3.2双曲线——高二数学人教A版(2019)选择性必修一课时作业（含解析）

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3.2双曲线——高二数学人教A版(2019)选择性必修一课时作业
一、选择题
1．已知双曲线C：的焦距为4，则C的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
2．已知双曲线的下、上焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为( )
A. B.
C. D.
3．若双曲线的实轴长为4，则正数( )
A. B.2 C. D.
4．已知双曲线,若双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
5．直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则离心率( )
A.4 B.3 C. D.
6．已知双曲线的左右焦点,,P是双曲线上一点,,则( )
A.1或13 B.1 C.13 D.9
7．已知直线是双曲线的一条渐近线,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8．已知,分别为椭圆和双曲线的离心率,双曲线渐近线的斜率不超过,则的最大值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
二、多项选择题
9．若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是( )
A.若C为椭圆，则 B.若C为双曲线，则或
C.曲线C可能是圆 D.若C为双曲线，则焦距为定值
10．某数学兴趣小组的同学经研究发现,反比例函数的图象是双曲线,设其焦点为M,N,若P为其图象上任意一点,则( )
A.是它的一条对称轴 B.它的离心率为
C.点是它的一个焦点 D.
11．已知直线l经过双曲线(,)的左焦点,且与C交于A,B两点,若存在两条直线,使得的最小值为4,则下列四个点中,C经过的点为( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为( ).
A. B. C. D.
13．双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，直线与双曲线C的左、右支分别交于P，Q点.若，则该双曲线的离心率为_________.
14．已知双曲线,若,则该双曲线的离心率为______________.
四、解答题
15．双曲线的左、右焦点分别为,,已知焦距为8,离心率为2,
（1）求双曲线标准方程;
（2）求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程.
16．已知双曲线的焦点为,,且该双曲线过点．
（1）求双曲线的标准方程;
（2）过左焦点作斜率为的弦AB,求AB的长;
（3）在（2）的基础上,求的周长．
17．已知双曲线的其中一个焦点为,一条渐近线方程为
（1）求双曲线C的标准方程;
（2）已知倾斜角为的直线l与双曲线C交于A,B两点,且线段AB的中点的纵坐标为4,求直线l的方程.
18．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合,其渐近线方程为.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若A,B为双曲线C上的两点且不关于原点对称,直线过的中点,求直线的斜率.
19．已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）若动直线l与曲线C交于，两点（其中），点A关于x轴对称的点为，且直线经过点.
（ⅰ）求证：直线l过定点；
（ⅱ）若，求直线l的方程.
参考答案
1．答案：A
解析：由题可得，，
由，且，得，
故C的渐近线方程为.
故选：A.
2．答案：C
解析：因为双曲线的下、上焦点分别为，，
所以设双曲线的方程为，半焦距为；
又因为P是双曲线上一点且，
所以，即，则；
所以双曲线的标准方程为.
故选：C.
3．答案：A
解析：由双曲线实轴长为4，有，又，.故选A.
4．答案：B
解析：依题意可知双曲线C的渐近线为,从而,即,
所以,所以C的离心率.
故选：B.
5．答案：C
解析：联立，得，由韦达定理得，解得，.
6．答案：C
解析：根据双曲线定义可得,又,
所以或,
又,
解得,即,
又,
所以
故选:C
7．答案：D
解析：由题意可知,所以.
故选：D.
8．答案：B
解析：由椭圆的离心率,
双曲线的离心率,可得,
令,因为双曲线的渐近线的斜率不超过,即,
则此时,即,
则的最大值是3.
故选:B.
9．答案：BC
解析：若C为椭圆，则，且，故且，所以选项A错误；
若C为双曲线，则，故或，所以选项B正确；
若C为圆，则，故，所以选项C正确；
若C为双曲线，则或，当时，双曲线化为标准形式为，此时，，所以不是定值，则焦距也不为定值，同理焦距也不为定值，故选项D错误.
故选：BC.
10．答案：ABD
解析：反比例函数的图象为等轴双曲线,故离心率为,其中一个焦点坐标应为.
11．答案：ACD
解析：若直线l与C的两支交于顶点A,B,则,
若直线l与C的一支交于A,B两点,则通径最短,,
由题意得,解得,
则C的方程为,
把选项ABCD分别代入方程,则B选项表示的点不在双曲线上,ACD选项表示的点在双曲线上.
故选:ACD.
12．答案：B
解析：双曲线，
，，又点P在双曲线C的右支上，，
所以，，即，
又，
面积为.
故选：B.
13．答案：/
解析：设双曲线的半焦距为c，可得，
即有四边形为矩形，由双曲线的定义可得，
在直角三角形中，，
即有，可得，
即.
故答案为：.
14．答案：或
解析：.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）由题知,,解得,,所以,
所以双曲线标准方程为：.
（2）由（1）知,,,双曲线焦点在x轴上,
所以双曲线的顶点坐标为,焦点坐标为,实轴长,虚轴长,渐近线方程为,即.
16．答案：（1）
（2）25
（3）54
解析：（1）因为双曲线的焦点在x轴上,设双曲线方程为,
由题意得,解得,所以双曲线方程为.
（2）依题意得直线AB的方程为,设,.
联立,得,
,且,
所以.
（3）由（2）知A,B两点都在双曲线左支上,且,
由双曲线定义,,
从而,
的周长为．
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由焦点可知,
又一条渐近线方程为
所以,
由可得,解得,,
故双曲线C的标准方程为
（2）设,,AB中点的坐标为
则①,②,
②①得:,
即,又,
所以,
所以直线l的方程为,即
18．答案：(1)
(2)1
解析：（1）椭圆的焦点为,故,
由双曲线的渐近线为,故,故,
故双曲线方程为：.
（2）设,,的中点为M,
因为M在直线,故,
而,,故,
故,
由题设可知的中点不为原点,故,所以,
故直线的斜率为1.
此时,
由可得,整理得到：,
当即或,
即当或时,直线存在且斜率为1.
19．答案：（1）
（2）（ⅰ）证明见解析
（ⅱ）
解析：（1）圆的圆心坐标为，半径.
动圆M与圆相切有两种情况，即内切或外切，
所以，
所以点M在以，为焦点的双曲线上，且该双曲线的实轴长为，，
所以，
所以曲线C的方程是.
（2）（ⅰ）设直线l的方程为（显然l与x轴不平行），
与联立，得，
由题意知，，，即，
由韦达定理得，.
因为点A与关于x轴对称，不妨设A，B分别在第一、二象限，如图所示.
易知，
即，
化为，
即，化为，
当m变化时，该式恒成立，
所以，故直线l过定点.
（ⅱ）由（ⅰ）知，当时，，.
由
，
化为，解得或（舍去），
故，
此时直线l的方程为.
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