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一元二次方程的解法 题型专练
基础综合
题型1 用直接开平方法解一元二次方程
1．解方程：
（1）2（x﹣1）2＝18；
（2）（6﹣x）2＝128；
（3）2（x﹣1）2﹣16＝0；
（4）2+（x﹣1）2＝18．
【思路点拔】（1）（2）先把含未知数的括号项看成一个整体，并把它们的系数化为1，再利用直接开平方法得一元一次方程，求解即可；
（3）（4）先把常数项移到等号的另一边，把含未知数的括号项看成一个整体，利用直接开平方法得一元一次方程方程，求解即可．
【解答】解：（1）2（x﹣1）2＝18，
∴（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3．
∴x＝1±3．
∴x1＝4，x2＝﹣2；
（2）（6﹣x）2＝128，
∴（6﹣x）2＝128．
∴6﹣x＝±8，
∴x＝6±8．
∴x1＝6+8，x2＝6﹣8；
（3）2（x﹣1）2﹣16＝0，
∴2（x﹣1）2＝16，
∴（x﹣1）2＝8，
∴x﹣1＝±2．
∴x1＝1+2，x2＝1﹣2；
（4）2+（x﹣1）2＝18，
∴（x﹣1）2＝18﹣2，
即（x﹣1）2＝16，
∴x﹣1＝±4，
∴x1＝5，x2＝﹣3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程，掌握直接开平方法是解决本题的关键．
题型2 用配方法解一元二次方程
2．解方程：
（1）4x2+4x﹣1＝0；
（2）6x2﹣x﹣12＝0；
（3）3x2+4＝6x；
（4）2x2﹣7x+3＝0；
（5）y2y﹣2＝0．
【思路点拔】（1）（2）（4）（5）先把常数项移到等号的另一边，再利用等式的性质把二次项系数化为1，等号的两边都加上一次项系数一半的平方，等号左边得完全平方式，最后利用直接开平方法求解．
（3）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）4x2+4x﹣1＝0，
移项，得4x2+4x＝1，
二次项系数化为1，得x2+x，
配方，得x2+x，
∴（x）2，
∴x．
∴x±．
∴x1，x2．
（2）6x2﹣x﹣12＝0，
移项，得6x2﹣x＝12，
二次项系数化为1，得x2x＝2，
配方，得x2x2，
∴（x）2．
∴x．
∴x±．
∴x1，x2．
（3）3x2+4＝6x，
移项，得3x2﹣6x＝﹣4，
二次项系数化为1，得x2﹣2x，
配方，得x2﹣2x+11，
∴（x﹣1）2．
∵（x﹣1）2≥0，0，
∴原方程无实数解．
（4）2x2﹣7x+3＝0，
移项，得2x2﹣7x＝﹣3，
二次项系数化为1，得x2x，
配方，得x2x，
∴（x）2，
∴x±．
∴x±．
∴x1＝3，x2．
（5）y2y﹣2＝0，
移项，得y2y＝2，
二次项系数化为1，得y2y＝3，
配方，得y2y3，
∴（y）2，
∴y±．
∴y±．
∴y1，y2＝﹣2..
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法求解一元二次方程的一般步骤是解决本题的关键．
题型3 用公式法解一元二次方程
3．解下列方程：
（1）2x2+x﹣6＝0；
（2）x2+4x＝2；
（3）5x2﹣4x﹣12＝0；
（4）4x2+4x+10＝1﹣8x．
【思路点拔】将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，判断b2﹣4ac的值是否大于0，若大于0，则x，由此即可得到答案．
【解答】解：（1）a＝2，b＝1，c＝﹣6，
∴b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣6）＝49＞0，
∴，
∴x，
则x1＝﹣2，x2．
（2）将方程化为一般形式，
得x2+4x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝﹣2，
∴b2﹣4ac＝42﹣4×（﹣2）×1＝24＞0，
∴x2±，
即x1＝﹣2，x2＝﹣2．
（3）a＝5，b＝﹣4，c＝﹣12，
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣12）＝256＞0，
∴x，
∴x1＝2，x2．
（4）将方程化为一般形式4x2+12x+9＝0，
∵a＝4，b＝12，c＝9，
∴122﹣4×4×9＝0，
∴x，
x1＝x2．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握利用公式法解方程的步骤，属于中考常考题型．
题型4 用因式分解法解一元二次方程
4．用因式分解法解一元二次方程：
（1）3x2＝2x；
（2）3x（x+2）﹣5（x+2）＝0；
（3）（x+3）（x﹣2）＝﹣6；
（4）（2x﹣1）2﹣3（2x﹣1）＝0．
【思路点拔】（1）先将方程右边化为0，再将方程左边进行因式分解，进而求解；
（2）先将方程右边化为0，再将方程左边进行因式分解，进而求解；
（3）先将方程右边化为0，再将方程左边进行因式分解，进而求解；
（4）提公因式因式分解即可．
【解答】解：（1）∵3x2＝2x，
∴3x2﹣2x＝0，
∴x（3x﹣2）＝0，
∴x＝0或3x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2；
（2）∵3x（x+2）﹣5（x+2）＝0，
∴（x+2）（3x﹣5）＝0，
∴x+2＝0或3x﹣5＝0，
∴x1＝﹣2，x2；
（3）整理，得x2+x＝0，
∴x（x+1）＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1；
（4）提取公因式，得（2x﹣1）（2x﹣1﹣3）＝0，
∴2x﹣1＝0或2x﹣4＝0，
∴x1，x2＝2．
【点评】本题主要考查了运用因式分解法求解一元二次方程，回顾一下，运用因式分解法求解一元二次方程的方法．
5．用适当的方法解一元二次方程：
（1）（x﹣1）（x+2）＝2x+4；
（2）x2﹣2x﹣3599＝0；
（3）3x2+10x+3＝0；
（4）（x+1）2﹣3（x+1）+2＝0．
【思路点拔】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据配方法解一元二次方程即可；
（3）根据公式法解一元二次方程即可；
（4）根据因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣1）（x+2）＝2x+4，
∴（x﹣1）（x+2）﹣2（x+2）＝0，
∴（x+2）（x﹣1﹣2）＝0，
∴x+2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝3；
（2）x2﹣2x﹣3599＝0，
x2﹣2x+1＝3600，
∴（x﹣1）2＝3600，
∴x﹣1＝±60，
∴x1＝61，x2＝﹣59；
（3）3x2+10x+3＝0，
∵a＝3，b＝10，c＝3，
∴b2﹣4ac＝100﹣4×3×3＝64＞0，
∴x，
∴x1＝﹣3，x2；
（4）（x+1）2﹣3（x+1）+2＝0，
∴（x+1﹣2）（x+1﹣1）＝0，
∴x﹣1＝0或x＝0，
∴x1＝1，x2＝0．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
思维拓展
6．解方程：
（1）9（x﹣1）2＝16（x+2）2；
（2）4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0．
【思路点拔】（1）先利用因式分解法把方程转化为3（x﹣1）+4（x+2）＝0或3（x﹣1）﹣4（x+2）＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先利用因式分解法把方程转化为2（x+1）+3（x﹣2）＝0或2（x+1）﹣3（x﹣2）＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）9（x﹣1）2＝16（x+2）2，
9（x﹣1）2﹣16（x+2）2＝0，
[3（x﹣1）+4（x+2）][3（x﹣1）﹣4（x+2）]＝0，
3（x﹣1）+4（x+2）＝0或3（x﹣1）﹣4（x+2）＝0，
所以x1，x2＝11；
（2）4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0，
[2（x+1）+3（x﹣2）][2（x+1）﹣3（x﹣2）]＝0，
2（x+1）+3（x﹣2）＝0或2（x+1）﹣3（x﹣2）＝0，
所以x1，x2＝8．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
7．解方程．
（1）9x2+6x+1＝0；
（2）（x﹣1）（x+2）＝70；
（3）（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0；
（4）（x+1）2﹣3x（x+1）+2＝0；
（5）（x﹣1）2＝（2x+3）2．
【思路点拔】（1）利用配方法解方程；
（2）先把方程整理为一般式，然后利用因式分解法解方程；
（3）利用因式分解法解方程；
（4）先把方程整理为一般式，然后利用因式分解法解方程；
（5）先移项得到（x﹣1）2﹣（2x+3）2＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（3x+1）2＝0，
所以x1＝x2；
（2）x2+x﹣72＝0，
（x+9）（x﹣8）＝0，
x+9＝0或x﹣8＝0，
所以x1＝﹣9，x2＝8；
（3）（x﹣1）（x﹣1+2x）＝0，
x﹣1＝0或x﹣1+2x＝0，
所以x1＝1，x2；
（4）方程整理为2x2+x﹣3＝0，
（2x+3）（x﹣1）＝0，
2x+3＝0或x﹣1＝0，
所以x1，x2＝1；
（5）（x﹣1）2﹣（2x+3）2＝0，
（x﹣1+2x+3）（x﹣1﹣2x﹣3）＝0，
x﹣1+2x+3＝0或x﹣1﹣2x﹣3＝0，
所以x1，x2＝﹣4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．
8．用适当的方法解下列方程：
（1）2x2﹣5x+2＝0
（2）16（x+5）2﹣8（x+5）＝0
（3）x2+4x﹣1＝0
（4）（x+1）（x+2）＝2x+4
（5）
（6）已知x为实数，且（x2+3x）＝2，求x2+3x的值．
【思路点拔】（1）将方程左右两边同时除以2变形，且常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；
（2）等式的左边利用提取公因式8（x+5）进行因式分解；
（3）首先把方程移项变形为x2+4x＝1的形式，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解；
（4）先将方程右边分解因式，得（x+1）（x+2）＝2（x+2），再移项，使方程右边为0，然后将左边分解因式，即可求解；
（5）设y，则原方程转化为关于y的分式方程，通过解新的分式方程求得y的值，然后解关于x的分式方程；
（6）设t＝x2+3x，则原方程转化为关于t的分式方程，通过解新的分式方程求得t的值．
【解答】解：（1）2x2﹣5x+2＝0，
变形得：x2x＝﹣1，
配方得：x2x，即（x）2，
开方得：x±，
则x1＝2，x2；
（2）16（x+5）2﹣8（x+5）＝0，
8（x+5）（2x+10﹣1）＝0，即8（x+5）（2x+9）＝0，
所以x+5＝0或2x+9＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝﹣4.5；
（3）x2+4x﹣1＝0，
移项得，x2+4x＝1，
配方得，x2+4x+4＝1+4，
（x+2）2＝5，
开方得，x+2＝±，解得，x1＝﹣2，x2＝﹣2；
（4）（x+1）（x+2）＝2x+4，
（x+1）（x+2）﹣2（x+2）＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
则（x+2）＝0或（x﹣1）＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1；
（5），
设y，则
y，
整理，得
（y﹣2）（2y﹣1）＝0，
解得y＝2或y．
经检验y＝2、y都是原方程的根．
当y＝2时，2，解得：x＝﹣1；
当y时，，解得：x＝2；
经检验x＝﹣1、x＝2都是原方程的根．
所以原方程的解为：x1＝﹣1，x2＝2；
（6）设t＝x2+3x，则t＝2，
整理，得（t﹣1）（t+3）＝0，
解得t＝1或t＝﹣3．
经检验，t＝1或t＝﹣3都是原方程的根．
当t＝﹣3时，x2+3x＝﹣3，即x2+3x+3＝0，此时△＝9﹣12＝﹣3＜0，无解，
即x2+3x的值是1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．中小学教育资源及组卷应用平台
阶段巩固检测（21.2）
基础综合
题型1 用直接开平方法解一元二次方程
1．解方程：
（1）2（x﹣1）2＝18；
（2）（6﹣x）2＝128；
（3）2（x﹣1）2﹣16＝0；
（4）2+（x﹣1）2＝18．
题型2 用配方法解一元二次方程
2．解方程：
（1）4x2+4x﹣1＝0；
（2）6x2﹣x﹣12＝0；
（3）3x2+4＝6x；
（4）2x2﹣7x+3＝0；
（5）y2y﹣2＝0．
题型3 用公式法解一元二次方程
3．解下列方程：
（1）2x2+x﹣6＝0；
（2）x2+4x＝2；
（3）5x2﹣4x﹣12＝0；
（4）4x2+4x+10＝1﹣8x．
题型4 用因式分解法解一元二次方程
4．用因式分解法解一元二次方程：
（1）3x2＝2x；
（2）3x（x+2）﹣5（x+2）＝0；
（3）（x+3）（x﹣2）＝﹣6；
（4）（2x﹣1）2﹣3（2x﹣1）＝0．
5．用适当的方法解一元二次方程：
（1）（x﹣1）（x+2）＝2x+4；
（2）x2﹣2x﹣3599＝0；
（3）3x2+10x+3＝0；
（4）（x+1）2﹣3（x+1）+2＝0．
思维拓展
6．解方程：
（1）9（x﹣1）2＝16（x+2）2；
（2）4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0．
7．解方程．
（1）9x2+6x+1＝0；
（2）（x﹣1）（x+2）＝70；
（3）（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0；
（4）（x+1）2﹣3x（x+1）+2＝0；
（5）（x﹣1）2＝（2x+3）2．
8．用适当的方法解下列方程：
（1）2x2﹣5x+2＝0
（2）16（x+5）2﹣8（x+5）＝0
（3）x2+4x﹣1＝0
（4）（x+1）（x+2）＝2x+4
（5）
（6）已知x为实数，且（x2+3x）＝2，求x2+3x的值．
