1.4 空间向量的应用——高二数学人教A版(2019)选择性必修一课时作业（含解析）

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1.4 空间向量的应用——高二数学人教A版(2019)选择性必修一课时作业
一、选择题
1．在空间直角坐标系中，已知点，，，若点D到平面ABC的距离为，则点C的坐标可以是( )
A. B. C. D.
2．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则可能使的是( )
A.， B.，
C.， D.，
3．在正方体中,E,F分别是棱,的中点,则异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
4．人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，设是平面内的任意一点.由，可得，此即平面的点法式方程.利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l的方向向量为，则直线l与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5．将边长为1的正方形及其内部绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与C在平面的同侧，则直线与平面所成的角的正弦值为( )
A. B. C. D.
6．直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为( )
A. B. C.2 D.3
7．在正方体中,下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
8．如图，在下列各正方体中，l为正方体的一条体对角线，M、N分别为所在棱的中点，则满足的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．如图,已知正方体的棱长为2,E,F分别为棱的中点,则下列结论正确的为( )
A. B.
C. D.不是平面的一个法向量
10．如图,在正方体中,E,F分别为的中点,则( )
A.
B.平面
C.平面
D.直线DF与直线CE所成角的余弦值为
11．已知直线,则下列选项中不正确的有( )
A.直线l的倾斜角为 B.直线l的斜率为
C.直线l不经过第三象限 D.直线l的一个方向向量为
三、填空题
12．已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为___________.
13．已知空间中三点,,,则点A到直线的距离为_______________.
14．已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为__________.
四、解答题
15．如图在边长是2的正方体中,E,F分别为AB,的中点.
（1）求异面直线EF与所成角的大小.
（2）证明:平面.
16．如图，在正三棱柱中，E，F分别为棱，的中点，.
（1）证明：平面.
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17．如图,正三棱柱的所有棱长均为2,点D,E分别为AB,的中点.
（1）证明:平面;
（2）求直线与平面ABE所成角的正弦值.
18．如图,斜三棱柱的底面是直角三角形,,点在底面ABC内的射影恰好是BC的中点,且.
(1)求证:平面平面;
(2)若斜棱柱的高为,求平面与平面夹角的余弦值.
19．如图所示，在三棱锥中，，，点O、D分别是、的中点，底面.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当k取何值时，二面角的余弦值为？
参考答案
1．答案：D
解析：对于A，当时，设为平面ABC的一个法向量，
，，，
所以，即，
令，则
则点D到平面ABC的距离为
，故A错误；
对于B，当时，设为平面ABC的一个法向量，
，，
所以，即，
令，则，
则点D到平面ABC的距离为，故B错误；
对于C，当时，设为平面ABC的一个法向量，
，，
所以，即，
令，则，
则点D到平面ABC的距离为
，故C错误;
对于D，当时，设为平面ABC的一个法向量，
，，
所以，即，
令，则，
则点D到平面ABC的距离为
，故D正确.
故选：D
2．答案：C
解析：由题知，当时，或.
A选项：因为
B选项：
C选项：
D选项：
故选：C.
3．答案：C
解析：如图,以D为原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系.设,则,,,,
从而,,故,
即异面直线与所成角的余弦值是.
4．答案：A
解析：因为平面的方程为，
所以平面的一个法向量为，
直线l的方向向量为，
设直线l与平面所成角为，
则，则，
即直线l与平面所成角的余弦值为.
故选：A.
5．答案：D
解析：由题意，，，
如图所示，建立空间直角坐标系.
则，，
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
.
故选：D.
6．答案：C
解析：，，
，又，
在方向上的投影，
P到l距离.
故选：C.
7．答案：D
解析：以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,
所以,,,,,,,,
,,,,
,,
对于A,,故A错误;
对于B,,故B错误;
对于C,,故C错误;
对于D,,故D正确.
故选:D.
8．答案：C
解析：在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2，体对角线l的端点为B，，
对于A，，，，，直线l的方向向量，
，显然，直线与l不垂直，A不是；
对于B，由选项A知，直线l的方向向量，，，
则，显然，直线与l不垂直，B不是；
对于C，由选项A知，直线l的方向向量，，，
则，显然，，C是；
对于D，由选项A知，直线l的方向向量，，，
则，显然，直线与l不垂直，D不是.
故选：C
9．答案：BD
解析：以点D为坐标原点,,,所在直线分别为x,y,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,,,
.
对于A选项,,,则,故A错误;
对于B选项,,则,故B正确;
对于C选项,,故,故C错误;
对于D选项,,故不是平面的一个法向量,故D正确.
故选：BD.
10．答案：AD
解析：以点D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设,
则,,,,,.
,,,.
A选项,因为,所以,A正确.
B选项,设平面的法向量为,
则,
令得,,,故,
因为,
所以与不垂直,则直线DF与平面不平行,B错误.
C选项,若平面,则.
因为,所以直线BF与直线不垂直,矛盾,C错误.
D选项,,D正确.
故选:AD
11．答案：AB
解析：由题设,即斜率为,与y轴交点的纵坐标为2,故倾斜角为,不经过第三象限,A,B错,C对;
显然是直线的一个方向向量,故也是直线一个方向向量,D对.
故选:AB
12．答案：
解析：由已知可得，所以，点P到平面的距离为.
故答案为：.
13．答案：
解析：由点的坐标可得,
则点A到直线的距离为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意可得，
所以，
设点到平面的距离为d，
则.
故答案为：.
15．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：据题意,建立如图坐标系.于是:
,,,,,
,,,.
（1）,
异面直线EF和所成的角为.
（2）
,即
,
即.
又,平面且
平面.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）证明：取G为的中点，连接，.
因为E为棱的中点，所以，且.
又F为棱的中点，所以.
因为且，所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以.
又平面，平面，
所以平面.
（2）取O为的中点，H为的中点，连接，.
因为为正三棱柱，所以，，两两垂直.
以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面的法向量为，则
令，则，，可得，
又是平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．答案：（1）证明见解析
（2）.
解析：（1）取的中点F,连接DF,,
,F分别为AB,的中点,
,且,
又且,
且,
四边形为平行四边形,则,
平面,平面,
平面.
（2）取BC的中点O,则.
以O为原点,以,为x,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,,
,,.
所以,,,
设平面ABE的法向量为.
则即
取,则.
又,
设直线与平面ABE所成的角为,则,
故与平面ABE所成角的正弦值为.
18．答案：(1)证明见解析;
(2).
解析：(1)取BC中点为M,连接,
在底面内的射影恰好是BC中点,平面ABC,
又平面,,
又,,
,平面,,平面,
又平面,平面平面.
(2)以C为坐标原点,,分别为x轴,y轴,建立如图所示空间直角坐标系,
,斜棱柱的高为,
,,,,,
,,,
设平面的一个法向量为,
则有,令,则,,
设平面的法向量为,
则有,
令,则,,,
,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19．答案：（Ⅰ）证明见解析；
（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）证明：在中，点O、D分别是、的中点，
，平面，平面，
平面.
（Ⅱ）O为中点，连接，，则，
平面，平面，
，
以O为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系.
设，则，
，，
在中
，，
，，，，
则，，，
平面，平面，，
又且，平面，
是平面的一个法向量.
设平面的一个法向量，
则即，
令，得，，
设为二面角的平面角.
则，解得.
方法二：作，又，，平面，
平面，，又，
是二面角的平面角.
设，由题意可知，
，，即为等腰三角形.
在中，作，则，
且，
在中，，则，
在中，根据余弦定理，
解得.
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