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第5课时 因式分解法
提优目标：能运用因式分解法解一元二次方程.
基础巩固
1．一元二次方程3x2＝7x的根是（ ）
A．0或 B．0 C． D．0或
2．方程x2﹣5x﹣6＝0左边化为两个一次因式的乘积为（ ）
A．（x﹣5x）（x﹣3）＝0 B．（x﹣2）（x+3）＝0
C．（x﹣1）（x+6）＝0 D．（x+1）（x﹣6）＝0
3．方程x（x﹣1）＝x的解是（ ）
A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝1
4．一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是 ．
5．用因式分解法解方程x2+px﹣6＝0，将左边分解因式后有一个因式是x+3，则p的值是 ．
6．当x＝ 时，代数式（x+1）（x﹣5）与（3x﹣1）（x+1）的值相等．
7．用因式分解法解下列方程：
（1）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0；
（2）（x+3）2＝（1﹣2x）2．
思维拓展
8．关于x的方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一个根是0，则m的值是（ ）
A．7 B．﹣3 C．1或﹣3 D．0
9．一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣9x+14＝0的根，该三角形的周长为（ ）
A．15 B．16 C．10或15 D．10或16
10．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a（a﹣b），根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为 ．
11．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，且该方程与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，则n＝ ．
12．在面积为10的平行四边形ABCD中，AB，BC是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，且AB＜BC，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，则CE+CF的值为 ．
13．用因式分解法解下列方程：
（1）（4x﹣1）（5x+7）＝0．
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．
（3）（2x+3）2＝4（2x+3）．
（4）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
14．已知2x2+3xy﹣2y2＝0（xy≠0），求的值．
15．若关于x的方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“隔根方程”．
（1）方程x2﹣x﹣20＝0是“隔根方程”吗？判断并说明理由；
（2）若关于x的方程x2﹣mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，求m的值．
16．我们学习了因式分解之后可以解某些高次方程，例如，一元二次方程x2+x﹣2＝0可以通过因式分解化为：（x﹣1）（x+2）＝0，则方程的两个解为x＝1和x＝﹣2．反之，如果x＝1是某方程ax2+bx+c＝0的一个解，则多项式ax2+bx+c必有一个因式是 （x﹣1），在理解上文的基础上，试找出多项式x3+x2﹣3x+1的一个因式，并将这个多项式因式分解．
延伸探究
17．若x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，则x1 的值为（ ）
A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或6中小学教育资源及组卷应用平台
第5课时 因式分解法
提优目标：能运用因式分解法解一元二次方程.
基础巩固
1．一元二次方程3x2＝7x的根是（ ）
A．0或 B．0 C． D．0或
【思路点拔】先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x＝0或3x﹣7＝0，然后解两个一次方程即可．
解：方程化为一般式为3x2﹣7x＝0，
x（3x﹣7）＝0，
x＝0或3x﹣7＝0，
所以x1＝0，x2．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
2．方程x2﹣5x﹣6＝0左边化为两个一次因式的乘积为（ ）
A．（x﹣5x）（x﹣3）＝0 B．（x﹣2）（x+3）＝0
C．（x﹣1）（x+6）＝0 D．（x+1）（x﹣6）＝0
【思路点拔】将左边用十字相乘法因式分解即可．
解：∵x2﹣5x﹣6＝0，
∴（x﹣6）（x+1）＝0，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3．方程x（x﹣1）＝x的解是（ ）
A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝1
【思路点拔】移项后利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
解：∵x（x﹣1）＝x，
∴x（x﹣1）﹣x＝0，
则x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
4．一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是 ．
【思路点拔】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
解：（x﹣2）（x+7）＝0，
x﹣2＝0或x+7＝0，
x1＝2，x2＝﹣7，
故答案为：x1＝2，x2＝﹣7．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
5．用因式分解法解方程x2+px﹣6＝0，将左边分解因式后有一个因式是x+3，则p的值是 ．
【思路点拔】设另一个因式为x+a，则（x+a）（x+3）＝x2+（3+a）x+3a，根据题意得出p＝3+a，﹣6＝3a，求出p、a即可．
解：设另一个因式为x+a，
则x2+px﹣6＝（x+a）（x+3）＝x2+（3+a）x+3a＝0，
∴p＝3+a，﹣6＝3a，
∴a＝﹣2，p＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了因式分解的意义，能得出p＝3+a和﹣6＝3a是解题的关键．
6．当x＝ 时，代数式（x+1）（x﹣5）与（3x﹣1）（x+1）的值相等．
【思路点拔】根据题意列出关于x的方程，利用因式分解法求解可得答案．
解：根据题意，得：（x+1）（x﹣5）＝（3x﹣1）（x+1），
∴（x+1）（x﹣5）﹣（3x﹣1）（x+1）＝0，
∴（x+1）（﹣2x﹣4）＝0，
则x+1＝0或﹣2x﹣4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣2．
∴当x＝﹣1或﹣2时，代数式（x+1）（x﹣5）与（3x﹣1）（x+1）的值相等，
故答案为：﹣1或﹣2，
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
7．用因式分解法解下列方程：
（1）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0；
（2）（x+3）2＝（1﹣2x）2．
【思路点拔】（1）把方程的左边因式分解，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）方程两边开方得出x+3＝±（1﹣2x），再求出方程的解即可．
解：（1）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+4x）＝0，
x﹣3＝0或x﹣3+4x＝0，
解得：x1＝3，x2；
（2）（x+3）2＝（1﹣2x）2，
开方得：x+3＝±（1﹣2x），
x+3＝1﹣2x或x+3＝﹣（1﹣2x），
解得：x1，x2＝4．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
思维拓展
8．关于x的方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一个根是0，则m的值是（ ）
A．7 B．﹣3 C．1或﹣3 D．0
【思路点拔】方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
解：把x＝0代入方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3＝0，得m2+2m﹣3＝0，解得m＝1或﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
注意方程与一元二次方程的区别，虽然当m＝1时m﹣1＝0，但它仍然是一个方程，故不能舍去．
9．一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣9x+14＝0的根，该三角形的周长为（ ）
A．15 B．16 C．10或15 D．10或16
【思路点拔】因式分解法解一元二次方程，结合三角形三边关系及周长求解即可得到答案．
解：解方程x2﹣9x+14＝0得，
（x﹣2）（x﹣7）＝0，
解得：x1＝2，x2＝7，
当第三边长是2时，三边为3，5，2，而2+3＝5，3，5，2不能构成三角形，舍去；
当第三边长是7时，三边为3，5，7，而5+3＞7，
∴周长为：3+5+7＝15，
故选：A．
【点评】本题考查因式分解法解一元二次方程及三角形三边关系，因式分解是关键．
10．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a（a﹣b），根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为 ．
【思路点拔】根据新定义得到（x+2）（x+2﹣5）＝0，然后利用因式分解法解方程．
解：（x+2）（x+2﹣5）＝0，
x+2＝0或x+2﹣5＝0，
所以x1＝﹣2，x2＝3．
故答案为x1＝﹣2，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
11．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，且该方程与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，则n＝ ．
【思路点拔】由a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，可得关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两个实数根为x1＝1，x2＝﹣1，由（x+2）（x﹣n）＝0，可得（x+2）（x﹣n）＝0的根为x＝﹣2或x＝n，根据ax2+bx+c＝0（a≠0）与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，即得n＝1或n＝﹣1．
解：∵同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两个实数根为x1＝1，x2＝﹣1，
∵（x+2）（x﹣n）＝0，
∴x+2＝0或x﹣n＝0，
∴（x+2）（x﹣n）＝0的根为x＝﹣2或x＝n，
∵ax2+bx+c＝0（a≠0）与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，
∴n＝1或n＝﹣1，
故答案为：1或﹣1．
【点评】本题考查解一元二次方程，涉及新定义，解题的关键是读懂“同伴方程”的定义．
12．在面积为10的平行四边形ABCD中，AB，BC是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，且AB＜BC，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，则CE+CF的值为 ．
【思路点拔】解方程求得AB＝4，BC＝5，然后根据平行四边形面积求出AE和AF，有两种情况，求出BE、DF的值，求出CE和CF的值，相加即可得出答案．
解：解方程x2﹣9x+20＝0得，x＝4或5，
∵AB，BC是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，且AB＜BC，
∴AB＝4，BC＝5，
∵平行四边形ABCD面积为10，
∴BC AE＝10，CD AF＝10，
∴5×AE＝10，4AF＝10，
∴AE＝2，AF，
∴BE2，DF，
∴CE＝5﹣2＝3，CF＝4，
∴CE+CF＝3；
如图2所示：EC＝5+2＝7，CF＝4，
∴CE+CF＝7
故答案为或．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程以及勾股定理的应用，关键是求得平行四边形的边长．
13．用因式分解法解下列方程：
（1）（4x﹣1）（5x+7）＝0．
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．
（3）（2x+3）2＝4（2x+3）．
（4）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
【思路点拔】（1）根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（3）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（4）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：（1））（4x﹣1）（5x+7）＝0，
4x﹣1＝0，5x+7＝0，
x1，x2；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x，
3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x+2）＝0，
x﹣1＝0，3x+2＝0，
x1＝1，x2；
（3）（2x+3）2＝4（2x+3），
（2x+3）2﹣4（2x+3）＝0，
（2x+3）（2x+3﹣4）＝0，
2x+3＝0，2x+3﹣4＝0，
x1，x2；
（4）2（x﹣3）2＝x2﹣9，
2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
（x﹣3）[2（x﹣3）﹣（x+3）]＝0，
x﹣3＝0，2（x﹣3）﹣（x+3）＝0，
x1＝3，x2＝9．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方程．
14．已知2x2+3xy﹣2y2＝0（xy≠0），求的值．
【思路点拔】直接利用已知分解因式，进而得出x，y之间的关系进而得出答案．
解：∵2x2+3xy﹣2y2＝0，
∴（2x﹣y）（x+2y）＝0，
则2x﹣y＝0或x+2y＝0，
则2x＝y或x＝﹣2y，
故3或．
【点评】此题主要考查了分式的值，正确得出x，y之间的关系是解题关键．
15．若关于x的方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“隔根方程”．
（1）方程x2﹣x﹣20＝0是“隔根方程”吗？判断并说明理由；
（2）若关于x的方程x2﹣mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，求m的值．
【思路点拔】（1）方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”，利用因式分解法可求出方程的根，再结合“隔根方程”的定义，即可得出方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”；
（2）利用因式分解法可求出方程的根，结合“隔根方程”的定义，即可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出m的值．
解：（1）方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”，理由如下：
∵x2﹣x﹣20＝0，即（x+4）（x﹣5）＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝5．
∵5﹣（﹣4）＝9≠2，
∴方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”．
（2）∵x2﹣mx+m﹣1＝0，即（x﹣1）[x﹣（m﹣1）]＝0，
∴x1＝1，x2＝m﹣1．
又∵关于x的方程x2﹣mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，
∴|m﹣1﹣1|＝2，
解得：m1＝0，m2＝4．
∴m的值为0或4．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及解含绝对值符号的一元一次方程，利用因式分解法求出方程的两个根是解题的关键．
16．我们学习了因式分解之后可以解某些高次方程，例如，一元二次方程x2+x﹣2＝0可以通过因式分解化为：（x﹣1）（x+2）＝0，则方程的两个解为x＝1和x＝﹣2．反之，如果x＝1是某方程ax2+bx+c＝0的一个解，则多项式ax2+bx+c必有一个因式是 （x﹣1），在理解上文的基础上，试找出多项式x3+x2﹣3x+1的一个因式，并将这个多项式因式分解．
【思路点拔】由已知得出多项式x3+x2﹣3x+1的一个因式是x﹣1，设x3+x2﹣3x+1＝（x﹣1）（x2+ax﹣1），展开后根据对应系数相等得出1＝a﹣1，﹣3＝﹣a﹣1，求出a即可．
解：∵x＝1是方程x3+x2﹣3x+1＝0的一个解，
∴多项式x3+x2﹣3x+1的一个因式是x﹣1，
设x3+x2﹣3x+1＝（x﹣1）（x2+ax﹣1），
∴x3+x2﹣3x+1＝x3+ax2﹣x2﹣ax﹣x+1＝x3+（a﹣1）x2+（﹣a﹣1）x+1，
∴1＝a﹣1，﹣3＝﹣a﹣1，
解得：a＝2，
∴x3+x2﹣3x+1＝（x﹣1）（x2+2x﹣1），
即多项式x3+x2﹣3x+1的另一个因式是x2+2x﹣1，这个多项式因式分解为x3+x2﹣3x+1＝（x﹣1）（x2+2x﹣1）．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和因式分解的应用，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目比较好，但有一定的难度．
延伸探究
17．若x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，则x1 的值为（ ）
A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或6
【思路点拔】解方程求得方程的根，然后求得x1 的值即可．
解：解方程x2+2x﹣3＝0得，x1＝﹣3，x2＝1或x1＝1，x2＝﹣3，
∴x1 3×12＝﹣3或x1 的＝1×（﹣3）2＝9，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，求得方程的根是解题的关键．
