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2024-2025（上）8月月度质量监测暨第零次诊断测试
高 三 数 学
本试卷满分150分 考试时间120分钟
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，.则的子集共有
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．已知复数，则
A． B． C．2 D．
3．椭圆的焦点的坐标为
A．，
B．，
C．
D．，
4．把14个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为
A．36
B．45
C．72
D．165
5．下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是
A．
B．
C．
D．
6．若函数为R上的奇函数，且当时，，则
A．
B．
C．
D．
7．已知数列满足，，则数列的前100项的和是
A．
B．
C．
D．
8．声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数．若某声音对应的函数可近似为，则下列叙述正确的是
A．为的对称轴
B．为的对称中心
C．在区间上有3个零点
D．在区间上单调递增
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．给出下列说法，其中正确的是
A．数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6
B．已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20
C．已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一
D．已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则
10．已知直线经过抛物线的焦点，且与交于A，B两点，以线段为直径的与的准线相切于点，则
A．直线的方程为
B．点的坐标为
C．的周长为
D．直线与相切
11．已知函数，是自然对数的底数，则
A．
B．
C．若，则
D．，且，则
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15 分）
12．若为锐角，，则 .
13．若向量，，则在上的投影向量为 ．
14．在三棱锥中，已知，，，平面平面，且，则以下结论正确的是 （填序号）．
①
②平面平面
③三棱锥的体积为
④三棱锥的外接球的表面积为
四、解答题（本大题共5小题，共 77 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率．
(1)恰有两名同学拿对了书包；
(2)至少有两名同学拿对了书包；
(3)书包都拿错了．
16．如图，是圆的直径，点是圆上的点，过点的直线VC垂直于圆所在平面，分别是的中点.
求证：
(1)平面；
(2)平面.
17．已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)若直线与曲线相切，求实数的值.
18．已知双曲线C与双曲线 有相同的渐近线，且过点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且，于点G，证明:存在定点H，使为定值.
19．记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令
（1）若，请写出的值；
（2）求证:“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充要条件；
（3）若 ，求证:存在，使得，有.2024-2025（上）8月月度质量监测暨第零次诊断测试
高 三 数 学 参考答案及解析
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D A D B B D A D ACD AC ABD
1．
【详解】因为集合，，
所以，
所以集合的子集为，共四个.
2．
【详解】由，可得，
3.
【详解】在椭圆中，，，则，
易知该椭圆的焦点在轴上，因此，椭圆的焦点的坐标为，.
4．
【详解】解：根据题意，先在14个球种取出1个球放到编号为2的盒子里，再取出2个球放在编号为3的盒子里，
此时只需将剩下的11个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里即可；
将11个球排成一列，排好后，有10个空位，
在10个空位中任取2个，插入挡板，有种方法，即有45种将11个球分为3组的方法，
将分好的3组对应3个盒子，即可满足盒内的球数不小于盒号数，
则盒内的球数不小于盒号数的放入方法有45种，
5．
【详解】
如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为，则，，解得，
，，
设上底面面积为，下底面面积为，
则体积为.
6．
【详解】因为函数为R上的奇函数，所以，
又当时，，所以，
所以，
故选：D.
7．
【详解】，，且，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，
即，
.
8．
【详解】对于A，由已知得，即，故不关于对称，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，利用二倍角公式知，令得或，即，所以该函数在区间内有4个零点，故C错误；
对于D，求导，令，由，知，即，利用二次函数性质知，即，可知在区间上单调递增，故D正确；
9．
【详解】对于A，极差为，中位数为，所以极差与中位数之积为，A对；
对于B，根据方差的性质可知，数据的方差是，B错；
对于C，由方差，
可得，即此组数据众数唯一，C对；
对于D，，
，D对.
10．
【详解】A选项，依题意，抛物线的准线方程为，即，所以，
即抛物线的方程为，则抛物线的焦点为.
设直线的方程为，，，
联立消去整理得恒成立，
则，
则，，
又因为线段为的直径，与的准线相切于点，
所以
，
整理得，
即，
即，解得，所以直线的方程为，所以A正确；
B选项，因为垂直于准线，且，所以点的纵坐标为，
代入直线的方程，即，解得，
可得点，所以B错误；
C选项，根据抛物线的定义可得，所以的半径为，
所以的周长为，所以C选项正确；
D选项，圆心到直线的距离为，
所以直线与相交，不相切，所以D错误.
11．
【详解】对于A，由题意得，则 ，
当 时，，递增 ，当 时，，递减，
由于，所以，即，
整理得，即，所以，故正确；
对于B，由于，由于当 时，递减，故 ，
即，即，
因为 ，
故，即，
综上，，故B正确；
对于C，因为，即，即，
设 ，由于当 时，递增 ，当 时， 递减，
故单调减函数，故，即，
由于，不妨设， 则 ，即，故C错误；
对任意两个正实数，且，若，不妨设 ，
即，设，则，
则，，
分析法知：要证目标不等式只需
，
设 令 ，则，
即为单调增函数，故，
即成立，故，所以，即，故D正确，
12．/
【详解】因为为锐角，
所以，则.
13．
【详解】因为，，
所以
在上的投影向量为，
14．①②③④
【详解】解：因为，，
所以，
所以，
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，，
又平面，所以平面平面，所以①②正确；
进一步三棱锥的体积为，所以③正确；
设三角形的外心为，过作平面，
则三角形的外接圆的半径为，
设为三棱锥外接球的球心，
则，，所以，
所以，解得，
所以外接球的半径为，
所以三棱锥的外接球的表面积为，所以④正确．
15．(1)；(2)；(3)
【详解】（1）设4名同学的书包分别为A，B，C，D，4名同学拿书包的所有可能可表示为
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
共有24种情况．
恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，分别为
，，，，，，
故其概率为．
（2）至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，分别为
，，，，，，，
故其概率为．
（3）书包都拿错了包含9个样本点，分别为
，，，，，，
，，，
故其概率为．
16．（1）证明：因为为的中点，可得，
又因为平面，平面，
根据线面平行的判定定理，可得平面.
（2）证明：因为为的直径，点是上的点，所以，
又因为垂直于所在的平面，且在所在的平面内，所以，
又由且平面，所以平面，
又因为，所以平面.
17．(1)极大值为；极小值为；(2).
【详解】（1）当时，，
则定义域为，；
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减；
的极大值为；极小值为.
（2）假设与相切于点，
，
，即，
又，
，即；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，即有唯一解：，
，解得：.
18．(1)；(2)证明见解析.
【详解】（1）依题意，设双曲线C的方程为，而点在双曲线C上，
于是，双曲线C的方程为，即，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为：，设，
由消去y并整理得，
有，且，即且，
有，又，
，由，得，
整理得，
于是，化简得，
即，解得或，均满足条件，
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线的方程为，直线过定点；
当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设直线的方程为：，
由解得或，因此点的横坐标有，即直线过定点，
综上得直线过定点，
由于，即点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，
所以存在定点，使为定值.
19．（1），，，； （2）见解析； (3)见解析.
【详解】（1）因为，所以，，，
所以，，，
（2）（必要性）当数列是等差数列时，设其公差为d
当时，，所以，所以，，
当，，所以，所以，
当是，，所以，所以，
综上，总有
所以 ，所以数列是等差数列
（充分性）当数列是等差数列时，设其公差为
因为，
根据，的定义，有以下结论：
，，且两个不等式中至少有个取等号
当，则必有，所以，
所以是一个单调递增数列，所以，，
所以
所以，即为等差数列
当时，则必有，所以
所以是一个单调递减数列，所以，，
所以
所以，即为等差数列
当，
因为，中必有一个为0，
根据上式，一个为0，则另一个亦为0，
所以，，所以为常数数列，所以为等差数列
综上，结论得证.
（3）假设结论不成立.
因为，即或者，
所以对任意，一定存在，使得，符号相反
所以在数列中存在，，，……，，……，其中
且 ，
，
因为，即，
注意，，且有且仅有一个等号成立，
所以必有 ，
所以，所以
因为，所以，所以
所以
所以
所以
……
所以
所以
所以，
这与矛盾，所以假设错误，
所以存在，使得，有.
注：具体评分变更信息（分值、答案等）请阅卷教师关注阅卷群。
