北师大版八年级数学上册 1.1探索勾股定理 练习试题（含详解）

1.1探索勾股定理
一、单选题
1．已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为（　　）
A．5 B．25 C． D．5或
2．如图，数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，BC＝1，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点P，则点P表示的数是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，作Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝2AC；以A为圆心，AC长为半径画弧，交斜边AB于点D；以B为圆心，以BD长为半径画弧，交BC于点E．若BC＝6，则CE＝（　　）
A．9﹣3 B．36
C．33 D．31
4．如图，在2×2的网格中，有一个格点△ABC，若每个小正方形的边长为1，则△ABC的边AB上的高为（　　）
A． B． C． D．1
5．在△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高AD＝8，则△ABC的面积为（　 ）
A．72 B．84 C．36 或 84 D．72 或 84
二、填空题
6．如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC＝7，则点A到BC的距离是 　 　．
7．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于O，AB＝6，BC＝8，CD＝10，则AD＝　 　．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，△ABC的两条角平分线AD、BE相交于点O，连接CO，则CO的长为 　 　．
9．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则AB＝　 　．
三、解答题
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D．求AD，BD的长．
11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BCD＝120°，AB＝1，BC，CD＝2，求AD的长．
12．如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝28，AC＝17，求△ABC的面积．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝135°，BC＝6，点D为AB的中点，连接DC，若DC⊥BC，求AB的长．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，AB的中垂线DE交AB于点D，交AC于点E．延长DE交BC的延长线于点F，连接AF．
（1）求AD的长；
（2）求AF的长．
15．已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）如果AC＝3，，求AE的长．
16．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6．AD平分∠CAB交BC于点D．
（1）求BC的长；
（2）求CD的长．
17．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，已知四边形的周长为42，求四边形ABCD的面积．
18．如图，在△ABC中，AC＝5，E为BC边上一点，且CE＝1，AE，BE＝4，点F为AB边上的动点，连接EF．
（1）求AB的长；
（2）当△BEF为等腰三角形时，求AF的长．
19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
20．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．
（1）求AB的长；
（2）若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，△BCP为等腰三角形？
答案
一、单选题
1．
【思路点拨】
分两种情况：当3和4都是直角边时；当4是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．
【解题过程】
解：当3和4都是直角边时，第三边长为：；
当4是斜边长时，第三边长为：．
故选：D．
2．
【思路点拨】
首先根据勾股定理求出AC长，再根据圆的半径相等可知AP＝AC，即可得出答案．
【解题过程】
解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴AC，
∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P，
∴AP＝AC，
∴点P表示的数是﹣1；
故选：A．
3．
【思路点拨】
根据题意勾股定理求出AB的长，由AD＝AC得出BD，再根据BE＝BD，即可求出CE的长．
【解题过程】
解：∵BC＝2AC，BC＝6，
∴AC＝3，
由勾股定理得AB3，
∵AC＝AD，
∴BD＝AB﹣AD＝33，
∵BE＝BD，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣（33）＝9﹣3，
故选：A．
4．
【思路点拨】
如图，过点C作CD⊥AB于D，首先利用勾股定理求得AB的长度，然后利用等面积法求得CD的长度．
【解题过程】
解：如图，过点C作CD⊥AB于D，
在直角△ABE中，∠AEB＝90°，AE＝1，BE＝2，则由勾股定理知，AB．
由AE BCAB CD知，CD．
故选：B．
5．
【思路点拨】
由勾股定理分别求出BD和CD，分AD在三角形的内部和AD在三角形的外部两种情况，由三角形面积公式计算即可．
【解题过程】
解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD6，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD15，
分两种情况：
①如图1，当AD在△ABC的内部时，
BC＝15+6＝21，
则△ABC的面积BC×AD21×8＝84；
②如图2，当AD在△ABC的外部时，
BC＝15﹣6＝9，
则△ABC的面积BC×AD9×8＝36；
综上所述，△ABC的面积为36或84，
故选：C．
二、填空题
6．
【思路点拨】
过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，根据勾股定理即可得到结论．
【解题过程】
解：过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，
∴∠D＝90°，
∴AB2﹣BD2＝AD2＝AC2﹣CD2，
∵AB＝20，AC＝15，BC＝7，
∴202﹣（7+CD）2＝152﹣CD2，
∴CD＝9，
∴AD12，
∴点A到BC的距离是12，
故答案为：12．
7．
【思路点拨】
利用勾股定理得到：AO2+BO2＝62，CO2+BO2＝82，DO2+CO2＝102，将三个等式相加，求得AO2+DO2的值即可．
【解题过程】
解：∵AC⊥BD，
∴由勾股定理得到：AO2+BO2＝62①，
CO2+BO2＝82②，
DO2+CO2＝102③，
由①+②+③得：AO2+DO2+2（CO2+BO2）＝62+82+102，
即AO2+DO2+2×82＝62+82+102，
∴AO2+DO2＝72，
∴AD2＝72，
∴AD＝6．
故答案为：6．
8．
【思路点拨】
过O作OM⊥BC于M，OP⊥AB于P，ON⊥AC于N，根据角平分线的想知道的OM＝ON，推出OC平分∠ACB，得到△OCM是等腰直角三角形，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
【解题过程】
解：过O作OM⊥BC于M，OP⊥AB于P，ON⊥AC于N，
∵AD和BE是△ABC的角平分线，
∴OP＝OM，ON＝OP，
∴OM＝ON，
∴OC平分∠ACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACO＝∠BCO＝45°，
∴△OCM是等腰直角三角形，
在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB10，
∴S△ABCAC BC（AB+AC+BC） OM，
∴6×8＝（10+6+8）×OM，
∴OM＝2，
∴OC2，
故答案为：2．
9．
【思路点拨】
分两种情形：分别是AC上的中线BD＝AC，BC上的中线AE＝BC，分别画出图形，利用勾股定理解决问题即可．
【解题过程】
解：如图，当AC上的中线BD＝AC时，
∵AC＝2，
∴BD＝2，CD＝1，
在Rt△BDC中，由勾股定理得，BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB；
当BC上的中线AE＝BC时，设CE＝x，则AE＝BC＝2x，
在Rt△ACE中，由勾股定理得，x2+22＝（2x）2，
∵x＞0，
∴x，
∴BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB；
∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故不符合题意，
故答案为：或．
三、解答题
10．
解：∵∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，
∴BC25，
∵S△ABCAB ACBC AD，
∴AB AC＝BC AD，
∴15×20＝25AD，
∴AD＝12；
∵AD⊥BC，
∴BD9．
11．
解：如图，连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC，
∴AC2．
∴ABAC．
又∵∠BCD＝120°，
∴∠ACD＝120°﹣30°＝90°．
∵CD＝2，
∴AD2，即AD＝2．
12．
解：过点A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，
在Rt△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即252﹣BD2＝172﹣（28﹣BD）2，
解得：BD＝20，
∴AD15，
∴S△ABC28×15＝210．
13．
解：如图，取AC的中点E，连接DE，
∵点D为AB的中点，BC＝6，
∴DE∥BC，且DEBC＝3．
∵DC⊥BC，
∴DC⊥DE．
∵∠ACB＝135°，∠DCB＝90°，
∴∠DCE＝135°﹣90°＝45°．
∴∠DEC＝∠DCE＝45°．
∴DE＝DC＝3．
在直角△BCD中，由勾股定理知：BD3．
∴AB＝2BD＝6．
14．
解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB，
∵AB的中垂线DE交AB于点D，
∴ADAB；
（2）∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴BF＝AF，
∴CF＝BF﹣BC＝AF﹣1，
∵∠ACF＝90°，
∴CF2+AC2＝AF2，
∴（AF﹣1）2+22＝AF2，
∴AF，
故AF的长为．
15．
（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD．
∴∠EAD＝∠ADE．
∴AE＝DE；
（2）解：过点D作DF⊥AB于F．
∵∠C＝90°，AC＝3，，
在Rt△ACD中，由勾股定理得 AC2+DC2＝AD2．
∴．
∵AD平分∠BAC，
∴DF＝DC．
又∵AD＝AD，∠C＝∠AFD＝90°，
∴Rt△DAC≌Rt△DAF（HL）．
∴AF＝AC＝3，
∴Rt△DEF中，由勾股定理得 EF2+DF2＝DE2．
设AE＝x，则DE＝x，EF＝3﹣x，
∴，
∴x＝2．
∴AE＝2．
16．
解：（1）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：．
（2）过点D作DE⊥AB于点E，如图．
∴∠DEA＝90°＝∠C（垂直定义）．
∵AD平分∠CAB（已知），
∴∠1＝∠2（角平分线定义）．
在△AED和△ACD中，
，
∴△AED≌△ACD（AAS）．
∴AE＝AC＝6，DE＝DC（全等三角形的对应边相等）．
∴BE＝AB﹣AE＝4．
设CD＝x，则DE＝x，DB＝8﹣x．
在Rt△DEB中，∠DEB＝90°，
由勾股定理，得（8﹣x）2＝x2+42．
解得x＝3．
即CD＝3．
17．
解：连接BD，作DE⊥AB于E，
∵AB＝AD＝12，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ADE＝30°，
∴AE＝BEAB＝6，∠ADB＝60°，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，
∴DE6，
∴S△ABDAB DE12×636，
∵∠ADC＝150°，
∴∠CDB＝∠ADC﹣∠ADB＝150°﹣60°＝90°，
∴△BCD是直角三角形，
又∵四边形的周长为42，
∴CD+BC＝42﹣AD﹣AB＝42﹣12﹣12＝18，
设CD＝x，则BC＝18﹣x，
在Rt△ADE中，BC2＝CD2+BD2，
∴122+x2＝（18﹣x）2，
解得x＝5，
∴S△BDC12×5＝30，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝3630．
18．
解：（1）∵AC＝5，CE＝1，AE，
∴AC2+CE2＝26，AE2＝26，
∴AC2+CE2＝AE2，
∴∠ACE＝90°，
∵BC＝CE+BE＝5，AC＝5，
∴AB5；
（2）①当BF＝BE＝4时，
AF＝AB﹣BF＝54；
②如图，当BF＝EF时，有∠FEB＝∠B＝45°，
∴∠BFE＝90°，BF＝EF，
设BF＝EF＝x，
∵BF2+EF2＝BE2，
∴x2+x2＝42，
∴x＝2（负值舍去），
∴AF＝AB﹣BF＝523；
③如图，当BE＝EF时，有∠EFB＝∠B＝45°，
∴∠BEF＝90°，EF＝BE＝4，
∴BF4，
∴AF＝AB﹣BF＝5．
综上所述，AF的长为54或3或．
19．
解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，
∴BC＝4（cm）；
（2）由题意知BP＝tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4；
②当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，
AP2＝32+（t﹣4）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2，
解得：t，
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t；
（3）如图，
①当AB＝BP时，t＝5；
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8；
③当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以t2＝32+（4﹣t）2，
解得：t，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t．
20．
解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB13，
∴AB的长为13；
（2）当点P在AC上时，CP＝CB＝5，t＝5（s）；
当点P在AB上时，分三种情况：
①当BP＝BC＝5，如图1所示：
则AP＝13﹣5＝8，t＝12+8＝20（s）；
②当CP＝CB＝5时，
过点C作CM⊥AB于M，如图2所示：
则BM＝PMBP，
∵AC BCAB CM，
∴CM，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：BM，
∴BP＝2BM，
∴AP＝13，
∴t＝12（s）；
③当PC＝PB时，如图3所示：
则∠B＝∠BCP，
∵∠B+∠A＝90°，∠BCP+∠ACP＝90°，
∴∠A＝∠ACP，
∴AP＝PC，
∴AP＝PBAB，
∴t＝12（s）；
综上所述，当t＝5s或20s或s或s时，△BCP为等腰三角形．