北师大版八年级数学上册试题 第一章 勾股定理 单元测试卷 （含详解）

第一章《 勾股定理》单元测试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列各组数中，是勾股数的一组是（　　）
A．6，7，8 B．5，12，13 C．0.6，0.8，1 D．2，4，5
2．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形网格中不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，正方形ABCD的顶点A，D在数轴上，且点A表示的数为﹣1，点D表示的数为0，用圆规在数轴上截取AE＝AC，则点E所表示的数为（　　）
A．1 B．1 C．1 D．
4．如图是一正方体的平面展开图，若AB＝6，则该正方体A、B两点间的距离为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．（如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　）
A．4≤a≤5 B．3≤a≤4
C．2≤a≤3 D．1≤a≤2
6．一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所视的隧道，则卡车的外形高必须低于（　　）
A．3.0米 B．2.9米
C．2.8米 D．2.7米
7．如图，在三角形ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，点D为BC的中点，则点D到AC的距离为（　　）
A．15 B．
C．9 D．
8．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，∠B＝90°，∠D＝α．则∠BCD的大小为（　　）
A．α B．90°﹣α
C．45°+α D．135°﹣α
9．在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝3，∠A＝120°，点D在边BC上．若△ABD是直角三角形，则AD的长度是（　　）
A． B．或1 C．或 D．1或
10．在证明勾股定理时，甲、乙两位同学分别设计了方案：
甲：如图，用四个全等的直角三角形拼成，其中四边形ABDE和四边形CFGH均是正方形，通过用两种方法表示正方形ABDE的面积来进行证明；
乙：两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，通过用两种方法表示四边形ACBE的面积来进行证明．
对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（　　）
A．甲、乙均对 B．甲对、乙不对
C．甲不对，乙对 D．甲、乙均不对
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．在Rt△ABC中，若AB＝5，BC＝3，则AC＝　 　．
12．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是　 　cm．
13．如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为300米，到公交车站（D点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，则商店C与车站D之间的距离是 　 　米．
14．如图，已知在四边形ABCD中，AB⊥BC，DA⊥AC，BC＝3cm，AB＝4cm，AD＝12cm．若以CD为边，向形外作正△CDE，则△CDE的面积为 　 　．
15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，D为AC中点，E为边AB上一动点，当构成的四边形BCDE有一组邻边相等时，则AE的长可以是　 　．
三．解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（4分）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？
17．（4分）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．
18．（4分）如图，在△ABC中，D为AB的中点，且DC⊥BC，DE⊥DC交AC于点E，DE，CE＝2，BC＝4，求AB的长．
19．（6分）规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题.；（S1是△OA1A2的面积）；
；（S2是△OA2A3的面积）；
；（S3是△OA3A4的面积）；
…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式Sn＝　 　；
（2）推算出OA10＝　 　；
（3）求出的值．
20．（6分）如图，平面直角坐标系中，点A（0，3）和B（4，0），点M（8，m）为坐标平面内一动点，且△ABM为等腰三角形，求点M的坐标．
21．（6分）沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一城镇，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为：AC＝30km，BC＝40km，AB＝50km，以沙尘暴中心为圆心周围25km以内为受影响区域．
（1）请通过计算说明城镇C会受到沙尘暴影响的原因；
（2）若沙尘暴中心的移动速度为20km/h，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？
22．（6分）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．
23．（8分）综合与实践：
问题情境
学过几何的人都知道勾股定理，它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400多种．在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．
操作发现
如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，他们借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，所画出的△ABC的三边长分别是AB＝　 　，BC＝　 　，AC＝　 　；△ABC的面积为 　 　．
实践探究
（2）在图2所示的正方形网格中画出△DEF（顶点都在格点上），使DE，DF，EF，并写出△DEF的面积．
继续探究
（3）若△ABC中有两边的长分别为a，a（a＞0），且△ABC的面积为2a2，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的△ABC（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上 　 　．
24．（11分）已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，在BC边上的运动速度是每秒2cm，在AC边上的运动速度是每秒1.5cm，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，t为何值时，△ACQ的面积是△ABC面积的；
（3）当点Q在边CA上运动时，t为何值时，PQ将△ABC周长分为23：25两部分．
答案
一．选择题
1．
【思路点拨】
根据勾股数的概念判断即可．
【解题过程】
解：A、∵62+72≠82，
∴6，7，8不是一组勾股数，本选项不符合题意；
B、∵52+122＝132，
∴5，12，13是一组勾股数，本选项符合题意；
C、∵0.6，0.8，1不都是正整数，
∴0.6，0.8，1不是一组勾股数，本选项不符合题意；
D、∵22+42≠52，
∴2，4，5不是一组勾股数，本选项不符合题意；
故选：B．
2．
【思路点拨】
分别求A、B、C、D选项中各三角形的边长，根据勾股定理的逆定理可以判定A、B、D中三角形为直角三角形，C为钝角三角形，即可解题．
【解题过程】
解：设网格中每个小正方形的边长是1．
图A中各边长为2、4、2，22+42＝（2）2，故该三角形为直角三角形；
图B中各边长、2、，（）2+（2）2＝（）2，故该三角形为直角三角形；
图C中三角形各边长为、、，（）2+（）2＝（）2，故该三角形为钝角三角形；
图D中各边长为、2、5，（）2+（2）2＝52，故该三角形为直角三角形．
即A、B、D是直角三角形，C不是直角三角形．
故选：C．
3．
【思路点拨】
首先根据勾股定理可得AC，再根据AE＝AC可得AE，然后用﹣1+AE的长可得答案．
【解题过程】
解：由题意得，AC，
∴AE＝AC，
∴点E表示的数是﹣11，
故选：C．
4．
【思路点拨】
首先求出正方体的棱长，进而得出正方体A、B两点间的距离即可．
【解题过程】
解：∵AB＝6，
∴该正方体的棱长为3，
∴把正方形组合起来之后会发现A、B在同一平面的对角线上，
所以该正方体A、B两点间的距离为3，
故选：B．
5．
【思路点拨】
如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分a最短，此时a就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分a最长，此时a可以利用勾股定理在Rt△ABO中即可求出
【解题过程】
解：当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短，
此时b就是圆柱形的高，
即b＝12cm；
∴a＝16﹣12＝4（cm），
当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长，
b13（cm），
∴此时a＝3，
所以3≤a≤4．
故选：B．
6．
【思路点拨】
根据题意欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线0.8米处的高度比车高即可，根据勾股定理得出CD的长，进而得出CH的长，即可得出答案．
【解题过程】
解：∵车宽1.6米，
∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线0.8米处的高度与车高．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：
CD0.6（米），
∴CH＝CD+DH＝0.6+2.3＝2.9（米），
∴卡车的外形高必须低于2.9米．
故选：B．
7．
【思路点拨】
连接AD，过点D作DE⊥AC于点E，根据已知和等腰三角形的性质得出AD⊥BC和CD＝8，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出即可．
【解题过程】
解：如图，连接AD，过点D作DE⊥AC于点E，DE的长即为所求，
∵AB＝AC，D为BC的中点，BC＝16，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝8，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD15，
∵S△ADC AD CD AC DE，
∴15×817 DE，
解得DE
故选：D．
8．
【思路点拨】
由于∠B＝90°，AB＝BC＝2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC＝45°，而CD＝3，DA＝1，易得AC2+DA2＝CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD＝90°，从而易求∠BAD，进而得出∠BCD．
【解题过程】
解：∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC，∠BAC＝45°，
又∵CD＝3，DA＝1，
∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9，
∴AC2+DA2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∴∠DAB＝45°+90°＝135°，
∵∠D＝α，
∴∠BCD＝360°﹣90°﹣135°﹣α＝135°﹣α，
故选：D．
9．
【思路点拨】
分两种情况：①当∠ADB＝90°，即AD⊥BC时，当∠BAD′＝90°，即AD′⊥AB时，根据勾股定理即可得到结论．
【解题过程】
解：∵△ABD是直角三角形，
∴①当∠ADB＝90°，即AD⊥BC时，
∵AB＝AC，BC＝3，
∴BDBC，
∴AD；
②当∠BAD′＝90°，即AD′⊥AB时，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴AD′BD′，
∵AB2+AD′2＝BD′2，
∴3+AD′2＝4AD′2，
∴AD′＝1，
综上所述，AD的长度是或1，
故选：B．
10．
【思路点拨】
甲：根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式；
乙：根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形ACBE的面积，于是得到结论．
【解题过程】
甲：证明：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，设AC＝b，BC＝a，AB＝c．
由图可知S正方形ABDE＝4S△ABC+S正方形FCHG
∵S正方形ABDE＝c2，S△ABCab，正方形FCHG边长为a﹣b，
∴c2＝4ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2
即c2＝a2+b2．故甲对；
乙：证明：∵四边形ACBE的面积＝S△ACB+S△ABEAB DGAB EGAB （DG+EG）AB DEc2，
四边形ACBE的面积＝S四边形ACFE+S△EFB（AC+EF） CFBF EF（b+a）b（a﹣b） ab2aba2aba2b2，
∴c2a2b2，
即a2+b2＝c2．故乙对，
故选：A．
二．填空题
11．
【思路点拨】
分两种情况：①AB为斜边时；②AB和BC为直角边长时，在直角三角形中，已知两直角边根据勾股定理可以求得AC的长度．
【解题过程】
解：在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3，
①AB为斜边时，由勾股定理得：AC4；
②AB和BC为直角边长时，由勾股定理得：AC．
综上所述，AC的长度是4或．
故答案是：4或．
12．
【思路点拨】
根据题意，过A点和B点的平面展开图分三种情况，再根据两点之间线段最短和勾股定理可以分别求得三种情况下的最短路线，然后比较大小，即可得到A点到B点的最短路线，本题得以解决．
【解题过程】
解：由题意可得，
当展开前面和右面时，最短路线长是：15（cm）；
当展开前面和上面时，最短路线长是：7（cm）；
当展开左面和上面时，最短路线长是：（cm）；
∵15＜7，
∴一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm，
故答案为：15．
13．
【思路点拨】
过点A作AB⊥l于B，根据勾股定理解答即可．
【解题过程】
解：过点A作AB⊥l于B，
则AB＝300m，AD＝500m．
∴BD400m，
设CD＝xm，则CB＝（400﹣x）m，
根据勾股定理得：x2＝（400﹣x）2+3002，
x2＝160000+x2﹣800x+3002，
800x＝250000，
x＝312.5．
答：商店与车站之间的距离为312.5米，
故答案为：312.5．
14．
【思路点拨】
过D作DF⊥CE于F，由AB⊥BC，得AC2＝AB2+BC2＝25，由DA⊥AC，得CD13，根据△DCE是等边三角形，即可得△CDE的面积为CE DF．
【解题过程】
解：过D作DF⊥CE于F，如图：
∵AB⊥BC，
∴AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25，
∵DA⊥AC，
∴CD13，
∵△DCE是等边三角形，
∴CE＝CD＝DE＝13，
∵DF⊥CE，
∴CF＝EFCE，
∴DF，
∴△CDE的面积为CE DF13，
故答案为：．
15．
【思路点拨】
分BC＝BE、CD＝DE、BE＝DE三种情况考虑，当BC＝BE时，由AE＝AB﹣BE即可求出AE的长度；当CD＝DE时，过点D作DF⊥AE于F，通过解直角三角形可得出AF的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可得出AE的长度；当BE＝DE时，过点D作DF⊥AE于F，设EF＝x，则BEx，利用勾股定理表示出DE2的值，结合BE＝DE即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，进而即可得出AE的长度．综上即可得出结论．
【解题过程】
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，
∴AB＝4，
∴∠A＝30°，
∵D为AC中点，
∴AD＝CD，
当构成的四边形BCDE有一组邻边相等时，由以下三种情况．
（1）如图1，当BC＝BE时，
∴BE＝BC＝2，
∴AE＝AB﹣BE＝4﹣2＝2；
（2）如图2，当CD＝DE时，作DF⊥AE，垂足为点F，
AD＝CD＝DE，
∴AF＝EFAE，
在Rt△ADF中，DFAD，
∴AF；
∴AE＝23；
（3）如图3，当BE＝DE时，作DF⊥AE，垂足为点F，
BF＝AB﹣AF＝4，
设EF＝x，则BE＝BF﹣EFx，
在Rt△DEF中，DF，DE＝BEx，EF＝x，
∴EF2+DF2＝DE2，即
x2，
解得：x，
即EF，
∴AE＝AF+EF．
故答案为：2或3或．
三．解答题
16．
解：正确．理由：
∵m表示大于1的整数，
∴a，b，c都是正整数，且c是最大边，
∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2，
∴a2+b2＝c2，
即a、b、c为勾股数．
当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5．
17．
解：设AB＝x，则AC＝x+1，
由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5，
∴Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
即x2+52＝（x+1）2，
解得x＝12，
答：风筝距离地面的高度AB为12米．
18．
解：DE⊥DC，
∴∠CDE＝90°，
∵DE，CE＝2，
∴CD，
∵DC⊥BC，
∴∠DCB＝90°，
∵BC＝4，
∴BD3，
∵D为AB的中点，
∴AB＝2BD＝6．
19．
解：（1）结合已知数据，可得：Sn；
故答案为：；
（2）∵；
；
；
……
∴OA10210；
∴OA10．
故答案为：．
（3）
＝2×（）
＝2
＝22．
20．
解：∵点A（0，3）和B（4，0），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB，
设点M（8，m），
∵△ABM为等腰三角形，
∴①当BM＝AB时，
∴5，
∴m＝3或m＝﹣3（A、B、M三点共线舍去），
∴M（8，3），
②当AM＝BM时，，
∴m，
∴M（8，），
③当AM＝AB时，M点不在y＝8上，
即：点M（8，3）或（8，）．
21．
解：（1）城镇C会受到沙尘暴影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝30km，BC＝40km，AB＝50km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABCAC×BCCD×AB，
则AC×BC＝CD×AB，
∴30×40＝50×CD，
∴CD24（km），
∵以台风中心为圆心周围25km以内为受影响区域，
∴城镇C会受到沙尘暴影响；
（2）当EC＝25km，FC＝25km时，正好影响C城镇，
∵ED7（km），
∴EF＝14km，
∵沙尘暴中心的移动速度为20km/h，
∴14÷20＝0.7（小时），
答：沙尘暴影响该城镇持续的时间为0.7小时．
22．
解：（1）是．
理由：∵AM2+BN2＝22+（2）2＝16，MN2＝42＝16，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．
故点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（7﹣x）2＝x2+25，解得x；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝25+（7﹣x）2，解得x．
综上所述BN的长为或．
23．
解：（1）AB5，BC，AC，
△ABC的面积＝4×43×41×43×1，
故答案为：5；；；；
（2）画出△DEF如图所示：
△DEF的面积＝3×43×22×42×1＝4；
（3）4a或，画图见解析．
如图3所示，，，，此时AC＝4a；
如图4所示，，，，
此时；
故答案为：4a或．
24．
解：（1）当t＝2s时，点Q在边BC上运动，
则AP＝2cm，BQ＝2t＝4（cm），
∵AB＝8cm，
∴BP＝AB﹣AP＝8﹣2＝6（cm），
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ2（cm），
∴PQ的长为2cm；
（2）∵S△ACQCQ AB，S△ABCBC AB，点Q在边BC上运动时，△ACQ的面积是△ABC面积的，
∴CQBC6＝2（cm），
∴BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2＝4（cm），
∴t2，
∴当点Q在边BC上运动时，t为2时，△ACQ的面积是△ABC面积的；
（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC10（cm），
当点P达到点B时，t8，
当点Q达到点A时，t，
∵当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，
∴0≤t≤8，
∵AP＝tcm，
∴BP＝（8﹣t）cm，点Q在CA上运动时，CQ＝1.5×（t）＝（1.5t﹣4.5）（cm），
∴AQ＝10﹣（1.5t﹣4.5）＝（﹣1.5t+14.5）（cm），
∴BP+BC+CQ＝8﹣t+6+1.5t﹣4.5＝（0.5t+9.5）（cm），AP+AQ＝t+（﹣1.5t+14.5）＝（﹣0.5t+14.5）（cm），
分两种情况：
①，
即，
解得：t＝4，
经检验，t＝4是原方程的解，
∴t＝4；
②，
即，
解得：t＝6，
经检验，t＝6是原方程的解，
∴t＝6；
综上所述，当点Q在边CA上运动时，t为4或6时，PQ将△ABC周长分为23：25两部分．