2025高考数学一轮复习-第26讲-复数-专项训练
微专题1 复数
常考常用结论
1．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则
(1)当b＝0时，z∈R；当b≠0时，z为虚数；当a＝0，b≠0时，z为纯虚数．
(2)z的共轭复数＝a－bi.
(3)z的模|z|＝.
2．已知i是虚数单位，则
(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
保 分 题
1.[2024·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝( )
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
2．[2024·全国甲卷]若z＝1＋i，则|iz＋3|＝( )
A．4 B．4
C．2 D．2
3．[2024·全国乙卷]已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2
C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2
提 分 题
例1 (1)[2024·福建漳州一模]已知z＝|i－1|＋，则在复平面内z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)[2024·山东潍坊二模](多选)若复数z1＝2＋3i，z2＝－1＋i，其中i是虚数单位，则下列说法正确的是( )
A．∈R
B.＝
C．若z1＋m(m∈R)是纯虚数，那么m＝－2
D．若z1，z2在复平面内对应的向量分别为(O为坐标原点)，则||＝5
听课笔记：
【技法领悟】
复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质、运算法则来优化运算过程．
巩固训练1
1.[2024·山东泰安二模]已知复数z＝，i是虚数单位，则复数－4在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．[2024·河北保定二模](多选)已知复数z满足方程(z2－4)(z2－4z＋5)＝0，则( )
A．z可能为纯虚数
B．方程各根之和为4
C．z可能为2－i
D．方程各根之积为－20
微专题2 平面向量
常考常用结论
1．平面向量的两个定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
2．平面向量的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，θ为a与b的夹角．
(1)a∥b x1y2－x2y1＝0.
(2)a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(3)a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
(4)|a|＝＝.
(5)cos θ＝＝.
保 分 题
1.△ABC中，E是边BC上靠近B的三等分点，则向量＝( )
A． B．
C． D．
2．[2024·全国乙卷]已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
3．[2024·全国甲卷]已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)，若a⊥b，则m＝________．
提 分 题
例2 (1)[2024·河北石家庄二模]在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，若＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
(2)[2024·山东济宁一模]等边三角形ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则··的最大值为( )
A．4 B．7
C．8 D．11
听课笔记：
【技法领悟】
求解向量数量积最值问题的两种思路
1．直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．
2．建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．
巩固训练2
1.[2024·山东济南二模]在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝( )
A． B．
C． D．
2．[2024·福建漳州二模]已知△ABC是边长为2的正三角形，P为线段AB上一点(包含端点)，则·的取值范围为( )
A．[－，2] B．[－，4]
C．[0，2] D．[0，4]
参考答案与解析
微专题1 复数
保分题
1．解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i－4i2＝2－2i＋4＝6－2i.故选D.
答案：D
2．解析：因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以iz＋3＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i，所以|iz＋3|＝|2－2i|＝＝2.故选D.
答案：D
3．解析：由z＝1－2i可知＝1＋2i.由z＋a＋b＝0，得1－2i＋a(1＋2i)＋b＝1＋a＋b＋(2a－2)i＝0.根据复数相等，得解得故选A.
答案：A
提分题
[例1] 解析：(1)∵z＝|i－1|＋＝ ＝2＋＝i，
∴复平面内z对应的点(，－)位于第四象限．
(2)对于A，＝＝＝＝i，A错误；
对于B，∵z1·z2＝(2＋3i)(－1＋i)＝-5-i，∴＝－5＋i；又＝(2－3i)(－1－i)＝-5+i，∴＝，B正确；
对于C，∵z1＋m＝2＋m＋3i为纯虚数，∴m＋2＝0，解得：m＝－2，C正确；
对于D，由题意得：＝(2，3)，＝(－1，－1)，∴＝＝(－3，－4)，∴||＝＝5，D正确．
答案：(1)D (2)BCD
[巩固训练1]
1．解析：z＝＝＝＝1＋i，则－4＝1－i－4＝－3－i，对应的点位于第三象限．故选C.
答案：C
2．解析：由(z2－4)(z2－4z＋5)＝0，得z2－4＝0或z2－4z＋5＝0，
即z2＝4或(z－2)2＝－1，
解得：z＝±2或z＝2±i，显然A错误，C正确；
各根之和为－2＋2＋(2＋i)＋(2－i)＝4，B正确；
各根之积为－2×2×(2＋i)(2－i)＝－20，D正确．
答案：BCD
微专题2 平面向量
保分题
1．解析：因为点E是BC边上靠近B的三等分点，所以＝，
所以＝＝＝)＝.故选C.
答案：C
2．解析：将|a－2b|＝3两边平方，得a2－4a·b＋4b2＝9.因为|a|＝1，|b|＝，所以1－4a·b＋12＝9，解得a·b＝1.故选C.
答案：C
3．解析：由a⊥b，可得a·b＝(m，3)·(1，m＋1)＝m＋3m＋3＝0，所以m＝－.
答案：－
提分题
[例2] 解析：(1)如图所示，设＝m，＝n，且＝xa＋yb，
则＝xa＋yb＝x(n－m)＋y(n－m)＝(x＋y)n－(x＋y)m，
又因为＝n－m，
所以，解得x＝，y＝，所以＝a＋b.
故选B.
(2)如图，等边三角形ABC，O为等边三角形ABC的外接圆的圆心，以O为原点，AO所在直线为y轴，建立直角坐标系．因为AO＝2，所以A(0，2)，设等边三角形ABC的边长为a，则
＝＝2R＝4，所以a＝2，则B(－，－1)，C(，－1).
又因为P是该圆上的动点，所以设P(2cos θ，2sin θ)，θ∈[0，2π)，
＝(－2cos θ，2－2sin θ)，＝(－－2cos θ，－1－2sin θ)，＝(－2cos θ，－1－2sin θ)，··＝－2cos θ(－－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－－2cos θ)(－2cos θ)＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)＝3＋1＋2sin θ＋2cos θ＝4＋4sin (θ＋)，因为θ∈[0，2π)，θ＋∈[)，sin (θ＋)∈[－1，1]，所以当sin (θ＋)＝1时，··的最大值为8.故选C.
答案：(1)B (2)C
[巩固训练2]
1．解析：
取AD中点N，连接MN，∵＝－2，∴AB∥CD，|AB|＝2|CD|，
又M是BC中点，∴MN∥AB，且|MN|＝(|AB|＋|CD|)＝|AB|，
∴＝＝，故选B.
答案：B
2．解析：以AB中点O为坐标原点，正方向为x，y轴可建立如图所示平面直角坐标系，
则A(－1，0)，B(1，0)，C(0，)，
设P(m，0)(－1≤m≤1)，∴＝(1－m，0)，＝(－m，)，
∴·＝m2－m＝(m－)2－，
则当m＝时，(·)min＝－；当m＝－1时，(·)max＝2；
∴·的取值范围为[－，2].故选A.(共52张PPT)
第26讲 复数
第五章
平面向量与复数
激 活 思 维
【解析】
B
【解析】
B
【解析】
D
4．(多选)下列各式计算正确的是( )
AC
【解析】
对于B，i(2－i)(1－2i)＝(2i－i2)(1－2i)＝(1＋2i)(1－2i)＝1－4i2＝5，故B错误；
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝4 B．(x－1)2＋(y－1)2＝4
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝1
【解析】
C
聚 焦 知 识
a
b
a＝c且b＝d
复数的有关概念
举 题 说 法
1
【解析】
A
1
【解析】
A
变式 (1) 若复数z满足|z－2－3i|＝5，则复数z的共轭复数不可能为( )
A．2＋8i B．－2－6i
C．5＋i D．5－7i
A
【解析】
B中，a＝－2，b＝6，满足等式，正确；
C中，a＝5，b＝－1，满足等式，正确；
D中，a＝5，b＝7，满足等式，正确．
变式 (2) 若复数z是方程x2－4x＋5＝0的一个根，则i·z的虚部为( )
A．2 B．－2
C．±1 D．±i
A
【解析】
所以z＝2±i，故i·z＝i(2±i)＝2i 1，所以i·z的虚部为2.
复数的运算
2
【解析】
B
(2) 若复数z是x2＋x＋1＝0的根，则|z|＝ ( )
B
2
【解析】
综上所述，|z|＝1.
【解析】
BD
【解析】
A
(1) 在复平面内，(1＋3i)·(3－i)对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
复数的几何意义
3
A
【解析】
因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限．
(2)若复数z满足|z－1|≤2，则复数z在复平面内对应的点组成图形的面积为 ( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
D
3
【解析】
由题知z在复平面内对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，所以所求的面积为S＝4π.
变式 (1) 若复数z1＝cos θ＋i，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为 ( )
D
【解析】
变式 (2) 设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 ( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
C
【解析】
【解析】
1
随 堂 内 化
【解析】
C
【解析】
B
【解析】
B
【解析】
对于B，由z2＝a2－b2＋2abi∈R，知a＝0或b＝0，故B错误；
对于C，由z2＋1＝0，得z＝±i，故C错误；
AD
【解析】
AC
配套精练
【解析】
C
【解析】
B
【解析】
A
【解析】
C
【解析】
【答案】BD
又x1＋x2＝1＋i＋1－i＝2＝－p，所以p＝－2，故A错误；
【解析】
【答案】AC
三、 填空题
7．若2i(x＋i)＝y＋4i(x，y∈R)，则x＋y＝_____．
0
【解析】
8．设复数z＝(1＋i)sin 15°＋(1－i)sin 75°，其中i为虚数单位，则|z|＝______．
【解析】
【解析】
【答案】
四、 解答题
10．已知复数z0＝(a2－4a＋3)＋(a2－3a＋2)i(i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，z0和实数b是关于x的方程x2－(3＋2i)x＋6i＝0的两个根．
(1) 求a，b的值；
【解答】
四、 解答题
10．已知复数z0＝(a2－4a＋3)＋(a2－3a＋2)i(i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，z0和实数b是关于x的方程x2－(3＋2i)x＋6i＝0的两个根．
(2) 若复数z满足|z|＝|a＋bi|，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形，并求该图形的面积．
【解答】
11．已知复数z1＝(a＋i)2，z2＝4－3i，其中a是实数．
(1) 若z1＝iz2，求实数a的值；
【解答】
11．已知复数z1＝(a＋i)2，z2＝4－3i，其中a是实数．
【解答】
【解析】
【答案】C
13．(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(－x)＝－f(x)，f(x＋2)＝f(2－x)对任意实数x都成立，则( )
A．函数f(x)是周期函数
B．函数f′(x)是偶函数
C．函数f′(x)的图象关于点(2，0)中心对称
D．函数f(2－x)与f(x)的图象关于直线x＝2对称
【解析】
【答案】ABC
由题知f(－x)＝－f(x) f(x)为奇函数 f(x)的图象关于原点对称．由于f(2＋x)＝f(2－x) f(x)的图象关于x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，则－f(－x)＝f(4－x)，所以－f(x)＝f(x＋4)，即－f(x＋4)＝f(x＋8)，所以f(x)＝f(x＋8)，所以f(x)是周期为8的周期函数，故A正确；
因为f(－x)＝－f(x)，所以[f(－x)]′＝[－f(x)]′，即－f′(－x)＝－f′(x)，即f′(－x)＝f′(x)，即f′(x)为偶函数，故B正确；
因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f′(2＋x)＝－f′(2－x)，即f′(2＋x)＋f′(2－x)＝0，所以f′(x)的图象关于点(2，0)中心对称，故C正确；
函数f(2－x)与函数f(x)的图象关于x＝1对称，故D错误．
【解答】
【解答】
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