2025年高考数学一轮复习-1.4-基本不等式-专项训练【原卷版】
时间：45分钟
一、选择题
1．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是( )
A．3 B．3－2
C．－1 D．3－2
2．已知x≥，则y＝有( )
A．最大值 B．最小值
C．最大值1 D．最小值1
3．若对x>0，y>0，有(x＋2y)≥m恒成立，则m的取值范围是( )
A．m≤4 B．m>4
C．m<0 D．m≤8
4．高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在第n层楼时，上、下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
5．已知a，b，c满足a>b>c时，不等式＋＋>0恒成立，则λ的取值范围是( )
A．λ≤0 B．λ<1
C．λ<4 D．λ>4
6．若0
A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1 D.
7．已知x>0，y>0，x＋2y＝1.若＋>m2＋3m＋4恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－4]∪[－1，＋∞)
B．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
C．(－4,1)
D．(－1,4)
8．设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝2，则x2＋y2＋z2的最小值为( )
A. B.
C. D．1
二、填空题
9．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是 .
10．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是 .
三、解答题
11．已知正常数a，b和正实数x，y满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值．
12．某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y1万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系式：y1＝(0≤x≤10，k为常数)．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y2为15年的总费用．(总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用)
(1)求y2的表达式；
(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y2最小，并求出最小值．
13．(多选题)下列结论正确的是( )
A．当x>0时，＋≥2
B．当x>2时，x＋的最小值是2
C．当x<时，y＝4x－2＋的最小值为5
D．当x>0，y>0时，＋≥2
14．已知0A. B．4＋
C．4＋ D．4
15．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为：F＝.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为 辆/时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增
加 辆/时．
16．设a，b为正实数，且＋＝2.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．
2025年高考数学一轮复习-1.4-基本不等式-专项训练【解析版】
时间：45分钟
一、选择题
1．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是( D )
A．3 B．3－2
C．－1 D．3－2
解析：∵x>0，∴3x＋≥2＝2 ，当且仅当x＝时取等号，∴－≤－2 ，
则y＝3－3x－≤3－2 ，故选D.
2．已知x≥，则y＝有( D )
A．最大值 B．最小值
C．最大值1 D．最小值1
解析：y＝＝＝≥1，当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立，故y有最小值1，故选D.
3．若对x>0，y>0，有(x＋2y)≥m恒成立，则m的取值范围是( D )
A．m≤4 B．m>4
C．m<0 D．m≤8
解析：由x>0，y>0，得(x＋2y)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8，当且仅当2y＝x时取等号，则m≤8，故选D.
4．高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在第n层楼时，上、下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为( B )
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：由题意知，教室在第n层楼时，同学们总的不满意度y＝n＋≥4 ，当且仅当n＝，即n＝2时，不满意度最小，又n∈N*，分别把n＝2,3代入y＝n＋，易知n＝3时，y最小，故最适宜的教室应在3楼．
5．已知a，b，c满足a>b>c时，不等式＋＋>0恒成立，则λ的取值范围是( C )
A．λ≤0 B．λ<1
C．λ<4 D．λ>4
解析：由题意知，原不等式可变形为λ<(a－c)·＝[(a－b)＋(b－c)]·＝1＋＋＋1，而1＋＋＋1≥4(当且仅当(a－b)2＝(b－c)2时等号成立)，则λ<4.故选C.
6．若0A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1 D.
解析：由0易知a1a2＋b1b2<2＋2＝.
又a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)b1＋(a2－a1)b2＝(a2－a1)(b2－b1)>0，
所以a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
注意到1＝(a1＋a2)(b1＋b2)＝a1b1＋a2b2＋a1b2＋a2b1<2(a1b1＋a2b2)，所以a1b1＋a2b2>.
综上可知a1b1＋a2b2最大．
7．已知x>0，y>0，x＋2y＝1.若＋>m2＋3m＋4恒成立，则实数m的取值范围是( C )
A．(－∞，－4]∪[－1，＋∞)
B．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
C．(－4,1)
D．(－1,4)
解析：×1＝(x＋2y)＝4＋＋≥8，即m2＋3m＋4<8恒成立，m2＋3m－4<0的解集为(－4,1)．故选C.
8．设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝2，则x2＋y2＋z2的最小值为( A )
A. B.
C. D．1
解析：由题意，得(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)≤x2＋y2＋z2＋(x2＋y2)＋(y2＋z2)＋(x2＋z2)＝3(x2＋y2＋z2)，即x2＋y2＋z2≥＝(当且仅当x＝y＝z＝时取等号)，所以x2＋y2＋z2的最小值为，故选A.
二、填空题
9．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是a≥.
解析：因为x>0，所以x＋≥2.
当且仅当x＝1时取等号，所以有
＝≤＝，
即的最大值为，故a≥.
10．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是.
解析：注意到消元有难度，而目标式为x＋y，且条件可以构造出x＋y的平方，于是1＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－()2＝(x＋y)2，所以≥(x＋y)2，所以－≤x＋y≤，当且仅当x＝y＝时取最大值.
三、解答题
11．已知正常数a，b和正实数x，y满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值．
解：因为x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
当且仅当＝，即＝时，等号成立，
所以x＋y的最小值为(＋)2＝18，
又a＋b＝10，所以ab＝16.
所以a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根，
所以a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.
12．某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y1万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系式：y1＝(0≤x≤10，k为常数)．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y2为15年的总费用．(总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用)
(1)求y2的表达式；
(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y2最小，并求出最小值．
解：(1)依题意，当x＝0时，y1＝6，∴6＝，∴k＝30.
故y1＝，y2＝4x＋·15＋10＝4x＋＋10(0≤x≤10)．
(2)y2＝4x＋＋10＝(4x＋10)＋＝2(2x＋5)＋≥2＝60，
当且仅当2(2x＋5)＝，即x＝5时，y2取得最小值，最小值为60，
∴隔热层的厚度为5厘米时，15年的总费用达到最小值，最小值为60万元．
13．(多选题)下列结论正确的是( AD )
A．当x>0时，＋≥2
B．当x>2时，x＋的最小值是2
C．当x<时，y＝4x－2＋的最小值为5
D．当x>0，y>0时，＋≥2
解析：在A中，当x>0时，>0，＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，结论成立；在B中，当x>2时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，但x>2取不到1，因此x＋的最小值不是2，结论错误；在C中，因为x<，所以5－4x>0，则y＝4x－2＋＝－＋3≤－2×＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时取等号，结论错误；显然D正确，故选AD.
14．已知0A. B．4＋
C．4＋ D．4
解析：因为不等式ax2＋x＋b≥0对于一切实数x恒成立，所以对应方程的根的判别式Δ1＝1－4ab≤0，即4ab≥1.又存在x0∈R，使bx＋x0＋a＝0成立，所以Δ2＝1－4ab≥0，即4ab≤1，所以4ab＝1，即b＝(1<4a<4)．所以＋＝＋＝＋＋2＝(4－4a＋4a－1)×＋(4－4a＋4a－1)×＋2＝2＋＋2≥4＋×2＝4＋(当且仅当＝时，等号成立)．所以＋的最小值为4＋.
15．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为：F＝.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为1_900辆/时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/时．
解析：(1)当l＝6.05时，
F＝≤＝1 900，
当且仅当v＝，即v＝11时等号成立．
(2)当l＝5时，F＝≤＝2 000，当且仅当v＝，即v＝10时等号成立，2 000－1 900＝100(辆/时)．
16．设a，b为正实数，且＋＝2.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．
解：(1)∵a，b为正实数，且＋＝2≥2(a＝b时等号成立)．即ab≥(a＝b时等号成立)．
∵a2＋b2≥2ab≥2×＝1(a＝b时等号成立)．
∴a2＋b2的最小值为1.
(2)∵＋＝2 ，
∴a＋b＝2 ab，∵(a－b)2≥4(ab)3，
∴(a＋b)2－4ab≥4(ab)3，
即(2 ab)2－4ab≥4(ab)3.
即(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0，
∵a，b为正实数，∴ab＝1.(共36张PPT)
1.4 基本不等式
课标要求 考情分析
1.探索并了解基 本不等式的证明 过程. 2.掌握基本不等 式，并能用基本 不等式解决简单 的最值问题. 考点考法：本讲是高考的热点，主要考查利用基本不
等式求最值、求参数的取值范围等，常与函数结合命
题，题型以选择题、填空题为主，也可作为工具出现
在解答题中，中高档难度.
核心素养：数学运算、逻辑推理、数学建模
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.基本不等式：
（1）基本不等式成立的条件是_____________.
（2）等号成立的条件是：当且仅当_______时取等号.
（3）其中 称为正数 , 的____________, 称为正数 , 的_______
_____.
[提醒] 应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某
个条件，就会出错.
,
算术平均数
几何平均数
2.基本不等式与最值
已知 , ，则
（1）若 （和为定值），则当______时，积 取得最大值___.
（2）若 （积为定值），则当______时，和 取得最小值_____.
记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小.
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数 的最小值是2.( )
×
（2）两个不等式 与 成立的条件是相同的.( )
×
（3） 成立的条件是 .( )
×
（4）“ 且 ”是“ ”的充要条件.( )
×
2.函数 的最大值为( )
A. B. C. D.
解析：选B. ，
当且仅当 ,即 时等号成立.
√
3.设 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
解析：选C.因为 ，所以 ,当且仅当 ,即 时等号成立，所以 的最小值为6.故选C.
√
4.（人A必修第一册 例3（2） 变条件）若把总长为 的篱笆围成
一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_______.
解析：设矩形场地的长为 ，宽为 ，则 ,所以 ，当且仅当 时取等号.
（1） .
（2） .
（3） .
【用一用】
1.函数 的最小值是( )
A. B. C. D.
解析：选B. ，当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为3.故选B.
√
2.若 , ,且 ,则 的最小值为_ _， 的最大
值为____.
解析：由基本不等式 ,可得 ,所以 ,当且
仅当 时等号成立， ,所以 ,当且
仅当 时等号成立.
核心考点 师生共研
02
考点一 利用基本不等式求最值（多维探究）
[高考考情] 利用基本不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值，是每年高考的重点内容.
角度1 配凑法求最值
例1.（1）(2023·湖北武汉模拟)当 时， 的最小值为___.
解析：因为 ,所以 ,由基本不等式得
，当且仅当
时，等号成立.因此， 的最小值为5.
（2）已知 ，则 的最大值为___.
解析：因为 ,所以 ,
，当且仅当
,即 时等号成立.
角度2 常数代换法求最值
例2.（1）已知 , , ,则 的最小值为___.
解析： ，当且仅当 时，等号成立.
（2）已知 , 为正实数，且 ，则 的最小值为__.
解析：因为 , , ,所以
，即 ，当且
仅当 ,即 , 时等号成立.
（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；
（2）把确定的定值（常数）变形为1；
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；
（4）利用基本不等式求最值.
常数代换法求最值的基本步骤
角度3 消元法求最值
例3 已知 ,且 ,则 的最大值是_______.
解析：因为 ，且 ,所以 , ,所以
,因为 ,所以
，当且仅当 时等号成立，
所以 ,
所以 的最大值为 .
消元法求最值的策略
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
【对点训练】
1.(2023·江苏连云港灌南高级中学月考)已知函数
在 时取得最小值，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选D.因为 ，故
，当且仅当 ，即 时取等号，故
, .故选D.
√
2.（多选）下列说法正确的是( )
A.若 , , ,则 的最大值为4
B.若 ,则函数 的最大值为
C.若 ,则
D.函数 的最小值为9
√
√
√
解析：选BCD.对于A，取 , ,可得 ,A错误；
对于B，因为 ，所以 ，所以
,当且仅当 时
等号成立，B正确；
对于C，因为 ,所以 ，所以
,当且仅当
,即 时取等号，故C正确；
对于D， ，当且仅当 , 时等号成立，D正确.故选BCD.
3.若 , ,且 ,则 的最大值为___, 的最小值为_ _.
2
解析：因为 , ,且 ,所以 ,所以
,当且仅当 ,即 , 时等号成立，
所以 的最大值为2.
因为 ,当且仅当
时等号成立，所以 的最小值为 .
考点二 基本不等式的综合应用（多维探究）
角度1 基本不等式与其他知识的综合
例4 已知不等式 对任意正实数 ， 恒成立，则正实
数 的最小值为( )
A. B. C. D.
√
解析：已知不等式 对任意正实数 ， 恒成立，只要求 的最小值大于或等于9，因为 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，所以 或 （舍去），所以 ，即正实数 的最小值为4，故选B.
利用基本不等式解题的策略
（1）应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式（或式子）变形,然后利用基本不等式求解；
（2）条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式后求解；
（3）求参数的值或范围：观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而求得参数的值或范围.
角度2 基本不等式的实际应用
例5 已知圆锥的母线长为2，侧面积为 ，体积为 ，则 取得最大值时圆
锥的体积为( )
A. B. C. D.
√
解析：设圆锥底面半径为 ，高为 ，由题意可得母线 ，所以圆锥的
侧面积为 ，且 ，所以圆锥的体积为
，则
，当且仅当 ，即
时，等号成立，此时
，故选D.
利用基本不等式解决实际问题的策略
（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；
（2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；
（3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.
【对点训练】
1.某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利
润 （单位：万元）与机器运转时间 （单位：年， ）的关系为
,要使年平均利润最大，则每台机器运转的时间 为
( )
A. B. C. D.
√
解析：选D.由题意得，年平均利润 ,当且仅当 ，即 时等号成立，故要使年平均利润最大，则每台机器运转的时间 为8,故选D.
2.设等差数列 的公差为 ,其前 项和是 ,若 ,则 的最
小值是_ _.
解析：因为 , ,
所以 ,当且仅当
,即 时取等号，所以 的最小值是 .