2025年高考数学一轮复习-10.3.2-列联表与独立性检验-专项训练【原卷版】
时间：45分钟
一、选择题
1．与表格相比，能更直观地反映出相关数据总体状况的是( )
A．列联表 B．散点图
C．残差图 D．等高堆积条形图
2．为了考察A、B两种药物预防某种疾病的效果，某研究所进行动物试验，已知参与两种药物试验的服药和未服药的动物数量相同，图1是A药试验结果对应的等高堆积条形图；图2是B药试验结果对应的等高堆积条形图．下列说法正确的是( )
A．服用A药物患病比例高于未服药物的患病比例
B．服用A药物对预防该疾病没有效果
C．在对B药物的试验中，患病小动物约占总数的55%
D．对该疾病的预防作用B药物比A药物更有效
3．如图等高堆积条形图可以说明的问题是( )
A．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的
B．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同
C．此等高堆积条形图看不出两种手术有什么不同的地方
D．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的
4．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是( )
5．在一次调查中，根据所得数据绘制成如图所示的等高堆积条形图，则( )
A．两个分类变量关系较强
B．两个分类变量关系较弱
C．两个分类变量无关系
D．两个分类变量关系难以判断
6．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出( )
A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的比例为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大一些
D．男生不喜欢理科的比例为60%
7．如图2×2列联表中a，b的值分别为( )
Y1 Y2 总计
X1 c a e
X2 23 d 48
总计 b 78 121
A.54,43 B．53,43
C．53,42 D．54,42
8．(多选题)现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图．根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是正确的( )
A．样本中的女生数量少于男生数量
B．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量
C．样本中的女生偏爱文科
D．样本中的男生偏爱理科
二、填空题
9．如图是调查某学校高三年级男生，女生是否喜欢徒步运动而得到的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率．已知该年级男生800人，女生600人(假设所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取33人，则抽取的男生人数为 .
10．下表是不完整的2×2列联表，其中3a＝c，b＝2d，则a＝ .
y1 y2 总计
x1 a b 55
x2 c d
总计120
11．下面是一个2×2列联表：
y1 y2 总计
x1 35 a 70
x2 15 15 30
总计 50 b 100
其中a，b处填的值分别为 .
三、解答题
12．某媒体为调查喜爱娱乐节目A是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高堆积条形图表示如图．
根据该等高堆积条形图，完成下列2×2列联表．
喜欢节目A 不喜欢节目A 总计
男性观众
女性观众
总计60 60
13.为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：
组别 阳性数 阴性数 总计
铅中毒病人 29 7 36
对照组 9 28 37
总计 38 35 73
试画出列联表的等高堆积条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系？
14．假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为
YX y1 y2 总计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
对于同一样本，以下数据能说明X与Y有关的可能性最大的一组为( )
A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2
B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2
C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
D．a＝3，b＝2，c＝4，d＝5
15．两个分类变量X，Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其列联表为
y1 y2 总计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
若两个分类变量X，Y没有关系，则下列结论正确的是 (填序号)．
①ad≈bc；
②≈；
③≈；
④≈；
⑤≈0.
2025年高考数学一轮复习-10.3.2-列联表与独立性检验-专项训练【解析版】
时间：45分钟
一、选择题
1．与表格相比，能更直观地反映出相关数据总体状况的是( D )
A．列联表 B．散点图
C．残差图 D．等高堆积条形图
解析：在处理数据的方法中，等高堆积条形图能更直观地反映出相关数据总体状况．故选D.
2．为了考察A、B两种药物预防某种疾病的效果，某研究所进行动物试验，已知参与两种药物试验的服药和未服药的动物数量相同，图1是A药试验结果对应的等高堆积条形图；图2是B药试验结果对应的等高堆积条形图．下列说法正确的是( D )
A．服用A药物患病比例高于未服药物的患病比例
B．服用A药物对预防该疾病没有效果
C．在对B药物的试验中，患病小动物约占总数的55%
D．对该疾病的预防作用B药物比A药物更有效
解析：根据两个表中的等高堆积条形图，可得：服用A药物患病比例低于未服药物的患病比例，所以A不正确；服用A药物对预防该疾病有一定效果，所以B不正确；在对B药物的试验中，患病小动物小于总数的55%，所以C不正确；药物B实验显示不服药与服药的患病的差异较药物A实验显示明显大，该疾病的预防作用B药物比A药物更有效，所以D正确．故选D.
3．如图等高堆积条形图可以说明的问题是( D )
A．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的
B．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同
C．此等高堆积条形图看不出两种手术有什么不同的地方
D．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的
解析：由图可知，“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握．故选D.
4．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是( D )
解析：在四幅图中，D图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强．故选D.
5．在一次调查中，根据所得数据绘制成如图所示的等高堆积条形图，则( A )
A．两个分类变量关系较强
B．两个分类变量关系较弱
C．两个分类变量无关系
D．两个分类变量关系难以判断
解析：从等高堆积条形图中可以看出，在x1中y1的比重明显大于x2中y1的比重，所以两个分类变量的关系较强．故选A.
6．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出( C )
A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的比例为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大一些
D．男生不喜欢理科的比例为60%
解析：根据等高堆积条形图看出女生喜欢理科的百分比是0.2，而男生则是0.6，故选C.
7．如图2×2列联表中a，b的值分别为( B )
Y1 Y2 总计
X1 c a e
X2 23 d 48
总计 b 78 121
A.54,43 B．53,43
C．53,42 D．54,42
解析：由2×2列联表，可得b＋78＝121，则b＝43，又由解得a＝53.故选B.
8．(多选题)现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图．根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是正确的( BD )
A．样本中的女生数量少于男生数量
B．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量
C．样本中的女生偏爱文科
D．样本中的男生偏爱理科
解析：由图1知，样本中的女生数量多于男生数量，由图2知，样本中的男生、女生均偏爱理科；由图2知，样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量．故选BD.
二、填空题
9．如图是调查某学校高三年级男生，女生是否喜欢徒步运动而得到的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率．已知该年级男生800人，女生600人(假设所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取33人，则抽取的男生人数为22.
解析：由等高堆积条形图知，男生中喜欢徒步人数为800×(1－0.4)＝480，女生中喜欢徒步人数为600×(1－0.6)＝240，总人数为480＋240＝720，因此所抽取的男生数为33×＝22.
10．下表是不完整的2×2列联表，其中3a＝c，b＝2d，则a＝15.
y1 y2 总计
x1 a b 55
x2 c d
总计120
解析：由题意得又3a＝c，b＝2d，所以解得a＝15.
11．下面是一个2×2列联表：
y1 y2 总计
x1 35 a 70
x2 15 15 30
总计 50 b 100
其中a，b处填的值分别为35,50.
解析：由a＋35＝70，得a＝35，a＋15＝b，得b＝50.
三、解答题
12．某媒体为调查喜爱娱乐节目A是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高堆积条形图表示如图．
根据该等高堆积条形图，完成下列2×2列联表．
喜欢节目A 不喜欢节目A 总计
男性观众
女性观众
总计60 60
解：由题知，喜欢节目A的男性观众有30×0.8＝24人，不喜欢节目A的男性观众有30×0.2＝6人．喜欢节目A的女性观众有30×0.5＝15人，不喜欢节目A的女性观众有30×0.5＝15人．补全如下表：
喜欢节目A 不喜欢节目A 总计
男性观众 24 6 30
女性观众 15 15 30
总计 39 21 60
13.为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：
组别 阳性数 阴性数 总计
铅中毒病人 29 7 36
对照组 9 28 37
总计 38 35 73
试画出列联表的等高堆积条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系？
解：铅中毒组的阳性比例为≈0.81，
阴性比例为≈0.19；
对照组的阳性比例为≈0.24，
阴性比例为≈0.76，
由此画出等高堆积条形图如图所示：
其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率．
由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比，尿棕色素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系．
14．假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为
YX y1 y2 总计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
对于同一样本，以下数据能说明X与Y有关的可能性最大的一组为( D )
A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2
B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2
C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
D．a＝3，b＝2，c＝4，d＝5
解析：对于同一样本，|ad－bc|越小，说明x与y相关性越弱，而|ad－bc|越大，说明x与y相关性越强，通过计算知，对于A，B，C都有|ad－bc|＝|10－12|＝2；对于选项D，有|ad－bc|＝|15－8|＝7，显然7>2，故选D.
15．两个分类变量X，Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其列联表为
y1 y2 总计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
若两个分类变量X，Y没有关系，则下列结论正确的是①②⑤(填序号)．
①ad≈bc；
②≈；
③≈；
④≈；
⑤≈0.
解析：因为分类变量X，Y独立，所以≈，化简得ad≈bc，所以①②⑤正确，③④显然不正确．(共35张PPT)
10.3.2 列联表与独立性检验
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.分类变量与列联表
（1）分类变量
在讨论问题时，为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以
区别不同的现象或性质，这类随机变量称为__________.分类变量的取值可
以用______表示.
分类变量
实数
列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量 和 ，
表示相互对立的两个事件 和 , 表示相互对立的两个事
件 和 ,其中 , , , 是事件 的频
数， 是样本容量，其样本频数列联表（称为 列联表）如表所示:
合计
合计
（2） 列联表
2.独立性检验
（1）零假设
以 为样本空间的古典概型.设 和 为定义在 上，取值于 的成对
分类变量.
H ____________________.
通常称 为零假设或原假设.
分类变量 和 独立
（2） 公式
根据列联表知， .
对于任何小概率值 ，可以找到相应的正实数 ，使得下面关系成立：
.
我们称 为 的________，这个临界值就可作为判断 大小的标准.概率
值 越小，临界值 越大.
临界值
（3）独立性检验
基于小概率值 的检验规则是：
当 时，我们就推断 不成立，即认为 和 ________，该推断犯
错误的概率不超过___；
不独立
当 时，我们没有充分证据推断 不成立，可以认为 和 ______.
这种利用 的取值推断分类变量 和 是否独立的方法称为 独立性检
验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.
[提醒] 独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是
对其是否有关系的判断， 越大，认为两个分类变量有关系的把握越大.
独立
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）独立性检验得到的结论一定是正确的.( )
×
（2）独立性检验的样本不同，其结论可能不同.( )
√
（3）若事件 ， 关系越密切，则由观测数据计算得到的 越小.( )
×
2.下面是 列联表：
合计
21 73
22 25 47
合计 46 120
则表中 , 的值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
解析：选C.因为 ,所以 .
又 ,所以 .
√
3.（人A选择性必修第三册 例3变条件、变设问）随着国家三胎政策的
放开，为了调查一线城市和非一线城市的三胎生育意愿，某机构用简单随
机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.
单位：人
生育意愿 城市级别 合计
非一线 一线 愿生 45 20 65
不愿生 13 22 35
合计 58 42 100
计算得 .
参照下表：
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
根据小概率值 的独立性检验，可以得到的结论是______________
__________.
生育意愿与城市级别有关
核心考点 师生共研
02
考点一 分类变量的两种统计表示形式（自主练透）
1.（多选）根据如图所示的等高堆积条形图，下列叙述正确的是( )
A.吸烟患肺病的频率约为0.2
B.吸烟不患肺病的频率约为0.8
C.不吸烟患肺病的频率小于0.05
D.不能判断吸烟与患肺病之间的关系
√
√
√
解析：选ABC.从等高堆积条形图上可以明显地看出，吸烟患肺病的频率远远大于不吸烟患肺病的频率.A,B,C都正确，D不正确.
2.(2023·上海华师大二附中高二月考)假设有两个分类变量 和 ，它们的值域分
别为 和 ，其 列联表为:
合计
合计
对同一样本，以下数据能说明 与 有关的可能性最大的一组为( )
A. ， ， ， B. ， ， ，
C. ， ， ， D. ， ， ，
√
解析：选D.对于同一样本， 越小，说明 与 相关性越弱，而 越大，说明 与 相关性越强，通过计算知，对于A,B,C，都有 ；对于D，有 ，显然 ,故选D.
3.为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了30名记者担任对外翻译工作，在
下面“性别与会俄语”的 列联表中， ___.
单位：人
性别 俄语 合计
会俄语 不会俄语 男 20
女 6
合计 18 30
8
解析：由 列联表的性质，可得 ，
， ，可得 ，所以 .
分类变量的两种统计表示形式
（1）等高堆积条形图：根据等高堆积条形图的高度差判断两分类变量是否有关联及关联性的强弱；
（2） 列联表：直接利用 列联表中的数据进行计算分析，用定量的方式判断两分类变量是否有关联及关联性的强弱.
考点二 分类变量关联性的判断（师生共研）
例1 (2023·重庆九龙坡区模拟)（多选）某机构通过抽样调查，利用
列联表和 统计量研究秃顶与患心脏病是否有关时，零假设为 秃顶与
患心脏病无关.经查对临界值表知 ,
，下列说法正确的是( )
A.若 ，当小概率值 时，推断 不成立，即认为秃顶与
患心脏病有关联
B.若 ，当小概率值 时，推断 不成立，即认为秃顶
与患心脏病有关联
C.若当小概率值 时推断 不成立，即认为秃顶与患心脏病有关
联，是说某人秃顶，那么他有 的可能性患心脏病
D.若当小概率值 时推断 不成立，是指在犯错误的概率不大于0.1
的前提下，认为秃顶与患心脏病有关联
√
√
解析：当小概率值 时， ，则推断 不成立，
即认为秃顶与患心脏病有关联，故A正确；
当小概率值 时， ，则没有充分证据推断 不
成立，因此可以认为 成立，即认为秃顶与患心脏病无关，故B错误；
若当 时推断 不成立，则认为秃顶与患心脏病有关联，此推断
犯错误的概率不大于0.05，故C错误；从独立性检验可知，当小概率值
时推断 不成立，即认为秃顶与患心脏病有关联，该推断犯错误
的概率不大于0.1，故D正确.故选AD.
分类变量关联性的判断
如果 ，则“ 与 有关系”这种推断犯错误的概率不超过 ；否则，就认为在犯错误的概率不超过 的前提下不能推断“ 与 有关系”，或者在样本数据中没有充分证据支持结论“ 与 有关系”.
【对点训练】
1.为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理
数据后将所得结果填入相应的 列联表中.由列联表中的数据计算得
.参照附表，下列结论正确的是( )
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
A.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“药物有效”
B.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“药物无效”
C.有 以上的把握认为“药物有效”
D.有 以上的把握认为“药物无效”
√
解析：选A.因为 ，即 ，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“药物有效”或有 以上的把握认为“药物有效”.故选A.
2.(2023·上海嘉定区模拟)一份研究同年龄段的男、女生的注意力差别的实验数据如下表：单位:人
性别 注意力 合计
注意力稳定 注意力不稳定 男生 29 7 36
女生 33 5 38
合计 62 12 74
则 _______（精确到小数点后三位），依据小概率值 的独立
性检验，该实验______该年龄段的学生注意力的稳定性与性别没有显著差
异.（填“不支持”或“支持”）
0.538
支持
解析：零假设为 该年龄段的学生注意力的稳定性与性别无关联.根据列联表中数据计算可知 ，根据小概率值 的独立性检验,没有充分证据推断 不成立,因此可以认为 成立,即该实验支持该年龄段的学生注意力的稳定性与性别没有显著差异.
考点三 独立性检验的应用（师生共研）
例2 (2022·高考全国卷甲改编)甲、乙两城之间的长途客车均由 和 两家
公司运营.为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城
之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数 未准点班次数
240 20
210 30
（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
【解】 由题表可得 公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为 ，
公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为 .
（2）根据小概率值 的独立性检验，能否认为甲、乙两城之间的长
途客车是否准点与客车所属公司有关？
附： ，
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【解】 零假设为 甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司无关，
列联表如下表所示：
公司 班次是否准点 合计
准点班次数 未准点班次数 240 20 260
210 30 240
合计 450 50 500
经计算得 ，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为甲、乙
两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关，该推断犯错误的概率不超过 .
独立性检验的三个步骤
（1）根据样本数据制成 列联表；
（2）根据公式 ,计算 的值；
（3）查表比较 与临界值 的大小关系，作出统计判断.
【对点训练】
有一种游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后
蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理十分简单，要
学会盲拧也是很容易的.调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验
证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到如下
表所示的 列联表：
性别 是否喜欢盲拧 合计
喜欢盲拧 不喜欢盲拧 男 23 30
女 11
合计 50
将题中的 列联表补充完整，并判断：根据小概率值 的独立性检验，是否可以认为喜欢盲拧与性别有关？
单位:人
解：补充完整的 列联表如下表所示：
单位:人
性别 是否喜欢盲拧 合计
喜欢盲拧 不喜欢盲拧 男 23 7 30
女 9 11 20
合计 32 18 50
零假设为 喜欢盲拧与性别无关.
根据列联表中的数据,经计算得到 ,
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立,即认为喜欢盲拧与性别有关，该推断犯错误的概率不超过 .
