2023-2024学年云南省曲靖市师宗县高二（下）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年云南省曲靖市师宗县高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，且，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，若是实数，则实数( )
A. B. C. D.
3.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
4.在等比数列中，，公比，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，且，则( )
A. B. C. 或 D. 或
6.从由，，，，组成的没有重复数字的两位数中任取一个，则这个两位数大于的个数是( )
A. B. C. D.
7.如图，已知圆锥的轴截面是等边三角形，底面圆的半径为，现把该圆锥打磨成一个球，则该球半径的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是( )
A. B. 为递减数列 C. D.
10.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 函数在上单调递增
B. 函数在上单调递减
C. 函数的极小值为
D. 若有个不等实根，，，则
11.设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 离心率
C. 面积的最大值为
D. 以线段为直径的圆与直线相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数满足，且是偶函数，在上有，则 ______．
13.如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件______时，有注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形
14.已知抛物线：，过的直线交抛物线于，两点，且，则直线的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．
求；
若，求的最小值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，是的中点，为等腰直角三角形，，．
求证：；
求与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
某工厂在春节期间为职工举办了趣味有奖灯谜活动，有个灯谜，编号为：，，，，个灯谜中猜对个获“小奖”，猜对个获“中奖”，猜对个获“大奖”．
小王从个灯谜中任取个作答；设选中编号为，，的灯谜的个数为随机变量，求的分布列及数学期望；
若小王猜对任一编号灯谜的概率为，求小王在猜对编号为，的灯谜的条件下，获得“中奖”的概率．
18.本小题分
已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为．
求双曲线的标准方程；
过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，在第一象限两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数的最小值；
若，求实数的取值范围．
答案解析
1.
【解析】解：全集，，
则，
又因为，
所以．
故选：．
根据已知条件，结合交集、补集的定义，即可求解．
本题主要考查交集、补集的定义，属于基础题．
2.
【解析】解：因为，则，
是实数，
则，得到．
故选：．
根据条件，利用复数的运算及复数的定义，即可求出结果．
本题主要考查复数的运算及复数的定义，属于基础题．
3.
【解析】解：对于函数，
因为的最小正周期为，
所以的最小正周期为．
故选：．
通过正切函数的周期性求解．
本题考查正切函数的周期性，属于简单题．
4.
【解析】解：在等比数列中，，公比，
则．
故选：．
由等比数列性质得，由此能求出结果．
本题考查等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.
【解析】解：向量，，且，
则，解得或．
故选：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
6.
【解析】解：因为这个两位数大于，
所以选取十位数为或，个位数不重复则在剩余的个数字里选择个，
这个两位数大于的个数为．
故选：．
数字排列问题，根据符合题意的要求选取十位数为或，个位数不重复则在剩余的个数字里选择个，即可计算结果．
本题主要考查排列组合知识，属于基础题．
7.
【解析】解：当球是圆锥的内切球时，球半径最大，
此时截面大圆为等边三角形的内切圆，
根据正三角形三心合一，可知内心即为重心，
所以圆半径为正三角形高的，即．
故选：．
易知当球半径最大时，截面大圆为等边三角形的内切圆，根据正三角形三心合一，可知内心即为重心，故内切圆的半径为高的，再计算即可．
本题考查几何体的结构特征，属于中档题．
8.
【解析】解：因为，且，
所以，
即，
解得或舍去，
所以，
所以，
所以．
故选：．
利用二倍角公式解方程，求出，再利用同角的三角函数关系求出和，即可求得．
本题考查了三角函数求值的应用问题，是基础题．
9.
【解析】解：因为，，
所以，解得，
所以，故A正确；
因为，所以为递增数列，故B错误；
由，，有，故C错误；
，故D正确．
故选：．
由已知结合等差数列的性质，通项公式及求和公式检验各选项即可判断．
本题主要考查了等数列的性质，单调性及通项公式的应用，属于基础题．
10.
【解析】解：对于，，，
令，解得，
令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，故A错误；
对于，在上，，函数在上单调递减，故B正确；
对于，，函数在上单调递增，
所以当时，取极小值，故C正确；
对于，，
故
，
根据待定系数法得，故D正确．
故选：．
根据导函数求出函数的单调性判断，选项，再求极小值判断，根据方程根求和即可得出选项．
本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
11.
【解析】解：由椭圆可知，，，，
所以左、右焦点为，，
根据椭圆的定义，故A正确；
离心率，故B错误；
所以面积的最大值为，故C错误；
由原点到直线的距离，
所以以线段为直径的圆与直线相切，故D正确；
故选：．
根据椭圆方程求得，和，根据椭圆的性质及点到直线的距离公式即可求得答案．
本题考查椭圆的简单几何性质，考查椭圆的定义，点到直线的距离公式，考查转化思想，属于基础题．
12.
【解析】解：因为函数满足，且是偶函数，在上有，
所以．
故答案为：．
由已知结合函数的奇偶性及对称性即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性及对称性在函数求值中的应用，属于基础题．
13.
【解析】解：四棱柱是直棱柱，
，若，
则平面，
，
又由，
则有，
反之，由亦可得到，
故答案为：．
根据题意，由，结合直棱柱的性质，分析底面四边形得到，进而验证即可得答案．
本题主要通过开放的形式来考查线线，线面，面面垂直关系的转化与应用．
14.
【解析】解：因为在抛物线内部，又，所以是的中点．
设，，所以，即，
又，在抛物线上，
所以，两式作差，得，
所以，
所以直线的方程为，即．
故答案为：．
根据条件可知是的中点，然后利用“点差法”可求出直线的斜率，进而可得直线的方程．
本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了“点差法”思想的应用，属于基础题．
15.解：因为在中，角，，所对的边分别为，，，
，
所以，
即，
即；
由余弦定理有，
当且仅当时取等号，
故的最小值为．
【解析】根据余弦定理结合特殊角三角函数值求角即可；
应用余弦定理结合基本不等式求值即可．
本题考查了正余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题．
16.解：证明：平面，又平面，
平面平面，
又是的中点，为等腰直角三角形，，
，且平面，
又平面平面，平面平面，
平面，又平面，
；
连接，设，
则根据题意易得，，
由知平面，又平面，
，又易证，且，
平面，
与平面所成角为，
在中，，，，
，
故与平面所成角的正弦值为．
【解析】根据面面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理，线面垂直的性质即可证明；
先证明平面，从而得与平面所成角为，再解三角形即可求解．
本题考查面面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，线面角的概念，属基础题．
17.解：由题意可知，的所有可能取值为，，，，
则，，，，
所以的分布列为：


所以；
设事件表示“小王获得“中奖””，事件表示“小王猜对编号为，的灯谜”，
则，，
所以．
【解析】由题意可知，的所有可能取值为，，，，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到的分布列，再结合期望公式求解；
利用条件概率公式求解．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了条件概率公式，属于中档题．
18.解：易知双曲线的左、右顶点分别为，，
所以，
解得，
因为点在双曲线上，
所以，
解得，
则双曲线方程为；
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
此时，
解得，
此时，
解得，
因为的重心在轴上，
所以，
所以，
代入双曲线得．
故或．

【解析】首先表示出左右顶点，由斜率公式求出，将点的坐标代入方程求出，即可得解；
设，，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由得到，即可求出，即可求出，从而求出，即可得解．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19.解：当时，令，
，令，得，
故函数的减区间为，增区间为．
可得，故当时，函数的最小值为．
由题意有，
又由函数单调递减，且，可得．
下面证明：当时，，
由函数单调递减，有，
由有，故有，
故若，则实数的取值范围为．
【解析】对求导，利用导数判断函数的单调性，从而可得函数的最小值；
由，结合函数的单调性可得，再证明当时，即可．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
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