③当 无限增大时，曲线无限接近 轴.
（3） 原则
① ；
② ;
③ .
（4）正态分布的均值与方差
若 ，则 ___， ____.
[提醒] （1）当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿
轴平移；
（2）当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 表示 次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则 服从
二项分布.( )
√
（2）设随机变量 服从二项分布 ，则 .( )
√
（3）正态分布中的参数 和 完全确定了正态分布，参数 是正态分布的
均值， 是正态分布的标准差.( )
√
（4）正态曲线关于 轴对称.( )
×
2.（人A选择性必修第三册 练习 变条件、变设问）鸡接种一种疫苗
后，有 不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只
鸡没有感染病毒的概率约为( )
A. B. C. D.
解析：选A.设5只接种疫苗的鸡中没有感染病毒的只数为 ,则
，
所以 .
√
3.在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，
并独立完成所抽取的3道题.乙能正确完成每道题的概率为 ，且每道题完
成与否互不影响.记乙能答对的题数为 ，则 的数学期望为___.
2
解析：由题意知 的可能取值为0， ， ， ，且 ，则
.
4.已知随机变量 服从正态分布 ，且
，则 _ _.
解析：因为 ，所以正态曲线关于直线 对称，且 ，所以 ，解得 .
1.若 服从正态分布，即 ,要充分利用正态曲线关于直线
对称和曲线与 轴之间的面积为1解题.
2.利用 重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查
该概率模型是否满足公式 的三个条件：（1）
在一次试验中某事件 发生的概率是一个常数 ；（2） 次试验不仅是
在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；
（3）该公式表示 次试验中事件 恰好发生了 次的概率.
【用一用】
1.已知随机变量 ，若 ,则 ( )
A. B. C. D.
解析：选C.因为 ,所以 ,所以 .故选C.
√
2.(2023·山东东营模拟)某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3
道试题才能合格，若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互
独立，则他能合格的概率为_ __.
解析：4道题目中，答对的题目数 满足二项分布 ，所以 .
核心考点 师生共研
02
考点一 [高考考情] 重伯努利试验与二项分布是高考命题重点，以实际问题为命题背景，突出考查 重伯努利试验与二项分布公式的应用，试题以选择题、填空题、解答题形式呈现，难度中档.
角度1 重伯努利试验及其概率
例1.（1）(2023·天津外国语大学附高模拟)若某射手每次射击击中目标的概
率均为 ，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有两次
击中目标的概率为( )
A. B. C. D.
解析：在某射手连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为
，故选B.
√
（2）(2023·河北衡水模拟)一个口袋内有 个大小相同的球，其中3
个红球和 个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为 ,
,若有放回地从口袋中连续4次取球（每次只取1个球），在4次取球
中恰好2次取到红球的概率大于 ，则 ___.
解析：因为4次取球中恰好2次取到红球的概率大于 ，
所以 ,所以 ,
因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,
又因为 ,所以 ，所以 .
又因为从口袋中随机取出1个球是红球的概率为 ,所以 ,解得
.
重伯努利试验概率求解的策略
（1）首先判断问题中涉及的试验是否为 重伯努利试验，判断时注意各
次试验之间是否相互独立，并且每次试验的结果是否只有两种，在任何一
次试验中，某一事件发生的概率是否都相等，全部满足 重伯努利试验的
要求才能用相关公式求解.
（2）解此类题时常用互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公
式及对立事件的概率公式.
角度2 二项分布
例2 (2023·山东潍坊模拟)某商场为吸引顾客，增加顾客流量，决定开展一项有奖游戏.参加一次游戏的规则如下：连续抛掷质地均匀的硬币三次（每次抛硬币结果相互独立），若正面朝上多于反面朝上的次数，则得3分，否则得1分.一位顾客可最多连续参加5次游戏.
（1）求顾客甲在一次游戏中硬币正面朝上次数 的分布列与期望；
【解】 由题意得三次抛硬币正面朝上的次数 ，
则 ， ，
， ，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
则甲在一次游戏中硬币正面朝上次数 的期望 .
（2）若连续参加游戏获得的分数总和不小于11分，即可获得一份大奖.顾客乙准备连续参加5次游戏，则他获得这份大奖的概率多大？
【解】 由（1）知，在一次游戏中，顾客乙得3分和得1分的概率均为 .
设5次游戏中，得3分的次数为 ，则 ，即 ，
易知 ，设顾客乙获得大奖的概率为 ，
则
.
与二项分布有关的期望、方差的求法
（1）求随机变量 的期望与方差时，可首先分析 是否服从二项分布，如
果 ，则用公式 , 求解，可大大减少
计算量.
（2）有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机
变量服从二项分布，这时，可以综合应用 以及
,求出 ，同样还可求出 .
【对点训练】
1.(2023·宁夏银川一中模拟)投篮测试每人投3次，至少投中2次才能通过测
试.已知某同学每次投中的概率为0.4，且各次投篮是否投中相互独立，则
该同学通过测试的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选B.该同学通过测试的概率为 ，
故选B.
√
2.甲、乙两羽毛球运动员之间的训练，要进行三场比赛，且这三场比赛可
看作三重伯努利试验，若甲至少取胜一次的概率为 ，则甲恰好取胜一次
的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选C.假定甲取胜为事件 ，设每次甲取胜的概率为 ,由题意得，事
件 发生的次数 ，则有 ，得 ,则事件
恰好发生一次的概率为 .故选C.
√
考点二 正态分布（多维探究）
角度1 正态密度函数及正态曲线
例3.（1）设有一正态总体，它的正态曲线是函数 的图象，且
，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )
A. 与8 B. 与2 C. 与10 D. 与10
解析：由正态密度函数的定义和解析式可知，总体的均值 ，方差
，即 .故选B.
√
（2）（多选）某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲
线如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），下列
说法中正确的是( )
A.甲科总体的标准差最小
B.丙科总体的平均数最小
C.乙科总体的标准差及平均数都居中
D.甲、乙、丙总体的平均数相同
√
√
解析：不妨设成绩 服从正态分布 ，由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数 确定， 越大，曲线越“矮胖”； 越小，曲线越“瘦高”，且 是标准差， 为正态曲线的对称轴，且 为平均数.由题图可知，甲科总体标准差最小，乙科总体标准差居中，丙科总体标准差最大， 甲、乙、丙总体的平均数相同，故A，D正确.
角度2 正态分布的概率
例4.（1）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，
，则 ( )
A. B. C. D.
解析：随机变量 服从正态分布 ，所以曲线关于直线 对称，
且 .
由 ，可知 ，所以 .故选B.
√
（2）(2022·新高考卷Ⅱ)已知随机变量 服从正态分布 ，且
，则 _____.
解析：因为 ，所以 ，所以 .
例5 为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线
上随机抽取并检测零件的直径尺寸，根据长期生产经验，可以认为这条生
产线正常状态下生产的零件直径尺寸 服从正态分布 ，若
落在 内的零件个数为2 718，则可估计所抽取的这批零件中直径
高于22的个数大约为_____.
（附：若随机变量 服从正态分布 ，则
, ,
）
455
解析：由正态分布 可知 , ，
所以 ， .
所以 ,
,
所以直径 高于22的个数大约为 .
解决正态分布问题有三个关键点：（1）对称轴 ；（2）标准差 ;（3）分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由 ， 分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为 特殊区间，从而求出所求概率，注意只有在标准正态分布下对称轴才为直线 .
【对点训练】
1.(2023·山东潍坊一中期中)已知随机变量 服从正态分布 ，且
，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选B.因为随机变量 服从正态分布 ，则
，所以
.故选B.
√
2.(2023·山东聊城模拟)（多选）若某物理量的测量结果服从正态分布
，则下列结论中正确的是( )
A. 越大，该物理量在一次测量中落在 内的概率越大
B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D.该物理量在一次测量中落在 与落在 内的概率相等
√
√
√
解析：选 为数据的方差，所以 越大，数据在均值附近越分散，
所以测量结果落在 内的概率越小，故A错误;由正态分布密度曲
线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5，故B正确；由
正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与
小于9.99的概率相等，故C正确；由正态分布密度曲线的对称性可知，该
物理量在一次测量中落在 与落在 内的概率相等，故D
正确.故选BCD.
3.已知某种袋装食品每袋质量 ，则随机抽取10 000袋这种
食品，袋装质量在区间 内约有______袋.（质量单位： ）
（附： ，则 ，
， ）
8186
解析：由题意得 ，
，则 ，
故 ，
则袋装质量在区间 内约有 （袋）.2025年高考数学一轮复习-9.7-二项分布与正态分布-专项训练【原卷版】
[A级 基础达标]
1. 某同学随机掷一枚骰子4次，则该同学得到1点或5点的次数超过2次的概率为( )
A. B. C. D.
2. [2023·浙江杭州重点中学联考]设随机变量 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. [2023·山东德州模拟]李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时 和骑自行车用时 都服从正态分布， , ， 和 的分布密度曲线如图所示，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 已知随机变量 , 满足 , ，且 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
5. [2023·江苏南京模拟]（多选）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数 （例如10 100），其中 出现0的概率为 ，出现1的概率为 ，记 ，则当程序运行一次时( )
A. 服从二项分布 B.
C. 的均值 D. 的方差
6. 已知位于坐标原点的一个质点 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 ，则质点 移动五次后位于点 的概率是 .
7. [2023·重庆一中模拟]对一个物理量做 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差 ，为使误差 在 内的概率不小于0.954 5，至少要测量 次.
8. 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17， ， ， 层停靠，若该电梯在底层有5位乘客，且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率都为 ，用 表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则 .
9. [2023·湖北十堰模拟]一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸 （单位： ）服从正态分布 ，且 .
（1） 求 的概率；
（2） 若从该条生产线上随机选取2个零件，设 表示零件尺寸小于 的零件个数，求 的分布列与数学期望.
[B级 综合运用]
10. [2023·广东广州模拟]已知圆 的圆心到直线 的距离为 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
11. [2023·重庆模拟]若某种水果的果实横径 （单位： ）服从正态分布 ，则果实横径在 的概率为 .（附：若 ，则 , ）
12. [2023·浙江宁波模拟]现有 ， 两队参加关于“二十大”的知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分. 队中每人答对的概率均为 ， 队中每人答对的概率分别为 ， ， ，且各答题人答题正确与否之间互无影响.若事件 表示“ 队得2分”，事件 表示“ 队得1分”，则 .
13. [2023·北京西城区模拟]为了响应全民健身和运动的号召，某单位举行了羽毛球趣味发球比赛，规则如下：每位选手可以选择在 区发球2次或者 区发球3次，球落到指定区域内才能得分.在 区发球时，每得分一次计2分，不得分记0分，在 区发球时，每得分一次计3分，不得分记0分，得分高者胜出.已知选手甲在 区和 区每次发球得分的概率分别为 ， .
（1） 如果选手甲从在 区和 区发球得分的期望角度考虑，问选手甲应该选择在哪个区发球？
（2） 如果选手甲从在 区和 区发球得分的方差角度考虑，问选手甲应该选择在哪个区发球？
[C级 素养提升]
14. [2023·河南洛阳模拟]掷一枚质地均匀的骰子 次，设出现 次点数为1的概率为 ，若 ，则当 取最大值时， 的值为( )
A. B. C. D.
15. 为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为 （单位： ）.
（1） 现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于 的有4个.现从这7个零件中随机抽取3个.记 表示取出的零件中直径大于 的零件的个数，求 的分布列及数学期望 .
（2） 技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为 ，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数 超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及 的方差.
（3） 若技术攻坚后新设备生产的零件直径 ，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于 的概率.
参考数据：若 ，则 ， ， ， ， .
2025年高考数学一轮复习-9.7-二项分布与正态分布-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 某同学随机掷一枚骰子4次，则该同学得到1点或5点的次数超过2次的概率为( A )
A. B. C. D.
[解析]选A.该同学随机掷一枚骰子，得到1点或5点的概率为 ，则该同学掷一枚骰子4次，得到1点或5点的次数超过2次的概率 .故选A.
2. [2023·浙江杭州重点中学联考]设随机变量 ，若 ，则 ( A )
A. B. C. D.
[解析]选A.通解：因为随机变量 .所以 ，解得 .所以 .故选A.
优解：因为随机变量 ,所以 ，解得 .
所以 ，故选A.
3. [2023·山东德州模拟]李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时 和骑自行车用时 都服从正态分布， , ， 和 的分布密度曲线如图所示，则下列结论正确的是( C )
A. B.
C. D.
[解析]选C.A中，随机变量 服从正态分布，且 ,可得随机变量 的方差为 ，即 ，所以A错误；B中，根据给定的正态分布密度曲线图象，可得随机变量 , ，所以 ，所以B错误；C中，根据正态分布密度曲线图象，可得当 时，随机变量 对应的曲线与 轴围成的面积小于当 时随机变量 对应的曲线与 轴围成的面积，所以 ，所以C正确；D中，根据正态分布密度曲线图象，可得 ， ，即 ，所以D错误.故选C.
4. 已知随机变量 , 满足 , ，且 ,则 的值为( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.因为随机变量 满足 , ,所以有 ，解得 .则 , , .故选C.
5. [2023·江苏南京模拟]（多选）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数 （例如10 100），其中 出现0的概率为 ，出现1的概率为 ，记 ，则当程序运行一次时( ABC )
A. 服从二项分布 B.
C. 的均值 D. 的方差
[解析]选ABC.由二进制数 的特点知，每一个数位上的数字只能填 ， 且每个数位上的数字互不影响，故 的可能取值有 , , , , ，且 的取值表示1出现的次数，由二项分布的定义可得 ，故A正确；
故 ，故B正确；
因为 ，所以 ， ，故C正确，D错误.故选ABC.
6. 已知位于坐标原点的一个质点 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 ，则质点 移动五次后位于点 的概率是 .
[解析]由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点 ，所以质点 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为 .
7. [2023·重庆一中模拟]对一个物理量做 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差 ，为使误差 在 内的概率不小于0.954 5，至少要测量32次.
[解析]由题意可得， ， ，所以 ,
为使误差 在 内的概率不小于0.954 5，则必须有 ,解得 ，即 的最小值为32.
8. 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17， ， ， 层停靠，若该电梯在底层有5位乘客，且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率都为 ，用 表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则 .
[解析]每位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故 ，
即有 , , , , , , .
故 .
9. [2023·湖北十堰模拟]一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸 （单位： ）服从正态分布 ，且 .
（1） 求 的概率；
[答案]解：因为零件尺寸 服从正态分布 ，
所以 .
因为 ，所以 .
（2） 若从该条生产线上随机选取2个零件，设 表示零件尺寸小于 的零件个数，求 的分布列与数学期望.
[答案]依题意可得 ，
所以 ，
，
，
所以 的分布列为：
0 1 2
0.81 0.18 0.01
所以 （或 ）.
[B级 综合运用]
10. [2023·广东广州模拟]已知圆 的圆心到直线 的距离为 ，若 ，则 ( D )
A. B. C. D.
[解析]选D.由题意，知圆心坐标为 ，
圆心到直线 的距离为 ，则 ，解得 或 .
因为 ，所以 .因为 ，所以 .故选D.
11. [2023·重庆模拟]若某种水果的果实横径 （单位： ）服从正态分布 ，则果实横径在 的概率为0.8186.（附：若 ，则 , ）
[解析]由题意可得 ， ，则 ， ，所以
.
12. [2023·浙江宁波模拟]现有 ， 两队参加关于“二十大”的知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分. 队中每人答对的概率均为 ， 队中每人答对的概率分别为 ， ， ，且各答题人答题正确与否之间互无影响.若事件 表示“ 队得2分”，事件 表示“ 队得1分”，则 .
[解析]“ 队得2分”为事件 ，即 队三人中有一人答错，其余两人答对， .
“ 队得1分”为事件 ，即 队三人中有两人答错，剩余一人答对，
.
事件 表示“ 队得2分， 队得1分”，
即事件 ， 同时发生，
则 .
13. [2023·北京西城区模拟]为了响应全民健身和运动的号召，某单位举行了羽毛球趣味发球比赛，规则如下：每位选手可以选择在 区发球2次或者 区发球3次，球落到指定区域内才能得分.在 区发球时，每得分一次计2分，不得分记0分，在 区发球时，每得分一次计3分，不得分记0分，得分高者胜出.已知选手甲在 区和 区每次发球得分的概率分别为 ， .
（1） 如果选手甲从在 区和 区发球得分的期望角度考虑，问选手甲应该选择在哪个区发球？
[答案]解：设选手甲在 区发2次球得分的次数为 ，则 ，所以 ,所以甲在 区发球得分的期望为 .
设选手甲在 区发3次球得分的次数为 ，
则 ，所以 ，
所以甲在 区发球得分的期望为 .
由于 ，所以选手甲应该选择在 区发球.
（2） 如果选手甲从在 区和 区发球得分的方差角度考虑，问选手甲应该选择在哪个区发球？
[答案]因为 ，
，
所以 ，
，
由于 ，所以选手甲应该选择在 区发球.
[C级 素养提升]
14. [2023·河南洛阳模拟]掷一枚质地均匀的骰子 次，设出现 次点数为1的概率为 ，若 ，则当 取最大值时， 的值为( A )
A. B. C. D.
[解析]选A.掷一枚质地均匀的骰子20次，设出现点数为1的次数为 ，
则 ， .
当 时， ；
当 时， , .
因此当 时， 取最大值.故选A.
15. 为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为 （单位： ）.
（1） 现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于 的有4个.现从这7个零件中随机抽取3个.记 表示取出的零件中直径大于 的零件的个数，求 的分布列及数学期望 .
[答案]解：由题意可知， 的可能取值为0, ， ， ，则有
, ,
, ,
故 的分布列为：
0 1 2 3
所以 的数学期望 .
（2） 技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为 ，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数 超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及 的方差.
[答案] 的可能取值为0， ， ， ， ， ， ，则有
；
；
.
所以技术攻坚成功的概率 ，
因为 ，
所以 的方差 .
（3） 若技术攻坚后新设备生产的零件直径 ，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于 的概率.
参考数据：若 ，则 ， ， ， ， .
[答案]由 ，则可知 ，
由于 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
则 .
记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于 ”为事件 ，
则 .
故至少有一个零件直径大于 的概率为 .
