1.5-二次函数与一元二次方程、不等式-专项训练
1.已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6>0},B={x∈Z||x-2|<3},则( UA)∩B=( )
A.(-1,3]
B.[-1,3]
C.{-1,0,1,2,3}
D.{0,1,2,3}
2.已知集合A={x|(x-2)(4-x)>0},B=,则( RA)∪( RB)=( )
A.(2,3)
B.[3,4]
C.(-∞,2]∪[3,+∞)
D.(-∞,3]∪[4,+∞)
3.已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则实数k的取值范围是( )
A.[0,1]
B.(0,1]
C.(-∞,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,0]∪[1,+∞)
4.关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有2个整数,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,0]∪[2,3)
B.[-2,-1)∪(3,4]
C.(-2,-1)∪[3,4)
D.[-1,0)∪(2,3]
5.某文具店购进一批新型台灯,每盏的最低售价为15元,若每盏按最低售价销售,每天能卖出45盏,每盏售价每提高1元,日销售量将减少3盏,为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入,则这批台灯的销售单价x(单位:元)的取值范围是( )
A.(10,20) B.[15,20)
C.(18,20) D.(15,25)
6.不等式<1的解集为 .
7.不等式|x+2|+|x-2|≤4的解集是 .
8.已知当a∈[0,2]时,不等式ax2+(a+1)x+1-a<0恒成立,则x的取值范围为 .
9.已知二次函数y=ax2+bx-a+2.
(1)若关于x的不等式ax2+bx-a+2>0的解集是{x|-1
(2)若b=2,a>0,解关于x的不等式ax2+bx-a+2>0.
10.解下列关于x的不等式:
(1)≤3;
(2)ax2+(2a-1)x-2<0(a<0).
11.设集合A=,B={x|x2-7x+10≥0},则( RA)∩B=( )
A.{x|-2C.{x|x≤4或x≥5} D.{x|x≤2或x≥5}
12. x∈R,使ax2-4x+a>0成立,则实数a的取值范围是( )
A.(2,+∞)
B.(-2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,+∞)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
13.已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+的最大值是 ( )
A. B.-
C. D.-
14.已知关于x的不等式组
仅有一个整数解,则实数k的取值范围为( )
A.(-5,3)∪(4,5) B.[-5,3)∪(4,5]
C.(-5,3]∪[4,5) D.[-5,3]∪[4,5]
15.已知函数f(x)=x2-ax-1,当x∈[0,3]时,|f(x)|≤5恒成立,则实数a的取值范围为.
16.(2024苏州调研)已知关于x的一元二次不等式bx2-2x-a>0的解集为{x|x≠c}(a,b,c∈R),则(b+c≠0)的最小值是 .
17.对于问题:“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,2),解关于x的不等式ax2-bx+c>0”,给出如下一种解法:
解:由ax2+bx+c>0的解集为(-1,2),得a(-x)2+b(-x)+c>0的解集为(-2,1),即关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为(-2,1).
参考上述解法,若关于x的不等式<0的解集为,关于x的不等式<0的解集为 .
18.已知实数aA.aC.a参考答案
1.D 2.C 3.A 4.B 5.B
6.(-∞,1) 7.[-2,2] 8.(-2,-1)
9.解 (1)由题意知,-1和3是方程ax2+bx-a+2=0的两根,所以解得a=-1,b=2.
(2)当b=2时,不等式ax2+bx-a+2>0,可化为ax2+2x-a+2>0,
即(ax-a+2)(x+1)>0,又a>0,所以(x+1)>0.
当=-1,即a=1时,不等式的解集为{x|x≠-1};
当<-1,即0当>-1,即a>1时,不等式的解集为
10.解 (1)由3,得-3≤0,即0,则(5-3x)(x-1)≤0,且x≠1,解得(-∞,1)
(2)当a=-时,原不等式(x+2)<0,此时解集为{x|x≠-2};
当a<-时,原不等式 (ax-1)·(x+2)<0,又>-2,此时解集为(-∞,-2);
当-综上,当a=-时,解集为{x|x≠-2};当a<-时,解集为(-∞,-2);当-11.B 12.B 13.D 14.B
15.[1,4] 16.2
17.(-3,-1)∪(1,2)
18.A(共29张PPT)
1.5 二次函数与一元二次
方程、不等式
课标要求 考情分析
1.会结合一元二次函数的图象判断一 元二次方程根的个数，了解二次函数 零点与一元二次方程根的关系. 2.会从实际情境中抽象出一元二次不 等式. 3.能借助一元二次函数解一元二次不 等式. 考点考法：二次函数是高考必考的
知识，主要考查借助二次函数解一
元二次不等式，利用二次函数图象
解决一元二次不等式恒成立问题或
求参数的取值（范围）问题.
核心素养：数学抽象、数学运算、
逻辑推理
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
类别
的图象 _________________________________ _________________________________ _________________________________
_
类别
的根 有两个不相等的实数 根 , 有两个相等的实数 根 没有实数根
的解集 __________________ _ _ ____________ ___
的解集 _______________ ___ ___
[提醒] 对于不等式 ,求解时不要忘记 时的情形.
续表
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 为一元二次不等式.( )
×
（2）若不等式 的解集为 ，则必有 .( )
√
（3）若方程 没有实数根，则不等式
的解集为 .( )
×
（4）不等式 在 上恒成立的条件是 且
.( )
×
2.设集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
解析：选D.解不等式得 , ，所以 .
√
3.若不等式 的解集为 ，则 的值是
( )
A. B. C. D.
解析：选A.因为 ， 是方程 的两个根，所
以 解得 所以 .
√
4.（人A必修第一册 习题 变条件）不等式
的解集为_ ______________.
解析：由 ，得 ，所以不等式的解集为 .
1.分式不等式的解法
（1） .
（2）
2.两个恒成立的充要条件
（1）一元二次不等式 对任意实数 恒成立
（2）一元二次不等式 对任意实数 恒成立
【用一用】
1.已知集合 ， ，则 ( )
A. B.
C. D.
解析：选D.因为 ，所以集合 .
因为 ，则 解得 ，所以集合
.所以 .
故选D.
√
2.(2023·山东临沂模拟)若不等式 在 上恒成立，则
实数 的取值范围是__________.
解析：当 时，不等式为 ，满足题意；
当 时，需满足 解得 ，
综上可得， 的取值范围为 .
核心考点 师生共研
02
考点一 不含参数不等式的解法（自主练透）
1.不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
解析：选B. 可化为 ，解得 或
.
√
2.(2021·高考上海卷)不等式 的解集为_______.
解析： ，即 ，即 ，解得 ，因此不等式的解集为 .
3.不等式 的解集为____________________________.
解析：原不等式等价于
即
由①得 或 ；由②得 .画出数轴，如图，
可得原不等式的解集为 .
解不含参数的一元二次不等式的步骤
考点二 含参数不等式的解法（师生共研）
例1 解关于 的不等式 .
【解】 原不等式变为 ，
因为 ，所以 .
当 时，解得 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解得 .
综上，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
解含参数的一元二次不等式的步骤
（1）二次项若含有参数应讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式;
（2）判断方程根的个数，讨论判别式 与0的关系;
（3）确定方程无根时，可直接写出解集;确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集.
【对点训练】
1.关于 的不等式 的解集为 ，则满足条
件的一组有序实数对 的值可以是________________________.
（答案不唯一）
解析：由题意得， 即 ,则满足条件的一组有序实数对
的值可以是 .
2.解不等式 .
解：原不等式可化为 ，
即 ，令 ，
解得 ， .
当 时，不等式的解集为 当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 考点三 一元二次不等式恒成立问题（多维探究）
[高考考情] 含参不等式恒成立问题是数学中常见的问题，是高考中的一个难点问题.这类问题涉及一次函数、二次函数的图象和性质，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，考查学生的综合解题能力.
角度1 在R上恒成立
例2 (2023·河南联考)已知关于 的不等式 对任意
恒成立，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：当 时， 恒成立，符合题意；当 时，要使
对任意 恒成立，只需
解得 .综上， 的取值范围是 .
√
角度2 在给定区间上的恒成立问题
例3 (2023·山东济宁月考)已知函数 .若 在区间
上恒成立,则实数 的取值范围是_ _____.
解析：由题意得 ，解得 ，即 .因为
在区间 上恒成立，所以 .所
以 解得 ，即 .
恒成立问题求参数范围的解题策略
（1）弄清楚自变量、参数，一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.
（2）一元二次不等式在 上恒成立，可用判别式 ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式 ，一般分离参数求最值或分类讨论.
【对点训练】
1.若函数 的定义域为实数集 ，则实数 的取值范围
为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由题意知 在 上恒成立，即 ，
解得 ,即实数 的取值范围是 .
√
2.(2023·辽宁沈阳模拟)已知不等式 的解集为
，若对任意 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围是__________.
解析：由题设， 且 ，可得 ， ,所以
在 上恒成立，而
在 上递增，故只需 即
可，即 .