甘肃省张掖市民乐县第一中学2024届高三上学期第一次诊断考试数学试卷（含解析）

甘肃省民乐县第一中学2024届高三上学期第一次诊断考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知M，N均为R的子集，且，则等于( )
A. B.M C.N D.R
2．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面积恒相等，根据祖暅原理可知，q是p的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于直线对称，若，则( )
A. B. C. D.
4．若将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的对称中心为( )
A. B.
C. D.
5．已知函数若，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．刘徽（约225—295）割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想得到的近似值为( )
A. B. C. D.
7．已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则a的值为( )
A. B. C. D.
8．已知，，，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列命题中的真命题是( )
A.， B.，
C.，使得 D.，使得
10．下列结论正确的是( )
A.设，则的最小值是 B.当时，的最小值是2
C.当时， D.当时，的最大值是1
11．已知定义在上的奇函数，满足，若，则( )
A. B.4是的一个周期
C. D.的图象关于对称
12．关于函数，下述结论正确的是( )
A.的最小值为
B.在上单调递增
C.函数在上有3个零点
D.曲线关于直线对称
三、填空题
13．不等式的解集为______.
14．若，，则的取值范围为______.
15．若，则m的值为______.
16．已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为______.
四、解答题
17．已知正实数x，y满足等式.
（1）求的最小值；
（2）求的最小值.
18．已知，.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
19．设，关于x的不等式的解集为.
（1）求m的取值范围；
（2）求关于x的不等式的解集.
20．已知函数.在下列三个条件中，选择可以确定和m值的两个作为已知条件，并解答下列问题.
条件①：的最小正周期为；
条件②：的最大值与最小值之和为0；
条件③：.
（1）求的值；
（2）若函数在区间上是增函数，求实数a的最大值.
21．已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在上的最大值.
22．设函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若对任意及任意，，恒有成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：，，据此可得.3
故选B
2．答案：A
解析：A，B在等高处的截面积恒相等，则体积相等.但是A，B体积相等，在等高处的截面积不一定相等，例如圆台A，将A倒置后得到圆台B，此时A，B体积相等，在等高处的截面积不相等，
p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件.故选：A.
3．答案：B
解析：角和角的终边关于直线对称，则，，
故选B
4．答案：C
解析：将函数的图象向右平移个单位长度得：
，
由，，可得，，
所以的对称中心为，.
故选：C.
5．答案：C
解析：因在上单调递增，在]上单调递增，因此，函数在R上单调递增，则，解得，所以实数a的取值范围是.故选C.
6．答案：D
解析：将一个单位圆分成120个扇形，
则每个扇形的圆心角度数均为，
这120个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，
，
故选：D.
7．答案：C
解析：的导数为，
可得在点处的切线的斜率为1，则切线的方程为，的导数为，设切线与的切点为，可得切线的斜率为，即，，可得切点为，所以，即.故选：C.
8．答案：B
解析：，，，
，且，
，，且，
，，
，，
故选：B.
9．答案：ACD
解析：，恒成立，A正确；
时，，B错误；
时使得，C正确；
的值域为R，则，使得，D正确；
故选：ACD.
10．答案：CD
解析：对于选项A：不是定值，不是的最小值，故选项A错误；
对于选项B：当时，由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，但，故取不到等号，故2不是的最小值，故选项B错误；
对于选项C：当时，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确；
对于选项D：当，即时，
，
当且仅当，即时等号成立，故选项D正确.
故选：CD.
11．答案：BCD
解析：对于A，，故A错误；
对于B，，而，，即4是的一个周期，故B
正确；
对于C，是奇函数，，又的一个周期为4，
，，，
，故C正确；
对于D，，
的图象关于对称，故D正确；
故选：BCD.
12．答案：CD
解析：
的一个周期为，
选项A，当时，
，
，，的最小值为，
当时，，
，
，的最小值为，A不正确；
选项B，当时，
，
令，由的单调性可知在上先增后减，B不正确；
选项C，当时，令得
，，或，即或，
当时，令得
，
，，即，
函数在上共有3个零点，C正确；
选项D，
曲线关于直线对称，D正确.
故选：CD.
13．答案：
解析：不等式可化为，即
等价于，解得或
所以不等式的解集为或.
故答案为：或.
14．答案：
解析：设，
解得，，，，
，.
15．答案：4
解析：由于，所以.
16．答案：
解析：令函数，当时，，即函数在上单调递减，由为偶函数，得，即函数是奇函数，
于是在R上单调递减，
不等式
因此，解得，所以原不等式的解集是.故答案为：.
17．答案：（1）3；
（2）
解析：（1），即，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为3.
（2），
当且仅当，时等号成立，即.
18．答案：（1）7；
（2）
解析：（1），①
，②
由①②得，③
由①②得，④
由③④得.
（2），，，
，，，
，
，
，
.
19．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为关于x的不等式的解集为，
所以关于x的不等式恒成立，
所以，解得，
所以m的取值范围为；
（2）不等式等价于，
当时，不等式可化为，解集为；
当时，，此时不等式的解集为或；
当时，，此时不等式的解集为.
20．答案：（1）选择条件①②：；
选择条件①③：
（2）；
解析：函数
，
选择条件①②：
（1）由于的最小正周期为，所以，又因为，所以，
所以；
由的最大值与最小值之和为0，
，，
得，解得.
所以.
所以.
（2）当时，，
由于函数在区间上是增函数，
所以，解得，
故实数a的最大值为.
选择条件①③：
（1）由条件①得，，
又因为，所以.
由③知，，
所以.
则.
所以.
（2）当时，，
由于函数在区间上是增函数，
所以，解得，
故实数a的最大值为.
说明：不可以选择条件②③：
由②知，，
所以；
由③知，，所以，矛盾.
所以函数不能同时满足条件②和③.
21．答案：（1）的单调递增区间为；
（2）当时，的最大值为；当时，的最大值为
解析：（1）的定义域为，，令，得，因为，所以.故的单调递增区间为.
（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，在上单调递增，此时；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
此时.
综上所述，当时，的最大值为；
当时，的最大值为.
22．答案：（1）函数的极小值为，无极大值；
（2）
解析：（1）由题意知函数的定义域为.
当时，，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
函数的极小值为，无极大值.
（2）当时，
，
，，
在区间上，，
则在上单调递减，是的最大值，是的最小值.
.
对任意及任意，，恒有成立，
，得.
，，
，故实数m的取值范围是.