3.3抛物线——高二数学人教A版(2019)选择性必修一课时作业（含解析）

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3.3抛物线——高二数学人教A版(2019)选择性必修一课时作业
一、选择题
1．对于抛物线上，下列描述正确的是( )
A.开口向上，焦点为 B.开口向上，焦点为
C.焦点到准线的距离为4 D.准线方程为
2．抛物线的焦点到其准线的距离为( )
A. B. C.2 D.4
3．已知点，且F是抛物线的焦点，P为C上任意一点，则的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4．已知O为坐标原点,F为抛物线的焦点,A为E上的一点,垂直于y轴,B为y轴上一点,且,若,则( )
A. B. C. D.
5．等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为( )
A.2 B. C.4 D.
6．已知抛物线的焦点为F，点在C上，则( )
A.7 B.6 C.5 D.4
7．抛物线，在点处的切线的斜率为（ ）
A. B. C. D.1
8．已知F为抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则的最小值为( )
A.16 B.14 C.12 D.10
二、多项选择题
9．以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
10．已知点O为坐标原点,直线与抛物线相交于A,B两点,焦点为F,则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.线段AB的中点到x轴的距离为2
11．已知,,则下列命题中正确的是( )
A.平面内满足的动点P的轨迹为椭圆
B.平面内满足的动点P的轨迹为双曲线的一支
C.平面内满足的动点P的轨迹为抛物线
D.平面内满足的动点P的轨迹为圆
三、填空题
12．已知抛物线C：经过点，则抛物线的准线方程是______.
13．若抛物线过点,则该抛物线的焦点为________.
14．过抛物线焦点且斜率为1的直线l与此抛物线相交于A，B两点，则________.
四、解答题
15．已知抛物线，双曲线，它们有一个共同的焦点.
（1）m的值及双曲线的离心率；
（2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程.
16．已知曲线C上任意一点P到点的距离比它到直线的距离大1.
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线与曲线C交于A，B两点，求证：.
17．过抛物线的焦点作直线交抛物线于,两点,若,求.
18．已知抛物线,其焦点F到其准线的距离为2,过焦点F且倾斜角为45°的直线l交抛物线C于A,B两点,
(1)求抛物线C的方程及其焦点坐标;
(2)求.
19．已知动点P到直线的距离比到点距离多2个单位长度，设动点P的轨迹为E.
（1）求E的方程；
（2）已知过点的直线l交E于A，B两点，且（O为坐标原点）的面积为32，求l的方程.
参考答案
1．答案：AC
解析：由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为.
故选：AC.
2．答案：C
解析：抛物线，即，则，所以，
所以抛物线的焦点到其准线的距离为.
故选：C.
3．答案：D
解析：易知抛物线C的焦点，准线，过点P作准线l于点M，过点A作准线l于点N，
由抛物线定义得，
所以
则的最小值为6.
故选:D.
4．答案：B
解析：由题可知,又,，,解得.
5．答案：D
解析：设正三角形得边长为，
由图可知正三角形的另外两个顶点关于x轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是,，
把顶点代入抛物线方程得，解得，
所以正三角形的边长为.
故选：D.
6．答案：D
解析：由抛物线,得,则,故选D
7．答案：C
解析：
8．答案：A
解析：根据题意，设直线的倾斜角为，，则焦点弦.
同理，
所以，当且仅当或时取等号.故的最小值为16，故选A.
9．答案：BD
解析：直线与坐标轴的交点为，，故以和为焦点的抛物线标准方程分别为和.
10．答案：AC
解析：由抛物线,可得焦点,则直线过抛物线的焦点,
联立方程组,整理得到,显然,
设,,可得,,
对于A中,由抛物线的定义,可得,所以A正确;
对于B中,由,
所以OA与OB不垂直,所以B错误;
对于C中,由,可得,,
由抛物线定义,可得,,
则,所以C正确;
对于D中,线段AB的中点的到x轴的距离为,所以D错误.
故选:AC.
11．答案：AD
解析：对于选项A,有,,且,由椭圆定义可知选项A正确;
对于选项B,有,,且,轨迹为射线,不符合双曲线的定义可知选项B错误;
对于选项C,有,,且,轨迹为线段AB的垂直平分线,不符合抛物线的定义可知选项C错误;
对于选项D,有,,且,设点,则,化简可得,可知选项D正确;
故选:AD
12．答案：
解析：由题意得：
抛物线C：经过点，
，解得，
准线方程为，
故答案为：.
13．答案：
解析：将代入抛物线方程,可得,即,
所以抛物线的焦点为.
故答案为:.
14．答案：8
解析：抛物线的焦点为，且斜率为1，则直线的方程为，
代入抛物线方程得，设，
，
根据抛物线的定义可知.
故答案为：8.
15．答案：（1），；
（2）准线方程为，渐近线方程为
解析：（1）抛物线的焦点为，
由双曲线，可得，解得，
双曲线的，，则；
（2）抛物线的准线方程为，双曲线的渐近线方程为.
16．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设动点，动点P到点的距离比它到直线的距离大1，
即动点P到点的距离等于它到直线的距离，
，两边平方，
化简可得.
（2）设、，由，消去x得，
则，所以，，
所以，
所以，即.
17．答案：
解析：设焦点为F,则,
又因为,所以.
18．答案：(1)抛物线C的方程为.焦点坐标为.
(2)8
解析：（1）由题意在抛物线中,焦点F到其准线的距离为2,
,
抛物线C的方程为,焦点坐标为.
（2）由题意及（1）得
在抛物线中,过焦点F且倾斜角为45°的直线l的方程为,
联立方程组消去y可得,
设,,则,
根据抛物线的定义,.
19．答案：（1）；
（2）或.
解析：（1）因为动点P到直线的距离比到点距离多2个单位长度，
所以动点P到直线的距离和到点距离相等，
故曲线E是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线E的方程为.
（2）设，，
易知直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为，
联立，消去x得，，
所以，，
，
解得，
所以直线l的方程为或.
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