中小学教育资源及组卷应用平台
第13章 轴对称 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 南昌县期末）视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“”不能关于某条直线成轴对称的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】，，选项中，两个字母“”关于某条直线成轴对称，而选项中，两个字母“”不能沿着直线翻折互相重合．
故选．
2．（2024春 琼海校级期末）若点与点关于轴对称，则的值是
A． B． C．1 D．2
【答案】
【解析】点与点关于轴对称，
，，
．
故选．
3．（2024 金平区二模）从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图分析可得题中所给的“”与“”成轴对称，这时的时间应是．
故选．
4．（2024春 榆阳区期末）如图，与关于所在直线对称，若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】与关于所在直线对称，
，．
，
，即，
．
故选．
5．（2024春 萧县期末）如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交于点，的周长为，，则周长为
A． B． C． D．82
【答案】
【解析】是的垂直平分线，
，，
的周长为，
，
，
，
的周长，
故选．
6．（2024春 牡丹区期末）如图，在正方形网格内，，两点都在小方格的顶点上，如果点也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】当为腰时，点的个数有2个；
当为底时，点的个数有1个，
故选．
7．（2024春 任城区校级期末）在中，，，是边上的动点（不与、重合），连接，若为等腰三角形，则的度数为
A． B． C．或 D．或
【答案】
【解析】
，，
，
，
为等腰三角形，
当时，，
；
当时，，
这时点与点重合，不符合题意，
当时，，
，
综上，的度数为或．
故选．
8．（2024春 东港市期末）等腰三角形周长为17，其中两条边长分别为和，则这个等腰三角形的腰长为
A．4或7 B．4 C．6 D．7
【答案】
【解析】，
边长只能为底边，
等腰三角形周长为17，其中两条边长分别为和，
，
，
这个等腰三角形的腰长为7，
故选．
9．（2022春 龙岗区期末）如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点，连接、、、．有如下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论个数是
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】
【解析】和是的轴对称图形，
，，，
，故①正确；
，
由翻折的性质得，，
又，
，故②正确；
，
，，
边上的高与边上的高相等，
即点到两边的距离相等，
平分，故③正确；
只有当时，，才有，故④错误；
在和中，，，，，
，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③共3个．
故选．
10．（2024春 朝阳区校级期中）已知点，，，，点，是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且，关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，，则点的坐标是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设，
点关于点的对称点为，
点为点和点的中点，
，
，
，，
，
同理可得：，，，，，．，
每6个点坐标循环一次，
，
，
每6个点坐标循环一次，
点的坐标是．
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2023秋 淮南期末）在中，，若添加一个条件使是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一个即可）
【答案】．（答案不唯一）
【解析】添加．
，，
，
是等边三角形．
故答案为：．（答案不唯一）
12．（2024春 萧县期末）已知等腰的两边长分别为3和7，则的周长为 ．
【答案】17．
【解析】由时间可得，3为底，三角形的三边为3，7，7，可以构成三角形，周长为：．
故答案为：17．
13．（2024春 东昌府区期末）若点关于轴的对称点在第三象限，则的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】第三象限内的点的横坐标，纵坐标，点关于轴的对称点坐标为，
，
解得
故答案为：．
14．（2024春 娄星区期末）如图，在中，，，点在上，，， ．
【答案】6．
【解析】，
是直角三角形，
，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：6．
15．（2023秋 潜山市期末）如图，在中，，点，，，在同一直线上，点在上，且，，若，则 ．
【答案】．
【解析】，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
故答案为：．
16．（2024春 侯马市期末）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时， ．
【答案】．
【解析】如图，作点关于、的对称点、，连接分别交、于点、，连接、、、，
由对称性知：，，，，
，
当点与点重合，点与点重合时，的周长最小；
，，
，，
，，
，
，
，
，
此时，
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
17．（2024春 子洲县校级期末）如图，在中，已知点在上，且，求证：点在的垂直平分线上．
【解析】证明：，，
，
点在的垂直平分线上．
18．（2024春 宁远县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）在图中画出关于轴对称的图形△；并写出的坐标；
（2）在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 ，此时点关于这条直线的对称点的坐标为 ；
（3）求△的面积．
【解析】（1）△即为所求作的三角形，如图所示：
点的坐标为．
（2）在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线，即轴，此时点关于这条直线的对称点的坐标为；
（3）．
答：△的面积为2.5．
19．（2024春 雁塔区校级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【解析】（1）证明：如图，连接，
是的垂直平分线，
，
，
，
为线段的中点，
；
（2）解：，，
，
，，
，
，
，为线段的中点，
，
．
20．（2024春 新泰市期末）如图，在中，是的角平分线，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接，．
（1）判断与的位置关系，并证明你所得的结论；
（2）求证：．
【解析】（1）解：，
理由：是的角平分线，
，
垂直平分，
，
，
，
；
（2）证明：垂直平分，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
．
21．（2024春 埇桥区校级期中）小华准备用一条长为29米的绳子围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么底边长是多少？
（2）若该等腰三角形其中两条边分别为和，请直接写出底边的长．
【解析】（1）设底边长为，则腰长为，
依题意，得，
解得．
答：底边长为米；
（2）两条边分别为和，
第三边，
当时，解得，
底边（米，（不能构成三角形舍去），
当时，解得，
底边（米，
当时，解得，
底边为米，
综上所述：底边的长为9米或米．
22．（2024春 榆林期末）如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，点在边上，且．
（1）求证：；
（2）试判断的形状，并说明理由．
【解析】（1）证明：，，是边上的中线，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：是等边三角形．理由如下：
垂直平分线段，，
，
，
由（1）知，
，
，，是边上的中线，
，
是等边三角形．
23．（2024春 南海区校级月考）在“平行线的证明”一章中，我们给出了八条基本事实，从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论，运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论．
（1）请证明“等腰三角形的两底角相等”，简述为“等边对等角”；
（2）请借助定理“等边对等角”解决下面问题：如图，在中，点在的延长线上，，垂足为，交于点且．求证：为等腰三角形．
【解析】（1）解：已知：中，．
求证：．
证明：过点作于点，
，，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形．
24．（2024春 乳山市期末）如图，在中，，，，点从点以的速度向点运动，同时点从点以的速度向点运动，运动时间为．
（1）当 时，为等边三角形；（直接写结果）
（2）当为何值时，为直角三角形？
【解析】（1）根据题意可得，，，
，，
，
，为等边三角形，
，
，
，
当为1时，为等边三角形．
故答案为：1．
（2）①当为直角时，，
．即，
解得．
②当为直角时，．
，即，
解得．
综上，当或时，为直角三角形．
25．（2023秋 沂水县期末）已知在中，，点是边上一点，．
（1）如图1，试说明的理由；
（2）如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．
①试说明的理由；
②如果是等腰三角形，求的度数．
【解析】（1），
，
是的一个外角，
，
，，
，
．
；
（2）①，
，
，
设，则，
，
，
；
②是的一个外角，
，
分三种情况：
当时，
，
，
，
，
；
当时，
，
，
，
，
；
当时，
，
，
不存在，
综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或．
第1页（共1页）中小学教育资源及组卷应用平台
第13章 轴对称 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 南昌县期末）视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“”不能关于某条直线成轴对称的是
A． B．
C． D．
2．（2024春 琼海校级期末）若点与点关于轴对称，则的值是
A． B． C．1 D．2
3．（2024 金平区二模）从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是
A． B． C． D．
4．（2024春 榆阳区期末）如图，与关于所在直线对称，若，则的度数为
A． B． C． D．
5．（2024春 萧县期末）如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交于点，的周长为，，则周长为
A． B． C． D．82
6．（2024春 牡丹区期末）如图，在正方形网格内，，两点都在小方格的顶点上，如果点也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024春 任城区校级期末）在中，，，是边上的动点（不与、重合），连接，若为等腰三角形，则的度数为
A． B． C．或 D．或
8．（2024春 东港市期末）等腰三角形周长为17，其中两条边长分别为和，则这个等腰三角形的腰长为
A．4或7 B．4 C．6 D．7
9．（2022春 龙岗区期末）如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点，连接、、、．有如下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论个数是
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2024春 朝阳区校级期中）已知点，，，，点，是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且，关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，，则点的坐标是
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．（2023秋 淮南期末）在中，，若添加一个条件使是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一个即可）
12．（2024春 萧县期末）已知等腰的两边长分别为3和7，则的周长为 ．
13．（2024春 东昌府区期末）若点关于轴的对称点在第三象限，则的取值范围是 ．
14．（2024春 娄星区期末）如图，在中，，，点在上，，， ．
15．（2023秋 潜山市期末）如图，在中，，点，，，在同一直线上，点在上，且，，若，则 ．
16．（2024春 侯马市期末）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时， ．
三．解答题（共9小题）
17．（2024春 子洲县校级期末）如图，在中，已知点在上，且，求证：点在的垂直平分线上．
18．（2024春 宁远县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）在图中画出关于轴对称的图形△；并写出的坐标；
（2）在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 ，此时点关于这条直线的对称点的坐标为 ；
（3）求△的面积．
19．（2024春 雁塔区校级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
20．（2024春 新泰市期末）如图，在中，是的角平分线，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接，．
（1）判断与的位置关系，并证明你所得的结论；
（2）求证：．
21．（2024春 埇桥区校级期中）小华准备用一条长为29米的绳子围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么底边长是多少？
（2）若该等腰三角形其中两条边分别为和，请直接写出底边的长．
22．（2024春 榆林期末）如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，点在边上，且．
（1）求证：；
（2）试判断的形状，并说明理由．
23．（2024春 南海区校级月考）在“平行线的证明”一章中，我们给出了八条基本事实，从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论，运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论．
（1）请证明“等腰三角形的两底角相等”，简述为“等边对等角”；
（2）请借助定理“等边对等角”解决下面问题：如图，在中，点在的延长线上，，垂足为，交于点且．求证：为等腰三角形．
24．（2024春 乳山市期末）如图，在中，，，，点从点以的速度向点运动，同时点从点以的速度向点运动，运动时间为．
（1）当 时，为等边三角形；（直接写结果）
（2）当为何值时，为直角三角形？
25．（2023秋 沂水县期末）已知在中，，点是边上一点，．
（1）如图1，试说明的理由；
（2）如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．
①试说明的理由；
②如果是等腰三角形，求的度数．
第1页（共1页）
