3.1椭圆——高二数学人教A版(2019)选择性必修一课时作业（含解析）

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3.1椭圆——高二数学人教A版(2019)选择性必修一课时作业
一、选择题
1．若椭圆比椭圆更扁，则C的长轴长的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．设m为实数，若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3．已知周长为16的中,点,,则点C的轨迹方程是( )
A.1 B.1
C.1 D.1
4．经过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于A,B两点（非顶点）,为右焦点,则的周长为( )
A. B. C. D.4
5．已知是椭圆M的两个焦点，过点且垂直于x轴的直线交椭圆M于A，B两点，且，则椭圆M的离心率为( )
A. B. C. D.
6．已知点P是椭圆上的动点,若P到x轴与y轴的距离之和的范围是,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
7．椭圆的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
8．已知椭圆，P是椭圆C上的点，，分别是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知关于x，y的方程表示的曲线为C，以下说法正确的有( )
A.若，，，则C恒过定点
B.若，，，则C表示圆
C.若，，，，则C表示椭圆
D.若，，，，，则C表示两条直线
10．设椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，若，且的周长为8，则( )
A. B.C的离心率为
C.可以为 D.可以为直角
11．已知椭圆上存在点P，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．椭圆与双曲线有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为_________.
13．设椭圆的左、右焦点分别为,,P是C上的点,,,则C的离心率为________.
14．已知椭圆的中心在坐标原点,一个焦点为,该椭圆被直线所截得弦的中点的横坐标为1,则该椭圆的标准方程为______.
四、解答题
15．已知椭圆经过点,.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若直线交椭圆C于A,B两点,O是坐标原点,求的面积.
16．已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.
(1)椭圆C的方程；
(2)设直线交椭圆C于A，B两点，且，求m的值.
17．已知椭圆的离心率为,焦距为4.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）若直线与椭圆M相切,且直线与直线平行,求直线的斜截式方程.
18．已知椭圆的左 右焦点分别为,点M在椭圆上,,若的周长为6,面积为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的直线l交椭圆于A,B两点,交y轴于P点,设,试判断是否为定值？请说明理由.
19．设，分别是椭圆的左、右焦点，若________.
请在以下两个条件中任选一个补充在横线上并作答.
①四点，，，中，恰有三点在椭圆C上；
②椭圆C经过点，与x轴垂直，且.
（1）求椭圆C的离心率.
（2）设D是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A，B两点（不与点D重合），过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得RQ的长度为定值？并证明你的结论.
参考答案
1．答案：C
解析：椭圆的离心率
椭圆离心率
因为椭圆比椭圆更扁，
所以，即，解之得
则，所以椭圆C的长轴长的取值范围是.
故选：C.
2．答案：A
解析：由题意得，，解得.
故选：A.
3．答案：C
解析：因为三角形周长为16,又,
所以点C的轨迹在以A,B为焦点的椭圆上.
因为中点C与点A,B不共线,所以去掉y轴上的两点,得.
4．答案：A
解析：椭圆即,所以椭圆的长半轴,
由椭圆的定义可得,且,
则的周长为.
故选:A.
5．答案：A
解析：依题意，设椭圆方程为，则，
直线，由，解得，则，于是，
所以椭圆M的离心率为.
故选：A
6．答案：D
解析：设,由椭圆的对称性,不妨设点P位于第一象限或x,y轴正半轴上,
由题意,,结合椭圆性质有且,其中;
所以,解得,椭圆C的离心率为.
故选:D.
7．答案：C
解析：由于椭圆标准方程为：.
，，所以，则.
又，所以焦点在y轴上，故焦点坐标为：.
故选：C.
8．答案：B
解析：设，则，，，
因为，所以，又，
所以时，取得最大值，
恒成立，则，变形得，又，故解得，
故选：B.
9．答案：AD
解析：对于A选项，当，，时，曲线C为：，即为，
显然满足方程，所以C恒过定点，故A正确；
对于B选项，当，，时，方程为，其表示点，故B错误；
对于C选项，当，，，，方程为，
所以，当时，表示圆；当时，表示椭圆；故C错误；
对于D，当，，，，，方程为，
即为，化简得，即表示两条直线，故D正确.
故选：AD
10．答案：AC
解析：由，如下图周长为，故，
所以，椭圆离心率为，A对，B错；
当轴，即AB为通径时，且，
所以，故可以为，C对；
由椭圆性质知：当A为椭圆上下顶点时最大，此时，
且，故，即不可能为直角，D错.
故选：AC
11．答案：BCD
解析：因为，又，所以，，
又，即，
所以，则，又，所以，故符合题意的有BCD.
故选：BCD
12．答案：24
解析：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点，，
由椭圆定义可知：，
故P与双曲线两焦点的距离之和为14，
又，
因此P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为.
故答案为：24.
13．答案：
解析：在中，设，因为，所以，.
故.故答案为：
14．答案：
解析：椭圆被直线所截得弦AB的中点的坐标为,
,,所以,,故椭圆的标准方程为.
15．答案：（1）
（2）3
解析：（1）因为椭圆经过点,所以,
把点的坐标代入方程,得,解得.
所以椭圆C的方程为.
（2）联立方程组消去y,得.
解得或不妨设,,则.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可得，
解得：，，
椭圆C的方程为.
(2)设，.
联立，
得，
，，
，
解得.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得得
椭圆M的标准方程为.
（2）设与直线l平行的直线的方程为：,
联立得,
由,得,
直线的斜截式方程为：.
18．答案：(1)
(2)
解析：（1）设椭圆C的焦距为,因为的周长为6,面积为,
所以,由①得：,将此式代入②得：,
所以,所以或
当时,,所以不满足题意；
当时,,所以满足题意.
所以椭圆C的方程为.
（2）由题可得直线斜率存在,由（1）知,设直线l的方程为,
则联立,消去y,整理得：,
设,则,
又,则,
由可得,所以,同理可得,
所以
所以为定值.
19．答案：（1）
（2）存在定点R，使得RQ的长度为定值，证明见解析
解析：（1）选①，因为点，关于原点对称，所以，都在椭圆C上，
又，所以点不在椭圆C上，故点在椭圆C上，
所以解得故椭圆C的方程为，
则，所以椭圆C的离心率.
选②，因为C经过点，与x轴垂直，且，所以，
由勾股定理可得，
所以，则，故.
所以椭圆C的方程为，其离心率.
（2）存在定点R，使得RQ的长度为定值，证明如下：
已知是椭圆的上顶点，
由题可得直线AB的斜率必然存在.
设直线AB的方程为，，，
由可得（*），
，
所以，，
又，，
所以
，
化简整理得，解得或，
当时，直线AB经过点D，不满足题意；
当时满足方程（*）中，故直线AB经过y轴上定点.
又Q为过点D作线段AB的垂线的垂足，当点R为线段DG的中点时，若点Q与点G重合，则；
当点Q与点G不重合时，由直角三角形的几何性质可得.
故当点R为线段DG的中点时，为定值，且.
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