2025年高考一轮复习-4.7-正弦、余弦定理的综合应用（课件+专项训练）（含解析）

2025年高考一轮复习-4.7-正弦、余弦定理的综合应用-专项训练【原卷版】
[A级 基础达标]
1. 在相距 的 ， 两点处测量目标点 ，若 ， ，则 ， 两点之间的距离为( )
A. B. C. D.
2. 如图，两座相距 的建筑物 ， 的高度分别为 , , 为水平面，则从建筑物 的顶端 看建筑物 的张角为( )
A. B. C. D.
3.如图，小明同学为了估算某建筑物的高度，在该建筑物的正东方向找到一座建筑物 ，高为 ，在它们之间的地面上的点 （ , , 三点共线）处测得楼顶 、该建筑物顶 的仰角分别是 和 ，在楼顶 处测得该建筑物顶 的仰角为 ，则小明估算该建筑物的高度为( )
A. B. C. D.
4. 在 中，内角 的平分线与 交于点 ，若 ， ， ，则 的面积为( )
A. B. C. D.
5. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 的扇形 ， 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于 的小路 . 已知某人从 沿着 走到 用了2分钟，从 沿着 走到 用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6. 如图,为了测量两座山峰上 , 两点之间的距离,选择山坡上一段长度为 且和 , 两点在同一平面内的路段 ，以该路段的两个端点作为观测点,现测得 , ,则 , 两点间的距离为 .
7.微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台，为城市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段.如图所示，有一架无人机在空中 处进行航拍，水平地面上甲、乙两人分别在 ， 处观察该无人机（两人的身高忽略不计）， 为无人机在水平地面上的正投影.已知甲、乙两人相距 ，甲观察无人机的仰角为 ，若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度 ，则这两个角可以是 .（写出所有符合要求的编号）
① 和 ；② 和 ；③ 和 ；④ 和 .
8. 的内角 ， ， 所对的边分别为 , , ，若 ， ，且 ， 的中点为 ，则 .
9. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 , , , .
（1） 求角 的大小；
（2） 设 是 的角平分线，求证： .
[B级 综合运用]
10.三峡大瀑布是国家 级景区，峡谷内溪水常年不断，构成30多道形态各异的瀑布镶嵌于峡谷内，其中最壮观的是高102米、宽80米的三峡大瀑布.为了测量三峡大瀑布的某一处实际高度，李华同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上 点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为 ,沿山道继续走 ，抵达 点位置测得瀑布顶端的仰角为 ;已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为 ，则该瀑布此处的高度约为( )
A. B. C. D.
11. （多选）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 , , .若 ,角 的平分线交 于点 ， ， ，则以下结论正确的是( )
A. B.
C. D. 的面积为
12. 如图，在 中， 是 边上的点，且满足 ， ， ，则 的面积为 .
13.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 , , , ,则 ；若 , 为 的中点且 ，则 的面积为 .
14. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
（1） 求 的值；
（2） 若 ，点 在线段 上，且 ， ，求 的面积.
[C级 素养提升]
15. 在 中， ， ， 的平分线 的长为数列 （其中 ）的首项与第三项的等比中项，则 ( )
A. B. C. D.
16. 如图，在锐角 中， , , ，点 在边 上，且 ，点 在边 上，且 ， 交 于点 .
（1） 求 的长；
（2） 求 及 的长.
2025年高考一轮复习-4.7-正弦、余弦定理的综合应用-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 在相距 的 ， 两点处测量目标点 ，若 ， ，则 ， 两点之间的距离为( A )
A. B. C. D.
[解析]选A.如图，在 中，由已知可得 ，所以 ,所以 .
2. 如图，两座相距 的建筑物 ， 的高度分别为 , , 为水平面，则从建筑物 的顶端 看建筑物 的张角为( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.由已知， ， ，又 ，所以在 中，
由余弦定理的推论得 ，
又 ,所以 ，所以从顶端 看建筑物 的张角为 .
3.如图，小明同学为了估算某建筑物的高度，在该建筑物的正东方向找到一座建筑物 ，高为 ，在它们之间的地面上的点 （ , , 三点共线）处测得楼顶 、该建筑物顶 的仰角分别是 和 ，在楼顶 处测得该建筑物顶 的仰角为 ，则小明估算该建筑物的高度为( D )
A. B. C. D.
[解析]选D.在 中， .在 中， ， ， ，由正弦定理 ，得 ，解得 ，在 中， ，故选D.
4. 在 中，内角 的平分线与 交于点 ，若 ， ， ，则 的面积为( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.因为 在内角 的平分线上，所以 .
设 ， ，结合已知得 ，
所以 ,解得 （负值舍去），所以 .
所以 ,
则 ,
所以 .
5. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 的扇形 ， 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于 的小路 . 已知某人从 沿着 走到 用了2分钟，从 沿着 走到 用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为( B )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
[解析]选B.设该扇形的半径为 米，连接 .由题意，得 米， 米， ,在 中， ,即 ,解得 （米）.
6. 如图,为了测量两座山峰上 , 两点之间的距离,选择山坡上一段长度为 且和 , 两点在同一平面内的路段 ，以该路段的两个端点作为观测点,现测得 , ,则 , 两点间的距离为900 .
[解析]由已知,得 .又 ,所以 ,所以 .又 为公共边,所以 ,所以 .在 中, ,故 ,所以 , 两点间的距离为 .
7.微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台，为城市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段.如图所示，有一架无人机在空中 处进行航拍，水平地面上甲、乙两人分别在 ， 处观察该无人机（两人的身高忽略不计）， 为无人机在水平地面上的正投影.已知甲、乙两人相距 ，甲观察无人机的仰角为 ，若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度 ，则这两个角可以是①③④.（写出所有符合要求的编号）
① 和 ；② 和 ；③ 和 ；④ 和 .
[解析]①：当已知 和 时，在 中利用内角和定理及正弦定理可得 ，然后在 中，由三角函数定义可得 ，故①正确；
②：当已知 和 时，在 中已知一角一边，在 中已知一角一边，显然无法求解，故②错误；
③：当已知 和 时，在 中已知两角一边，可解出 ，然后在 中，由三角函数定义可得 ，故③正确；
④：当已知 和 时，可先由最小角定理求得 ，解 可得 ，最后在 中，由三角函数定义可得 ，故④正确.
8. 的内角 ， ， 所对的边分别为 , , ，若 ， ，且 ， 的中点为 ，则 .
[解析]因为 ，由正弦定理得， ,所以 .
由余弦定理得， ,
所以 .
所以 .
因为 是 的中点，所以 .
所以 .
所以 .
9. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 , , , .
（1） 求角 的大小；
[答案]解：因为 ,由正弦定理得 .
因为 ,
所以 ,
所以 .
因为 ,所以 ,所以 .
又 ,所以 .
（2） 设 是 的角平分线，求证： .
[答案]证明：因为 是 的角平分线，且 ，
所以 .
在 中， ，则由面积公式得
即 ，
两边同时除以 ,得 .
[B级 综合运用]
10.三峡大瀑布是国家 级景区，峡谷内溪水常年不断，构成30多道形态各异的瀑布镶嵌于峡谷内，其中最壮观的是高102米、宽80米的三峡大瀑布.为了测量三峡大瀑布的某一处实际高度，李华同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上 点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为 ,沿山道继续走 ，抵达 点位置测得瀑布顶端的仰角为 ;已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为 ，则该瀑布此处的高度约为( A )
A. B. C. D.
[解析]选A.根据题意作出示意图,
其中 ， , ,
设 ，则 ， ，
在 中，由余弦定理的推论得 ，
即 ,
整理得 ，解得 ，
所以该瀑布此处的高度约为 .故选A.
11. （多选）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 , , .若 ,角 的平分线交 于点 ， ， ，则以下结论正确的是( ACD )
A. B.
C. D. 的面积为
[解析]选ACD.在 中， ,根据正弦定理得 ，因为 ，所以 ,整理得 .又 ，所以 ，即 .由倍角公式得 ，解得 （负值舍去）.
对于A，在 中， ，故A正确；
对于B，在 中， ，解得 ，故B错误；
对于C，根据角平分线定理知, ，故C正确；
对于D，在 中，由 ，得 ,所以 ,故D正确.
12. 如图，在 中， 是 边上的点，且满足 ， ， ，则 的面积为 .
[解析]设 ，则 ， ， ，因为 ,所以 ,由余弦定理的推论可得 ,解得 ,故 ， ，所以 ，所以 ，所以 的面积为 .
13.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 , , , ,则 ；若 , 为 的中点且 ，则 的面积为 .
[解析]由 ,得 ,
化简得 ,即 ,由正弦定理得， ,所以 .在 中， ，且 ，所以由余弦定理可知 ,即 ,又 ,所以 ,则 ,所以 ，所以 的面积 .
14. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
（1） 求 的值；
[答案]解：由正弦定理及题意得 ,
即 ,
可得 ,
即 .
因为在 中， ，所以 .
（2） 若 ，点 在线段 上，且 ， ，求 的面积.
[答案]方法一：由 ，
可知点 为 的中点.
构造 ，如图所示，
则 ,且 ， .
在 中，利用余弦定理可得 ，
即 ，
解得 或 （舍去）.
由 得 ,
所以 的面积 .
方法二：将 两边同时平方得， .
又 ， , ,
所以 ,解得 或 （舍去）.
又 ,
所以 的面积 .
[C级 素养提升]
15. 在 中， ， ， 的平分线 的长为数列 （其中 ）的首项与第三项的等比中项，则 ( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.因为 的长为数列 的首项与第三项的等比中项，所以 ，所以 .在 中，由正弦定理 ，得 ，因为 ,所以 ， ，又 为 的平分线，所以 .又 ，所以 ，所以 为等腰三角形，由正弦定理 ,
得 ,所以 ，故选C.
16. 如图，在锐角 中， , , ，点 在边 上，且 ，点 在边 上，且 ， 交 于点 .
（1） 求 的长；
[答案]解：由题意及正弦定理可得 ,
所以 .
（2） 求 及 的长.
[答案]由 ， ,
可得 ， ，
所以 .
因为 ， ， ,
所以 , .
在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ,
所以 .
由 ，得 ，
所以 .(共47张PPT)
4.7 正弦、余弦定理的综合应用
课标要求 考情分析
能够运用正弦定理、余 弦定理等知识和方法解 决一些与测量和几何计 算有关的实际问题. 考点考法：利用正弦、余弦定理解决高度、距
离、角度问题是高考考查的一个方面，以实际问
题情景为载体考查学生应用知识解决问题的能
力，考查频率一般，试题难度中等.
核心素养：数学抽象、数学建模
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
测量中的有关术语
术语 名称 术语意义 图形表示
仰角 与俯 角 在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂平面 内）所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫 做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 _________________________________________
术语 名称 术语意义 图形表示
方位 角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向 线之间的夹角叫做方位角.方位角 的范围是 ___________________________
续表
术语名 称 术语意义 图形表示
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通 常表达为北（南）偏东（西） （1）北偏东
_________________________
（2）南偏西
___________________________
续表
术语 名称 术语意义 图形表示
坡角 与坡 比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（ 为坡 角）；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比 （坡度），即 ____________________________________
[提醒] 不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
续表
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）从 处望 处的仰角为 ,从 处望 处的俯角为 ,则 , 的关系为
.( )
×
（2）俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为 .( )
×
（3）方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位
置关系.( )
√
（4）方位角大小的范围是 ,方向角大小的范围一般是 .( )
√
2.如图所示，两座灯塔 和 与海岸观察站 的距离相
等，灯塔 在观察站南偏西 方向上，灯塔 在观察
站南偏东 方向上，则灯塔 在灯塔 的( )
A.北偏东 方向上 B.北偏西 方向上
C.南偏东 方向上 D.南偏西 方向上
解析：选D.由条件及题图可知， 为等腰三角形，所以
，又 ，所以 ，所以
，因此灯塔 在灯塔 的南偏西 方向上.故选D.
√
3.(2023·山东菏泽一中模拟)如图所示， ， ， 三点在
地面的同一条直线上， ,从 ， 两点测得 点的
仰角分别是 ， ，则 点离地面的高度 _____.

解析：由已知得 ， 为等腰三角形， ,所以在 中， .
4.（人A必修第二册 习题 变条件、变设问）
如图，小明同学在山顶 处观测到一辆汽车在一条
水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在 处测得公

路上 ， 两点的俯角分别为 ， ，且 .若山高
，汽车从 点到 点历时 ，则这辆汽车的速度为______
.
解析：由题意可知， ， ，
由余弦定理可得 ,这辆汽车的速度为 .
核心考点 师生共研
02
考点一 解三角形的实际应用（多维探究）
[高考考情] 测量距离、高度、角度等问题是解三角形实际应用中经常考查的内容，题型主要为选择题、填空题，属于中档题目.
角度1 距离问题
例1 (2023·山东烟台诊断性测试)如图，某直径为
海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛 与小岛 相
距5海里， ，则小岛 与小岛 之间的
距离为_____海里；小岛 ， ， 所形成的三角形海
域 的面积为____平方海里.

15
解析：由圆的内接四边形对角互补，得 ，
,所以
.在 中，由正弦定理得
（ 为圆形海域的半径），得 ，所以小
岛 与小岛 之间的距离为 海里.
在 中，由余弦定理得 ，整理得
，即 ，解得 （负根
舍去）.所以 ,即小岛 ， ， 所形成的三角形
海域 的面积为15平方海里.
解决距离问题的两个注意事项
（1）选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接求解；若有未知量,则把未知量放在另一个确定的三角形中求解.
（2）确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可以用,就选便于计算的定理,选定合适的三角形.
角度2 高度问题
例2 (2023·河南濮阳模拟)如图所示， ， ， 是相隔
不远的三座山峰的峰顶，地理测绘员要在 ， ， 三
点进行测量，在 点测得 点的仰角为 ， 与 的
海拔高度相差 ；在 点测得 点的仰角为 .设
， ， 在同一水平面上的射影分别为 ， ， ，
且 .则 与 两点的海拔高度差
为_____ .
360
解析：如图，作 ,由题知 ,
,
则 ，
在 中，因为 ，
所以 ，由正弦定理得
,
解得 ，
作 , ，则 ,所以 ，
所以 与 两点的海拔高度差 .
解决高度问题的关注点
（1）在处理有关高度问题时,理解仰角、俯角（在铅垂面上所成的角）、方向（位）角（在水平面上所成的角）是关键.
（2）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.
角度3 角度问题
例3 一艘游轮航行到 处时看灯塔 在 的北偏东 方向上,距离为
海里,灯塔 在 的北偏西 方向上,距离为 海里,该游轮由
沿正北方向继续航行到 处时再看灯塔 在其南偏东 方向上,则此时灯
塔 位于游轮的( )
A.正西方向 B.南偏西 方向
C.南偏西 方向 D.南偏西 方向
√
解析：如图,在 中, ,由正弦定理得
,则 .在 中,由余弦
定理得 ,因为 , ,
所以 ,由正弦定理得 ,则 ,故
或 .
因为 ,故 为锐角,所以 ，即此时灯塔 位于游
轮的南偏西 方向上.
解决角度问题的三个注意事项
（1）测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义;
（2）求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值;
（3）在解应用题时,要根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题过程中也要注意体会正弦、余弦定理综合使用的优点.
【对点训练】
1.(2021·高考全国卷乙)魏晋时期刘徽撰
写的《海岛算经》是关于测量的数学
著作，其中第一题是测量海岛的高.如
图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高
的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目
距”， 与 的差称为“表目距的差”，则海岛的高 ( )
A. 表高 B. 表高
C. 表距 D. 表距
√
解析：选A.因为 ，所以 ，所以 .因为
，所以 ，所以 .又 ，所以
.由
题设中信息可得，表目距的差为 ，表高为 ，表距为 ，则
上式可化为，表目距的差 （表距+表目距的差），所以
（表距+表目距的差） 表高，故选A.
2.一艘海轮从 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东 方向直线航
行，30分钟后到达 处，在 处有一座灯塔，海轮在 处观察灯塔，其方
向是东偏南 ；在 处观察灯塔，其方向是北偏东 ，则 ， 两点
间的距离是______海里.

解析：如图，由已知可得， ，
， ，则 .在
中，由正弦定理，得 .
考点二 平面图形中的计算问题（师生共研）
例4 (2023·贵州贵阳五校联考)如图，在圆内接 中， ，
， 所对的边分别为 , , ，且
.
（1）求 的大小；
【解】由题意知
,所以
,因为 ,所以 .
所以 ,所以 .
（2）若点 是劣弧 上一点， , , ,求线段 的长.
【解】 在 中，由余弦定理可得
，
由 ，得 ，故 .
由 ,且 为锐角，得 ,
所以 ,在 中，由正弦定理可得 ,即 ，所以 .
与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系.
具体解题思路如下：
（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理求解；
（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
[注意] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题.
【对点训练】
在① ;② ;
③ 这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中，并作答.
问题：如图，在 中， ， ，且______，点 在
的延长线上， ，求 的长.
解：选①，因为在 中， ，
所以 ,
即 ,解得 或 （舍去），
因为 ,所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以在 中，由余弦定理得
.
故AD的长为 .
选②，因为在 中， ，
所以
,得 ,
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以在 中，由余弦定理得
.
故 的长为 .
选③,因为在 中， ，
所以 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以在 中，由余弦定理得 .故 的长为 .
考点三 与三角形有关的证明问题（师生共研）
例5 (2022·高考全国卷乙)记 的内角 ， ， 的对边分别为 ，
， ，已知 .
（1）证明： ;
【解】 证明：因为 ,
所以 ,
,
,
即 .
由正弦定理得 ,
又由余弦定理的推论知 ，
所以 ,
故 .
（2）若 , ,求 的周长.
【解】 由（1）知 ,
因为 , ,
所以 .
又 ,
则 , ,
则 的周长为14.
证明与三角形有关等（不等）式的一般思路
（1）利用正、余弦定理完成边角转化.把已知条件或待证等（不等）式转化为以角为研究对象的三角等（不等）式或以边为研究对象的代数等（不等）式.
（2）充分利用三角形中的隐含条件① ；②
;③ 及三角函数的性质、三角恒
等变换等公式推导证明.
【对点训练】
(2023·广东广州综合测试) 的内角 ， ， 的对边分别为 , , ,已知
的面积为 .
（1）证明： ;
解：证明：因为 的面积为 ,
所以根据题意得 ,
因为 ,所以 ,
即 ,
得 ,
由于 ,
所以 .
由正弦定理 ,得 ,
由于 ,
所以 .
（2）若 ,求 .
解： 由（1）知, .
根据余弦定理的推论，结合 ,得 ,
得 ,
解得 ,
所以 .
考点四 三角形的中线与角平分线问题（师生共研）
例6 的内角 ， ， 的对边分别是 , , 且
.
（1）求角 的大小；
【解】因为 ,
所以 ,
即 ,因为 ，
所以 ,
又 ,所以 .
（2）若 , 为 边上一点， ，且____，求 的面积.
从① 为 的平分线；② 为 的中点；这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解】 选择①，即 为 的平分线，
因为 为 的平分线，所以 ，
又 ，所以 ,
即 ,又由余弦定理 ,
得 ,
所以 ,即 ,解得 或
（舍去），所以 .
选择②，即 为 的中点，
由 ， ， ，
所以 ,所以 ,
又由余弦定理，得 ,所以 ,
所以 .
三角形中的中线、角平分线问题的求解策略
【对点训练】
(2023·江苏苏州模拟)已知 的面积为 ， ， ，则
的中线 的长为_________.
或
解析：由题意得 ，故
或 .
①当 时， ，
故 ，
因为 ，所以 ，故
；
②当 时， ，
故 ，
在 中，由余弦定理的推论可知 ，
在 中，由余弦定理可知， ，
故 .
综上所述， 的中线 的长为 或 .