2025年高考数学一轮复习-4.5-函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用-专项训练【原卷版】
[A级 基础达标]
1. 函数 在区间 上的简图是( )
A.
B.
C.
D.
2.为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点( )
A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
3.已知函数 在 上的图象如图所示，则 的最小正周期是( )
A. B. C. D.
4.把函数 图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 （横坐标不变），再将所得曲线上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），最后把所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 ( )
A. B. C. D.
5.若函数 的图象向右平移 个单位长度后是一个奇函数的图象，则正数 的最小值为 .
6.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 来表示，已知6月份的月平均气温最高，为 ，12月份的月平均气温最低，为 ，则10月份的平均气温值为 .
7. 已知直线 为函数 图象的一条对称轴， 的图象与直线 的交点中，相邻两点间的最小距离为 ,那么函数 .
8. 已知函数 的部分图象如图所示.
（1） 求 的解析式及对称中心；
（2） 先将 的图象的纵坐标缩短到原来的 （横坐标不变），再向右平移 个单位长度后得到 的图象，求函数 在 上的单调递减区间和最值.[B级 综合运用]
9. （多选）已知奇函数 的最小正周期为 ，将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得到函数 的图象，则下列结论正确的有( )
A. 函数
B. 函数 的图象关于点 对称
C. 函数 在区间 上单调递增
D. 当 时，函数 的最大值为
10. 如图，将绘有函数 部分图象的纸片沿 轴折成直二面角，若点 ， 之间的空间距离为 ，则 .
11. 已知函数 ，将 的图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移 个单位长度，得到 的图象，若 在 上有 个不同的解 , , , ，则 .
12. 已知函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象.若对于任意的 ,总存在 ,使得 ,则 的最小值为 .
13. 如图，点 ， 分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.动点 从初始位置 开始，按逆时针方向以角速度 做圆周运动，同时点 从初始位置 开始，按顺时针方向以角速度 做圆周运动.记 时刻，点 ， 的纵坐标分别为 , .
（1） 求 时， ， 两点间的距离；
（2） 若 ，求 关于时间 的函数关系式，并求当 时， 的取值范围.
[C级 素养提升]
14. （多选）已知函数 ，将 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，点 ， ， 是 与 图象的连续相邻的三个交点，若 是锐角三角形，则 的值可能为( )
A. B. C. D.
15. 已知函数 的相邻两条对称轴间的距离为 .
（1） 求 的解析式；
（2） 将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，当 时，求函数 的值域;
（3） 对于第（2）问中的函数 ，记方程 在 上的根从小到大依次为 , , ， ，试确定 的值，并求 的值.
2025年高考数学一轮复习-4.5-函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 函数 在区间 上的简图是( A )
A.
B.
C.
D.
[解析]选A.令 得 ，排除 , 项;由 , ，排除C项.故选A.
2.为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点( D )
A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
[解析]选D.因为 ，所以要得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点向右平移 个单位长度.故选D.
3.已知函数 在 上的图象如图所示，则 的最小正周期是( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.设函数 的最小正周期为 ，由题图可知， ，即 ，
又 ,所以 .①
又由题图并结合五点作图法可知点 为 图象上的第一点，
则 ,即 .②
由①②可得 ,
所以 的最小正周期 .故选B.
4.把函数 图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 （横坐标不变），再将所得曲线上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），最后把所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 ( A )
A. B. C. D.
[解析]选A.由题知，将 的图象向右平移 个单位长度，得到 的图象,再将曲线上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到 的图象,然后将图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到 的图象,
则 .故选A.
5.若函数 的图象向右平移 个单位长度后是一个奇函数的图象，则正数 的最小值为 .
[解析]将 的图象向右平移 个单位长度后所得图象对应的解析式为 .
因为 为奇函数，所以 , ,解得 , ,
因为 ,所以正数 的最小值为 .
6.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 来表示，已知6月份的月平均气温最高，为 ，12月份的月平均气温最低，为 ，则10月份的平均气温值为20.5 .
[解析]依题意知， , ,
所以 ,
当 时， .
7. 已知直线 为函数 图象的一条对称轴， 的图象与直线 的交点中，相邻两点间的最小距离为 ,那么函数 .
[解析]由 ,得 或 ,
所以相邻的两点的差为 或 ,所以相邻两点间的距离较小的应满足 ,又 ,所以 ,故 ,
因为直线 为 图象的一条对称轴，所以 ,解得 ，
又 ，所以 ，故 .
8. 已知函数 的部分图象如图所示.
（1） 求 的解析式及对称中心；
[答案]解：根据题意可得 , ，解得 .根据五点法作图，得 ，
所以 ，故 .
根据题图可得，点 是 的图象的一个对称中心，故函数 的对称中心为 ， .
（2） 先将 的图象的纵坐标缩短到原来的 （横坐标不变），再向右平移 个单位长度后得到 的图象，求函数 在 上的单调递减区间和最值.
[答案]先将 的图象的纵坐标缩短到原来的 （横坐标不变），可得 的图象，
再向右平移 个单位长度，
得到
的图象，
即 .
令 ， ，
解得 ， ，
可得 的单调递减区间为 ， ，
结合 ，可得 在 上的单调递减区间为 .
又 ，故当 ，即 时， 取得最大值，即 ；
当 ，即 时， 取得最小值，即 .
[B级 综合运用]
9. （多选）已知奇函数 的最小正周期为 ，将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得到函数 的图象，则下列结论正确的有( AB )
A. 函数
B. 函数 的图象关于点 对称
C. 函数 在区间 上单调递增
D. 当 时，函数 的最大值为
[解析]选 ,
因为 的最小正周期为 ，所以 ,
又因为 为奇函数，所以 , ，
所以 , .又 ,所以 ,所以 ,
则 ,故A正确；
将 代入 中，
有 ,
即函数 的图象关于点 对称，故B正确；
当 时， ,因为正弦函数 在 上不单调，
所以 在区间 上不是单调递增函数，故C错误；
当 时， ,
,
此时函数 的最大值为2，故D错误.故选AB.
10. 如图，将绘有函数 部分图象的纸片沿 轴折成直二面角，若点 ， 之间的空间距离为 ，则 .
[解析]由题设并结合图形可知，
,得 ,则 ,所以 .
11. 已知函数 ，将 的图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移 个单位长度，得到 的图象，若 在 上有 个不同的解 , , , ，则 .
[解析]根据题意可知， ,由 得 .令 , ，解得 , ，所以函数 关于直线 对称.因为 ，所以由 可得 ， ,所以 .
12. 已知函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象.若对于任意的 ,总存在 ,使得 ,则 的最小值为 .
[解析]由题意得 ,
因为 ,所以 ,
所以 ，
因为对于任意的 ,总存在 ，使得 ,
所以 的取值范围应包含 ，
根据余弦函数的性质，为使 取最小值，只需函数 在 上单调且值域为 即可.
由 ,
可得 ,
因此 的最小值为 .
13. 如图，点 ， 分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.动点 从初始位置 开始，按逆时针方向以角速度 做圆周运动，同时点 从初始位置 开始，按顺时针方向以角速度 做圆周运动.记 时刻，点 ， 的纵坐标分别为 , .
（1） 求 时， ， 两点间的距离；
[答案]解：连接 ， ， （图略），
当 时， , ，
所以 .
又 ， ，所以 ，
即 ， 两点间的距离为 .
（2） 若 ，求 关于时间 的函数关系式，并求当 时， 的取值范围.
[答案]依题意， , ,
所以 ,
即函数关系式为 ，
当 时， ,
所以 ,
故当 时， 的取值范围是 .
[C级 素养提升]
14. （多选）已知函数 ，将 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，点 ， ， 是 与 图象的连续相邻的三个交点，若 是锐角三角形，则 的值可能为( AD )
A. B. C. D.
[解析]选AD.由题意得 ， ， 的图象如图所示， ，
由 ，
得 ，
解得 ，
则 ， ,
又 ，且 是锐角三角形，
所以 ，则 .故选AD.
15. 已知函数 的相邻两条对称轴间的距离为 .
（1） 求 的解析式；
[答案]解：由题意，函数
.
因为函数 图象的相邻两条对称轴间的距离为 ，所以 ，可得 .故 .
（2） 将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，当 时，求函数 的值域;
[答案]将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 的图象.
再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象.
当 时， ，
当 时，函数 取得最小值，最小值为 ；当 时，函数 取得最大值，最大值
为 ，故当 时，函数 的值域为 .
（3） 对于第（2）问中的函数 ，记方程 在 上的根从小到大依次为 , , ， ，试确定 的值，并求 的值.
[答案]方程 ，即 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
设 ，其中 ，
即 ，
结合正弦函数 的图象，如图所示，
可得方程 在区间 上有5个解，即 ，
其中 ， , , ,
即 , , , .
解得 , , , ，
所以 .(共50张PPT)
4.5 函数
的图象及应用
课标要求 考情分析
1.了解 的实际意义，能借助图象理解参数 , , 的意义，了解参数的变化对函数图象变化的影响. 2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 考点考法： 的图象、图象变换以及由图象求解析式，尤其是
的图象与性质的综合应用是考查的热点，题型多以选择题为主，难度中等.
核心素养：逻辑推理、直观想象、数学建模
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.简谐运动的有关概念
振幅 周期 频率 相位 初相
_ __
2.用五点法画 一个周期内的简图
时，要找五个特征点
_____ _______ _____ _ ______ _ _____
0
0 0 0
3.函数 的图象经变换得到 的图
象的两种方法
[提醒] （1）两种变换的区别：①先相位变换再周期变换（伸缩变换），
平移的量是 个单位长度；②先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平
移的量是 个单位长度；
（2）变换的注意点：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量 而言的，即图象变换要看“自变量 ”发生多大变化，而不是看角“ ”的变化.
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）把 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变,所得
图象对应的函数解析式为 .( )
×
（2）将 的图象向右平移 个单位长度,得到 的
图象.( )
×
（3）函数 的最大值为 ,最小值为 .( )
×
（4）如果 的最小正周期为 ,那么函数图象的两个相邻
对称中心之间的距离为 .( )
√
2.（人A必修第一册 练习 （2）变条件）为了得到函数
的图象，只需把函数 的图象上所有的点
( )
A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变
3.函数 的振幅为__，周期为___，初相为__.
√
4.已知函数 的部
分图象如图所示，则 ___.
2
解析：设 的最小正周期为 ，根据题图可知， ,所以 ，故 .
1.函数 的图象平移的规律为“左加右减，上加下减”.
2.由 到 的变换：向左平移 个
单位长度而非 个单位长度.
3.函数 的对称轴由 确定;对称中
心由 确定其横坐标.
【用一用】
1.(2023·河南开封高三阶段练习)已知函数 图
象的一条对称轴为直线 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
解析：选B.因为 ,所以 ，解
得 ，又 ，所以当 时， 取得最小值3.故
选B.
√
2.(2023·北京第五中学通州校区高三阶段练习)若将函数 的图象
向左平移 个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为__________
_________.
解析：将函数 的图象向左平移 个单位长度后所得到的函数图
象对应的解析式为
.
核心考点 师生共研
02
考点一 函数 的图象及变换（一题多变）
例1 已知函数 ,其最大值为2.
（1）求 的值及 的最小正周期;
【解】因为
的最大值为2，
所以 ，
的最小正周期为 .
（2）画出 在 上的图象.
【解】 由（1）知 ，列表：
0
1 2 0 -2 0 1
已知函数 ,其最大值为2.
描点，连线得 在 上的图象如图所示.
【一题多变】
1.（变设问）在本例条件下，将函数 的图象向右平移_ _个单
位长度后得到 的图象.
解析：将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得函数
的图象，再将 的图象向左平移 个单位长度，可
得函数 的图象，综上可得，函数 的图
象可以由函数 的图象向右平移 个单位长度得到.
2.（变条件、变设问）在本例条件下,若将函数 的图象向右平移
个单位长度后得到函数 的图象,且 是偶函数,求 的最小值.
解：由已知得
是偶函数,
所以 ， ,
解得 , ,
又因为 ,所以 的最小值为 .
函数 的图象的两种作法
五点 法 设 ,由 取0, , , , 来求出相应的 ,通过列表,计
算得出五点坐标,描点连线后得出图象
图象 变换 法 由函数 的图象通过变换得到 的图象,有
两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
[注意] 平移变换和伸缩变换都是针对 而言,即 本身加减多少值,而不是
加减多少值.
【对点训练】
1.(2023·江苏南通第一次调研)把函数 图象上所有点的纵坐
标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数 的图象，再将 图象上
所有点向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 ( )
A. B. C. D.
√
解析：选B.函数 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数 的图象，再将 图象上所有点向右平移 个单位长度，得到函数 的图象.故选B.
2.(2022·高考全国卷甲)将函数 的图象向左平移
个单位长度后得到曲线 ，若 关于 轴对称，则 的最小值是( )
A. B. C. D.
解析：选C.记曲线 的函数解析式为 ，则
.因为函数 的图象关于
轴对称，所以 ，解得 .因为 ，
所以 .故选C.
√
考点二 由图象确定 的解析式（师生共研）
例2 (2023·山东济南高三学情检测)已知函数
的
部分图象如图所示，则( )
A. B.
C. D.
√
解析：方法一：由题图知， , （ 为 的最
小正周期），所以 ，所以 ,所以 .
将点 代入，得 ，所以 ，
结合 ,解得 ,
所以 .故选A.
方法二：由题图知， .由五点作图法知， ， 分别为
第一个点与第四个点,
所以 解得
所以 .故选A.
确定 的步骤和方法
（1）求 , 确定函数的最大值 和最小值 ,
则 , .
（2）求 确定函数的最小正周期 ,则可得 .
（3）求 ,常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时 , , 已知）或代入图象
与直线 的交点求解（此时要注意交点在上升区间还是在下降区间）;
②特殊点法：确定 值时,往往以寻找“最值点”为突破口.具体如下：
“最大值点”（即图象的“峰点”）时， ;“最小值点”（即图象的“谷点”）时，
[注意] 一般情况下， 的值是唯一确定的，但 的值是不确定的，它有无数个，如果求出的 值不在指定范围内，可以通过加减 的整数倍达到目的.
【对点训练】
1.如图，已知函数 的部分图象与坐标轴
分别交于点 ， ， ，则 的面积为( )
A. B. C. D.
解析：选A.在 中，令 ，可得 ，所以
； 令 ，解得 ，故
, .所以 的面积为 .
√
2.(2023·四川蓉城名校第一次联考)若将函数 图象上
所有的点向左平移 个单位长度得到函数 的图象，
已知函数 的
部分图象如图所示，则( )
A. B.
C. D.
√
解析：选C.根据题图有 ， （ 为 的最小正周
期），则 ，解得 ，所以 .由
，得 , .因为 ,所以
,所以 .将 的图象向右平移
个单位长度得到函数 的图象，则
.故选C.
考点三 三角函数图象与性质的综合应用（多维探究）
[高考考情] 三角函数的图象与性质是高考的热点，常常利用其性质解决实际问题或与导数、不等式等构成较复杂的问题，综合性较强.
角度1 三角函数图象与性质的综合
例3 已知函数 满足下列4个
条件中的3个：
① ；②最小正周期 ；
③图象过点 ；④ .
（1）写出所满足的3个条件的序号（不需要说明理由），并求 的解析式；
【解】 由题意得， 所满足的3个条件是②③④.
因为 的最小正周期 ，
所以 ，
所以 .
又 的图象过点 ，且 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 .
又 ，所以 ，所以 ，所以
.
（2）求函数 的图象与直线 的相邻两个交点间的最短距离.
【解】 由 ，
得 ，
所以 ， 或 ， ，
所以 ， 或 ， ，
所以函数 的图象与直线 的相邻两个交点间的最短距离为 .
解决三角函数图象与性质的综合问题的关键
首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）.
角度2 函数的零点（方程根）问题
例4 将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数
的图象.若 是函数 的一个零点，
则 的最小值是_ __.
解析：由题意，可知函数 的图象向左平移 个
单位长度，
可得函数 的图象，所以 .
因为 是函数 的一个零点，所以
，
即 ,所以 ,
所以 或 ,
解得 或 .
因为 ，所以当 时， 的最小值是 ；
当 时， 的最小值是 .
综上， 的最小值是 .
巧用图象解决三角函数中的零点（方程根）问题
解决三角函数中的零点（方程根）问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决.
角度3 三角函数模型的应用
例5 阻尼器是一种以提供阻力来达到减震效果的专业工程
装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置被称为
“镇楼神器”.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近
似为单摆运动，其离开平衡位置的位移 和时间 的函数关系为
.如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三
次位移为 的时间分别为 ， , ,且
， ，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大
于 的总时间为( )
A. B. C. D.
√
解析：因为 ， ， ，
所以 ，又 ，所以 ，所以 ，
由 可得， ，
所以 , ,
解得 , .
因为 ,
所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于 的总时间为 .
利用三角函数模型解决实际问题的步骤
（1）寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型.
（2）寻找数据，建立函数解析式并解题；最后将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答.
解题思路如下：
【对点训练】
1.(2023·吉林长春质量监测)函数 的
部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 是周期为 的周期函数
B.点 是 图象的一个对称中心
C.直线 是 图象的一条对称轴
D.对任意实数 , 恒成立
√
解析：选B.由题图可知， （ 为 的最小正周期），
所以 ， ，选项A错误.
又 , ,所以 , ，又 ,
所以 ,所以 ,令 , ，
则 , ，当 时， ,
则点 是 图象的一个对称中心，选项B正确.
令 , ,则 , ，选项C错误.
, ,选项D错误.故选B.
2.如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低
点 离地面1米，点 在地面上的射影为 .风车圆周上一点
从最低点 开始，逆时针方向旋转40秒后到达 点，则点
到地面的距离是___米.
4
解析：以圆心 为原点，以水平方向为 轴方向，以竖直
方向为 轴方向建立平面直角坐标系，如图，连接 ,设
，运动 秒后与地面的距离为 ，又周期
，所以 ,
，当 时，
（米）.
3.已知函数 ，若函数 在
上恰有三个零点 , , ，则 的值为___.
解析：因为当 时， ,且函数
在 上恰有三个零点 , ,
，所以 ,
,两式相减得 .
