浙江省“山海联盟”2024年初中学业水平考试6月联考数学试卷
1．（2024·浙江模拟）对称美是我国古代平衡思想的体现，常用于标识的设计上，使对称美惊艳了千年时光．下列校徽图标不属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：由题意得不是轴对称图形，其余选项里面的图形都是轴对称图形，
故答案为：B
【分析】根据轴对称图形的定义结合题意对选项逐一判断，进而即可求解。
2．（2024·浙江模拟）中国空间站离地球的远地点距离约为，其中数字347000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得数字347000用科学记数法可表示为，
故答案为：C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
3．（2024·浙江模拟）一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得该一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限
故答案为：C
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系结合一次函数的解析式即可得到该一次函数图象经过第一、二、四象限，从而即可求解.
4．（2024·浙江模拟）在一次评比中，甲同学的面试成绩为84分，笔试成绩为92分，若分别赋予笔试、面试成绩的权为2：3，则计算甲同学的平均分正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得计算甲同学的平均分为
故答案为：D
【分析】根据加权平均数的计算方法结合题意进行计算即可求解.
5．（2024·浙江模拟）不等式组的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得
解①得x≤3，
解②得x＞-2，
∴不等式组的解集为-2＜x≤3，
∴在数轴上表示为：
故答案为：D
【分析】根据题意解不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集，再表示在数轴上即可求解。
6．（2024·浙江模拟）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示：
密文 … 8 …
明文 … 我 爱 中 华 大 地 …
把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ）
A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意得，
∴把密文用因式分解解码后，明文可能是我爱中大，
故答案为：D
【分析】根据题意运用提公因式法和公式法因式分解，进而即可求解。
7．（2024·浙江模拟）如图，两个同心圆的半径分别为15和12，大圆的一条弦有一半在小圆内，则这条弦落在小圆内部分的弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：记弦与圆的交点分别为，连接，过作于，如图所示：
∴，，
∵大圆的一条弦有一半在小圆内，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
故答案为：D
【分析】记弦与圆的交点分别为，连接，过作于，根据垂径定理得到，，进而根据勾股定理结合题意即可得到，从而即可求出BC，再结合题意即可求解。
8．（2024·浙江模拟）下表是一个二次函数的自变量与函数值的4组对应值：
… -1 1 2 4 …
… -7 3 5 3 …
则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向上
B．函数图象与轴无交点
C．函数的最大值为5
D．当时，的值随值的增大而减小
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为，
将，，代入函数解析式得：，
解得，
∴二次函数解析式为，
∴函数图象的开口向下，A不符合题意；
令，则，
∵，
∴函数图象与轴有交点，B不符合题意；
∵，
∴函数的最大值为，C不符合题意；
∴当时，的值随值的增大而减小，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据待定系数法结合题意求二次函数的解析式，进而即可得到开口判断A；根据二次函数与坐标轴的交点问题结合一元二次方程根的判别式即可判断B；根据二次函数的最值结合题意即可判断C；根据二次函数的性质即可判断D.
9．（2024·浙江模拟）如图，是等边三角形ABC的边AC上一点，作于点，若，，则CD的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：过点作，使 ，作，交延长线于点，如图所示：
，
，
是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
设，
，
∵
则
，
，
，
，
，
故答案为：C
【分析】过点作，使 ，作，交延长线于点，根据等边三角形的判定与性质结合题意等量代换得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，再结合题意进行角的运算得到，，设，根据含30°角的直角三角形的性质得到，从而结合正弦函数得到CF，根据相似三角形的判定与性质证明得到，代入数值化简即可求解。
10．（2024·浙江模拟）已知二次函数的图象经过点，点的横坐标为，当时，总有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵，
，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴是直线，
∴当时，取得最小值，
∵当时，总有，
∴，
若，则当时，，
即有，
解得：；
若，则当时，，
即有
解得：，不合题意，
∴这种情况不存在，
综上所述，当时，总有，则．
故答案为：D
【分析】先根据题意将二次函数转化为顶点式，进而即可得到抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴是直线，当时，y取得最小值，再根据“当时，总有”结合二次函数的对称性分类讨论∶若时，若时，分别求出m即可求解。
11．（2024·浙江模拟）计算： ．
【答案】-8
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】，
故答案为：-8.
【分析】先利用有理数的乘方化简，再计算即可.
12．（2024·浙江模拟）现有六张背面完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，把这六张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上，任意抽取一张卡片，抽取的卡片的数字为奇数的概率为
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算；奇数与偶数的认识
【解析】【解答】解：由题意得奇数有1，3，5，
∴抽取的卡片的数字为奇数的概率为，
故答案为：
【分析】先根据奇数的定义得到奇数有1，3，5，进而根据简单事件的概率结合题意即可求解。
13．（2024·浙江模拟）如图是一个矩形木框，若在点A，C处钉一根木条用来加固，则木条的长至少是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形木框，
∴∠B=90°，
由勾股定理得，
故答案为：
【分析】先根据矩形的性质得到∠B=90°，进而根据勾股定理求出AC即可求解。
14．（2024·浙江模拟）已知关于的一元二次方程有两个不同的解，其中一个解是，则该方程的另一个解是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：有两个不同的解，
设另一个解是，
，
，
，
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合题意得到，进而化简即可得到x2.
15．（2024·浙江模拟）毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金比．已知顶角为的等腰三角形的底边上的高线为，腰上的高线为，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；黄金分割
【解析】【解答】解：如图，是等腰三角形，，，，，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，即，，即，
解得，，
由勾股定理得，，即；
，即，
∴，
∴或（舍去），
故答案为：
【分析】如图，是等腰三角形，，，，，，， 根据等腰三角形的性质得到，，，进而即可得到，再根据黄金比得到，设，则，再结合题意代入即可得到，，进而根据勾股定理即可得到，即；
，即，从而相比化简即可求解。
16．（2024·浙江模拟）如图是直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，为的中点，AP与BC相交于点，则点到直线AB的距离等于 .
【答案】
【知识点】垂径定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解∶过、作，于、，连接，如图所示：
∵直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵为的中点，是半圆的半径，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，即，
解得，
故答案为：
【分析】过、作，于、，连接，根据直径得到，进而根据正弦函数得到CM，再根据勾股定理得到OM，从而得到BM，再根据垂径定理得到，进而根据平行线的判定与性质得到，，从而根据相似三角形的判定与性质证明得到，即，再结合题意得到，从而即可得到，同理可得，，，即，代入数值化简即可求解。
17．（2024·浙江模拟）小孙同学化简分式，解答过程如下：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
你认为小孙的解答过程是否正确 如果不正确，请指出是从第几步开始出错的，并写出此题正确的解答过程.
【答案】解：小孙的解 过程不正确，他是从第一步开始出错的．
正确解答过程如下：
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】根据分式的混合运算结合题意化简，进而即可求解。
18．（2024·浙江模拟）某数学学习小组计划制作一个款式如图1所示的风筝.图2是其示意图，已知两条侧翼AB，AC的长均为，夹角为平分，求B，C两点间的距离.（参考数据：）
【答案】解：如题，AD与BC相交于点．
平分．
，
，
．
答：B，C两点间的距席约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
19．（2024·浙江模拟）若以50千克为基准，超过基准的千克数记为正数，不足基准的千克数记为负数.称量6筐水果的重量，甲组为实际称量数据，乙组为记录数据，如下表所示（单位：千克）：
1 2 3 4 5 6
甲 48 52 47 49 53 54
乙 -2 2 -3 -1 3 4
（1）将乙组数据画成折线图.
（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为，，写出与之间的关系式．
②甲，乙两组数据的方差分别为，比较的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）解：如答图所示．
（2）解：①．
②．理由如下：
代入，得到
.
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）根据题意画出折线统计图即可求解；
（2）①根据平均数的定义结合题意即可求解；
②根据方差的定义结合题意进行计算即可求解。
20．（2024·浙江模拟）在中国古代数学著作《周髀算经》中就对勾股定理和勾股数有过一定的描述，所谓勾股数一般是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，观察下面的表格中的勾股数：
a b c
… … …
（1）当时， ， .
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）．
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】（1）60；61
（2）解：
（3）解：
．结论成立．
【知识点】整式的混合运算；勾股数
【解析】【解答】解：（1），
，
，
故答案为：60，61
【分析】（1）根据表格的数据结合题意即可求解；
（2）根据表格得到即可求解；
（3）根据勾股定理的逆定理结合题意即可求解。
21．（2024·浙江模拟）在项目化学习中，甲、乙两小组分别利用函数知识研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为克、克，与的几组对应值如下表：
0 5 10 15 20
25 23.5 20 14.5 7
25 20 15 10 5
（1）根据上表中各组对应值，在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象．
（2）在你所学的一次函数、二次函数及反比例函数中，请选择合适的函数来反映与的变化规律，说明你选择的理由，严分别求出的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）．
（3）在上述实验中，当实验时间为多少分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质在之在达到度大 最大为多少克
【答案】（1）解：函数的图象如答图所示．
（2）解：由图可知、函数的图象是抛物线的一部分．所以是关于的二次函数，
函数的图象是直线的一部分，所以是关于的一次函数．
由题意可设．把点（10.20）和点（20.7）分别代入，得
解得
；
设．把点和点（5.20）分别代入．得
解得
．
（3）解：，
当时，取最大值，设最大值为．
答：当实验时间为分钟时．甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大.最大为克.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意描点画图即可求解；
（2）根据图形得到是关于的二次函数，函数的图象是直线的一部分，所以是关于的一次函数，进而根据待定系数法即可求解；
（3）根据题意得到，再根据二次函数的最值即可求解。
22．（2024·浙江模拟）如图，在中，，点E，F分别在BA，CB的延长线上，连结DF，EF，若．
（1）求证：．
（2）若，求BE的长.
【答案】（1）解：四边形ABCD是平行四边形。
．
．
．
又，
．
（2）解：如答图，在DB延长线上截取．连结FG.
由（1）可知，.
四边形ABCD是平行四边形．
是等边三角形．
是等边三角形，
．
．
又．
．
．
．
．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，进而根据等腰三角形的性质得到，再结合题意进行角的运算即可求解；
（2）在DB延长线上截取，连结FG，由（1）可知，，根据平行四边形的性质得到，进而根据等边三角形的判定与性质得到，等量代换即可得到，再结合题意根据三角形全等的判定与性质证明得到，最后进行线段的运算即可求解。
23．（2024·浙江模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数.
（1）若a为整数，二次函数图象过点（其中是正整数），求抛物线的对称轴．
（2）若为抛物线上两个不同的点．
①当时，，求的值．
②若对于，都有，求的取值范围．
【答案】（1）解：代入（n.0），
得an2-（a+1）n=0，
解得．
是正整数，为整数。
（舍去），．则．
对称怞为直线．
（2）解：①时，．
两点关于抛物线的对称轴对称．
则对称轴为直线，
.
②由题意可知，对于任意的随的增大而增大.可得
解得.
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据题意将点代入求出n，从而即可求解；
（2）①先根据二次函数的对称性得到两点关于抛物线的对称轴对称，则对称轴为直线，从而即可得到a；
②根据二次函数的图象与性质得到，进而解不等式组即可求解。
24．（2024·浙江模拟）如图1，AB是半径为5的的直径，是的中点，连结CD交AB于点，连结AC，AD，OC.
（1）求证：；
（2）若BE=1，求AD的长.
（3）如图2，作于点，交AD于点，射线CB交AD的延长线于点，若，求AG的长.
【答案】（1）解：如图，连结OD.
∵C是的中点..
.
垂直平分AD.
.
（2）解：如图.延长CO交AD于点.连结BD.
，
．
在中，．
（3）解：如图．延长CO交AD于点．
解得 .
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）连结OD，进而根据弧与弦的关系得到，从而根据垂直平分线的判定与性质结合垂径定理即可得到；
（2）延长CO交AD于点，连结BD，先根据垂直得到，进而根据圆周角定理得到，从而根据平行线的判定结合相似三角形的判定与性质证明得到，再结合题意代入数值即可得到BE，从而求出BD和AB，运用勾股定理即可求出AD；
（3）延长CO交AD于点，先根据勾股定理结合题意求出CH、AC、BC，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而证明得到，再代入即可求解。
1 / 1浙江省“山海联盟”2024年初中学业水平考试6月联考数学试卷
1．（2024·浙江模拟）对称美是我国古代平衡思想的体现，常用于标识的设计上，使对称美惊艳了千年时光．下列校徽图标不属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江模拟）中国空间站离地球的远地点距离约为，其中数字347000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江模拟）一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2024·浙江模拟）在一次评比中，甲同学的面试成绩为84分，笔试成绩为92分，若分别赋予笔试、面试成绩的权为2：3，则计算甲同学的平均分正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·浙江模拟）不等式组的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·浙江模拟）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示：
密文 … 8 …
明文 … 我 爱 中 华 大 地 …
把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ）
A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大
7．（2024·浙江模拟）如图，两个同心圆的半径分别为15和12，大圆的一条弦有一半在小圆内，则这条弦落在小圆内部分的弦长等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江模拟）下表是一个二次函数的自变量与函数值的4组对应值：
… -1 1 2 4 …
… -7 3 5 3 …
则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向上
B．函数图象与轴无交点
C．函数的最大值为5
D．当时，的值随值的增大而减小
9．（2024·浙江模拟）如图，是等边三角形ABC的边AC上一点，作于点，若，，则CD的长为（ ）
A．3 B． C． D．
10．（2024·浙江模拟）已知二次函数的图象经过点，点的横坐标为，当时，总有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·浙江模拟）计算： ．
12．（2024·浙江模拟）现有六张背面完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，把这六张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上，任意抽取一张卡片，抽取的卡片的数字为奇数的概率为
13．（2024·浙江模拟）如图是一个矩形木框，若在点A，C处钉一根木条用来加固，则木条的长至少是 ．
14．（2024·浙江模拟）已知关于的一元二次方程有两个不同的解，其中一个解是，则该方程的另一个解是 .
15．（2024·浙江模拟）毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金比．已知顶角为的等腰三角形的底边上的高线为，腰上的高线为，则 ．
16．（2024·浙江模拟）如图是直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，为的中点，AP与BC相交于点，则点到直线AB的距离等于 .
17．（2024·浙江模拟）小孙同学化简分式，解答过程如下：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
你认为小孙的解答过程是否正确 如果不正确，请指出是从第几步开始出错的，并写出此题正确的解答过程.
18．（2024·浙江模拟）某数学学习小组计划制作一个款式如图1所示的风筝.图2是其示意图，已知两条侧翼AB，AC的长均为，夹角为平分，求B，C两点间的距离.（参考数据：）
19．（2024·浙江模拟）若以50千克为基准，超过基准的千克数记为正数，不足基准的千克数记为负数.称量6筐水果的重量，甲组为实际称量数据，乙组为记录数据，如下表所示（单位：千克）：
1 2 3 4 5 6
甲 48 52 47 49 53 54
乙 -2 2 -3 -1 3 4
（1）将乙组数据画成折线图.
（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为，，写出与之间的关系式．
②甲，乙两组数据的方差分别为，比较的大小关系，并说明理由．
20．（2024·浙江模拟）在中国古代数学著作《周髀算经》中就对勾股定理和勾股数有过一定的描述，所谓勾股数一般是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，观察下面的表格中的勾股数：
a b c
… … …
（1）当时， ， .
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）．
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
21．（2024·浙江模拟）在项目化学习中，甲、乙两小组分别利用函数知识研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为克、克，与的几组对应值如下表：
0 5 10 15 20
25 23.5 20 14.5 7
25 20 15 10 5
（1）根据上表中各组对应值，在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象．
（2）在你所学的一次函数、二次函数及反比例函数中，请选择合适的函数来反映与的变化规律，说明你选择的理由，严分别求出的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）．
（3）在上述实验中，当实验时间为多少分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质在之在达到度大 最大为多少克
22．（2024·浙江模拟）如图，在中，，点E，F分别在BA，CB的延长线上，连结DF，EF，若．
（1）求证：．
（2）若，求BE的长.
23．（2024·浙江模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数.
（1）若a为整数，二次函数图象过点（其中是正整数），求抛物线的对称轴．
（2）若为抛物线上两个不同的点．
①当时，，求的值．
②若对于，都有，求的取值范围．
24．（2024·浙江模拟）如图1，AB是半径为5的的直径，是的中点，连结CD交AB于点，连结AC，AD，OC.
（1）求证：；
（2）若BE=1，求AD的长.
（3）如图2，作于点，交AD于点，射线CB交AD的延长线于点，若，求AG的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：由题意得不是轴对称图形，其余选项里面的图形都是轴对称图形，
故答案为：B
【分析】根据轴对称图形的定义结合题意对选项逐一判断，进而即可求解。
2．【答案】C
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得数字347000用科学记数法可表示为，
故答案为：C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
3．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得该一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限
故答案为：C
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系结合一次函数的解析式即可得到该一次函数图象经过第一、二、四象限，从而即可求解.
4．【答案】D
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得计算甲同学的平均分为
故答案为：D
【分析】根据加权平均数的计算方法结合题意进行计算即可求解.
5．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得
解①得x≤3，
解②得x＞-2，
∴不等式组的解集为-2＜x≤3，
∴在数轴上表示为：
故答案为：D
【分析】根据题意解不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集，再表示在数轴上即可求解。
6．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意得，
∴把密文用因式分解解码后，明文可能是我爱中大，
故答案为：D
【分析】根据题意运用提公因式法和公式法因式分解，进而即可求解。
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：记弦与圆的交点分别为，连接，过作于，如图所示：
∴，，
∵大圆的一条弦有一半在小圆内，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
故答案为：D
【分析】记弦与圆的交点分别为，连接，过作于，根据垂径定理得到，，进而根据勾股定理结合题意即可得到，从而即可求出BC，再结合题意即可求解。
8．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为，
将，，代入函数解析式得：，
解得，
∴二次函数解析式为，
∴函数图象的开口向下，A不符合题意；
令，则，
∵，
∴函数图象与轴有交点，B不符合题意；
∵，
∴函数的最大值为，C不符合题意；
∴当时，的值随值的增大而减小，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据待定系数法结合题意求二次函数的解析式，进而即可得到开口判断A；根据二次函数与坐标轴的交点问题结合一元二次方程根的判别式即可判断B；根据二次函数的最值结合题意即可判断C；根据二次函数的性质即可判断D.
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：过点作，使 ，作，交延长线于点，如图所示：
，
，
是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
设，
，
∵
则
，
，
，
，
，
故答案为：C
【分析】过点作，使 ，作，交延长线于点，根据等边三角形的判定与性质结合题意等量代换得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，再结合题意进行角的运算得到，，设，根据含30°角的直角三角形的性质得到，从而结合正弦函数得到CF，根据相似三角形的判定与性质证明得到，代入数值化简即可求解。
10．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵，
，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴是直线，
∴当时，取得最小值，
∵当时，总有，
∴，
若，则当时，，
即有，
解得：；
若，则当时，，
即有
解得：，不合题意，
∴这种情况不存在，
综上所述，当时，总有，则．
故答案为：D
【分析】先根据题意将二次函数转化为顶点式，进而即可得到抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴是直线，当时，y取得最小值，再根据“当时，总有”结合二次函数的对称性分类讨论∶若时，若时，分别求出m即可求解。
11．【答案】-8
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】，
故答案为：-8.
【分析】先利用有理数的乘方化简，再计算即可.
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算；奇数与偶数的认识
【解析】【解答】解：由题意得奇数有1，3，5，
∴抽取的卡片的数字为奇数的概率为，
故答案为：
【分析】先根据奇数的定义得到奇数有1，3，5，进而根据简单事件的概率结合题意即可求解。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形木框，
∴∠B=90°，
由勾股定理得，
故答案为：
【分析】先根据矩形的性质得到∠B=90°，进而根据勾股定理求出AC即可求解。
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：有两个不同的解，
设另一个解是，
，
，
，
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合题意得到，进而化简即可得到x2.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；黄金分割
【解析】【解答】解：如图，是等腰三角形，，，，，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，即，，即，
解得，，
由勾股定理得，，即；
，即，
∴，
∴或（舍去），
故答案为：
【分析】如图，是等腰三角形，，，，，，， 根据等腰三角形的性质得到，，，进而即可得到，再根据黄金比得到，设，则，再结合题意代入即可得到，，进而根据勾股定理即可得到，即；
，即，从而相比化简即可求解。
16．【答案】
【知识点】垂径定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解∶过、作，于、，连接，如图所示：
∵直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵为的中点，是半圆的半径，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，即，
解得，
故答案为：
【分析】过、作，于、，连接，根据直径得到，进而根据正弦函数得到CM，再根据勾股定理得到OM，从而得到BM，再根据垂径定理得到，进而根据平行线的判定与性质得到，，从而根据相似三角形的判定与性质证明得到，即，再结合题意得到，从而即可得到，同理可得，，，即，代入数值化简即可求解。
17．【答案】解：小孙的解 过程不正确，他是从第一步开始出错的．
正确解答过程如下：
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】根据分式的混合运算结合题意化简，进而即可求解。
18．【答案】解：如题，AD与BC相交于点．
平分．
，
，
．
答：B，C两点间的距席约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
19．【答案】（1）解：如答图所示．
（2）解：①．
②．理由如下：
代入，得到
.
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）根据题意画出折线统计图即可求解；
（2）①根据平均数的定义结合题意即可求解；
②根据方差的定义结合题意进行计算即可求解。
20．【答案】（1）60；61
（2）解：
（3）解：
．结论成立．
【知识点】整式的混合运算；勾股数
【解析】【解答】解：（1），
，
，
故答案为：60，61
【分析】（1）根据表格的数据结合题意即可求解；
（2）根据表格得到即可求解；
（3）根据勾股定理的逆定理结合题意即可求解。
21．【答案】（1）解：函数的图象如答图所示．
（2）解：由图可知、函数的图象是抛物线的一部分．所以是关于的二次函数，
函数的图象是直线的一部分，所以是关于的一次函数．
由题意可设．把点（10.20）和点（20.7）分别代入，得
解得
；
设．把点和点（5.20）分别代入．得
解得
．
（3）解：，
当时，取最大值，设最大值为．
答：当实验时间为分钟时．甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大.最大为克.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意描点画图即可求解；
（2）根据图形得到是关于的二次函数，函数的图象是直线的一部分，所以是关于的一次函数，进而根据待定系数法即可求解；
（3）根据题意得到，再根据二次函数的最值即可求解。
22．【答案】（1）解：四边形ABCD是平行四边形。
．
．
．
又，
．
（2）解：如答图，在DB延长线上截取．连结FG.
由（1）可知，.
四边形ABCD是平行四边形．
是等边三角形．
是等边三角形，
．
．
又．
．
．
．
．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，进而根据等腰三角形的性质得到，再结合题意进行角的运算即可求解；
（2）在DB延长线上截取，连结FG，由（1）可知，，根据平行四边形的性质得到，进而根据等边三角形的判定与性质得到，等量代换即可得到，再结合题意根据三角形全等的判定与性质证明得到，最后进行线段的运算即可求解。
23．【答案】（1）解：代入（n.0），
得an2-（a+1）n=0，
解得．
是正整数，为整数。
（舍去），．则．
对称怞为直线．
（2）解：①时，．
两点关于抛物线的对称轴对称．
则对称轴为直线，
.
②由题意可知，对于任意的随的增大而增大.可得
解得.
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据题意将点代入求出n，从而即可求解；
（2）①先根据二次函数的对称性得到两点关于抛物线的对称轴对称，则对称轴为直线，从而即可得到a；
②根据二次函数的图象与性质得到，进而解不等式组即可求解。
24．【答案】（1）解：如图，连结OD.
∵C是的中点..
.
垂直平分AD.
.
（2）解：如图.延长CO交AD于点.连结BD.
，
．
在中，．
（3）解：如图．延长CO交AD于点．
解得 .
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）连结OD，进而根据弧与弦的关系得到，从而根据垂直平分线的判定与性质结合垂径定理即可得到；
（2）延长CO交AD于点，连结BD，先根据垂直得到，进而根据圆周角定理得到，从而根据平行线的判定结合相似三角形的判定与性质证明得到，再结合题意代入数值即可得到BE，从而求出BD和AB，运用勾股定理即可求出AD；
（3）延长CO交AD于点，先根据勾股定理结合题意求出CH、AC、BC，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而证明得到，再代入即可求解。
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