(共38张PPT)
第八节 正弦、余弦定理应用举例
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
测量中的几个有关术语
术语 名称 术语意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：
坡角与坡比
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)东南方向与南偏东45°方向相同．( )
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围是[0，].( )
(4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角的大小范围一般是[0，)．( )
√
×
×
√
2．如图，两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
答案：B
解析：
观察可知
∠ACB＝90°－40°＋90°－60°＝80°，
∵AC＝BC，
∴∠CBA＝50°，
根据平行线的性质可知∠CBD＝60°，
∴∠ABD＝10°，
∴灯塔A在灯塔B北偏西10°.故选B.
3．如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从点C，D测得点A的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________．
答案：a
解析：由三角形的外角和定理可知：
∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，
∴AC＝CD＝a，
在Rt△ABC中，
AB＝AC·sin 60°＝a，
A点离地面的高度AB＝a.
课堂互动探究案
会运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
关键能力·题型剖析
题型一 测量距离问题
例 1 [2024·广东广州模拟]海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝35 m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A、B两点的距离为________ m．
35
解析：因为∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，所以∠ADC＝150°，∠DAC＝∠DCA＝15°，所以AD＝CD＝35，
又因为∠ACB＝120°，所以∠BCD＝135°，∠CBD＝30°，
在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝，解得BD＝35，
在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos ∠ADB，
所以AB2＝352＋(35)2－2×35×35×(－)，解得AB＝35 m.
题后师说
测量距离问题的求解策略
巩固训练1
[2024·河南驻马店模拟]如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度MC＝100 m，NB＝50 m，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为60°，N点的仰角为30°，以及∠MAN＝45°，则M，N间的距离为( )
A．100 m B．120 m
C．100 m D．200 m
答案：A
解析：由题意，可得∠MAC＝60°，∠NAB＝30°，MC＝100，NB＝50，∠MAN＝45°，且∠MCA＝∠NBA＝90°，
在直角△ACM中，可得AM＝＝200，
在直角△ABN中，可得AN＝＝100，
在△AMN中，由余弦定理得MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN cos ∠MAN＝20 000，
所以MN＝100 m．故选A.
题型二 测量高度问题
例 2 [2024·黑龙江鹤岗模拟]某同学为了测量学校天文台CD的高度，选择学校宿舍楼三楼一阳台A，A到地面的距离AB为30(2－) m，在它们之间的地面上的点M(B、M、D三点共线)处测得阳台A，天文台顶C的仰角分别是15°和30°，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为15°，假设AB、CD和点M在同一平面内，则学校天文台CD的高度为________ m.
30
解析：在Rt△ABM中，AM＝，
在△ACM中，∠CAM＝15°＋15°＝30°，∠AMC＝180°－15°－30°＝135°，
∠ACM＝180°－135°－30°＝15°，
由正弦定理得＝，
故MC＝·AM＝·＝＝＝，
在Rt△CDM中，CD＝MC·sin 30°＝＝30，
故学校天文台CD的高度为30 m.
题后师说
测量高度问题的三个注意点
(1)要理解仰角、俯角、方向(位)角的概念．
(2)在实际问题中，若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
巩固训练2 [2024·安徽黄山模拟]如图，有一古塔，在A点测得塔底位于北偏东30°方向上的点D处，在A点测得塔顶C的仰角为30°，在A的正东方向且距D点30 m的B点测得塔底位于西偏北45°方向上(A，B，D在同一水平面)，则塔的高度CD约为(≈1.414，≈1.732)( )
A．17.32 m B．14.14 m
C．10.98 m D．6.21 m
答案：B
解析：由已知可得，在△ABD中，有∠BAD＝60°，∠ABD＝45°，BD＝30，
根据正弦定理＝可得，
AD＝sin ∠ABD＝＝10.
在Rt△ADC中，有∠CAD＝30°，AD＝10，
tan ∠CAD＝，所以CD＝AD tan 30°＝10＝10≈14.14(m)．故选B.
题型三 测量角度问题
例 3 [2024·广东深圳模拟]如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以3海里/小时的速度沿着直线追击．
(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里；
解析：由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时BD＝3×1＝3，AC＝2×1＝2，
由题意知∠BAC＝90°－30°＝60°，
在△ABC中，AB＝，AC＝2，
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC
＝()2＋(2)2－2()·2＝12，
所以BC＝2，
在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，
故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里．
∴sin ∠ABC＝，∴∠ABC＝45°(135°舍去)，
∴∠ACB＝180°－60°－45°＝75°，
又∠CBD＝180°－45°－45°－60°＝30°，
在△BCD中，∠CBD＝30°，BD＝3，BC＝2，
由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°
＝(2)2＋32－2×2×3·cos 30°＝3，
∴CD＝，
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船．
解析：当巡逻艇经过t小时经CE方向在E处追上走私船，
则CE＝3t，DE＝3t，CD＝，
在△BCD中，由正弦定理得＝＝，则＝＝，
∴sin ∠BCD＝，∴∠BCD＝60°，∠BDC＝90°，∠CDE＝135°，
在△CDE中，由正弦定理得＝，
则sin ∠DCE＝＝，故∠DCE＝30° (150°舍)，
∠ACE＝∠ACB＋∠BCD＋∠DCE＝75°＋60°＋30°＝90°＋75°，
故巡逻艇应该沿北偏东75°方向去追，才能最快追上走私船．
题后师说
角度问题的解题方法
首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．
巩固训练3
[2024·湖南长沙模拟]如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝( )
A． B．
C．－1 D．－1
答案：C
解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴AC＝100.
在△ADC中，＝，
∴cos θ＝sin (θ＋90°)＝＝－1.故选C.
1.[2021·全国甲卷]2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B, C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)( )
A．346 B．373
C．446 D．473
答案：B
解析：如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝.在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝75°，则BD＝A′B′＝.又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝
＋100＝＋100＝
100(＋1)＋100≈373.
2．[2021·全国乙卷]魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝( )
A．＋表高
B．－表高
C．＋表距
D．－表距
答案：A
解析：如图所示：
由平面相似可知，＝＝，而 DE＝FG，
所以＝＝＝＝，而 CH＝CE－EH＝CG－EH＋EG，
即AB＝×DE＝＋DE＝＋表高．故选A.
3．[2024·山西太原模拟]某海轮以30海里/时的速度航行，在点A测得海面上油井P在南偏东60°方向上，向北航行40分钟后到达点B，测得油井P在点B的南偏东30°方向上，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达点C，则P、C间的距离为________海里．
20
解析：如图，在△ABP中，AB＝30×＝20(海里)，
∠BAP＝120°，∠BPA＝30°，
由＝，得＝，
解得BP＝20海里．
在△BPC中，BC＝30×＝40(海里)，
由已知得∠PBC＝90°，
所以PC＝＝＝20(海里)，
所以P、C间的距离为20海里．(共38张PPT)
第二节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：________________(α∈R)．
(2)商数关系：tan α＝________(α≠kπ＋，k∈Z)．
sin2α＋cos2α＝1
2．三角函数的诱导公式
角 函数名 sin α cos α tan α
2kπ＋α(k∈Z) ________ ________ ________
－α ________ ________ ________
π＋α ________ ________ ________
π－α ________ ________ ________
________ ________
________ ________
sin α
cos α
tan α
－sin α
cos α
－tan α
－sin α
－cos α
tan α
sin α
－cos α
－tan α
cos α
sin α
cos α
－sin α
【常用结论】
同角三角函数关系式的常用变形
sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；
(sinα±cos α)2＝1±2sin αcos α；
sin α＝tan αcos α；
sin2α＝＝；
cos2α＝＝.
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意α，β∈R，有sin2α＋cos2β＝1.( )
(2)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．( )
(3)若α∈R，则tanα＝恒成立．( )
(4)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )
×
√
×
×
2．(教材改编)已知tan α＝，α∈(π，)，则cos α的值是( )
A．± B．
C．－ D．
答案：C
解析：由题意可得∴
∴α∈(π，)，∴cos α＝－.故选C.
3．(教材改编)已知tan α＝2，则的值为________．
答案：3
解析：＝＝＝＝3.
4．(易错)已知A＝(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．
答案：{2，－2}
解析：当k为偶数时，A＝＝2.
当k为奇数时，A＝＝－2.
∴A的值构成的集合是{2，－2}．
5．(易错)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为________．
答案：
解析：因为<α<，所以－
－10，
又(cos α－sin α)2＝cos2α＋sin2α－2sinαcos α＝1－2×＝，
所以cos α－sin α＝.
课堂互动探究案
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2．掌握诱导公式并会简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】 关系式sin2α＋cos2β＝1恒成立吗？
提示：不恒成立．当角α和角β为同一个角时恒成立．
【问题2】 诱导公式可简记为奇变偶不变，符号看象限，“奇”与“偶”是什么意思？“变”与“不变”是什么意思？“符号看象限”指的是什么？
提示：“奇”与“偶”指的是诱导公式k·＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k是偶数，则函数的名称不变．“符号看象限”指的是在k·＋α中，将α看成锐角时k·＋α所在的象限．
关键能力·题型剖析
题型一 诱导公式的应用
例 1 (1)的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案：B
解析：原式＝＝－1.故选B.
(2)[2024·山东德州模拟]已知sin (＋x)＝，则cos (＋x)＝____________．
答案：－
解析：cos (＋x)＝cos (π＋＋x)＝－cos (＋x)＝－sin (＋x)＝－sin (＋x)＝－.
题后师说
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos (5π－α)＝cos (π－α)＝－cos α.
(3)用诱导公式求值时，要善于观察所给角与已知角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程．常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等，常见的互补关系有－θ与＋θ，＋θ与－θ，＋θ与－θ等．
巩固训练1
(1)[2024·江苏常州模拟]已知sin (－α)＝，则sin (＋α)＝( )
A． B．－ C．－ D．
答案：A
解析：sin (＋α)＝sin ＝sin (－α)＝，故选A.
(2)＝________．
答案：
解析：因为tan (－150°)＝tan (30°－180°)＝tan 30°，cos (－570°)＝cos 570°＝cos (30°＋540°)＝－cos 30°，
cos (－1 140°)＝cos 1 140°＝cos (60°＋1 080°)＝cos 60°，
tan (－210°)＝－tan 210°＝－tan (30°＋180°)＝－tan 30°，
sin (－690°)＝sin (30°－720°)＝sin 30°，
所以＝
＝＝cos 30°＝.
题型二 同角三角函数的基本关系式的应用
角度一 已知角的某个三角函数值，求其余三角函数值
例 2 [2024·江西吉安模拟]已知cos (＋α)＝－，且α是第四象限角，则cos (－3π＋α)的值为( )
A． B．－ C．± D．
答案：B
解析：∵cos (＋α)＝－，
∴sin α＝－.由α是第四象限角，
∴cos (－3π＋α)＝－cos α＝－＝－.故选B.
题后师说
利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．注意公式的逆用及变形应用．
巩固训练2
已知tan α＝2，π<α<，则cos α－sin α＝( )
A. B．－ C． D．－
答案：A
解析：因为tanα＝＝2，且sin 2α＋cos 2α＝1，π<α<，
所以sin α＝－，cos α＝－，
所以cos α－sin α＝－－(－)＝.故选A.
角度二 弦切互化问题
例 3 (1)已知tan α＝2，则＝( )
A. B．
C． D．
答案：C
解析：因为tan α＝2，所以cos α≠0.
所以＝＝＝＝.故选C.
(2)[2024·河北张家口模拟]已知sin α＝2sin (－α)，则sin2α－sinαcos α＝______．
答案：
解析：由题知sin α＝2sin (－α)，即sin α＝2cos α，
∴tan α＝2，且cos α≠0，
∴sin2α－sinαcos α＝
＝＝＝.
题后师说
“弦化切”的两种常用的策略
巩固训练3
(1)[2024·安徽合肥模拟]已知＝2，则tan α＝( )
A． B．
C．－ D．－
答案：B
解析：(1)因为＝2，所以cos α＋2sin α＝2，且cos α≠0，
所以cos2α＋4sinαcos α＋4sin2α＝4，即4sinαcos α＝3cos2α，cosα≠0，
所以tan α＝.故选B.
(2)已知tan α＝－3，则＝________．
答案：
解析：因为tan α＝－3，所以＝＝＝＝.
角度三 sin α±cos α，sin αcos α之间的关系
例 4 [2024·河南荥阳模拟]已知sin α＋cos α＝.
(1)求sin α·cos α的值；
(2)若＜α＜π，求的值．
解析：(1)(sinα＋cos α)2＝＝1＋2sin αcos α，
∴sin αcos α＝－.
(2)原式＝＝，
∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2·(－)＝，
又∵α∈(，π)，∴cos α<0，sin α>0，cos α－sin α<0，
∴cos α－sin α＝－，
∴原式＝＝.
题后师说
(1)对于三角函数式sin θ±cos θ，sin θ·cos θ之间的关系，可以通过(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θ·cos θ进行转化．
(2)若已知sin θ±cos θ，sin θ·cos θ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sin θ，cos θ的值，从而求出其余的三角函数值．
巩固训练4 已知α∈(0，)，且sin α＋cos α＝，则tan α的值为( )
A． B．－
C． D．－
答案：C
解析：由sin α＋cos α＝，两边平方得sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝，
因为sin2α＋cos2α＝1，所以2sinαcos α＝，
又(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcos α＝1－＝，
又因为α∈(0，)，所以sin α联立sin α－cos α＝－与sin α＋cos α＝，
求得sin α＝，cos α＝，故tan α＝＝.故选C.
1．化简＝( )
A． B．－
C．tanα D．
答案：C
解析：＝＝＝tan α，故选C.
2．[2021·新高考Ⅰ卷]若tan θ＝－2，则＝( )
A．－ B．－
C． D．
答案：C
解析：将式子进行齐次化处理得：
＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C.
3．[2024·河北保定模拟]若α∈(π，)，且sin α＋cos α＝－，则sin α－cos α＝( )
A． B．－
C．± D．无法确定
答案：C
解析：α∈(π，)，所以sin α<0，cos α<0，
由
消去cos α并化简得sin2α＋sinα＋＝0，即(sin α＋)(sin α＋)＝0，
所以解得或，
所以sin α－cos α＝或sin α－cos α＝－.故选C.
4．[2023·全国乙卷]若θ∈(0，)，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________．
答案：－
解析：由
，且θ∈，解得，故sin θ－cos θ＝－.(共53张PPT)
第六节 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.函数y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念
y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝____ ____ φ
ωx＋φ
2.用“五点法”画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
ωx＋φ 0 π 2π
x ____ ____ ____ ____
____
y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
【常用结论】
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．由y＝sin ωx到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)将函数y＝3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin (2x＋)．( )
(2)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( )
(3)将函数y＝2sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得函数y＝2sin 的图象．( )
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( )
×
×
×
√
2．(教材改编)将函数f(x)＝sin (x＋)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数表达式为( )
A．y＝sin (2x＋) B．y＝sin (2x＋)
C．y＝sin (x＋) D．y＝sin (x＋)
答案：C
解析：将函数f(x)＝sin (x＋)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin (x＋)．故选C.
3．(教材改编)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则函数f(x)的解析式为____________．
答案：f(x)＝2sin
解析：由图象知：A＝2，T＝4×＝4π，
所以＝4π，又因为ω>0，所以ω＝，
所以f(x)＝2sin ，
又f＝2，所以2sin ＝2，
即sin ＝1，
又因为0<φ<π，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin .
4．(易错)要得到函数y＝sin (4x－)的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案：D
解析：y＝sin (4x－)＝sin 4(x－)，因此将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位．故选D.
5．(易错)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的相邻两个零点间的距离为，且f(－)＝－2，则φ＝________．
答案：－
解析：由题意知·＝，∴ω＝2.
∵f(－)＝2sin (－＋φ)＝－2，
又∵φ∈(－π，0)，∴φ＝－.
课堂互动探究案
1.了解函数y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义．
2．能画出y＝A sin (ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．
3．会用三角函数解决一些简单的实际问题．
问题思考·夯实技能
【问题1】 如图所示为函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象．利用零点代入求φ时，ωx1＋φ，ωx2＋φ取哪些值？
提示：若利用x1这样的零点(图象经过(x1，0)时函数单调递减)代入求φ的值，应令ωx1＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)；而如果利用x2这样的零点(图象经过(x2，0)时函数单调递增)代入求φ的值，应令ωx2＋φ＝2kπ(k∈Z)，应注意区分，不能笼统地令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)．
【问题2】 由函数y＝sin ωx(ω>0)的图象得到函数y＝sin (ωx＋)的图象，需要经过怎样的变换？将函数y＝sin (x＋φ)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到的图象对应的函数解析式是y＝sin (x＋φ)还是y＝sin (x＋)
提示：应将函数y＝sin ωx(ω＞0)的图象向左平移个单位长度才能得到函数y＝sin (ωx＋)的图象；如果将函数y＝sin (x＋φ)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到的图象对应函数解析式是y＝sin (x＋φ)，而不是y＝sin (x＋)．
关键能力·题型剖析
题型一 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
例 1 已知函数f(x)＝2sin (2x＋)．
(1)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
解析：(1)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.
列表如下：
描点、连线得图象如图所示．
π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
(2)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin (x＋)的图象，再将y＝sin (x＋)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin (2x＋)的图象，再将y＝sin (2x＋)上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin (2x＋)的图象．
【变式练习】 本例条件不变，第(2)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cos x的图象经过怎样的变换得到？
解析：因为f(x)＝2sin (2x＋)＝2cos (2x＋)＝2cos (2x－)，
将y＝cos x的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝cos (x－)的图象，再将y＝cos (x－)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝cos (2x－)的图象，再将y＝cos (2x－)上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2cos (2x－)的图象，即为f(x)＝2sin (2x＋)的图象．
题后师说
作函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象常用的方法
巩固训练1
(1)[2024·黑龙江双鸭山模拟]为了得到y＝cos (2x＋)的图象，可以将函数y＝cos x的图象( )
A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
B．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
答案：D
解析：将y＝cos x每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得y＝cos 2x，再向左平移个单位长度得y＝cos 2(x＋)＝cos (2x＋)．故选D.
(2)[2024·江西赣州模拟]将函数f(x)＝cos 2x＋sin 2x图象上的所有点向左平移φ(φ>0)个单位长度(纵坐标不变)后得到函数g(x)＝cos4x－sin4x的图象，则φ的最小值为( )
A． B．
C． D．
答案：D
解析：f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝sin (2x＋)，g(x)＝cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos2x－sin2x＝cos2x＝sin (2x＋)，所以φ的最小值为＝.故选D.
题型二 由图象确定y＝A sin(ωx＋φ)的解析式
例 2 [2024·辽宁鞍山模拟]函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g()＝( )
A． B．
C． D．1
答案：D
解析：由图象可知，＝1－(－1)＝2，得T＝8＝，所以ω＝，所以f(x)＝A cos (x＋φ)，
又因为(－1，0)在函数f(x)的图象上，所以A cos (－＋φ)＝0，
所以－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝－，即f(x)＝A cos (x－)．
又(0，)在函数f(x)的图象上，所以A cos (－)＝，即A＝2，
即f(x)＝2cos (x－)．
所以g(x)＝f(x＋1)＝2cos ＝2cos x，
所以g()＝2cos ()＝2cos ＝1.故选D.
题后师说
根据三角函数图象求解析式，重在对A，ω，φ的理解，主要从以下三个方面考虑：
(1)根据最大值或最小值求出A的值．
(2)根据周期求出ω的值．
(3)求φ的常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入．②五点法：确定φ的值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
巩固训练2
[2024·广东佛山模拟]已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________________．
答案：f(x)＝2sin (2x＋)
解析：由图象知，A＝2，T＝＝，∴T＝π，即ω＝＝2，
由图可知，2sin (2×＋φ)＝2，
∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<，
∴φ＝，
∴f(x)＝2sin (2x＋)．
题型三 三角函数图象、性质的综合应用
角度一 图象与性质的综合应用
例 3 (多选)[2024·山东潍坊模拟]将函数y＝sin 2x＋cos 2x的图象向左平移个单位，得到y＝f(x)的图象，则( )
A．f(x)是奇函数
B．f(x)的周期为π
C．f(x)的图象关于点(，0)对称
D．f(x)的单调递增区间为(k∈Z)
答案：BCD
解析：y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)的图象向左平移个单位得f(x)＝2sin ＝2sin (2x＋)＝2cos 2x，
所以f(x)为偶函数，故A不正确；
f(x)的最小正周期T＝＝π，故B正确；
又f()＝2cos ＝0，所以函数f(x)的图象关于点(，0)对称，故C正确；
则f(x)的单调递增区间满足－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，故D正确．故选BCD.
题后师说
研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
角度二 三角函数的零点(或方程的根)的问题
例 4 [2023·新课标Ⅱ卷]已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________．
答案：－
解析：对比正弦函数y＝sin x的图象易知，点为“五点(画图)法”中的第五点，所以ω＋φ＝2π ①.
由题知|AB|＝xB－xA＝，两式相减，得ω(xB－xA)＝，即ω＝，解得ω＝4.
代入①，得φ＝－，所以f(π)＝sin ＝－sin ＝－.
题后师说
利用三角函数图象解决方程的根或零点问题的方法
(1)研究函数y＝A sin (ωx＋φ)在给定区间上零点个数问题时，仍然采用整体换元的方法，将ωx＋φ作为一个整体，结合函数的周期性确定ωx＋φ的范围，从而解决问题．
(2)将方程的根转化为两函数图象的交点问题，结合三角函数的周期性，建立不等式组进行求解．
角度三 三角函数模型的简单应用
例 5 (多选)[2024·湖南株洲模拟]如图(1)是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道．建立平面直角坐标系如图(2)，h(单位：m)表示在时间t(单位：s)时，过山车(看作质点)离地平面的高度．轨道最高点P距离地平面50 m．最低点Q距离地平面10 m．入口处M距离地平面20 m．当t＝4 s时，过山车到达最高点P，t＝10 s时，过山车到达最低点Q.
设h(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)，下列结论正确的是( )
A.函数h(t)的最小正周期为12
B．φ＝
C．t＝14 s时，过山车距离地平面40 m
D．一个周期内过山车距离地平面低于20 m的时间是4 s
答案：ACD
解析：由题意可知，周期T满足＝10－4＝6，得T＝12，
所以＝12，得ω＝，又，解得A＝20，B＝30.
所以h(t)＝20sin (t＋φ)＋30，又h(0)＝20，即20sin φ＋30＝20，得sin φ＝－，因为|φ|<，所以φ＝－，所以h(t)＝20sin (t－)＋30.T＝12，A正确；φ＝－，B错误；h(14)＝20sin (×14－)＋30＝20sin ＋30＝40，C正确；
由h(t)<20，得20sin (t－)＋30<20，即sin (t－)<－＋2kπ所以一个周期内过山车距离地平面低于20 m的时间是(12＋12k)－(8＋12k)＝4 s，D正确．故选ACD.
题后师说
三角函数模型的应用体现在两个方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
巩固训练3
(1)[2024·河北衡水模拟]将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则下列关于g(x)说法正确的是( )
A．奇函数
B．在(0，)上单调递增
C．图象关于点(，0)对称
D．图象关于直线x＝对称
答案：D
解析：(1)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得函数y＝g(x)＝sin 2(x＋)＝sin (2x＋)＝cos 2x，
g(－x)＝cos (－2x)＝cos 2x＝g(x)，g(x)为偶函数，A错误；当x∈(0，)时，2x∈(0，)，∵y＝cos x在(0，)上单调递减，∴y＝g(x)在(0，)上单调递减，B错误；g()＝cos (2×)＝－≠0，图象不关于点(，0)对称，C错误；g()＝cos (2×)＝－1，图象关于直线x＝对称，D正确．故选D.
(2)[2024·江西吉安模拟]月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中12个月的月均温y(单位：℃)与月份x(单位：月)的关系可近似地用函数y＝A sin ＋a(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月均温为29℃，12月份的月均温为17℃，则10月份的月均温为( )
A. 20℃ B．20.5℃
C．21℃ D．21.5℃
答案：A
解析：(2)由题意可得，解得，
所以函数解析式为y＝6sin ＋23，
在函数解析式中，令x＝10，可得y＝6sin ＋23＝6×(－)＋23＝20.
因此，10月份的月均温为20℃.故选A.
(3)将函数f(x)＝2(cos x＋sin x)·cos x－1的图象向左平移个单位得到g(x)的图象，且当x∈时，关于x的方程g(x)－a＝0有三个不等实根，则实数a的取值范围为________．
答案：(－，－1]
解析：因为f(x)＝2(cos x＋sin x)·cos x－1＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)，
所以g(x)＝sin ＝sin (2x＋)，
因为x∈，所以2x＋∈，
当2x＋∈时，g(x)递减且g(x)∈；
当2x＋∈(]时，g(x)递增且g(x)∈(－]；
当2x＋∈(]时，g(x)递减且g(x)∈[－)，
因为g(x)－a＝0有三个不等实根，所以a∈(－，－1].
1．[2021·全国乙卷]把函数y＝f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin (x－)的图像，则f(x)＝( )
A．sin () B．sin ()
C．sin (2x－) D．sin (2x＋)
答案：B
解析：方法一 函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到y＝f(2x)的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到y＝f的图象，
根据已知得到了函数y＝sin (x－)的图象，所以f＝sin (x－)，
令t＝2(x－)，则x＝，x－＝，
所以f(t)＝sin ()，所以f(x)＝sin ()．
方法二 由已知的函数y＝sin (x－)逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到y＝sin (x＋)＝sin (x＋)的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin ()的图象，
即为y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin ()．故选B.
2．函数y＝sin (ωx＋φ)(x∈R，ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图象如图，则( )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
答案：C
解析：T＝而T＝4× (3－1)＝8，∴ω＝；当x＝1时，x＋φ＝，∴φ＝.故选C.
3．[2024·河南焦作模拟]已知函数f(x)＝cos (3x－)，若将y＝f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后所得的图象关于坐标原点对称，则m的最小值为( )
A． B． C． D．
答案：B
解析：f(x)＝cos (3x－)的图象向左平移m个单位长度后，得到的图象对应函数g(x)＝cos ＝cos (3x＋3m－)，
因为y＝g(x)的图象关于坐标原点对称，
所以3m－＝kπ＋(k∈Z)，即m＝(k∈Z)，
因为m>0，故当k＝0时，m取得最小值.故选B.
4．[2023·全国甲卷]函数y＝f(x)的图象由y＝cos (2x＋)的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
解析：把函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)＝cos ＝cos ＝－sin 2x的图象．作出函数f(x)的部分图象和直线y＝x－如图所示．观察图象知，共有3个交点．故选C.(共43张PPT)
第七节 正弦定理、余弦定理
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A、B、C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 任何三角形都适用 余弦定理
内容 a2＝_____________；
b2＝_____________；
c2＝_____________
b2＋c2－2bc cos A
a2＋c2－2ac cos B
a2＋b2－2ab cos C
变形
cos A＝________；
cos B＝________；
cos C＝________
根据符号可以判断角是锐角还是钝角
2R sin B
2R sin C
sin A∶sin B∶sin C
2.三角形的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝bc sin A＝ac sin B＝ab sin C.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
[常用结论]
1．三角形的内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；
变形：＝.
2．三角形中的三角函数关系：在△ABC中，
(1)sin (A＋B)＝sin C；
(2)cos (A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；
(4)cos ＝sin .
3．角平分线定理：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，则＝.
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形．( )
×
√
×
×
2．(教材改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos ∠BAC＝＝＝－，由A∈(0，π)，得A＝，即∠BAC＝.故选C.
3．(教材改编)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
答案：2
解析：在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c.
由题意及余弦定理得cos A＝＝＝，解得c＝2.
所以S＝bc sin A＝×4×2×sin 60°＝2.
4．(易错)在△ABC中，B＝30°，b＝，c＝2，则A＝( )
A．15° B．45°
C．15°或105° D．45°或135°
答案：C
解析：由正弦定理得sin C＝＝＝.∵c>b，B＝30°，∴C＝45°或135°，当C＝45°时，A＝105°；当C＝135°时，A＝15°.故选C.
5．(易错)在△ABC中，若sin2A＝sin2C，则△ABC的形状为________．
答案：等腰三角形或直角三角形
解析：在△ABC中，若sin 2A＝sin 2C.
可得2A＝2C或2A＋2C＝π，
所以A＝C或A＋C＝.
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．
课堂互动探究案
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形．
2．掌握三角形面积公式并能应用．
3．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
问题思考·夯实技能
【问题1】 如何判断三角形解的个数？
提示：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
【问题2】 对于△ABC，在①sin A＞sin B；②cos A＜cos B；③tan A＞tan B；④＜中，哪些是“A>B”的充要条件？哪些不是？
提示：①②④都是“A＞B”的充要条件；③不是“A＞B”的充要条件．①很明显；由于y＝cos x在(0，π)上单调递减，而A、B∈(0，π)，所以A＞B cos A＜cos B，故②成立；当A＝，B＝时，有A＞B，但tan A＜tan B，所以③不是“A＞B”的充要条件；又＜ ＜ sin B cos A＜sin A cos B sin (A－B)＞0 A＞B，所以④是“A＞B”的充要条件．
关键能力·题型剖析
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例 1 (1)[2024·福建三明模拟]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则B＝( )
A．30° B．45°
C．30°或150° D．45°或135°
答案：D
解析：由正弦定理＝得＝，sin B＝，又b>a，即B>A，又∵0°(2)[2024·湖北随州模拟]已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2，c2－a2＝2a＋4，则角C＝_______．
解析：因为b＝2，c2－a2＝2a＋4，则c2－a2＝ab＋b2，即a2＋b2－c2＝－ab，
可得cos C＝＝＝－，
且C∈(0，π)，所以C＝.
题后师说
利用正弦、余弦定理解题策略
巩固训练1
(1)[2024·河南新乡模拟]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝4，b＝3，sin A＝，则B＝( )
A． B． C． D．
答案：B
解析：因为a＝4，b＝3，sin A＝，所以sin B＝＝＝.因为b(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知＝，且a2－c2＝2b，则b＝( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：A
解析：＝，即为3c cos A＝a cos C，
即有3c·＝a·，
即有a2－c2＝b2，
又a2－c2＝2b，则2b＝b2，
解得b＝4.故选A.
题型二 判断三角形的形状
例 2 (1)[2024·安徽芜湖模拟]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos A＋b cos (A＋C)＝0，则△ABC为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
答案：D
解析：由a cos A＋b cos (A＋C)＝0，得a cos A－b cos B＝0，
由正弦定理得sin A cos A－sin B cos B＝0，所以sin 2A＝sin 2B，
因为0<2A<2π，0<2B<2π，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
所以A＝B或A＋B＝.即△ABC是等腰或直角三角形．
故选D.
(2)[2024·江苏南通模拟]在△ABC中，a－b＝c(cos B－cos A)，则这个三角形一定是( )
A.等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
答案：D
解析：由余弦定理可得：cos A＝，cos B＝，
代入a－b＝c(cos B－cos A)＝c cos B－c cos A中，
得a－b＝，
等式两边同乘2ab得：
2a2b－2ab2＝a2b＋c2b－b3－ab2－ac2＋a3，
移项合并得：a2b－ab2＋(－c2b＋ac2)－(a3－b3)＝0，
整理得：ab(a－b)＋c2(a－b)－(a－b)(a2＋ab＋b2)＝0，
即(a－b)(c2－a2－b2)＝0，
可得a＝b或a2＋b2＝c2，
则三角形为等腰三角形或直角三角形．故选D.
题后师说
判断三角形形状的方法
巩固训练2
(1)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＝c cos B，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
答案：B
解析：∵在△ABC中，a＝c cos B，
∴由正弦定理得sin A＝sin C cos B，又sin A＝sin (B＋C)，
∴sin (B＋C)＝sin C cos B，
即sin B cos C＋sin C cos B＝sin C cos B，
∴sin B cos C＝0，
∵在△ABC中B∈(0，π)，sin B>0，
∴cos C＝0，又C∈(0，π)，
∴C＝. ∴△ABC是直角三角形．故选B.
(2)[2024·广东广州模拟]在△ABC中，cos2＝，则△ABC的形状为______三角形．
直角
解析：在△ABC中，由cos2＝，得1＋cosB＝1＋，即a＝c cos B，
由余弦定理得a＝c·，整理得a2＋b2＝c2，
所以△ABC是直角三角形．
题型三 与三角形的面积(周长)有关的计算
例 3 [2022·新高考Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sin B＝.
(1)求△ABC的面积．
(2)若sin A sin C＝，求b.
解析：(1)∵边长为a的正三角形的面积为a2，
∴S1－S2＋S3＝(a2－b2＋c2)＝.
结合余弦定理，得ac cos B＝1，即cos B＝.
由sin B＝，得cos B＝，∴ac＝，
故S△ABC＝ac sin B＝＝.
(2)由正弦定理，得＝·＝＝＝，故b＝sin B＝.
题后师说
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝ab sin C＝ab sin C＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
巩固训练3
[2023·辽宁鞍山模拟]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos B(a＋b sin C)＋b sin B cos C＝0.
(1)求角B；
(2)若2c＝a，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
解析：(1)∵cos B(a＋b sin C)＋b sin B cos C＝0，
∴a cos B＋b(sin C cos B＋cos C sin B)＝0，∴a cos B＝－b sin (B＋C)＝－b sin A.
由正弦定理得sin A cos B＝－sin B sin A，
∵sin A≠0，∴tan B＝－，∵B∈(0，π)，∴B＝.
(2)∵△ABC的面积为，即ac sin B＝ac＝，得ac＝，
∵a＝2c，∴2c2＝，∵c>0，∴c＝，∴a＝2c＝，
由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝，∵b>0，∴b＝，∴三角形的周长为a＋b＋c＝2.
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝c，B＝， △ABC的面积为 ，则b＝( )
A． B．2 C． D．3
答案：C
解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac×，又a＝c，所以b2＝4c2－3c2 b＝c，
又S△ABC＝ac sin B＝c2×＝ c＝，故b＝c＝，故选C.
2．[2024·安徽蚌埠模拟]在△ABC中，已知3b＝2a sin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案：D
解析：由3b＝2a sin B，得＝，根据正弦定理，得＝，
所以＝，即sin A＝，
又角A是锐角，所以A＝60°，又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，
所以B＝C. 故△ABC为等边三角形．故选D.
3．[2023·北京卷]在△ABC中，(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则∠C＝( )
A． B．
C． D．
答案：B
解析：因为(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，
所以由正弦定理得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，即a2－c2＝ab－b2，
则a2＋b2－c2＝ab，故cos C＝＝＝，
又04．[2024·广东广州模拟]设t为实数，满足t，t＋1，t＋2构成一个钝角△ABC的三边长，则t的取值范围为________．
(1，3)
解析：设△ABC的内角C为最大角，则cos C＝<0，
再由三角形三边关系可得解得t>1，
所以解得1状元笔记 射影定理的应用
【典例1】 设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝b cos C＋c cos B；b＝c cos A＋a cos C；c＝a cos B＋b cos A.
注：以“a＝b cos C＋c cos B”为例，b，c在a上的射影分别为b cos C，c cos B，故名射影定理．
[证明]
在锐角三角形ABC中：
BC＝BD＋DC
＝AB·cos B＋AC·cos C，
即a＝b cos C＋c cos B.
在直角三角形ABC中：
c·cos B＝0，
a＝b cos c，
即a＝b cos C＋c cos B.
在钝角三角形ABC中：
c·cos B＝－BD，
b·cos c＝CD，
BC＝CD－BD，
即a＝b cos C＋c cos B，
综上，a＝b cos C＋c cos B可证，
同理可证b＝c·cos A＋a·cos C，
c＝a·cos B＋b cos A．
【典例2】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2a cos C＋b＝2c cos A，c＝a，则A＝( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 法一 已知c＝a，
由正弦定理得sin C＝sin A，
所以sin2C＝3sin2A，
所以cos2C＝1－sin2C＝1－3sin2A.
由2a cosC＋b＝2c cos A，
得2sin A cos C＋sin B＝2sin C cos A，
2sin A cos C＋sin (A＋C)＝2sin C cos A，
3sin A cos C＝sin C cos A，
9sin2A cos2C＝sin2C cos2A，
9sin2A(1－3sin2A)＝3sin2A(1－sin2A)，
由sinA≠0，解得sin A＝±.
又0法二 由射影定理，得b＝a cos C＋c cos A
代入2a cos C＋b＝2c cos A，得3a cos C＝c cos A，
又c＝a，所以cos A＝cos C，①
由c＝a及正弦定理得sin A＝sin C，②
①2＋②2，可得cos2A＋3sin2A＝1，即sinA＝，
又由①得A∈，故A＝.(共40张PPT)
第三节 两角和与差的正弦、
余弦、正切公式及二倍角公式
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos (α－β)＝_________________；
(2)公式C(α＋β)：cos (α＋β)＝_________________；
(3)公式S(α－β)：sin (α－β)＝_________________；
(4)公式S(α＋β)：sin (α＋β)＝_________________；
(5)公式T(α－β)：tan (α－β)＝___________；
(6)公式T(α＋β)：tan (α＋β)＝___________．
cos αcos β＋sin αsin β
cos αcos β－sin αsin β
sin αcos β－cos αsin β
sin αcos β＋cos αsin β
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝________；
(2)公式C2α：cos 2α＝________＝________＝__________；
(3)公式T2α：tan 2α＝________．
3．辅助角公式：a sin x＋b cos x＝________________，其中sin φ＝，cos φ＝.
2sin αcos α
2cos2α－1
1－2sin2α
cos2α－sin2α
sin（x＋φ）
【常用结论】
1．公式的常用变形
(1)tan α±tan β＝tan (α±β)(1 tan α·tan β)．
(2)tan α·tan β＝1－＝－1.
2．常用拆角、拼角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；＋α＝－(－α).
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )
(2)公式tan (α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )
(3)sin α＋cos α＝sin (α＋)．( )
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
√
×
×
√
2．(教材改编)sin 164°·sin 224°＋sin 254°·sin 314°＝( )
A． B． C．－ D．－
答案：B
解析：原式＝sin 16°·(－cos 46°)＋(－cos 16°)·(－sin 46°)＝sin 46°·cos 16°－cos 46°sin 16°＝sin (46°－16°)＝sin 30°＝.
故选B.
3．(教材改编)化简：的结果是( )
A．sin 2 B．－cos 2
C．cos 2 D．－cos 2
答案：D
解析：＝＝|cos2|＝－cos 2.故选D.
4．(易错)若cos 2α＝－，且α∈[，π]，则cos α＝( )
A． B． C． D．－
答案：D
解析：∵cos 2α＝2cos2α－1＝－，且α∈[，π]，
∴cosα＝－或cos α＝(舍去)．故选D.
5．(易错)已知α，β为锐角，且cos α＝，cos β＝，则α＋β＝________．
答案：
解析：因为α，β为锐角，且cos α＝，cos β＝，所以sin α＝，sin β＝.
由α，β为锐角，可得0<α＋β<π，cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－，故α＋β＝.
课堂互动探究案
1.会推导两角差的余弦公式．
2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式．
3．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】 如图，你能推导出两角差的余弦公式吗？
提示：不妨令α≠2kπ＋β，k∈Z.
如题图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cos α，sin α)，A1(cos β，sin β)，P(cos (α－β)，sin (α－β))．
连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合．根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而＝，所以AP＝A1P1.
根据两点间的距离公式，得[cos (α－β)－1]2＋sin2(α－β)
＝(cosα－cos β)2＋(sin α－sin β)2，
化简得cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
当α＝2kπ＋β(k∈Z)时，容易证明上式仍然成立．所以，对于任意角α，β有cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
【问题2】 请你根据二倍角公式写出：
(1)降幂公式：sin αcos α＝________；sin2α＝________；cos2α＝________．
(2)升幂公式：1±sin2α＝___________；1＋cos 2α＝________；1－cos 2α＝________．
sin 2α
(sin α±cos α)2
2cos2α
2sin2α
关键能力·题型剖析
题型一 公式的直接应用
例 1 (1)[2024·河南新乡模拟]已知cos (α－β)＝，cos αcos β＝，则cos (α＋β)＝( )
A．－ B． C．－ D．
答案：B
解析：由cos(α－β)＝，可得cos αcos β＋sin αsin β＝，因为cos αcos β＝，可得sin αsin β＝，又因为cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝＝.故选B.
(2)[2024·河北张家口模拟]已知tan (α＋)＝－2，则cos 2α的值为( )
A． B．－ C．－ D．
答案：C
解析：由题意得，tan (α＋)＝tan (α＋)＝＝－2，解得tan α＝3，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.故选C.
题后师说
(1)熟记公式的结构特征和符号变化规律是应用公式求值的关键．
(2)应用公式求值时，应注意与诱导公式、同角三角函数的基本关系式相结合．
巩固训练1
(1)[2024·山西朔州模拟]已知α为锐角，且sin (α＋)＝sin (α－)，则tan α＝( )
A. B．2＋ C． D．
答案：B
解析：因为sin(α＋)＝sin (α－)，所以sin α＋cos α＝sin α－cos α，
所以(＋1)cos α＝(－1)sin α，所以tan α＝＝2＋.
故选B.
(2)[2024·福建泉州模拟]已知2sin 2α＝1＋cos 2α，α∈(－)，则tan α＝( )
A．－2 B．－ C． D．2
答案：C
解析：因为2sin 2α＝1＋cos 2α，所以4sin αcos α＝2cos2α，
因为α∈(－)，所以cosα>0，所以2sin α＝cos α，则tan α＝＝.故选C.
题型二 公式的逆用与变形应用
例 2 (1)[2024·吉林延边模拟]下列化简不正确的是( )
A．cos 82°sin 52°＋sin 82°cos 128°＝－
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
C．cos215°－sin215°＝
D．＝
答案：D
解析：cos 82°sin 52°＋sin 82°cos 128°
＝cos 82°sin 52°＋sin 82°cos (180°－52°)
＝cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°
＝sin (52°－82°)＝－sin 30°＝－，所以A选项正确；
sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°sin (90°－15°)＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，B选项正确；
cos215°－sin215°＝cos30°＝，C选项正确；
＝tan (48°＋72°)＝tan 120°＝－，D选项错误．故选D.
(2)已知2cos2α－sin2α＝sinαcos α，则cos (2α＋)＝______．
答案：－
解析：因为2cos2α－sin2α＝sinαcos α，∴1＋cos 2α－＝sin 2α，
∴3cos 2α－sin 2α＝－1，则2(cos 2αcos －sin 2αsin )＝－1，即cos (2α＋)＝－.
题后师说
(1)逆用公式时，要准确找出所给式子和公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)降幂扩角公式通常可以将二次式转化为一次式，同时对应的角扩大为原来的2倍，通过这种次数的降低、角的扩大，达到化简与求值的目的．
(3)两角和与差的正切公式及其变形将tan (α±β)，tan α±tan β，tan αtan β三者联系在一起，已知其中的两个或两个之间的关系，即可求出另外一个的值．
巩固训练2
(1)α＋β＝－(α，β≠kπ＋，k∈Z)，则1－tan α－tan β＋tan αtan β＝( )
A．2 B．1 C．0 D．－1
答案：A
解析：因为α＋β＝－，
所以tan (α＋β)＝＝tan (－)＝－1.
所以tan α·tan β＝1＋(tan α＋tan β)．
所以1－tan α－tan β＋tan αtan β＝1－tan α－tan β＋1＋(tan α＋tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋1＋(tan α＋tan β)＝2.故选A.
(2)已知2cos α－1＝2sin α，则cos (2α＋)＝______．
答案：－
解析：∵2cos α－1＝2sin α，∴2cos α－2sin α＝1，
所以4(cos α－sin α)＝1，
∴cos (α＋)＝，
所以cos (2α＋)＝2cos2(α＋)－1＝－.
题型三 变换求值
角度一 角的变换
例 3 [2024·安徽滁州模拟]已知sin α＝，cos (α－β)＝，且0<α<，0<β<，则sin β＝( )
A． B．
C． D．或－
答案：B
解析：因为sinα＝<且0<α<，所以0<α<，
所以cos α＝＝，
又0<β<，所以－<α－β<，又cos(α－β)＝，
所以sin (α－β)＝±＝±.
当sin(α－β)＝时，
sin β＝sin ＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝＝－，因为0<β<，所以sin β>0，所以sin β＝－不合题意，舍去；
当sin (α－β)＝－，sin β＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)
＝×(－)＝，符合题意；综上所述sin β＝.故选B.
题后师说
利用角的变换求三角函数值的策略
角度二 三角函数名的变换
例 4 [2024·山东济宁模拟]已知cos (α＋)＝，则sin (2α－)＝( )
A. － B． C. － D．
答案：D
解析：sin (2α－)＝sin ＝－cos 2(α＋)＝1－2cos2(α＋)＝1－2×＝.故选D.
题后师说
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角三角函数的基本关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
巩固训练3
(1)[2024·黑龙江哈尔滨模拟]已知sin (x＋)＝－，则cos (－2x)＝( )
A．－ B．－ C． D．
答案：A
解析：因为sin(x＋)＝－，所以cos (－2x)＝－cos (π－＋2x)＝－cos (＋2x)＝－＝－＝－.故选A.
(2)[2024·广东汕头模拟]已知α，β为锐角，tan (α＋β)＝－，cos β＝，则sin α＝________．
答案：
解析：(2)因为α，β为锐角，且tan(α＋β)＝－<0，所以α＋β∈(，π)，
sin β＝＝，
sinα＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－sin βcos (α＋β)
＝×(－)＝.
1．[2021·全国甲卷]若α∈，tan 2α＝，则tan α＝( )
A． B． C． D．
答案：A
解析：因为α∈(0，)，所以tan 2α＝＝ ＝ 2cos2α－1＝4sinα－2sin2α 2sin2α＋2cos2α－1＝4sinα sin α＝ tan α＝.
2．[2022·新高考Ⅱ卷]若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos (α＋)sin β，则( )
A．tan (α－β)＝1 B．tan (α＋β)＝1
C．tan (α－β)＝－1 D．tan (α＋β)＝－1
答案：C
解析：方法一 设β＝0，则sin α＋cos α＝0，即tan α＝－1.取α＝，排除A，B.设α＝0，则sin β＋cos β＝2sin β，即tan β＝1.取β＝，排除D.故选C.
方法二 因为sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2·cos (α＋)sin β，所以sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2sin β(cos α－sin α)＝2sin βcos α－2sin αsin β，所以cos αcos β＋sin αsin β＝－sin αcos β＋sin βcos α，所以cos (α－β)＝－sin (α－β)，所以tan (α－β)＝－1.故选C.
3．[2023·新课标Ⅰ卷]已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝( )
A． B． C．－ D．－
答案：B
解析：依题意，得，所以sin αcos β＝，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＝，所以cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝，故选B.
4．[2024·河北秦皇岛模拟]已知α∈(0，)，sin (α－)＝，则cos 2α＝____________．
答案：－
解析：cos2α＝sin (－2α)＝－sin (2α－)＝－2sin (α－)cos (α－)．
由α∈(0，)，sin (α－)＝，则0<α－<，故cos (α－)＝，所以cos 2α＝－.(共32张PPT)
第四节 简单的三角恒等变换
1.会根据相关公式进行化简求值．
2．会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题．
问题思考·夯实技能
【问题】 在二倍角的正弦、余弦、正切公式中，把角α换成，二倍角公式还成立吗？分别是什么？
提示：成立．
sin α＝2sin cos ，cos α＝cos2－sin2＝2cos2－1＝1－2sin2，tanα＝.
关键能力·题型剖析
题型一 三角函数式的化简
例 1 化简：
(1)；
(2)(3π＜α＜4π)．
解析：(1)原式＝＝＝＝＝cos 2x.
(2)∵3π<α<4π，∴<<2π，<<π，<<<<，
故cos >0，故＝＝＝2cos，
又cos <0，故＝＝＝－2cos，
又cos >0，故＝＝＝2cos，
又sin >0，故＝＝＝2sin，
∴原式＝＝＝＝2sin .
题后师说
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
巩固训练1
(1)化简：＝( )
A．cos α B．2cos α
C．sin α D．2sin α
答案：B
解析：原式＝＝＝2cos α.故选B.
(2)化简：(－tan )·(1＋tan αtan )＝________．
答案：
解析：原式＝·(1＋·)
＝·
＝·＝
题型二 三角函数式的求值
角度一 给角求值
例 2 (1)计算＝( )
A．1 B．
C． D．2
答案：D
解析：原式＝＝
＝＝＝＝＝2，故选D.
(2)计算sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝________．
答案：
解析：令m＝sin 10°sin 50°sin 70°，n＝cos 10°cos 50°·cos 70°，
则mn＝sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°
＝sin 20°·sin 100°·sin 140°
＝sin 20°·sin 80°·sin 40°
＝cos 70°·cos 10°·cos 50°＝n，
而n≠0，
∴m＝，从而有sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝.
题后师说
观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等非特殊角的三角函数值转化为：(1)特殊角的三角函数值；(2)正、负相消的项和特殊角的三角函数值；(3)可约分的项和特殊角的三角函数值等．
角度二 给值求值
例 3 (1)[2024·江苏南通模拟]已知sin (α＋)＝，则sin (－2α)＝( )
A．－ B．
C．－ D．
答案：C
解析：sin (－2α)＝sin ＝cos (＋2α)＝1－2sin2(α＋)＝1－2×()2＝－.故选C.
(2)[2024·九省联考]已知θ∈(，π)，tan 2θ＝－4tan (θ＋)，则＝( )
A． B．
C．1 D．
答案：A
解析：由题θ∈(，π)，tan2θ＝－4tan (θ＋)，
得＝ －4(tan θ＋1)2＝2tan θ，
则(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0 tan θ＝－2或tan θ＝－，
因为θ∈(，π)，tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－，
＝＝＝＝.故选A.
题后师说
(1)给值求值问题的解题关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论．如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，＋α＝－(－α)等．
(2)注意下列变换：
sin 2x＝cos (－2x)＝－cos (＋2x)，
cos 2x＝sin (－2x)＝sin (＋2x)．
以上变换，结合二倍角公式可将2x的三角函数与±x的三角函数联系在一起．
角度三 给值求角
例 4 已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，则α＋β的值为( )
A． B．
C．或 D．
答案：D
解析：∵α和β均为钝角，
∴cos α＝－＝－，cosβ＝－＝－.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－×(－)－＝.
由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π，∴α＋β＝.故选D.
题后师说
给值求角的求解原则
(1)已知正切函数值，选正切函数；
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是(0，)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为(－)，选正弦较好．
巩固训练2
(1)计算＝( )
A． B．2
C． D．－1
答案：A
解析：＝
＝＝＝.故选A.
(2)[2024·山东泰安模拟]已知sin (α＋)＝－，则sin 2α＝( )
A．－ B．－ C． D．
答案：A
解析：已知sin (α＋)＝－，所以sin 2α＝－cos (2α＋)＝2sin2(α＋)－1＝－.故选A.
(3)[2024·福建泉州模拟]已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，且α，β∈(－)，则α＋β的值是________．
答案：－
解析：因为tanα，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，
所以tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4，
所以tan α<0，tan β<0
又因为α，β∈(－)，所以α，β∈(－，0)，
所以α＋β∈(－π，0)，
则tan (α＋β)＝＝＝，
所以α＋β＝－.
题型三 三角恒等变换的综合应用
例 5 [2024·江西抚州模拟]已知函数f(x)＝2cos (x－)cos x＋1.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)设f(α＋)＝，α∈(0，)，求sin (－2α)的值．
解析：(1)f(x)＝2(cos x＋sin x)cos x＋1＝cos2x＋sinx cos x＋1＝sin 2x＋1＝sin (2x＋)＋，
∵－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，∴－＋kπ≤x≤＋kπ，
∴f(x)的递增区间为(k∈Z)．
(2)由f(α＋)＝sin ＝，∴sin (2α＋)＝－，
∵α∈(0，)，∴2α＋∈()，
又∵sin (2α＋)<0，∴2α＋∈(π，)，∴cos (2α＋)＝－，
于是sin (－2α)＝sin ＝－cos (2α＋)＝.
题后师说
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b的形式，再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
巩固训练3
已知f(x)＝4cos x·sin (x＋)－1.
(1)求f(x)的周期；
(2)若f(α)＝，其中α∈(0，)，求cos 2α.
解析：(1)f(x)＝4cos x(sin x＋cos x)－1＝2sin x cos x＋2cos2x－1
＝sin2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)，∴f(x)的周期为T＝π.
(2)f(α)＝2sin (2α＋)＝，∴sin (2α＋)＝，
由0<α<，得<2α＋<，
由sin (2α＋)＝<，得0<2α＋<，
∴cos (2α＋)＝ ＝，
∴cos2α＝cos
＝cos (2α＋)cos ＋sin (2α＋)sin
＝.
1．[2024·山西吕梁模拟]tan 67.5°－1＝( )
A． B．
C． D．
答案：A
解析：因为tan 135°＝－1，所以tan 135°＝tan (67.5°×2)＝＝－1，
整理得tan267.5°－2tan67.5°－1＝0，
解得tan 67.5°＝1＋或tan 67.5°＝1－(舍去)，
所以tan 67.5°－1＝.故选A.
2．[2024·湖南永州模拟]已知cos α＋sin α＝，则cos (α－)＝( )
A． B．
C．－ D．－
答案：B
解析：cos α＋sin α＝，由辅助角公式得2cos (α－)＝，故cos (α－)＝，故选B.
3．[2024·河北沧州模拟]已知θ∈(0，π)，满足cos 2θ＋cos θ＝0，则θ＝( )
A． B． C． D．
答案：B
解析：因为cos 2θ＋cos θ＝0，所以2cos2θ＋cosθ－1＝0，
即(2cos θ－1)(cos θ＋1)＝0，所以cos θ＝或cos θ＝－1，因为θ∈(0，π)，所以θ＝，故选B.
4．[2024·山东淄博模拟]若sin (θ＋)＝，θ∈(0，π)，则cos θ＝________．
答案：
解析：∵θ∈(0，π)，
∴θ＋∈()，又sin (θ＋)＝，
若θ＋∈()，则sin (θ＋)>sin ＝，
与sin (θ＋)＝矛盾，
∴θ＋∈[，π)，
∴cos (θ＋)＝－＝－，
∴cosθ＝cos (θ＋)＝cos (θ＋)cos ＋sin (θ＋)sin ＝－＝.(共49张PPT)
第五节 三角函数的图象与性质
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，0)，(，1)，________，________，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，1)，(，0)，________，________，(2π，1)．
（π，0）
（，－1）
（π，－1）
（，0）
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R ________
值域 ________ ________ R
周期性 ________ ________ ________
{ x|x≠kπ＋}
[－1，1]
[－1，1]
2π
2π
π
奇偶性 ________ ________ ________
递增 区间 ________ ________
________
递减 区间 ________ ________ 无
对称 中心 ________ ________
对称轴方程 ________ ________ 无
奇函数
偶函数
奇函数
[－＋2kπ，＋2kπ]
[－π＋2kπ，2kπ]
（－＋kπ，＋kπ）
[＋2kπ，＋2kπ]
[2kπ，π＋2kπ]
（kπ，0）
（kπ＋，0）
x＝kπ＋
x＝kπ
【常用结论】
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为T＝，函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为T＝.
2．函数y＝|A sin (ωx＋φ)|，y＝|A cos (ωx＋φ)|的最小正周期分别是函数y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)最小正周期的一半，即T＝；函数y＝|A tan (ωx＋φ)|的最小正周期与y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期相等，即T＝.
3．正弦曲线、余弦曲线的对称轴恰好经过相应曲线的最高点或最低点，对称中心的横坐标分别是正弦函数和余弦函数的零点．
4．正弦曲线、余弦曲线相邻两条对称轴、两个对称中心之间的距离均为T，相邻的对称中心与对称轴之间的距离等于T，正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是T(其中T是相应函数的最小正周期)．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin x在第一象限是增函数．( )
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( )
(3)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
(4)y＝sin |x|是偶函数．( )
×
×
×
√
2．(教材改编)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
A．y＝sin (2x＋) B．y＝cos (2x＋)
C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x
答案：B
解析：由于函数y＝sin (2x＋)＝cos 2x为偶函数，故排除A；
由于函数y＝cos (2x＋)＝－sin 2x为奇函数，且周期为＝π，故B满足条件；由于函数y＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)为非奇非偶函数，故排除C；由于函数y＝sin x＋cos x＝sin (x＋)为非奇非偶函数，故排除D.故选B.
3．(教材改编)函数y＝3＋2sin (x＋)的最大值为________，此时x＝________．
答案：5 ＋2kπ(k∈Z)
解析：函数y＝3＋2sin (x＋)的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
4．(易错)函数y＝|sin x|的最小正周期为________．
答案：π
解析：函数y＝|sin x|的最小正周期是函数y＝sin x的周期的一半，故函数y＝|sin x|的最小正周期是π.
5．(易错)函数y＝1＋2sin (－x)的单调递增区间是________．
答案：[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)
解析：y＝1＋2sin (－x)＝1－2sin (x－)．令u＝x－，根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y＝sin u的单调递减区间，解＋2kπ≤x－＋2kπ(k∈Z)，得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，故函数y＝1＋2sin (－x)的单调递增区间是[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)．
课堂互动探究案
1.能画出三角函数的图象．
2．了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值．
3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在(－)上的性质．
问题思考·夯实技能
【问题1】 终边相同的角的三角函数值有什么关系？这个关系式体现了三角函数的什么性质？
提示：终边相同的角的三角函数值相等，即sin (2kπ＋x)＝sin x(k∈Z)，cos (2kπ＋x)＝cos x(k∈Z)，这个公式体现了三角函数的周期性．
【问题2】 函数y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)的奇偶性与φ的取值的关系是怎样的？
提示：对于函数y＝A sin (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时，函数为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数为偶函数．
对于函数y＝A cos (ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时，函数为偶函数．
关键能力·题型剖析
题型一 三角函数的定义域和值域(或最值)
例 1 (1)函数y＝lg (cos x－sin x)的定义域是______________________.
解析：因为y＝lg (cos x－sin x)，所以cos x－sin x>0，即sin x－cos x＝sin (x－)<0，即－π＋2kπ(－＋2kπ，＋2kπ)，k∈Z
(2)函数f(x)＝sin2x＋2cos2x在区间[－]上的值域为________．
[0，3]
解析：由题意，f(x)＝sin 2x＋2×＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin (2x＋)＋1，而x∈，则2x＋∈，所以函数的最大值为2sin ＋1＝3，最小值为2sin (－)＋1＝0，所以函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x在区间上的值域为[0，3].
(3)[2024·重庆万州模拟]已知x∈(0，)，则函数f(x)＝(1＋sinx)(1＋cos x)的最大值为____________．
解析：f(x)＝(1＋sinx)(1＋cos x)＝1＋sin x＋cos x＋sin xcos x＝1＋sin x＋cos x＋，
令t＝sin x＋cos x＝sin (x＋)，因为x∈(0，)，所以x＋∈()，
所以sin (x＋)∈(，1]，所以t＝sin (x＋)∈(1，]，
所以g(t)＝t2＋t＋，t∈(1，]，对称轴t＝－1<1，
所以g(t)＝t2＋t＋在(1，]单调递增，所以当t＝时，g(t)max＝g()＝，即当sin (x＋)＝1，x＝时，f(x)＝(1＋sin x)(1＋cos x)有最大值.
题后师说
求解三角函数的值域(最值)的3种方法
巩固训练1
(1)函数y＝的定义域为( )
A． B．(k∈Z)
C．(k∈Z) D．R
答案：C
解析：由题意知cos x≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.故选C.
(2)f(x)＝cos 2x－2sin x cos x的最小值为____________．
答案：－2
解析：f(x)＝cos 2x－2sin x cos x＝cos 2x－sin 2x＝－2sin (2x－)，
所以当2x－＝＋2kπ，k∈Z时，f(x)取得最小值－2.
(3)函数y＝sin x－cos2x的值域为________．
答案：[－，1]
解析：依题意，原函数定义域为R，y＝sin x－(1－sin2x)＝(sinx＋)2－，而－1≤sin x≤1，
则当sin x＝－时，ymin＝－，当sin x＝1时，ymax＝1，
所以所求值域是[－，1].
题型二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
例 2 (1)(多选)[2024·九省联考]已知函数f(x)＝sin (2x＋)＋cos (2x＋)，则( )
A．函数f(x－)为偶函数
B．曲线y＝f(x)的对称轴为x＝kπ，k∈Z
C．f(x)在区间()单调递增
D．f(x)的最小值为－2
答案：AC
解析：(1)f(x)＝sin (2x＋)＋cos (2x＋)＝sin 2x cos ＋sin cos 2x＋cos 2x cos －sin 2x sin ＝－sin 2x＋cos 2x－cos 2x－sin 2x＝－sin 2x，即f(x)＝－sin 2x，
对于A，f(x－)＝－sin (2x－)＝cos 2x，易知为偶函数，所以A正确；对于B，f(x)＝－sin 2x对称轴为2x＝＋kπ，k∈Z x＝，k∈Z，故B错误；对于C，x∈()，2x∈(，π)，y＝sin 2x单调递减，则f(x)＝－sin 2x单调递增，故C正确；对于D，f(x)＝－sin 2x，则sin 2x∈[－1，1]，所以f(x)∈[－]，故D错误．故选AC.
(2)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的最小正周期为π，则满足条件“f(x＋φ)是偶函数”的φ的一个值为________(写出一个满足条件的φ即可)．
答案：
解析：f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2(sin ωx＋cos ωx)＝2sin (ωx＋)，
又f(x)的最小正周期为π，所以＝π，则ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x＋)，
所以f(x＋φ)＝2sin (2x＋2φ＋)．
又因为f(x＋φ)是偶函数，所以应满足2φ＋＝＋kπ，k∈Z，
所以有φ＝，k∈Z.
题后师说
(1)三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx的形式．
(2)求三角函数图象的所有对称轴方程或对称中心坐标时，可利用整体换元方法进行求解，注意熟记正弦型、余弦型函数图象对称轴方程、对称中心横坐标的公式．
巩固训练2
(1)(多选)已知函数f(x)＝sin (2x－)，则( )
A．f(x)的最大值为
B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x－)为奇函数
D．f(x)的图象关于直线x＝ 对称
答案：ABD
解析：(1)函数f(x)＝sin (2x－)．
函数的最大值为，故A正确；
函数的最小正周期为π，故B正确；
f(x－)＝sin (2x－)＝－cos 2x
故该函数为偶函数，故C错误；
当x＝时，f()＝－为最小值，故D正确．
(2)[2024·广东深圳模拟]记函数f(x)＝cos (ωx＋)＋b(ω>0)的最小正周期为T. 若A．1 B． C． D．3
答案：B
解析：由由y＝f(x)的图象关于点(，2)中心对称可知b＝2且f()＝cos (ω＋)＋b＝2，所以cos (ω＋)＝0 ω＋＝＋kπ，k∈Z，
故ω＝k，
由ω＝k∈(2，)可得k∈()，由于k∈Z，故取k＝3，则ω＝，
故f(x)＝cos (x＋)＋2，则f()＝cos ()＋2＝－cos ＋2＝－＋2＝，故选B.
题型三 三角函数的单调性
角度一 求三角函数的单调区间
例 3 函数f(x)＝sin (－2x)的单调递减区间为________．
答案：，k∈Z
解析：f(x)＝sin (－2x)的单调递减区间是g(x)＝sin (2x－)的单调递增区间．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所给函数的单调减区间为，k∈Z.
【变式练习】 本例条件不变，求在[0，π]上的单调递减区间．
解析：令A＝，k∈Z，
B＝[0，π]，
∴A＝，
∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.
题后师说
求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
角度二 根据单调性求参数
例 4 [2024·河北石家庄模拟]已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在区间(，π)上单调递减，则实数ω的取值范围为( )
A． B．(0，]
C．[] D．(0，2]
答案：C
解析：f(x)＝sin (ωx＋)，令＋2kπ≤ωx＋＋2kπ，解得≤x≤，k∈Z.且π－＝，即0<ω≤2.
∵函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)在(，π)上单调递减，
∴，解得＋4k≤ω≤＋2k，k∈Z.∴k＝0时，≤ω≤.故选C.
题后师说
求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．
巩固训练3
(1)[2024·安徽滁州模拟]已知函数 f(x)＝2sin (x＋)，则f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为( )
A． B．
C．[－1，1] D．
答案：B
解析：(1)由2kπ－x＋≤2kπ＋，
解得4k－≤x≤4k＋，
所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z，
令k＝0，得f(x)的单调递增区间是，
所以f(x)在区间[－1，1]上的单调递增区间为.故选B.
(2)已知函数f(x)＝sin x cos x－sin2x，x∈R.若函数f(x)在区间[a，]上单调递增，则实数a的取值范围为____________．
答案：[－)
解析：函数f(x)＝sin x cos x－sin2x＝＝sin (2x＋)－，x∈R，
若函数f(x)在区间上单调递增，此时2x＋∈，
所以－≤2a＋<，得－≤a<，则实数a的取值范围为[－)．
1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
A．y＝sin2x＋cos 2x B．y＝sin x＋cos x
C．y＝sin (2x＋) D．y＝cos (2x＋)
答案：D
解析：因为y＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)，函数的周期为π，因为y()＝，y(－)＝－，所以是非奇非偶函数，A不正确；因为y＝sin x＋cos x＝sin (x＋)，函数的周期为2π，B不正确；因为y＝sin (2x＋)＝cos 2x，函数的周期为π，是偶函数，C不正确；因为y＝cos (2x＋)＝－sin 2x，函数的周期为π，是奇函数，D正确．故选D.
2．[2021·新高考Ⅰ卷]下列区间中，函数f(x)＝7sin (x－)单调递增的区间是( )
A．(0，) B．(，π)
C．(π，) D．(，2π)
答案：A
解析：因为函数y＝sin x的单调递增区间为(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)，对于函数f(x)＝7sin (x－)，由2kπ－取k＝0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为(－)，则(0，) (－)，(，π) (－)，A选项满足条件，B不满足条件；取k＝1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为()，(π，) (－)且(π，) ()，(，2π) ()，CD选项均不满足条件．故选A.
3．[2023·全国乙卷]已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间()单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f(－)＝( )
A．－ B．－ C． D．
答案：D
解析：由题意得＝，解得ω＝2，易知x＝是f(x)的最小值点，所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，于是f(x)＝sin (2x＋＋2kπ)＝sin (2x＋)，f(－)＝sin (－×2＋)＝sin ＝，故选D.
4．[2022·新高考Ⅰ卷]记函数f(x)＝sin (ωx＋)＋b(ω>0)的最小正周期为T.若A．1 B． C． D．3
答案：A
解析：因为＜T＜π，所以＜＜π.又因为ω＞0，所以2＜ω＜3.因为y＝f(x)的图象关于点(，2)中心对称，所以b＝2，ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝－k，k∈Z.令2＜－k＜3，解得＜k＜.又因为k∈Z，所以k＝4，所以ω＝.所以f(x)＝sin (x＋)＋2，所以f()＝sin ()＋2＝1.故选A.(共41张PPT)
第一节 任意角和弧度制、三角函数的概念
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合________________________．
正角
负角
零角
象限角
S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z }
2．弧度制的定义和有关公式
(1)定义：把长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝________
角度与弧度的换算
1°＝________rad；1 rad＝________
弧长公式 弧长l＝________
扇形面积公式 扇形的弧长和面积公式中角的单位必须是弧度
半径长
（）°
|α|r
|α|r2
3.任意角的三角函数
弧度制下，任意一个实数都表示一个角，角与实数之间一一对应
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，那么sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________(x≠0)．
(2)定义的推广：设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，它到原点O的距离为r(r>0)，则sin α＝________，cos α＝______，tan α＝________．
(3)三角函数值的符号：三角函数值在各个象限内的符号规律是：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
y
x
【常用结论】
1．象限角
2．轴线角
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)小于90°的角是锐角．( )
(2)锐角是第一象限角，反之亦然．( )
(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．( )
(4)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( )
×
×
×
√
2．(教材改编)若θ满足sin θ<0，cos θ>0，则θ的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
解析：由sin θ<0，θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合，cos θ>0，θ的终边可能位于第一象限，也可能位于第四象限，也可能与x轴的非负半轴重合，故θ的终边在第四象限．故选D.
3．(教材改编)已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．
答案：6π
解析：设此扇形的半径为r.由题意得r＝2π，所以r＝6.所以此扇形的面积为×2π×6＝6π.
4．(易错)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
答案：C
解析：由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z)．故选C.
5．(易错)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若点A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝______．
答案：－3
解析：由三角函数定义知：sin θ＝＝－＜0，故y＜0，解得y＝－3.
课堂互动探究案
1.了解任意角和弧度制的概念．
2．能进行弧度与角度的互化．
3．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
问题思考·夯实技能
【问题1】 请你写出角β与角α的终边关于x轴、y轴、原点对称的关系．
提示：角β与角α的终边关于x轴对称，则β＝－α＋2kπ(k∈Z)；角β与角α的终边关于y轴对称，则β＝π－α＋2kπ(k∈Z)；角β与角α的终边关于原点对称，则β＝π＋α＋2kπ(k∈Z)．
【问题2】 已知角α的终边上的任意一点P到原点的距离为r(r>0)，那么如何确定P点的坐标？角α的三角函数值是否会随点P在α的终边上的位置的变化而改变？
提示：由三角函数的定义可知P点的坐标为(r cos α，r sin α)．角α的三角函数值与点P的位置无关．
关键能力·题型剖析
题型一 象限角及终边相同的角
例 1 (1)[2024·江西吉安模拟]已知角β的集合β＝，则在[0，2π)内的角有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案：B
解析：依题意，解不等式0≤<2π，得≤k<，而k∈Z，因此k∈{1，2，3}，所以在[0，2π)内的角有3个．故选B.
(2)若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则的终边在( )
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、三象限或在x轴的非负半轴上
D．第二、四象限或在x轴上
答案：D
解析：因为|cos θ|＝cos θ，可得cos θ≥0，则θ是第一、四象限或x轴正半轴，又因为|tan θ|＝－tan θ，可得tan θ≤0，则θ是二、四象限或x轴，所以θ是第四象限或x轴正半轴，
所以k·360°＋270°<θ≤k·360°＋360°，k∈Z，
可得k·180°＋135°<≤k·180°＋180°，k∈Z，
令k＝2n，n∈Z，可得n·360°＋135°<≤n·360°＋180°，n∈Z，
则在二象限或x轴负半轴；
令k＝2n＋1，n∈Z，可得n·360°＋315°<≤n·360°＋360°，n∈Z，则在四象限或x轴正半轴，
综上可得，的终边在第二、四象限或在x轴上．故选D.
题后师说
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法：先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．
巩固训练1
(1)(多选)已知角α的终边在第一象限，那么角的终边可能在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：AC
解析：因为角α的终边在第一象限，
所以k·360°<α所以k·180°<当k＝0时，0°<<45°，则终边在第一象限；
当k＝1时，180°<<225°，则终边在第三象限；
所以角的终边可能在第一象限或第三象限．故选AC.
(2)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是________．
答案：
解析：直线y＝－x的倾斜角是，所以终边落在直线y＝－x上的角的取值集合为.
题型二 弧度制及其应用
例 2 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
解析：(1)α＝60°＝，l＝10×＝ (cm)．
(2)由已知得，l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，
此时l＝10 cm，α＝2.
(3)设弓形面积为S弓．由题知l＝ cm.S弓＝S扇形－S三角形＝×2－×22×sin ＝() (cm2)．
题后师说
应用弧度制解决问题的策略
巩固训练2
(1)《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是( )
A． B． C． D．
答案：A
解析：由题意可知扇形的弧长l＝30，半径r＝8，
所以扇形的圆心角的弧度数是＝＝，故选A.
(2)[2024·黑龙江双鸭山模拟]已知扇形的面积为4 cm2，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为____________ cm.
答案：4
解析：设扇形的弧长为l，半径为R，
由已知可得，圆心角α＝2，面积S＝4，
所以有即解得.
题型三 三角函数的定义及其应用
角度一 三角函数的定义
例 3 (1)已知角α的终边过点A(－4，3)，则sin α·tan α＝( )
A．－ B． C．－ D．
答案：C
解析：由题意可得：sin α＝＝，tan α＝＝－，则sin α·tan α＝－.故选C.
(2)已知角θ的顶点为原点，起始边为x轴非负半轴，若点P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝( )
A．8 B．－8 C．6 D．－6
答案：B
解析：因为点P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，
由三角函数的定义可得sin θ＝＝－，则y<0，解得y＝－8.故选B.
题后师说
利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可求出点P的坐标．
角度二 三角函数值的符号
例 4 “cos θ<0且tan θ>0”是“θ为第三象限角”的( )
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：充分性：由cos θ<0可知＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，
由tan θ>0可知2kπ<θ<＋2kπ或π＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，
综上，π＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，即θ为第三象限角．
必要性：若θ为第三象限角，则cos θ<0且tan θ>0.所以“cos θ<0且tan θ>0”是“θ为第三象限角”的充要条件．故选A.
题后师说
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
巩固训练3
(1)已知角α的终边落在直线y＝2x上，则sin α的值为( )
A． B． C．－ D．±
答案：D
解析：设直线y＝2x上任意一点P的坐标为(m，2m)(m≠0)，
则OP＝＝|m|(O为坐标原点)，
根据正弦函数的定义得：sin α＝＝＝，
m>0时，sin α＝； m<0时，sin α＝－，
所以选项D正确，选项A，B，C错误，故选D.
(2)在△ABC中，A为钝角，则点P(tan B，cos A)( )
A．在第一象限 B．在第二象限
C．在第三象限 D．在第四象限
答案：D
解析：因为△ABC中，A为钝角，所以B为锐角，可得tan B>0，cos A<0，所以点P(tan B，cos A)在第四象限．故选D.
1．下列各角中，与1850° 角终边相同的角是( )
A．40° B．50°
C．320° D．－400°
答案：B
解析：1 850°－40°＝1810°＝5×360°＋10°，故A错误．
1 850°－50°＝1 800°＝5×360°，故B正确．
1 850°－320°＝1 530°＝4×360°＋90°，故C错误．
1 850°－(－400°)＝2 250°＝6×360°＋90°，故D错误．故选B.
2．扇子具有悠久的历史，蕴含着丰富的数学元素．小明制作了一把如图所示的扇子，其半径为16 cm，圆心角为，则这把扇子的弧长为( )
A．6π cm B．12π cm
C．18π cm D．24π cm
答案：B
解析：因为扇形半径为16 cm，圆心角为，所以弧长为×16 cm＝12π cm.故选B.
3．(多选)下列结论正确的是( )
A．－是第三象限角
B．若角α的终边过点P(－3，4)，则cos α＝－
C．若sin α>0，则α是第一或第二象限角
D．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为
答案：BD
解析：对于A，由－∈(－，0)，则其为第四象限角，故A错误；对于B，由角α的终边过点P(－3，4)，则cos α＝＝－，故B正确；对于C，由sin α>0，则角α终边也可能在y轴上，故C错误；对于D，由圆心角的扇形的弧长为π，则其半径r＝3，所以扇形的面积S＝×3·π＝，故D正确．故选BD.
4．[2024·北京中关村中学模拟]在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，点M(x，－1)在角β的终边上．若sin α＝，则sin β＝______．
答案：－
解析：由题意知角α与角β的终边关于原点对称，点M(x，－1)在角β的终边上，
则点N(－x，1)在角α的终边上，
由sin α＝以及|ON|＝，可得＝；
由点M(x，－1)在角β的终边上且|OM|＝，
可知sin β＝＝－.(共22张PPT)
高考大题研究课四
正弦定理、余弦定理的综合应用
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，会用正弦定理、余弦定理解决三角形中的综合问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
关键能力·题型剖析
题型一 多边形中的解三角形问题
例 1 [2024·江西九江模拟]在△ABC中，AC＝，D为∠ABC的角平分线上一点，且与B分别位于边AC的两侧，若∠ADC＝150°，AD＝2.
(1)求△DAC的面积；
(2)若∠ABC＝120°，求BD的长．
解析：(1)在△DAC中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos ∠ADC，
即13＝4＋CD2＋2CD，解得CD＝(负根舍)，
所以S△DAC＝AD·CD·sin ∠ADC＝×2×＝.
(2)因为∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，所以∠DBA＝∠DBC＝60°，
又∠ADC＝150°，所以∠DAB＋∠DCB＝360°－120°－150°＝90°，
在△ABD中，由正弦定理，得＝， ①
在△DBC中，由正弦定理，得＝， ②
①÷②，得＝＝，所以＝，
又sin2∠DCB＋cos2∠DCB＝1，且∠DCB∈(0，)，所以sin∠DCB＝，
将sin ∠DCB＝代入②，得＝，所以BD＝.
题后师说
平面几何中解三角形问题的求解策略
巩固训练1
[2024·河南焦作模拟]如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝90°，D＝60°，AC＝4，CD＝3.
(1)求cos ∠CAD；
(2)若AB＝，求BC.
解析：(1)在△ACD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin ∠CAD＝.由题设知0°<∠CAD<90°，所以cos ∠CAD＝ ＝.
(2)由题设及(1)知，cos ∠BAC＝sin ∠CAD＝，
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC cos ∠BAC＝＋16－2××4×＝，所以BC＝.
题型二 三角形的中线与角平分线问题
例 2 [2024·河北唐山模拟]在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D为BC边上一点，且AD平分∠BAC.
(1)若BC＝3，求CD与AD；
(2)若∠ADC＝60°，设∠BAD＝θ，求tan θ.
解析：(1)如图所示：
因为AD平分∠BAC，所以＝＝＝，又因为D在BC上，所以＝＝，
因此＝，又BC＝3，BD＋CD＝BC，所以CD＝.
在△ABC中，AB＝BC＝3，AC＝2，可得cos C＝＝＝.
在△ACD中，由余弦定理可得AD2＝AC2＋CD2－2AC×CD×cos C＝22＋－2×2×＝，故AD＝.
(2)因为AD平分∠BAC，∠DAC＝∠BAD＝θ，又∠ADC＝60°，
所以B＝60°－θ，C＝120°－θ，在△ABC中，由正弦定理可得
＝，又AB＝3，AC＝2，所以3sin (60°－θ)＝2sin (120°－θ)，
展开并整理得cos θ－sin θ＝cos θ＋sin θ，解得tan θ＝.
题后师说
三角形中的中线、角平分线问题的处理策略
巩固训练2
[2021·新高考Ⅰ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin ∠ABC＝a sin C.
(1)证明：BD＝b；
(2)若AD＝2DC，求cos ∠ABC.
解析：(1)证明：由题设得，BD＝，由正弦定理知＝，即＝，
∴BD＝，又∵b2＝ac，
∴BD＝b，得证．
(2)由题意知BD＝b，AD＝，DC＝，
∴cos ∠ADB＝＝，同理cos ∠CDB＝＝，
∵∠ADB＝π－∠CDB，∴cos ∠ADB＝－cos ∠CDB，
∴＝，整理得2a2＋c2＝，又b2＝ac，
∴2a2＋＝，整理得6a4－11a2b2＋3b4＝0，解得＝或＝，
由余弦定理知cos ∠ABC＝＝，
当＝时，cos ∠ABC＝＞1不合题意；当＝时，cos ∠ABC＝；综上，cos ∠ABC＝.
题型三 三角形中的最值、范围问题
例 3 (12分)[2022·新高考Ⅰ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值．
思路导引
(1)二倍角公式化简→去分母、两角和与差公式化简→求出sin B.
(2)由角B，C正余弦关系→角B与角C，A的关系→化成正弦→用角B表示角A，C化简→角B的关系式→基本不等式．
[满分答卷·评分细则]
解析：(1)因为＝＝＝，→正确用二倍角公式化简得1分
即sin B＝cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝－cos C＝，→正确用两角和与差公式化简得2分
→正确求出角B得1分
(2)由(1)知，sin B＝－cos C＞0，所以＜C＜π，0＜B＜，
而sin B＝－cos C＝sin (C－)→用诱导公式正确找出角B，C的正弦关系得2分
所以C＝＋B，即有A＝－2B，→用角B表示角C，A得1分
所以＝→正确用正弦定理化边为角得1分
＝＝→将角C，A代入化角，二倍角公式化简得2分
＝4cos2B＋－5≥4－5，当且仅当cos2B＝时取等号，→正确变形再利用基本不等式求解得1分
所以的最小值为4－5.→正确写出结论得1分
题后师说
解三角形中的最值或范围问题的2种常用方法
巩固训练3
[2024·辽宁沈阳模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知b2＋c2－a2＝4S.
(1)求角A；
(2)若a＝2，求b－c的取值范围．
解析：(1)已知b2＋c2－a2＝4S，由余弦定理和三角形的面积公式，
得2bc cos A＝4·bc sin A，即cos A＝sin A，
若cos A＝0，则sin A＝0，不符合题意，故cos A≠0，
所以tan A＝，由A∈(0，π)，得A＝.
(2)a＝2，A＝，B＋C＝π－A＝，
由正弦定理＝＝＝＝4，
b－c＝4sin B－4sin C＝4(sin B－sin C)＝4＝4[cos C＋sin C)－sin C]＝4(cos C＋sin C)＝4sin (C＋)，
由C∈(0，)，则C＋∈()，
得sin (C＋)∈(－，1]，
所以4sin (C＋)∈(－2，4]，即b－c的取值范围为(－2，4].(共28张PPT)
专题培优课 三角函数中有关ω的范围问题
【考情分析】 在三角函数的图象与性质中，求ω的取值范围是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点．
关键能力·题型剖析
题型一 利用三角函数的单调性求ω的范围
例 1 [2024·河北石家庄模拟]已知函数f(x)＝2cos (x－)cos x－2sin2x，若f(x)在区间上单调递减，则实数m的取值范围为( )
A． B．
C．[) D．[)
答案：C
解析：f(x)＝2cos (x－)cos x－2sin2x＝2sinx cos x－2·＝sin 2x－1＋cos 2x＝2(sin 2x＋cos 2x)－1＝2sin (2x＋)－1，由x∈，则2x＋∈，由题意， ，则≤2m＋<，解得≤m<.故选C.
题后师说
确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求ω的取值范围．
巩固训练1
[2024·河南实验中学模拟]已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的周期为T，且满足T>2π，若函数f(x)在区间()不单调，则ω的取值范围是( )
A．(，1) B．(，1) C．(，1) D．(，1)
答案：C
解析：已知f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)，
令ωx＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝(k∈Z)，
则函数f(x)对称轴方程为x＝(k∈Z)，
∵函数f(x)在区间()不单调，
∴<<，(k∈Z)，解得4k＋<ω<6k＋1，k∈Z，
又由T>2π，且ω>0，得0<ω<1，
故仅当k＝0时，<ω<1满足题意．故选C.
题型二 利用三角函数的对称性求ω的范围
例 2 [2024·江西景德镇模拟]已知函数f(x)＝sin (ωx＋) (ω>0)在区间上恰好有两条对称轴，则ω的取值范围是( )
A．[) B．[)
C．[) D．()
答案：A
解析：因为f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)，
令ωx＋＝kπ＋，k∈Z，则x＝，k∈Z，
函数f(x)＝sin (ωx＋)在区间上有且仅有2条对称轴，即≤π有2个整数k符合，
又在区间上恰好有两条对称轴，π－＝，ω≥，
由≤π，得≤1 2ω≤1＋6k≤6ω，
若k＝1，2，则∴≤ω<；
若k＝2，3，则∴<ω<.
故选A.
题后师说
三角函数的两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围．
巩固训练2
[2024·广东珠海模拟]已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的图象的一个对称中心的横坐标在区间()内，且两个相邻对称中心之间的距离大于，则ω的取值范围为( )
A．(0，3) B．(，3) C．(0，) D．(1，3)
答案：B
解析：因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin (ωx＋)(ω>0)，
因为函数f(x)的图象的两个相邻对称中心之间的距离大于，
所以函数f(x)的最小正周期T满足T>，即>，则0<ω<3，
由ωx＋＝kπ(k∈Z)可得x＝(k∈Z)，
因为函数f(x)的图象的一个对称中心的横坐标在区间()内，
则<<，可得<ω<4k－1，
又因为0<ω<3且ω存在，则，解得因为k∈Z，则k＝1，所以<ω<3.故选B.
题型三 利用三角函数的最值(或值域)求ω的范围
例 3 已知函数f(x)＝2sin (ωx＋)(ω>0)在区间(－)上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围为( )
A．[，7) B．(，4)
C．[4，) D．(，7)
答案：B
解析：因为f(x)在区间(－)上恰有一个最大值点和一个最小值点，
所以－(－)>，所以ω>.
令t＝ωx＋，当x∈(－)时，t∈(－ω＋ω＋)，
于是f(x)＝2sin (ωx＋)在区间(－)上的最值点个数等价于g(t)＝2sin t在(－ω＋ω＋)上的最值点个数．
由ω>知，－ω＋<0，ω＋>0，
因为g(t)在(－ω＋ω＋)上恰有一个最大值点和一个最小值点，
所以解得<ω<4.
题后师说
利用三角函数的最值与对称性或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围．
巩固训练3
[2024·辽宁大连模拟]已知函数f(x)＝cos (ωx－)(其中ω>0)在(0，π)上的值域为(，1]，则ω的取值范围是________．
(]
解析：因为x∈(0，π)，所以ωx－∈(－，ωπ－)，
因为函数f(x)＝cos (ωx－)(其中ω>0)在(0，π)上的值域为(，1]，所以0<ωπ－，解得ω∈(].
题型四 利用三角函数的零点求ω的范围
例 4 [2024·山西大同模拟]已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ) (ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)＝，且f(x)在区间[0，1]上恰有3个零点，则ω的取值范围是( )
A．(] B．[)
C．(] D．[)
答案：D
解析：由题意f(x)＝2cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，则T＝，
又f(T)＝，可得cos (ω×＋φ)＝，即cos φ＝，
又0<φ<π，所以φ＝，
f(x)＝2cos (ωx＋)在区间[0，1]上恰有3个零点，
当x∈[0，1]时，ωx＋∈[，ω＋]，
结合函数y＝cos x的图象如图所示：
则y＝cos x在原点右侧的零点依次为，…，
所以≤ω＋<，解得≤ω<，即ω的取值范围为[)．故选D.
题后师说
根据题意作出函数在定义域内的图象，将零点转化成函数y＝f(x)与x轴的交点问题，结合图象得出ωx＋φ的范围，即可求解．
巩固训练4
[2024·江苏南京模拟]若函数f(x)＝sin (ωcos x)－1(ω>0)在区间(0，2π)恰有2个零点，则ω的取值范围是( )
A．(0，) B．()
C．() D．(，＋∞)
答案：B
解析：令t＝ωcos x，∵x∈(0，2π)，∴t∈[－ω，ω)，
由于x∈(0，π)时，t＝ωcos x有两个零点；
则等价于sin t－1＝0，t∈[－ω，ω)有1个根，
∴原题等价于y＝sin t，t∈(－ω，ω)与y＝1有一个公共点，如图，
则－ω>－且ω>，所以<ω<.故选B.
1．[2024·江苏宿迁模拟]已知函数f(x)＝sin (ωx＋)，其中ω>0.若f(x)在区间()上单调递增，则ω的取值范围是( )
A．(0，4] B．(0，]
C． D．(0，
答案：D
解析：由－＋2kπ≤ωx＋＋2kπ，k∈Z解得－≤x≤，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.因为f(x)在区间()上单调递增，所以T≥2()＝，所以0<ω≤4.
当k＝0时，由f(x)在区间()上单调递增可知，得0<ω≤；当k＝1时，由解得≤ω≤3；当k＝2时，无实数解．易知，当k≤－1或k≥2时不满足题意．综上ω的取值范围为(0，.故选D.
2．[2024·河北承德模拟]若函数f(x)＝2sin ωx在区间上存在最小值－2，则非零实数ω的取值范围是( )
A．(－∞，－2]
B．[6，＋∞)
C．(－∞，－2]，＋∞)
D．(－∞，
答案：C
解析：①若ω＞0，则－ω≤ωx≤ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上存在最小值－2，
所以－ω≤－，得到ω≥；
②若ω＜0，则ω≤ωx≤－ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上存在最小值－2，
所以ω≤－，ω≤－2.
所以非零实数ω的取值范围是(－∞，－2]，＋∞)．
故选C.
3．[2022·全国甲卷]设函数f(x)＝sin (ωx＋)在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )
A．[) B．[)
C．(] D．(]
答案：C
解析：因为f(x)＝sin (ωx＋)，结合选项，只考虑ω＞0.当ωx＋＝＋kπ(k∈Z)，即x＝(k∈Z)时，f(x)取得极值．又因为f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，所以解得＜ω≤.当ωx＋＝kπ(k∈Z)，即x＝－(k∈Z)时，f(x)＝0.又因为f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，所以解得＜ω≤.综上可得，ω的取值范围是(].故选C.
4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．
[2，3)
解析：函数f(x)＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y＝cos x在[0，2π]上的图象可知，cos x＝1在区间[0，2π]有2个根，所以若cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，则函数y＝cos ωx在[0，2π]内至少包含2个周期，但小于3个周期，即，又ω>0，所以2≤ω<3，即ω的取值范围是[2，3)．