2025年高考数学一轮复习-1.3-等式性质与不等式性质（课件+专项训练）（含解析）

(共35张PPT)
1.3 等式性质与不等式性质
课标要求 考情分析
1.梳理等式的性质， 理解不等式的概念. 2.会比较两个数 （式）的大小. 3.理解不等式的性 质，掌握不等式性质 的简单应用. 考点考法：以考查不等式的性质为重点，同时考
查不等关系，常与函数、数列、几何、实际问题
等相结合进行考查.
核心素养：数学抽象、逻辑推理
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.等式的基本性质
（1）对称性：若 ，则_______.
（2）传递性：若 , ，则______.
（3）可加性：若 ，则 .
（4）可乘性：若 ,则 .
（5）可除性：如果 , ，那么_ _____.



2.比较实数大小
（1）文字叙述
如果 是正数，那么 ____ ；如果 等于0，那么 ___ ；如果
是负数，那么 ____ .反过来也成立.
（2）符号表示
a ____ ; ___ ; ____ .
＞
=
＜
＞
=
＜
3.不等式的基本性质
性质 ____ ;
性质 , ____ ;
性质3 如果 ，那么 ____ ;
性质4 如果 ， ，那么 ____ ;如果 , ,那么 ____
；
性质5 如果 ， ,那么 ____ ;
性质6 如果 , ,那么 ____ ;
＜
＞
＞
＞
＜
＞
＞
性质7 如果 ,那么 ____ .
[提醒] （1）同向不等式的两边可以相加，不能相减；
（2）一个不等式的两边同时乘同一正数，不等号方向不变；同时乘同一负数，不等号方向改变.
＞
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）两个实数 , 之间，有且只有 , , 三种关系中的一
种.( )
√
（2）若 ，则 .( )
×
（3）若 ,则 .( )
×
（4） .( )
×
2.若 , ,则 , 的大小关系是
( )
A. B.
C. D.随 的值变化而变化
解析：选B. .
√
3.已知 , , ,且 ,则下列不等式中成立的是( )
A. B. C. D.
解析：选D.当 时,不等式 不成立，故A不正确；
当 , 时，不等式 不成立，故B不正确；
当 , 时，不等式 不成立，故C不正确；
由不等式的性质知，选项D正确，故选D.
√
4.（人A必修第一册 习题 变条件、变设问）已知 ，
,则 的取值范围是_________.
（2,5）
解析：因为 ,所以 .
又 ,所以 ,
所以 .
1.倒数性质
（1） , ;
（2） ；
（3） , .
2.分数性质
若 , ,则
（1）真分数性质： ; ;
（2）假分数性质： ; .
【用一用】
1.(2023·上海高三阶段练习)如果 ，那么下列不等式成立的是
( )
A. B. C. D.
解析：选D.因为 ，由不等式的性质可知， ,
， 所以 ,所以 ，故A错误，D正确；由 ，
可得 ， ，故B，C错误.故选D.
√
2.下列命题中，正确的是______.（填序号）
①若 ，则 ;
②若 ,则 ;
③若 , ,则 ;
④若 , ,则 .
②④
解析：①中，当 时不成立，故①不正确；
②中，由分数性质知②正确；
③中，因为 , ,不满足不等式的同向可加性，故③不正确；
④中，由倒数性质知④正确.综上可知②④正确.
核心考点 师生共研
02
考点一 比较两个数（式）的大小（师生共研）
例1.（1）(2023·江苏南通阶段测试)设 ， ， ，
，则 ， ， 的大小关系是( )
A. B. C. D.
√
解析：（作差法）由 ，可得 ， ， ，
又 ，可得 ；
又 ，可得 .
所以 .
（2）若 , ,则 与 的大小关系是______.

解析：（作商法）因为 , ,
所以 ,
所以 .
判断两数（式）大小的方法
（1）作差法：①作差；②变形；③定号；④下结论.
（2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④下结论.
【对点训练】
1.(2023·黑龙江质检)已知 , ,则 ____
.（填“＞”“＜”或“=”）
＞
解析：
.因为 , , , ,所以
,故 .
2.已知 ,则 ____ .（填“＞”“＜”或“=”）
＜
解析：由题得， , ,
所以 ,
所以 .
考点二 不等式的基本性质（自主练透）
1.(2023·广东珠海模拟)已知 , ，满足 ， ， ，
则( )
A. B. C. D.
解析：选C.因为 , ，则 , , ， ,A不正确；
， ，则 ，B不正确；
又 ，即 ，则 ， ，C正确；
由 得 ，D不正确.
√
2.设 , ,则“ ”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：选C.当 时,显然得 ;
当 时,显然有 ;
当 时,由 得 ,
所以 .
综上可知 ,故选C.
√
3.（多选）对于任意实数 ， ， ， ，下列命题中是真命题的是
( )
A.若 ，则
B.若 , ，则
C.若 ，则
D.若 , ，则 ,
√
√
√
解析：选ABD.对于A，若 ，又 ，所以 ，故A正确；
对于B，若 ， ，则 ，化为 ，可得
，故B正确；
对于C，若 ，则 ， ，可得 ，
故 ，故C错误；
对于D，若 ， ，则 ，所以 ，所以 ，
，故D正确.
考点三 不等式性质的应用（师生共研）
例2.（1）已知 , ,则 的取值范围是_______，
的取值范围是_______.


解析：由题意得 ,所以 .又 , ,所以 .
（2）已知 , ,则 的取值范围是_ ______.

解析：因为 ,所以 ,又 ,所以 ,即 .
（3）给出下列四个条件：
① ； ② ;
③ ; ④ .
其中能推得 成立的是________（填序号h）.
①②④
解析：①若 ,则 ，①正确；②若 ,则 ，所
以 ,即 ,②正确；若 ,则 ，故不能推出 ,③
不正确；④若 ,则 ,即 ,④正确.因此符合条件的有①②④.
根据不等式的性质求取值范围的策略
（1）严格运用不等式的性质，注意其成立的条件.
（2）同向不等式的两边可以相加，如果在解题过程中多次使用这种转化，就会扩大其取值范围.
（3）建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系，最后一次性运用不等式的性质求得取值范围.
【对点训练】
1.已知 ， ，则 的取值范围为_______， 的取值
范围为_ ______.


解析：由题得 ，所以 .又 ，所以
.
2.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
①男学生人数多于女学生人数；
②女学生人数多于教师人数；
③教师人数的两倍多于男学生人数.
若教师人数为4，则女学生人数的最大值为___.
6
解析：令男学生、女学生、教师人数分别为 , , ,则 .若
教师人数为4，则 ,当 时， 取得最大值 .2025年高考数学一轮复习-1.3-等式性质与不等式性质-专项训练【原卷版】
时间：45分钟
一、选择题
1．若xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
2．若a，b，c为实数，则下列命题中正确的是(　 )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若aab>b2
C．若aD．若a
3．若a>b>0，cA.> B.<
C.> D.<
4．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋cA．d>b>a>c B．b>c>d>a
C．d>b>c>a D．c>a>d>b
5．已知a，b，c，d∈R，则P＝ac＋bd，Q＝的大小关系为(　　)
A．P≥Q B．P>Q
C．P6．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值(　　)
A．一定是正数 B．一定为负数
C．可能为0 D．正负不定
7．已知a>0，b>0，c>0，若<<，则有(　　)
A．cC．a8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室(　　)
A．甲 B．乙
C．同时到达 D．无法判断
二、填空题
9．已知若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则b2－4ac 0.(填“>”“<”或“＝”)
10．已知α，β满足则z＝α＋3β的取值范围是 ．
三、解答题
11．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并写出推理过程．
12．(1)设x(2)已知a>0，b>0，x>0，y>0且>，x>y，求证：>.
13．(多选题)设a，b为正实数，则下列命题中为真命题的是(　　)
A．若a2－b2＝1，则a－b<1；
B．若－＝1，则a－b<1；
C．若|－|＝1，则|a－b|<1；
D．若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
14．某学习小组在调查鲜花市场的鲜花价格后得知，购买2枝玫瑰与1枝康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4枝玫瑰与5枝康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2枝玫瑰所需费用为A元，购买3枝康乃馨所需费用为B元，则A，B的大小关系是(　　)
A．A>B B．AC．A＝B D．A，B的大小关系不确定
15．某公司有20名技术人员，计划开发A、B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
产品种类 每件需要人员数 每件产值(万元/件)
A类 7.5
B类 6
今制定计划欲使总产值最高，则A类产品应生产 件，最高产值为 万元．
16．若a>b>0，c|c|.
(1)求证：b＋c>0；
(2)求证：<；
(3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足<所求式<？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由．
2025年高考数学一轮复习-1.3-等式性质与不等式性质-专项训练【解析版】
时间：45分钟
一、选择题
1．若xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
解析：取x＝－2，a＝－1，则x2＝4，a2＝1，ax＝2，
∴x2>ax，可排除A，显然C不正确．
又a2＝1，∴ax>a2.∴排除D，故选B.
2．若a，b，c为实数，则下列命题中正确的是(　B　)
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若aab>b2
C．若aD．若a
解析：∵a>b，当c＝0时，ac2＝bc2，故A错．
∵aab，b2，>1，<1，即<，∴B正确，C，D错误．
3．若a>b>0，cA.> B.<
C.> D.<
解析：方法一：∵c－d>0，
∴>>0.
又a>b>0，∴>，∴<.
方法二：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2.
则＝－1，＝－1，排除选项A，B.
又＝－，＝－，∴<，排除选项C.
4．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋cA．d>b>a>c B．b>c>d>a
C．d>b>c>a D．c>a>d>b
解析：∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.∴bb>a>c.
5．已知a，b，c，d∈R，则P＝ac＋bd，Q＝的大小关系为(　D　)
A．P≥Q B．P>Q
C．P解析：P2－Q2＝(ac＋bd)2－(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋2abcd＋b2d2－(a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2)＝－a2d2＋2abcd－b2c2＝－(ad－bc)2≤0，所以P2≤Q2，又Q≥0，所以P≤Q.
6．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值(　B　)
A．一定是正数 B．一定为负数
C．可能为0 D．正负不定
解析：∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝0，且a2＋b2＋c2>0(由abc>0知abc均不为0)．
∴ab＋bc＋ac<0.
∴＋＋＝<0.
7．已知a>0，b>0，c>0，若<<，则有(　A　)
A．cC．a解析：由<<可得＋1<＋1<＋1，即<<.因为a>0，b>0，c>0，所以a＋b>b＋c>c＋a.由a＋b>b＋c，可得a>c.由b＋c>c＋a，可得b>a.于是有c8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室(　B　)
A．甲 B．乙
C．同时到达 D．无法判断
解析：设寝室到教室的路程为s，步行速度v1，跑步速度v2，则甲用时t1＝＋，乙用时t2＝，
t1－t2＝＋－＝s
＝·s＝>0，
∴甲用时多．
二、填空题
9．已知若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则b2－4ac>0.(填“>”“<”或“＝”)
解析：∵a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)，
∴b2＝a2＋c2＋2ac.
∴b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c)2.
∵a>c，∴(a－c)2>0，∴b2－4ac>0.
10．已知α，β满足则z＝α＋3β的取值范围是{z|1≤z≤7}．
解析：设α＋3β＝λ(α＋β)＋v(α＋2β)＝(λ＋v)α＋(λ＋2v)β(λ，v∈R)，
则解得
所以α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)．
又－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，所以1≤α＋3β≤7.故z＝α＋3β的取值范围是{z|1≤z≤7}．
三、解答题
11．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并写出推理过程．
解：答案不唯一．命题一：若ab>0，且>，
则bc>ad.
证明：因为>，且ab>0，
所以·ab>·ab，即bc>ad.
命题二：若ab>0，且bc>ad，则>.
证明：因为ab>0，所以>0，又bc>ad，
所以bc·>ad·，即>.
12．(1)设x(2)已知a>0，b>0，x>0，y>0且>，x>y，求证：>.
解：(1)方法一：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)，
因为x0，
x－y<0所以－2xy(x－y)>0，
所以(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
方法二：因为x所以x－y<0，x2>y2，x＋y<0.
所以(x2＋y2)(x－y)<0，(x2－y2)(x＋y)<0，
所以0<＝<1，
所以(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
(2)证明：－＝.
因为>且a>0，b>0，所以b>a>0，
又因为x>y>0，所以bx>ay>0，
所以>0，所以>.
13．(多选题)设a，b为正实数，则下列命题中为真命题的是(　AD　)
A．若a2－b2＝1，则a－b<1；
B．若－＝1，则a－b<1；
C．若|－|＝1，则|a－b|<1；
D．若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
解析：对于A，由题意a，b为正实数，
则a2－b2＝1 a－b＝ a－b>0 a>b>0，
故a＋b>a－b>0.
若a－b≥1，则≥1 a＋b≤1≤a－b，
这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．
对于B，取特殊值，a＝3，b＝，则a－b>1.
对于C，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1.
对于D，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，
∴a≠b，不妨设a>b>0.
∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，
∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2，
即a3－b3>(a－b)3>0，∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，
∴014．某学习小组在调查鲜花市场的鲜花价格后得知，购买2枝玫瑰与1枝康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4枝玫瑰与5枝康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2枝玫瑰所需费用为A元，购买3枝康乃馨所需费用为B元，则A，B的大小关系是(　A　)
A．A>B B．AC．A＝B D．A，B的大小关系不确定
解析：设每枝玫瑰的价格为x元，每枝康乃馨的价格为y元，则由题意得2x＝A,3y＝B，
整理得x＝，y＝，将其代入不等式组得，
将A＋>8乘以－2与2A＋B<22相加，解得B<6，将B<6代入A>8－中，
解得A>6，故A>B.
15．某公司有20名技术人员，计划开发A、B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
产品种类 每件需要人员数 每件产值(万元/件)
A类 7.5
B类 6
今制定计划欲使总产值最高，则A类产品应生产20件，最高产值为330万元．
解析：设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件，则＋≤20，解得x≤20.
由题意，得总产值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以应开发A类电子器件20件，能使产值最高，为330万元．
16．若a>b>0，c|c|.
(1)求证：b＋c>0；
(2)求证：<；
(3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足<所求式<？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由．
解：(1)证明：因为|b|>|c|，且b>0，c<0，
所以b>－c，所以b＋c>0.
(2)证明：因为c－d>0.又a>b>0，所以由同向不等式的可加性可得a－c>b－d>0，
所以(a－c)2>(b－d)2>0，
所以0<<　①.
因为a>b，d>c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d>b＋c，所以a＋d>b＋c>0　②.
①②相乘得<.
(3)因为a＋d>b＋c>0,0<<，所以<<或<<.
(只要写出其中一个即可)