(共46张PPT)
第八节 函数的图象
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.利用描点法作函数图象的方法步骤：______、________、________．
2．函数图象的三种变换
(1)平移变换
列表
描点
连线
f(x)＋k
f(x＋h)
f(x－h)
f(x)－k
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝________．
②y＝f(x)y＝________．
③y＝f(x)y＝________．
④y＝ax(a>0，且a≠1)y＝________________．
－f(x)
f(－x)
－f(－x)
logax(a>0，且a≠1)
(3)翻折变换
|f(x)|
f(|x|)
【常用结论】
(1)一个函数图象的自对称问题
①若f(a－x)＝f(a＋x)(或f(x)＝f(2a－x))，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．
②若f(a＋x)＝f(b－x)对任意x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)两个函数图象的互对称问题
①函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
②函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．( )
(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．( )
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．( )
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．( )
×
×
×
√
2．(教材改编)下列图象是函数y＝的图象的是( )
答案：C
解析：其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成．故选C.
3．(教材改编)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，则与以上事件吻合最好的图象是( )
答案：C
解析：与学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快．故选C.
4．(易错)要得到函数y＝32－2x的图象，只需将函数y＝的图象( )
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位
答案：B
解析：函数y＝＝3－2x的图象向右平移1个单位可得y＝3－2(x－1)＝32－2x的图象．故选B.
5．(易错)若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是__________．
(0，＋∞)
解析：在同一直角坐标系中，画出函数y＝|x|和函数y＝－x＋a的图象如图，可知当a>0时，两函数有且只有一个交点，即|x|＝a－x只有一个解．
课堂互动探究案
1.会画简单的函数图象．
2．会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
问题思考·夯实技能
【问题】 前面已复习过函数图象的变换，请你写出函数y＝|21－x－1|的图象是由函数y＝2x的图象怎样变换得到的？
提示：将函数y＝2x的图象作关于y轴对称得到函数y＝2－x的图象，向右平移一个单位，向下平移一个单位，再将x轴下方的部分翻折上去，就得到函数y＝|21－x－1|的图象．
关键能力·题型剖析
题型一 作函数的图象
例1 作出下列函数的图象：
(1)y＝()|x|；
(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝.
解析：(1)作出y＝()x的图象，保留y＝()x图象中x≥0部分，加上y＝()x的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝()|x|的图象(图1)．
(2)作出y＝log2x的图象，将此图象向左平移1个单位，得到y＝log2(x＋1)的图象，再保留其y≥0部分，加上其y＜0的部分关于x轴的对称部分，即得y＝|log2(x＋1)|的图象(图2)．
(3)由y＝得y＝＋2.
作出y＝的图象，将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得y＝＋2的图象(图3)．
题后师说
图象变换法作图
若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
题型二 函数图象的识别
例2 (1)[2024·河北保定模拟]函数f(x)＝的大致图象为( )
答案：B
解析：因为f(x)＝是由g(x)＝向左平移一个单位得到的，
因为g(－x)＝＝g(x)(x≠0)，
所以函数g(x)＝为偶函数，图象关于y轴对称，
所以f(x)的图象关于x＝－1对称，故可排除A，D选项；
又当x<－2或x>0时，2ln |x＋1|>0，(x＋1)2>0，
所以f(x)>0，故可排除C选项．
(2)[2024·河南洛阳模拟]如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－2，2]上的大致图象，则该函数是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
答案：A
解析：对于B，x∈[－2，0)∪(0，2]，f(－x)＝＝＝f(x)，函数f(x)是偶函数，B不是；
对于C，x∈[－2，0)∪(0，2]，f(－x)＝＝＝f(x)，函数f(x)是偶函数，C不是；
对于D，x∈[－2，0)∪(0，2]，f(1)＝<0，D不是；
对于A，x∈[－2，0)∪(0，2]，f(－x)＝＝－＝－f(x)，函数f(x)是奇函数，且f(1)＝>0，A符合题意．
题后师说
识别函数图象的四种策略
巩固训练1
(1)[2024·江西鹰潭模拟]函数f(x)＝(2－x－2x)cos x在[－2，2]上的图象大致为( )
答案：A
解析：因为f(x)＋f(－x)＝(2－x－2x)cos x＋(2x－2－x)cos (－x)＝(2－x－2x)cos x－(2－x－2x)cos x＝0，
所以函数f(x)为奇函数，故B、D错误；
又因为1∈(0，)，则f(1)＝(2－1－2)cos 1＝－cos 1<0，故C错误．
(2)已知函数f(x)＝的图象如图所示，则下列选项中可能为g(x)的解析式的是( )
A.g(x)＝ B．g(x)＝2x－2－x
C．g(x)＝ D．g(x)＝2x＋2－x
答案：A
解析：由函数f(x)＝，可得g(x)＝
对于A中，函数g(x)＝，当x→0＋时，g(x)→＋∞，当x→＋∞时，g(x)→0，故x＞0时，其函数g(x)为单调递减函数且易知其为奇函数，符合题意；
对于B中，g(x)＝2x－2－x，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，不符合题意；
对于C中，g(x)＝，当x→0＋时，g(x)→，不符合题意；
对于D中，g(x)＝2x＋2－x，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，不符合题意．
题型三 函数图象的应用
角度一 研究函数的性质
例3 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
答案：C
解析：由函数f(x)＝x|x|－2x可得，函数的定义域为R，关于原点对称，
且f(－x)＝－x|－x|－2(－x)＝－x|x|＋2x＝－f(x)，故函数为奇函数，
函数f(x)＝x|x|－2x＝，如图所示，
故函数的递减区间为(－1，1)．
角度二 解不等式
例4 [2024·江西南昌模拟]已知函数f(x)＝＋1，g(x)＝f(x－2)＋1，则不等式f(x)
A．(－∞，1) B．(1，2)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
答案：A
解析：由题知f(x)＝＋1＝g(x)＝f(x－2)＋1＝在同一坐标系下画出f(x)，g(x)图象如图所示，
由图可知f(x)角度三 求参数的取值范围
例5 已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
(，1)
解析：先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过点A时斜率为，故当f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为(，1)．
【变式练习】 若f(x)>g(x)恒成立，则实数k的取值范围是________．
[－1，)
解析：如图作出函数f(x)的图象，
当－1≤k<时，
直线y＝kx的图象恒在函数y＝f(x)的下方．
题后师说
当方程的解或不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难时，但其对应函数的图象可作出时，常将方程的解或不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．
巩固训练2
(1)已知函数f(x)的定义域为[－2，4]，其图象如图所示，则xf(x)<0的解集为( )
A.{x|－2≤x<－1} B．{x|－1≤x≤0}
C．{x|1≤x≤3} D．{x|0≤x≤4}
答案：A
解析：由图可知，当－2≤x<－1时，f(x)>0，所以xf(x)<0；
当－1≤x≤0时，f(x)≤0，所以xf(x)≥0；
当00，所以xf(x)>0；
故xf(x)<0的解集为{x|－2≤x<－1}．
(2)[2024·湖南衡阳模拟]已知函数f(x)＝，若方程f(x)＝a有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．
(0，1)
解析：原题意等价于y＝f(x)与y＝a有四个不同的交点，
作出y＝f(x)的图象，如图所示：
可得：当a<0时，y＝f(x)与y＝a有且仅有一个交点；
当a＝0或a＝1时，y＝f(x)与y＝a有且仅有三个交点；
当0当a>1时，y＝f(x)与y＝a有且仅有两个交点；
综上所述若y＝f(x)与y＝a有四个不同的交点，则实数a的取值范围是(0，1)．
1.[2024·安徽安庆模拟]函数f(x)＝log22x与g(x)＝2－()x在同一直角坐标系下的图象大致是( )
答案：B
解析：∵f(x)＝log22x＝1＋log2x为定义域上的单调递增函数，
∴f(1)＝1，故A不成立；
∵g(x)＝2－()x为定义域上的单调递增函数，
∴g(0)＝2－()0＝1，故C和D不成立．
2．[2024·河北衡水模拟]函数f(x)＝x[ln (x＋1)－ln (1－x)]的部分图象大致是( )
答案：C
解析：对于函数f(x)＝x[ln (x＋1)－ln (1－x)]，有，可得－1所以函数f(x)的定义域为(－1，1)，
x∈(－1，1)，f(－x)＝－x[ln (1－x)－ln (1＋x)]＝x[ln (1＋x)－ln (1－x)]＝f(x)，
所以函数f(x)为偶函数，排除AB选项；
当01－x>0，则ln (1＋x)>ln (1－x)，
此时f(x)＝x[ln (1＋x)－ln (1－x)]>0，排除D选项．
3．已知函数f(x)在区间[－2，2]上的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝(ex－e－x)x
B．f(x)＝(ex－e－x)sin x
C．f(x)＝(ex－e－x)cos x
D．f(x)＝(ex－e－x)x2
答案：C
解析：因为(ex－e－x)＋(e－x－ex)＝0，所以y＝ex－e－x为奇函数，
对于选项A：因为y＝x为奇函数，则f(x)＝(ex－e－x)x为偶函数，不合题意，故A错误；
对于选项B：因为y＝sin x为奇函数，则f(x)＝(ex－e－x)sin x为偶函数，不合题意，故B错误；
对于选项D：当x>0时，ex>1，e－x＝<1，x2>0，可得ex－e－x＝ex－>0，
则(ex－e－x)x2>0，
所以当x>0时，f(x)＝(ex－e－x)x2>0恒成立，不合题意，故D错误．
4．已知函数f(x)＝，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
(0，1)
解析：当x<2时，函数f(x)＝x－1是增函数，函数值集合是(－∞，1)，
当x≥2时，f(x)＝是减函数，函数值集合是(0，1]，
关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，
即函数y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个交点，
在坐标系内作出直线y＝k和函数y＝f(x)的图象，如图，
观察图象知，当0即方程f(x)＝k有两个不同的实根，
所以实数k的取值范围为(0，1)．(共46张PPT)
第二节 函数的单调性与最值
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
定义 设函数f(x)的定义域为I，区间D I：如果 x1，x2∈D 当x1图象描述 自左向右看图象是________的
自左向右看图象是________的
f(x1)f(x1)>f(x2)
上升
下降
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上________或________，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
单调递增
单调递减
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M(m) 条件 (1)对于任意x∈I，都有________； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有________；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝m
结论 M为最大值 m为最小值
f(x)≤M
f(x)≥m
【常用结论】
1． x1，x2∈D且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0) f(x)在区间D上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0).( )
(2)对于函数y＝f(x)，若f(1)＜f(3)，则f(x)为增函数．( )
(3)已知函数y＝f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是减函数．( )
(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( )
×
×
√
×
2．(教材改编)下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
答案：C
解析：对于A，一次函数f(x)＝3－x在R上单调递减，故该选项不符合题意；对于B，二次函数f(x)＝x2－3x的图象的对称轴是x＝，函数在(0，)上单调递减，故该选项不符合题意；对于C，f(x)＝－是由反比例函数y＝－向左平移1个单位得到的，因为y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝－在(－1，＋∞)上单调递增，故该选项符合题意；对于D，f(x)＝－|x|，当x＞0时，f(x)＝－x为减函数，故该选项不符合题意．故选C.
3．(教材改编)已知函数f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
解析：易知函数f(x)＝在x∈[2，6]上单调递减，
故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.
2
4．(易错)函数f(x)＝的单调递减区间为( )
A．(－∞，－1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)，(－1，＋∞)
D．(－∞，－1)
答案：C
解析：f(x)＝＝＝－1＋，
又f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，
由函数的图象平移可知，
f(x)＝的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)．
故选C.
5．(易错)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a＝________．
－3
解析：因为函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，且函数f(x)的图象对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.
课堂互动探究案
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
2．掌握函数单调性的简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】 请你写出函数y＝x＋的单调区间．
提示：单调递增区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)，单调递减区间为(－1，0)和(0，1)．
切记：当函数有多个不连续的单调区间时，不能用符号“∪”连接，只能用“逗号”或“和”连接．
【问题2】 你能想起用函数单调性的定义来证明函数单调性的一般步骤吗？
提示：第一步：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1第二步：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子．
第三步：确定f(x1)－f(x2)的符号．
第四步：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断函数的单调性．
关键能力·题型剖析
题型一 求函数的单调区间
例1 (1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；
(2)f(x)＝ (－x2＋4x＋5)；
(3)f(x)＝x－ln x.
解析：(1)∵f(x)＝其图象如图所示，∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．
(2)由－x2＋4x＋5>0得－1(3)由题意，得x>0.y′＝1－＝.
由上表可知，函数的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．
x (0，1) 1 (1，＋∞)
y′ － 0 ＋
y ↘ 极小值 ↗
题后师说
(1)求函数单调区间的方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性法；④导数法．
(2)求函数的单调区间，定义域优先．
巩固训练1
(1)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递减区间是( )
A．[，＋∞)
B．[1，]和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和[，2]
D．(－∞，)和[2，＋∞)
答案：C
解析： y＝|x2－3x＋2|
＝
如图所示，
函数的单调递减区间是(－∞，1]和[，2].
(2)函数f(x)＝的单调递增区间是( )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．[1，3] D．[－1，1]
答案：D
解析：函数f(x)＝的定义域需要满足3＋2x－x2≥0，解得f(x)定义域为[－1，3]，
因为y＝3＋2x－x2在[－1，1]上单调递增，所以f(x)＝在[－1，1]上单调递增．
题型二 单调性的判断与证明
例2 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
解析：方法一 设－1f(x)＝a()＝a(1＋)，
则f(x1)－f(x2)＝a(1＋)－a(1＋)＝，
由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)方法二 f′(x)＝＝＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．
题后师说
(1)判断函数单调性的方法
①图象法；②利用已知函数的单调性；③定义法．
(2)证明函数单调性的方法
①定义法；②导数法．
巩固训练2
已知函数f(x)＝.判断f(x)在[0，＋∞)上单调递增还是单调递减，并证明你的判断．
解析：f(x)在[0，＋∞)上单调递增，证明如下：
设任意的0≤x1f(x1)－f(x2)＝＝，
因为0≤x1故x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
题型三 函数单调性的应用
角度一 比较函数值的大小
例3 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＞a＞b B．c＞b＞a
C．a＞c＞b D．b＞a＞c
答案：D
解析：根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递减．
所以a＝f(－)＝f()，f(2)>f()>f(3)，
所以b＞a＞c.
题后师说
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，转化到同一个单调区间内进行比较．
巩固训练3
[2024·广东深圳模拟]已知函数f(x)的定义域为R，若对 x∈R都有f(3＋x)＝f(1－x)，且f(x)在(2，＋∞)上单调递减，则f(1)，f(2)与f(4)的大小关系是( )
A．f(4)C．f(1)答案：A
解析：因为对 x∈R都有f(3＋x)＝f(1－x)，所以f(1)＝f(3－2)＝f[1－(－2)]＝f(3)，
又因为f(x)在(2，＋∞)上单调递减，且2<3<4，
所以f(4)角度二 求函数的最值
例4 函数f(x)＝x＋在区间[－，2]上的最大值为( )
A． B．
C．3 D．4
答案：B
解析：设t＝x＋1，则问题转化为求函数g(t)＝t＋－1在区间[，3]上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数g(t)在区间[，2]上单调递减，在区间[2，3]上单调递增，所以＝max＝max＝.
题后师说
利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法几乎成为首选方法．
巩固训练4
函数f(x)＝在x∈[1，4]上最大值为M，最小值为m，则M－m的值是( )
A． B．2
C． D．
答案：A
解析：因为y＝在[1，4]上是增函数，所以M＝f(x)max＝f(4)＝2－＝，m＝f(x)min＝f(1)＝0.因此M－m＝.
角度三 解函数不等式
例5 [2024·辽宁葫芦岛模拟]已知函数f(x)＝，则关于x的不等式f(1－x)(－∞，0)
解析：当x≤3时，f(x)＝x2－3x在(－∞，]上单调递减，在[，3]上单调递增，
当x>3时，f(x)＝x－1是增函数，且×3－1＝0＝f(3)，
因此函数f(x)在(－∞，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，而1－x<2－x，
则当1－x≥，即x≤－时，恒有f(1－x)当x>－时，2－x<≤3，不等式化为(1－x)2－3(1－x)<(2－x)2－3(2－x)，解得x<0，则－所以不等式f(1－x)题后师说
求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
巩固训练5
已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是___________________．
(－，－2)∪(2，)
解析：因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得0角度四 求参数的取值范围
例6 [2024·黑龙江哈尔滨九中模拟]若函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(1，) B．(1，]
C．(1，2) D．(1，2]
答案：B
解析：当x<4时，函数f(x)＝ax－3单调递增，
所以a>1，
当x≥4时，f(x)＝x＋－3，是单调递增函数，
所以≤4，所以0当x＝4时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值，
所以a≤4＋－3，
解得a≤，
综上所述实数a的取值范围是(1，].
题后师说
利用单调性求参数的取值范围，根据单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
巩固训练6
若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
[1，2)
解析：由函数f(x)＝＝＝1＋，
因为f(x)在(a，＋∞)上单调递增，则满足，解得1≤a<2，
所以实数a的取值范围为[1，2)．
1.下列四个函数中，在x∈(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝－ B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝3－x D．f(x)＝－|x|
答案：A
解析：根据函数f(x)＝－的图象可知，其单调递增区间是(－∞，－1)，(－1，＋∞)，所以A对．
因为抛物线f(x)＝x2－3x的单调递增区间为[，＋∞)，单调递减区间为(－∞，)，所以该抛物线在x∈(0，＋∞)上不单调，所以B错；
因为直线f(x)＝3－x的斜率为－1，所以在x∈(0，＋∞)上为减函数，所以C错；
根据函数f(x)＝－|x|的图象可知其在x∈(0，＋∞)上为减函数，所以D错．
2．函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是( )
A． B．2，5
C．1，2 D．
答案：A
解析：∵y＝x2＋1在(0，＋∞)上单调递增，且y＞1，
∴f(x)＝在区间[1，2]上单调递减，
∴函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是
f(1)＝＝，f(2)＝＝.
3．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是( )
A．[1，2] B．[－1，0]
C．(0，2] D．[2，＋∞)
答案：A
解析：当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x，则函数f(x)在(－∞，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
当x>2时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是[1，2].
4．设a∈R，已知函数y＝f(x)是定义在[－4，4]上的减函数，且f(a＋1)>f(2a)，则a的取值范围是( )
A．[－4，1) B．(1，4]
C．(1，2] D．(1，＋∞)
答案：C
解析：∵函数y＝f(x)是定义在[－4，4]上的减函数，且f(a＋1)>f(2a)，
∴－4≤a＋1<2a≤4，解得15．若函数f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是_________．
[1，2]
解析：由题意知， 1≤a≤2，
所以a的取值范围为[1，2].(共44张PPT)
第九节 函数与方程
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.函数的零点
对于一般函数y＝f(x)，我们把使______的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 零点不是点，是一个实数
2．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在x0∈(a，b)，使得________，这个x0也就是方程f(x)＝0的根．
3．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且__________的函数，通过不断地把它的零点所在区间________，使所得区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
f(x)＝0
f(a)·f(b)<0
f(x0)＝0
f(a)·f(b)<0
一分为二
零点
【常用结论】
1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
2．图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac＜0时没有零点．( )
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)＜0.( )
(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．( )
×
√
×
×
2．(教材改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表．
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，5)
x 1 2 3 4 5
f(x) －4 －2 1 4 7
答案：B
解析：由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)＜0，所以函数在(2，3)内有零点．故选B.
3．(教材改编)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是________．
1
解析：因为y＝2x，y＝x3是增函数，
所以函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内单调递增．
又f(0)＝－1<0，f(2)＝10>0，
所以f(0)f(2)<0，
故函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内有唯一的零点．
4．(易错)(多选)已知函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，则下列命题正确的是( )
A．函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0，1)和(1，2)内
B．函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1，2)和(2，3)内
C．函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0，1)和(2，3)内
D．函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1，2)内
答案：ABD
解析：因为函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，所以零点两侧函数值异号，
又f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，所以f(3)>0，f(1)f(2)<0，
若f(1)>0，f(2)<0，可得f(2)f(3)<0，f(1)f(2)<0，即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(1，2)和(2，3)内，故B正确．
若f(1)<0，f(2)>0，则f(0)f(1)<0，f(1)f(2)<0，即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(0，1)和(1，2)内，故A正确．
综上两种情况，可知选项C错误，D正确．故选ABD.
5．(易错)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为________．
0或－
解析：若a＝0，
则f(x)＝－x－1，令f(x)＝0，即－x－1＝0，
得x＝－1，故符合题意；
若a≠0，则f(x)＝ax2－x－1是二次函数．
故有且仅有一个零点等价于Δ＝1＋4a＝0，
解得a＝－，
综合所述a＝0或a＝－.
课堂互动探究案
1.理解函数的零点与方程的解的联系．
2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．
3．了解二分法求方程的近似解．
问题思考·夯实技能
【问题1】 函数零点与方程根有何联系？
提示：方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点 函数y＝f(x)有零点．
【问题2】 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，y＝f(x)在(a，b)内有零点，那么一定有f(a)f(b)<0吗？
提示：不一定．例如函数f(x)＝x2－1在区间[－2，2]上的图象是连续不断的一条曲线，且在(－2，2)内有零点，但f(－2)f(2)>0.事实上，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，那么“f(a)f(b)<0”是“y＝f(x)在(a，b)内有零点”的充分不必要条件．
关键能力·题型剖析
题型一 函数零点所在区间的判定
例1 函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，5)
答案：B
解析：由题意得，f(x)＝ln x＋2x－6在定义域内单调递增，
f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2<0，
f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3>0，
则f(2)f(3)<0，
∴零点在区间(2，3)上．
【变式练习】 用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2，3)内的零点近似值，至少经过______次二分后精确度达到0.1.
4
解析：∵开区间(2，3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为.
故有≤0.1，解得n≥4，
∴至少要操作4次．
题后师说
判定函数零点所在区间的2种方法
巩固训练1
(1)函数y＝x＋－3的一个零点在(0，1)内，另一个零点在________内．( )
A．(4，5) B．(3，4)
C．(2，3) D．(1，2)
答案：C
解析：因为函数f(x)＝x＋－3的一个零点在(0，1)内，
所以，又因为函数y＝x＋－3在(2，3)连续不断，根据零点存在性定理另一个零点在(2，3)内．
(2)已知函数f(x)＝ln x＋3x－7的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________．
2
解析：由题意可知函数f(x)＝ln x＋3x－7在定义域(0，＋∞)内单调递增，
易知f(2)＝ln 2＋3×2－7＝ln 2－1<0，
而f(3)＝ln 3＋3×3－7＝ln 3＋2>0，所以f(2)·f(3)<0，
根据零点存在定理可知，函数f(x)在区间(2，3)内存在零点，
所以可得n＝2.
题型二 函数零点个数的判定
例2 (1)[2024·河南洛阳模拟]函数f(x)＝－log2x的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：B
解析：由f(x)＝0，得＝log2x，因此函数f(x)的零点即为函数y＝log2x与y＝的图象交点横坐标，
在同一坐标系内作出函数y＝log2x与y＝的图象，如图，
观察图象知，函数y＝log2x与y＝的图象有唯一公共点，
所以函数f(x)＝－log2x的零点个数为1.
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0，]时，f(x)＝9x－1，则h(x)＝(x－1)f(x)－2在区间[－2 021，2 023]上所有零点之和为________．
4 044
解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又f(x＋1)＝－f(x)，
所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，则f(x)的周期是2，
且f(x＋1)＝f(－x)得x＝是其中一条对称轴，
又x∈时f(x)＝9x－1，于是f(x)图象如图所示，
又函数h(x)＝(x－1)f(x)－2的零点，即为y＝f(x)与y＝的交点的横坐标，
由图知：交点关于(1，0)对称，每个周期都有2个交点，
所以[－2 021，1)、(1，2 023]各有1 011个周期，故各有2 022个交点，它们两两关于(1，0)对称，
所以零点之和为2 022×2＝4 044.
题后师说
判定函数零点个数的3种方法
巩固训练2
(1)[2024·河北唐山模拟]已知函数f(x)＝，则函数g(x)＝f(x)－的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
解析：令g(x)＝0得f(x)＝，在同一直角坐标系中作出f(x)(图中细实线所示)，y＝(图中粗实线所示)的大致图象如图：
由图象可知，函数y＝f(x)与y＝的图象有3个交点，
即函数g(x)有3个零点．
(2)[2024·北京东城模拟]已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为________．
－2，e
解析：由题意可知函数f(x)＝ln x＋3x－7在定义域(0，＋∞)内单调递增，
易知f(2)＝ln 2＋3×2－7＝ln 2－1<0，
而f(3)＝ln 3＋3×3－7＝ln 3＋2>0，所以f(2)·f(3)<0，
根据零点存在定理可知，函数f(x)在区间(2，3)内存在零点，
所以可得n＝2.
题型三 函数零点的应用
角度一 根据零点个数求参数
例3 [2024·江苏盐城模拟]已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－f(－x)有五个零点，则实数a的取值范围是________．
(－2，0)
解析：当x≥0时，f(x)＝x|x－2|，则－x≤0，f(－x)＝－ax，
此时f(x)－f(－x)＝0 x|x－2|＝－ax，则x＝0或－a＝|x－2|，
当x<0时，f(x)＝ax，则－x>0，f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|，
此时f(x)－f(－x)＝0 －x|x＋2|＝ax，则－a＝|x＋2|，
故问题转为－a＝|x－2|(x≥0)，－a＝|x＋2|，(x<0)共有四个零点，
画出函数图象如图可知，0<－a<2 －2角度二 根据函数零点的范围求参数
例4 [2024·山西阳泉模拟]函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)存在零点．则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－5) B．(－5，－1)
C．(1，5) D．(5，＋∞)
答案：B
解析：由y1＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增，
因为函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)存在零点，
所以，即，解得－5所以实数m的取值范围是(－5，－1)．
题后师说
根据函数零点的情况求参数的方法
巩固训练3
(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，3)内，则实数a的取值范围是( )
A．(7，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－∞，－1)∪(7，+∞) D．(－1，7)
答案：D
解析：∵y＝2x和y＝－在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上是增函数，
∴只需即，
解得－1(2)[2024·安徽蚌埠模拟]若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
(0，2)
解析：函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，
y＝|2x－2|和y＝b的图象有两个交点，
画出y＝|2x－2|和y＝b的图象，如图，要有两个交点，那么b∈(0，2)．
1.[2024·河北衡水模拟]函数f(x)＝ln (x＋1)－的零点所在的大致区间是( )
A．(3，4) B．(2，e)
C．(1，2) D．(0，1)
答案：C
解析：因为f(1)＝ln 2－<0，f(2)＝ln 3－>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1，2)．
2．[2024·北京朝阳模拟]函数f(x)＝的零点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：C
解析：当x≤0时，令f(x)＝x2＋2x－3＝0，
则(x－1)(x＋3)＝0，解得x＝1(舍去)或x＝－3，
当x>0时，令ex－2＝0，解得x＝ln 2，
所以f(x)的零点个数为2.
3．[2024·河南焦作模拟]若函数f(x)＝ln x＋x2－a在区间(1，e)上存在零点，则实数a的取值范围为( )
A．(1，e2) B．(1，2)
C．(1，e2＋1) D．(2，＋2)
答案：C
解析：∵f(x)＝ln x＋x2－a，故f′(x)＝＋2x>0在区间(1，e)上恒成立，
∴f(x)在(1，e)上单调递增．又函数f(x)＝ln x＋x2－a在区间(1，e)上存在零点，故f(1)<0，f(e)>0，即，解得a∈(1，e2＋1)．
4．已知函数f(x)＝，若函数y＝f(x)－1有3个零点，则实数a的取值范围是_________．
(－2，2)
解析：函数f(x)＝，若函数y＝f(x)－1有3个零点，
当x≥1时，令f(x)－1＝0，即ln x＝1，解得x＝e，符合题意；
当x<1时，令f(x)－1＝0，即x2＋2x＋a＝1，即x2＋2x＋a－1＝0，
要使得函数y＝f(x)－1有3个零点，则方程x2＋2x＋a－1＝0有两个小于1的实根，
设g(x)＝x2＋2x＋a－1，即函数g(x)在x<1上与x轴有两个交点，
则满足，解得－2状元笔记 嵌套函数的零点问题
对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．
一、判断嵌套函数的零点个数
【典例1】 [2024·广东揭阳模拟]函数f(x)＝，则函数y＝f(f(x))－1的零点个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[解析] 令t＝f(x)，则f(t)＝1，当t≤1时，由t2－1＝1可得t＝－或t＝(舍去)；当t＞1时，由ln t＝1可得t＝e，所以f(t)＝1的两根为t1＝－，t2＝e，
则f(x)＝－或f(x)＝e，因为f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)≥f(0)＝－1，若f(x)＝－，易知方程无解，
若f(x)＝e，当x≤1时，由x2－1＝e，得x＝－或x＝(舍去)，
此时方程有唯一的解；
当x＞1时，由ln x＝e，得x＝ee，此时方程有唯一的解，
综上所述可知函数y＝f(f(x))－1的零点个数为2个．
[答案] A
二、由嵌套函数零点的情况求参数
【典例2】 (多选)[2024·湖南永州模拟]已知函数f(x)＝，若关于x的方程f2(x)－(2a＋1)f(x)＋a2＋a＝0有6个不同的实根，则实数a可能的取值有( )
A．－ B．
C． D．2
[答案] BC
[解析] 当x＜0时，f(x)＝x3－3x，
则f ′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
当x∈(－∞，－1)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，
当x∈(－1，0)时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减，
作出f(x)的图象，如图所示，f2(x)－(2a＋1)f(x)＋a2＋a＝(f(x)－a)(f(x)－a－1)＝0，
即f(x)＝a与f(x)＝a＋1共六个不等实根，
由图可知f(x)＝2时，x＝－1或x＝2，即f(x)＝2有两个根，
若使f(x)＝a与f(x)＝a＋1共六个不等实根，
只需满足，即0＜a＜1.(共41张PPT)
第六节 指数与指数函数
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么________叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.
(2)式子叫做________，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝________．
当n为奇数时，＝________，
当n为偶数时，＝|a|＝
x
根式
a
a
2．分数指数幂
(1)正数的正分数指数幂：
＝________(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
(2)正数的负分数指数幂：
＝________＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
(3)0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________．
3．指数幂的运算性质
(1)aras＝________(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝________(a＞0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝________(a＞0，b>0，r∈Q)．
0
无意义
ar＋s
ars
arbr
4．指数函数及其图象与性质
(1)概念：函数________________叫做指数函数．
自变量x出现在幂的指数上，故称指数函数
(2)图象与性质：
y＝ax 01
图象“撇增捺减” 图象
定义域 R 值域 ________ y＝ax(a>0，且a≠1)
(0，＋∞)
减函数
增函数
【常用结论】
1．画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，(－1，)．
2．f(x)＝ax与g(x)＝a－x＝()x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) ＝－4.( )
＝＝.( )
(3)函数y＝2x－1是指数函数．( )
(4)函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．( )
×
×
×
√
2．(教材改编)计算－(－1)0的结果为( )
A．－9 B．7
C．－10 D．9
答案：B
解析：原式＝－1＝23－1＝7.故选B.
3．(易错)式子a化简得( )
A． B．
C．－ D．－
答案：D
解析：由题意知a<0，
∴a ＝a ＝－.故选D.
4．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点P(2，)，则f(－1)＝________．
解析：由题意知＝a2，∴a＝，
∴f(x)＝()x，
∴f(－1)＝()－1＝.
5．(易错)若函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝________．
2
解析：由a2－3a＋3＝1得a＝1或a＝2.
又a≠1，∴a＝2.
课堂互动探究案
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．
2．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象．
3．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】 试判断下面的运算是否正确？若不正确，请纠正．
＝(－)－1＝－.
提示：不正确．＝＝＝.
【问题2】 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，
请你写出底数a，b，c，d与1之间的大小关系，并指出在第一象限内底数与图象的关系．
提示：c>d>1>a>b>0.在第一象限内，底数越大，函数图象越高，即“底大图高”．
关键能力·题型剖析
题型一 指数幂的运算
例1 (1)计算：(7+4)0＋ －2×＋×－1；
(2)化简：×.
解析：(1)－2×＋×
＝＋
＝1＋23－2×22＋
＝
＝1＋2
＝3.
(2)原式＝÷
＝÷
＝＝a×a＝a2.
题后师说
巩固训练1
(1)计算：＋()－2－(3－π)0＋)6；
(2)化简：·b－2·b－1).
解析：(1)＋()－2－(3－π)0＋)6＝＋32－1＋22×33＝9＋9－1＋4×27＝125.
(2)·b－2·(b－1)
＝b－3
＝b－3)
＝.
题型二 指数函数的图象及应用
例2 (1)(多选)[2024·河北衡水模拟]已知a>0，则函数f(x)＝ax－2a的图象可能是( )
答案：AD
解析：由于当x＝1时，f(1)＝a－2a＝－a<0，排除B，C；当a＝2时，f(x)＝2x－4，此时函数图象对应的图形可能为A，当a＝时，f(x)＝()x－1，此时函数图象对应的图形可能为D.
(2)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________．
解析：函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，函数y＝|3x－1|上与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为(0，1)．
(0，1)
【变式练习】 将本例(2)改为：若曲线y＝3|x|＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围为________．
(－∞，2)
解析：曲线y＝3|x|＋1的图象如图：
由图象可知，曲线y＝3|x|＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围为(－∞，2)．
题后师说
与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应的指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
巩固训练2
若函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )
A．00 B．a>1，且b>0
C．01，且b<0
答案：C
解析：如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上(纵截距小于零)，即a0＋b－1<0且0∴0题型三 指数函数的性质及应用
角度一 比较指数式的大小
例3 的大小关系是( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：由y＝()x在R上单调递减，
知，
而，
所以.
角度二 解简单的指数方程或不等式
例4 [2024·河北保定模拟]若x满足不等式2x2＋1≤()x－2，则函数y＝2x的值域是( )
A．[，2) B．[，2]
C．(－∞，] D．[2，＋∞)
答案：B
解析：由≤()x－2可得≤()x－2＝2－2(x－2)＝2－2x＋4，
因为y＝2x在R上单调递增，
所以x2＋1≤－2x＋4即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，
所以2－3≤y＝2x≤21，即函数y＝2x的值域是.
角度三 指数函数性质的综合应用
例5 [2024·河北衡水模拟]已知函数f(x)＝ax－k·a－x(a>0，且a≠1)是奇函数，且f(1)＝.
(1)求a，k的值；
(2)若对于 x∈[1，2]，不等式f(2x)＋mf(x)≥0成立，求m的取值范围．
解析：(1)因为函数是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
即a－x－k·ax＝－ax＋k·a－x，得k＝1，
所以f(x)＝ax－a－x，f(1)＝a－a－1＝，得a＝2或a＝－(舍)，
综上，a＝2，k＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2x－2－x，
则22x－2－2x＋m(2x－2－x)≥0，x∈[1，2]恒成立，
(2x＋2－x)(2x－2－x)＋m(2x－2－x)≥0，2x－2－x>0，x∈[1，2]，
所以2x＋2－x＋m≥0，对 x∈[1，2]恒成立，
即m≥－(2x＋2－x)min恒成立，
设y＝2x＋2－x＝2x＋，令t＝2x，则y＝t＋，
当x∈[1，2]，t∈[2，4]，t＝2x单调递增，当t∈[2，4]，y＝t＋单调递增，
所以y＝t＋的最小值为21＋2－1＝，
所以m≥－.
题后师说
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
巩固训练3
(1)[2024·广西南宁模拟]已知函数f(x)＝，则( )
A．f(0.1)>f(0.2)
B．函数f(x)有一个零点
C．函数f(x)是偶函数
D．函数f(x)的图象关于点()对称
答案：D
解析：函数f(x)＝的定义域为R，
对于A，函数f(x)＝＝1－，函数y＝4x在R上为增函数，易得f(x)在R上为增函数，则有f(0.1)对于B，f(x)＝，有4x>0，则有f(x)>0，所以f(x)没有零点，B错误；
对于C，f(1)＝＝，f(－1)＝＝，所以f(1)≠f(－1)，f(x)不是偶函数，C错误；
对于D，因为f(x)＝，所以f(1－x)＝＝＝，所以f(x)＋f(1－x)＝1，所以函数f(x)的图象关于点()对称，D正确．
(2)已知奇函数f(x)＝ax＋b·a－x(a>0，且a≠1)，在[－1，1]上的最大值为，则a＝________．
2或
解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝(b＋1)(ax＋a－x)＝0，
解得b＝－1，即f(x)＝ax－a－x.当a>1时，函数f(x)＝ax－a－x在[－1，1]上单调递增，则f(1)＝a－a－1＝，解得a＝2.
当01.[2024·广东中山模拟]设a>0，将表示成指数幂的形式，其结果是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：因为a>0，所以＝＝.
2．下列大小关系正确的是( )
A．1.72.5>1.73 B．1.70.3<0.93.1
C．1.52.5<1.53.2 D．0.6－1.2>0.6－1.5
答案：C
解析：对于A，函数y＝1.7x在R上单调递增，则1.72.5<1.73，A错误；
对于B，函数y＝1.7x在R上单调递增，则1.70.3>1.70＝1，
函数y＝0.9x在R上单调递减，则0.93.1<0.90＝1，因此>0.93.1，B错误；
对于C，函数y＝1.5x在R上单调递增，则1.52.5<1.53.2，C正确；
对于D，函数y＝0.6x在R上单调递减，则0.6－1.2<0.6－1.5，D错误．
3．[2024·河北邢台模拟]设A＝{x<()x<3}，B＝，若A B，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．(－∞，－2] D．(－∞，－2)
答案：A
解析：∵A＝{x<()x<()－1}＝{x|－1a}，∴A B a≤－1.
4．[2024·江苏盐城模拟]设函数f(x)＝3x＋b，函数f(x)的图象经过第一、三、四象限，则g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为( )
A．(0，) B．(－∞，)
C．(－∞，) D．(0，)
答案：A
解析：由函数f(x)＝3x＋b的图象经过第一、三、四象限，可得b<－1，
所以g(b)＝f(b)－f(b－1)＝3b－3b－1＝3b·(1－)＝·3b<·3－1＝，又因为·3b>0，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为(0，)．
5．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．
或
解析：当a>1时，函数f(x)在区间[1，2]上单调递增，
由题意可得f(2)－f(1)＝a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)；
当 0由题意可得f(1)－f(2)＝a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)；
综上所述a＝或 a＝.(共42张PPT)
第七节 对数与对数函数
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.对数
(1)对数的概念：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)对数恒等式
①＝________(a>0，且a≠1，N>0)．
②logaab＝________(a>0，且a≠1，b∈R)．
x＝logaN
N
b
(3)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝____________；
②loga＝____________；
③logaMn＝________(n∈R)．
(4)换底公式
logbN＝(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，N>0)．
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
2．对数函数
(1)一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的图象与性质
01
图象
定义域 ________ 值域 ________ 性质 过定点________，即x＝1时，y＝0 当x>1时，_______； 当01时，_______；
当0在(0，＋∞)上是______ 在(0，＋∞)上是______
(0，＋∞)
R
(1，0)
y<0
y>0
y>0
y<0
减函数
增函数
(3)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．
y＝x
[常用结论]
1．换底公式的三个重要结论
(1)logab＝.
(2)＝logab.
(3)logab·logbc·logcd＝logad.
2．对数函数的图象恒过点(1，0)，(a，1)，(，－1)，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象．
3．函数y＝logax与y＝x的图象关于x轴对称．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝log2x及y＝3x都是对数函数．( )
(2)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( )
(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )
(4)函数y＝logax2与函数y＝2logax是相等函数.( )
×
×
×
×
2．(教材改编)(log29)·(log34)＝( )
A． B．
C．2 D．4
答案：D
解析：(log29)·(log34)＝2log23×(2log32)＝4.故选D.
3．(教材改编)函数y＝loga(x－2)＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．
(3，1)
解析：当x－2＝1，即x＝3时，loga(x－2)＝loga1＝0，此时y＝1，∴函数y＝loga(x－2)＋1的图象恒过定点(3，1)．
4．(易错)使式子log(2x－1)(2－x)有意义的x的取值范围是( )
A．x>2 B．x<2
C．答案：D
解析：要使log(2x－1)(2－x)有意义，则，
解得5．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是____________．
∪(1，+∞)
解析：∵loga<1＝logaa，
当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，不等式成立；
当0∴0综上所述，a的取值范围是∪(1，+∞)．
课堂互动探究案
1.理解对数的概念和运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．
2．通过实例，了解对数函数的概念，会画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．
3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a>0，a≠1)互为反函数．
问题思考·夯实技能
【问题1】 利用换底公式化简bn(其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R，m≠0)．
提示：bn＝＝logab.
【问题2】 如图给出4个对数函数的图象
请你写出底数a，b，c，d与1之间的大小关系，并指出在第一象限内底数与图象的关系．
提示：b>a>1>d>c>0.在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
关键能力·题型剖析
题型一 对数式的运算
例1 (1)[2024·安徽亳州模拟]已知4x＝3y＝m，且＝2，则m＝( )
A．3 B．6 C．12 D．18
答案：B
解析：由4x＝3y＝m>0得x＝log4m，y＝log3m，
由换底公式可得＝logm4，＝logm3，
则＝logm4＋2logm3＝logm4×32＝2，所以m2＝4×32＝36，
因为m>0，所以m＝6.
(2)计算：log23·log34＋(lg 5)2＋lg 5·lg 20＋lg 16－.
解析：log23·log34＋(lg 5)2＋lg 5·lg 20＋lg 16－
＝·＋lg 5(lg 5＋lg 20)＋lg 24－3
＝＋lg 5·lg (5×20)＋2lg 2－3
＝2＋2lg 5＋2lg 2－3
＝2lg 10－1
＝1.
题后师说
对数运算的策略
巩固训练1
(1)[2023·山西忻州模拟]已知3a＝5b＝2，则lg 6＝( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：∵3a＝5b＝2，∴a＝log32＝，b＝log52＝＝，
∴lg 2＝，lg 3＝＝，
∴lg 6＝lg 2＋lg 3＝＝＝.
(2)计算：(log34＋log278)(log89＋log23)＝________．
5
解析：(log34＋log278)(log89＋log23)
＝(log322＋23) (32＋log23)
＝(2log32＋log32)(log23＋log23)
＝(3log32)·(log23)
＝3××log32×log23＝5.
题型二 对数函数的图象及应用
例2 (1)函数y＝|lg (x＋1)|的图象是( )
答案：A
解析：由于函数y＝lg (x＋1)的图象可由函数y＝lg x的图象左移一个单位而得到，函数y＝lg x的图象与x轴的交点是(1，0)，故函数y＝lg (x＋1)的图象与x轴的交点是(0，0)，即函数y＝|lg (x＋1)|的图象与x轴的公共点是(0，0)，显然四个选项只有A选项满足．
(2)[2024·江西赣州模拟]已知函数f(x)＝，若a、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是( )
A．[10，12] B．(10，12]
C．(10，12) D．[10，12)
答案：C
解析：不妨设a由图象可知0由f(a)＝f(b)得|lg a|＝|lg b|，
即－lg a＝lg b，∴lg ab＝0，则ab＝1，
∴abc＝c，10∴abc的取值范围是(10，12)．
题后师说
与对数函数图象有关问题的解题策略
巩固训练2
(1)若b>a>1，则函数y＝loga(x＋b)的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
解析：∵b>a>1，∴函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，图象过一、四象限，
又因为函数y＝loga(x＋b)的图象是由函数y＝logax的图象向左平移b个单位长度得到，
而b>1，所以函数y＝loga(x＋b)的图象不经过第四象限．
(2)[2024·河南开封模拟]已知函数f(x)＝|log3x|，若aA．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[5，＋∞) D．(5，＋∞)
答案：D
解析：画出f(x)＝|log3x|的图象如图：
因为a所以－log3a＝log3b，故＝b，且0y＝a＋4b＝a＋，
由对勾函数性质可知：y＝a＋在0故y＝a＋>1＋＝5，
故a＋4b的取值范围是(5，＋∞)．
题型三 对数函数的性质及应用
角度一 比较大小
例3 [2024·湖南长郡中学模拟]设a＝log827，b＝log0.50.2，c＝log424，则( )
A．aC．a答案：C
解析：a＝log827＝log227＝log23，b＝log0.50.2＝－log20.2＝log25，c＝log424＝log224＝log2，
因为y＝log2x在定义域上是增函数，且3<<5，故a角度二 解对数方程、不等式
例4 若loga(a＋1)0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
(，1)
解析：由题意，a>0，a≠1，∴(－1)2＝a－2＋1>0，
∴a＋1>2，
∴要使loga(a＋1)则令函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，
∴0∴loga(a＋1)解得∴实数a的取值范围是(，1)．
角度三 对数函数的性质及应用
例5 [2024·辽宁沈阳模拟]已知函数f(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)，(0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)在区间[0，3]的最小值为－2，求实数a的值．
解析：(1)由得－2(2)f(x)＝loga(x＋2)(4－x)，x∈[0，3]，
令t＝(x＋2)(4－x)＝－(x－1)2＋9，
当0≤x≤3，5≤t≤9，
因为0所以f(x)min＝loga9＝－2，
即a－2＝9，所以a＝，
综上得a＝.
题后师说
求与对数函数性质有关问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．
巩固训练3
(1)[2024·江苏南通模拟]设函数f(x)＝ln (2ax－x2)在区间(3，4)上单调递减，则a的取值范围是( )
A.(－∞，3) B．(－∞，3]
C．(2，3] D．[2，3]
答案：D
解析：y＝ln t在(0，＋∞)单调递增，故t＝2ax－x2在(3，4)单调递减，则a≤3，
又∵t＝2ax－x2>0在(3，4)恒成立，则8a－16≥0，故a≥2，
∴2≤a≤3.
(2)(多选)[2024·安徽蚌埠模拟]已知函数f(x)＝log4(1＋4x)－x，则下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于原点对称
B．函数f(x)的图象关于y轴对称
C．函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数
D．函数f(x)的值域为[，＋∞)
答案：BD
解析：因为f(x)的定义域为R，
f(x)＝log4(1＋4x)－＝log4＝log4(2－x＋2x)
所以f(－x)＝log4(2x＋2－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以A错误，B正确；
令t＝2x，则y＝log4(t＋)，令s＝t＋，则y＝log4s，
当x∈[0，＋∞)时，t∈[1，＋∞)，所以s＝t＋为增函数，
又y＝log4s为增函数，所以y＝log4(t＋)为增函数，
又t＝2x为增函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
又f(x)为R上的偶函数，
所以f(x)≥f(0)＝，所以f(x)的值域为[，＋∞)．所以C错误，D正确．
1.(多选)[2024·河北承德模拟]下列各式中正确的是( )
A．10－2lg 3＝ B．log168＝
C．log34·log427＝2 D．＝
答案：ABD
解析：A：因为10－2lg 3＝＝3－2＝，所以本选项正确；
B：log168＝23＝log22＝，所以本选项正确；
C：log34·log427＝·＝log333＝3，所以本选项不正确；
D：＝＝＝，所以本选项正确．
2．[2024·江西上饶模拟]已知函数y＝loga(x＋b)(a，b为常数，其中a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．a＝0.5，b＝2 B．a＝2，b＝2
C．a＝0.5，b＝0.5 D．a＝2，b＝0.5
答案：D
解析：由图象可得函数在定义域上单调递增，
所以a>1，排除A，C；
又因为函数过点(0.5，0)，
所以b＋0.5＝1，解得b＝0.5.又过(0，－1)，logab＝－1，loga＝－1，所以a＝2.
3．若a＝0.30.5，b＝log0.34，c＝log0.50.3，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>a>b
答案：D
解析：根据题意，01，故c>a>b.
4．[2020·新高考Ⅱ卷]已知函数f(x)＝lg (x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)
答案：D
解析：由x2－4x－5>0得x>5或x<－1，
所以f(x)的定义域为(－∞，－1)
因为y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，
所以f(x)＝lg (x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，
所以a≥5.
5．[2024·河北沧州模拟]若lg x＝2lg y，lg (x＋y)＝lg y－lg x，则y2＋y3＝________．
1
解析：因为lg x＝2lg y，lg (x＋y)＝lg y－lg x，所以x＝y2，x＋y＝(x>0，y>0)，
则y2＋y＝，所以y2＋y3＝1.(共41张PPT)
第三节 函数的奇偶性、周期性
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有__________，那么函数f(x)就叫做偶函数 都有___________，那么函数f(x)就叫做奇函数
图象特征 关于________对称 关于________对称
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
y轴
原点
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有___________，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个___________，那么这个_________就叫做f(x)的最小正周期．
f(x＋T)＝f(x)
最小的正数
最小正数
【常用结论】
1．函数奇偶性的五个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有意义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
(5)只有f(x)＝0(定义域是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是偶函数．
2．周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x(a，b为非零常数)：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝±，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝f(x－b)，则T＝a＋b.
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．( )
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( )
(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )
(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( )
×
×
×
√
2．(教材改编)(多选)下列函数为奇函数的是( )
A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x5
C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝
答案：BC
解析：由奇函数的定义可知BC为奇函数．故选BC.
3．(教材改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是_______________．
(－2，0)
解析：由奇函数的图象特征可知f(x)在[－5，5]上的图象，如图，
∴f(x)<0的解集为(－2，0)
4．(易错)关于函数f(x)＝与h(x)＝的奇偶性，下列说法正确的是( )
A．两函数均为偶函数
B．两函数都既是奇函数又是偶函数
C．函数f(x)是偶函数，h(x)是非奇非偶函数
D．函数f(x)既是奇函数又是偶函数，h(x)是非奇非偶函数
答案：D
解析：函数f(x)＝的定义域满足即x2＝4，因此函数f(x)的定义域为{－2，2}，关于原点对称，此时f(x)＝0，满足f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．而函数h(x)＝的定义域为{4}，不关于原点对称，因此函数h(x)是非奇非偶函数．故选D.
5．(易错)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(x)的解析式为___________________．
f(x)＝
解析：当x<0时，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)(1－x)＝－x(1－x)，
又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x(1－x)，即f(x)＝x(1－x)．
课堂互动探究案
1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义．
2．会依据函数的性质进行简单的应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】 “a＋b＝0”是“函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的什么条件？请说明理由．
提示：必要不充分条件
因为偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称．
【问题2】 对f(x)定义域内任一自变量的值x，请证明：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
提示：(1)∵f(x＋a)＝－f(x)，
∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝－(－f(x))＝f(x)，
∴T＝2a.
(2)∵f(x＋a)＝，
∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝＝＝f(x)，
∴T＝2a.
关键能力·题型剖析
题型一 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝(x－1)；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝.
解析：(1)由，得－2≤x≤2，且x≠0，
所以f(x)的定义域为[－2，0)关于原点对称，
所以f(x)＝＝＝.
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)因为f(x)的定义域为[－1，1)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)对于函数f(x)＝，所以x＝±1，其定义域为{－1，1}，关于原点对称．
因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝既是奇函数又是偶函数．
(4)函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称．
①当x＝0时，－x＝0，
所以f(－x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(0)＝0，所以f(－x)＝－f(x)；
②当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)；
③当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x)．
综上，可知函数f(x)为奇函数．
题后师说
判断函数奇偶性的方法
巩固训练1
(1)下列函数中，为偶函数的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝x＋
答案：B
解析：选项A中，函数定义域是{x|x≠1}，函数没有奇偶性；
选项B中，函数定义域是(－∞，＋∞)，f(－x)＝＝＝f(x)，是偶函数；
选项C中，函数定义域是{1}，函数没有奇偶性；
选项D中，函数定义域是{x|x≠0}，f(－x)＝－x－＝－f(x)，函数是奇函数．
(2)[2024·河南开封模拟]函数f(x)满足f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x＋1)－2 B．f(x＋2)－2
C．f(x－2)＋2 D．f(x＋1)＋2
答案：B
解析：A：f(x＋1)－2＝－2＝，定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不符合；
B：f(x＋2)－2＝－2＝，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且＝－，符合；
C：f(x－2)＋2＝＋2＝，定义域为{x|x≠4}，不关于原点对称，不符合；
D：f(x＋1)＋2＝＋2＝，定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不符合．
题型二 函数奇偶性的应用
角度一 利用奇偶性求值(解析式)
例2 (1)[2023·新课标Ⅱ卷]若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝( )
A．－1 B．0
C． D．1
答案：B
解析：设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为，关于原点对称，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋3x，
则f(x)的解析式为____________________．
f(x)＝
解析：根据题意可知，当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2＋3(－x)＝－x2－3x，
又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
因此当x<0时，f(x)＝－x2－3x，所以f(x)的解析式为f(x)＝.
题后师说
(1)求参数：根据f(－x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，再求出参数的值．在解答选择题、填空题时，一般选用特值法，如函数f(x)为奇函数(在x＝0处有定义)，则用f(0)＝0求解等．
(2)求解析式(或函数值)：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．
巩固训练2
(1)[2024·山东临沂模拟]已知函数f(x)＝x＋是偶函数，则m＝________．
2
解析：由ex－1≠0得f(x)＝x＋的定义域为{x|x≠0}，
则∵f(x)＝x＋是偶函数，故f(－1)＝f(1)，
即－1＋＝1＋，解得m＝2.
此时f(x)＝x＋＝，而f(－x)＝＝f(x)，
故f(x)为偶函数，故m＝2.
(2)已知函数f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，当0－x2－x
解析：当－1≤x<0时，0<－x≤1，
因为函数f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，
故f(x)＝－f(－x)＝－[－x(－x－1)]＝－x2－x.
角度二 利用奇偶性解不等式
例3 [2024·河北石家庄模拟]若偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－2，2)
B．(－2，0)∪(2，+∞)
C．(－∞，－2)∪(2，+∞)
D．(－∞，－2)∪(0，2)
答案：B
解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
所以＝<0，且x≠0，
因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－2)＝f(2)＝0，
当x>0时，则f(x)<0＝f(2)，故x>2，
当x<0时，则f(x)>0＝f(－2)，故－2综上<0的解集为(－2，0)
题后师说
利用奇偶性可画出另一对称区间上的函数图象及判断另一区间上函数的单调性．
巩固训练3
[2024·河南开封模拟]已知函数f(x)＝＋a是奇函数，则不等式f(2x－1)>－的解集为________．
(－∞，1)
解析：由题意，函数f(x)＝＋a为奇函数，可得f(0)＝＋a＝＋a＝0，
解得a＝－，即f(x)＝，其定义域为x∈R，经检验满足题意；
因为f(x)＝为减函数，且f(1)＝＝－，
所以不等式f(2x－1)>－等价于f(2x－1)>f(1)，
即2x－1<1，解得x<1，所以不等式f(2x－1)>－的解集为(－∞，1)．
题型三 函数的周期性
例4 [2024·山西晋中模拟]设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)．
解析：(1)证明：f(x＋2)＝－f(x) f(x＋2＋2)＝－f(x＋2) f(x＋4)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数．
(2)当x∈[－2，0]时，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝x2＋2x，
当x∈[2，4]时，f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
(3)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，
因为函数f(x)的周期为4，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝506×[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＝0.
题后师说
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值，求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
巩固训练4
(1)[2024·黑龙江佳木斯模拟]定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝，且当x∈[0，4)，f(x)＝x＋1，则f(2 023)＝______．
解析：由f(x)＝可得f(x＋4)＝，所以f(x＋8)＝＝f(x)，故f(x)为周期函数，且周期为8，
f(2 023)＝f(－1)＝＝.
(2)[2024·江苏无锡模拟]已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且周期为2，当x∈[－1，0)时，f(x)＝()x－1，则当x∈(2，3]时，f(x)＝________．
2x－2－1
解析：当x∈(0，1]时，－x∈[－1，0)，
则f(－x)＝()－x－1＝2x－1，
因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝2x－1；
当x∈(2，3]时，x－2∈(0，1]，则f(x－2)＝2x－2－1，
又f(x)的周期为2，所以f(x)＝f(x－2)＝2x－2－1.
1.[2023·安徽合肥模拟]已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x＋m，则f(－1)＝( )
A．e B．－e
C．e＋1 D．－e－1
答案：B
解析：函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝e0＋0＋m＝0，解得m＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－(e＋1－1)＝－e.
2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(47)＝( )
A．2 B．0
C．1 D．－1
答案：D
解析：由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝－f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，
所以函数f(x)的周期为4，所以f(47)＝f(4×12－1)＝f(－1)，
因为f(x)＝－f(x＋2)，所以f(－1)＝－f(1)＝－log22＝－1.
3．[2023·全国乙卷]已知f(x)＝是偶函数，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案：D
解析：f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即＝，即e(1－a)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x，即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2，故选D.
4．[2023·河北邯郸一模]已知函数f(x－1)为偶函数，且函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，则关于x的不等式f(1－2x)A．(－∞，3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
答案：A
解析：因为f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)的图象关于y轴对称，则f(x)的图象关于直线x＝－1对称．
因为f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在(－∞，－1]上单调递减．
因为f(1－2x)所以－7<1－2x<5，解得x<3.故选A.
5．[2022·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________．
1
解析：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)，
故f(－x)＝－x3(a·2－x－2x)，
因为f(x)为偶函数，故f(－x)＝f(x)，
所以x3(a·2x－2－x)＝－x3(a·2－x－2x)，
整理得到(a－1)(2x＋2－x)＝0，故a＝1.(共35张PPT)
第十节 函数模型及其应用
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.指数、对数、幂函数性质比较
函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调________ 单调________ 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与________平行 随x的增大逐渐表现为与________平行 随n值变化而各有不同
递增
递增
y轴
x轴
2.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
【常用结论】
1．函数f(x)＝(a>0，b>0，x>0)在区间(0，]上单调递减，在区间[，＋∞)上单调递增．
2．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量越来越大，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数增长比直线增长更快．( )
(2)不存在x0，使(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>1)的增长速度．( )
(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( )
×
×
√
×
2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
答案：D
解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知D满足题意．故选D.
3．(教材改编)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过________个“半衰期”．
10
解析：设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为()n，由()n<，得n≥10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．
4．(易错)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x)
C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x)
答案：B
解析：在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)＞f(x)＞h(x)．故选B.
5．(易错)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为_________________．
－1
解析：设原来的生产总值为a，平均增长率为x，
则a(1＋p)(1＋q)＝a(1＋x)2，
解得1＋x＝，
即x＝－1.
课堂互动探究案
1.了解指数函数、对数函数和一次函数增长速度的差异．
2．理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．
3．会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．
问题思考·夯实技能
【问题】 请你在同一平面直角坐标系中画出函数y＝x2，y＝2x，y＝log2x的简图，并比较他们在第一象限的增长速度．(教师可以用电脑演示)
提示：在第一象限内y＝x2增长速度相对平稳，y＝2x增长速度越来越快，y＝log2x增长速度越来越缓慢．
关键能力·题型剖析
题型一 用函数图象刻画实际问题
例1 如图，点P在边长为1的正方形ABCD上运动，设点M为CD的中点，当点P沿A→B→C→M运动时，点P经过的路程设为x，△APM面积设为y，则函数y＝f(x)的图象只可能是下图中的( )
答案：A
解析：当点P在AB上时：y＝×x×1＝x，0≤x≤1；
当点P在BC上时：y＝S正方形ABCD－S△ABP－S△ADM－S△PCM
＝12－×1×(x－1)－×1××(2－x)＝－x＋，1当点P在CM上时：y＝×(－x)×1＝－x＋，2所以y＝，
由函数解析式可知，有三段线段，又当点P在BC上时是减函数，故符合题意的为A.
题后师说
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
巩固训练1
[2024·浙江杭州模拟]杭州亚运会火炬如图(1)所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图(2)所示的几何体．假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h，
则h关于时间t的函数的大致图象可能是( )
解析：由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，
燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快，
燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢，
结合所得的函数图象，A选项较为合适．
答案：A
题型二 已知函数模型的实际问题
例2 [2024·山东德州模拟]2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI发布的名为“ChatGPT”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5.则学习率衰减到0.4以下(不含0.4)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2≈0.3010)( )
A．16 B．17 C．18 D．19
答案：C
解析：由题意知，初始学习率L0＝0.8，衰减速度G0＝12，所以L＝，
因为当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5，可得0.5＝，解得D＝，
所以L＝0.8×，
令0.8×<0.4，可得<，则lg 可得G>＝≈＝17.7，所以所需的训练迭代轮数至少为18.
题后师说
根据给定函数模型解决实际问题的思路
(1)认清函数模型，明确其中的变量，弄清楚哪些为待定系数．
(2)根据已知条件，确定模型中的待定系数．
(3)分析函数模型，借助函数的性质解决相关问题．
巩固训练2
北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功．载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级d(x)(单位：dB)与声强x(单位：W/m2)满足关系式：d(x)＝10lg .若某人交谈时的声强级约为60 dB，且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为107.8，则火箭发射时的声强级约为( )
A．125 dB B．132 dB
C．138 dB D．156 dB
答案：C
解析：设人交谈时的声强为x1 W/m2，则火箭发射时的声强为107.8x1，且60＝10lg ，得x1＝10－6，
则火箭发射时的声强约为107.8×10－6＝101.8 W/m2，
将其代入d(x)＝10lg 中，得d(101.8)＝10lg ＝138 dB，故火箭发射时的声强级约为138 dB.
题型三 构造函数模型的实际问题
例3 [2024·江苏盐城模拟]某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x(万件)之间满足关系：p＝(其中m为小于12的正整数)．已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利3万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量(注：次品率＝次品数/生产量，如p＝0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)．
(1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数；
(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？
解析：(1)由题意可知y＝3·(1－p)x－1·px＝(3－4p)x，又因为p＝，
因此当0≤x≤m时，y＝(3－4p)x＝(3－4·)x＝，
当x>m时，y＝(3－4p)x＝(3－4×)·x＝0，
所以盈利额y(万元)与日产量x(万件)之间的函数关系式为：y＝.
(2)当x>m时，每天的盈利额为0；
因此当0≤x≤m时，设u＝12－x，0≤x≤m，则x＝12－u，且u∈[12－m，12]，
则y＝＝＝－3(u＋)＋40，分以下两种情形讨论：
情形一：当12－m≤4，即8≤m<12时，y＝－3(u＋)＋40≤－3×2 ＋40＝16，
当且仅当u＝，即u＝4∈[12－m，12]时，y取最大值16，此时x＝8.
情形二：当12－m>4，即0≤m<8时，y＝－3(u＋)＋40在[12－m，12]上单调递减，
所以当u＝12－m，即x＝m时，y取最大值．
综上所述，当0≤m<8时，日产量x＝m(万件)时，可获最大利润；当8≤m<12时，日产量x＝8(万件)时，可获最大利润．
题后师说
构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解．
巩固训练3
[2024·河北承德模拟]某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解析：(1)因为y＝－48x＋8 000＝(x－120)2＋5 120(0≤x≤210)，
所以当年产量为120吨时，其生产的总成本最低，最低成本为5 120万元．
(2)设该工厂年获得总利润为f(x)万元，
则f(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000＝－＋88x－8 000＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．
因为f(x)在[0，210]上是增函数，
所以当x＝210时，f(x)有最大值为－(210－220)2＋1 680＝1 660.
故当年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．
1.在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1，2，…，11)，并由实验数据得到下面的散点图．由此散点图，在区间[－2，3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝a＋logbx D．y＝a＋
答案：B
解析：由散点图的定义域可排除C、D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型．
2．[2021·全国甲卷]青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2
C．0.8 D．0.6
答案：C
解析：由题意知4.9＝5＋lg V，得lg V＝－0.1，得V＝≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
3．[2020·新高考Ⅰ卷]基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
答案：B
解析：∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38，∴I(t)＝e0.38t.
若则＝2，0.38(t2－t1)＝ln 2≈0.69，t2－t1≈1.8，选B.(共31张PPT)
第四节 函数的对称性
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于________对称，偶函数关于________对称．
(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为________；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为________．
2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点________对称．
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于________对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于________对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于________对称．
原点
y轴
x＝－2
(－2，0)
(a，0)
y轴
x轴
原点
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．( )
(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称．( )
(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．( )
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．( )
√
×
×
√
2．(教材改编)函数f(x)＝图象的对称中心为( )
A．(0，0) B．(0，1)
C．(1，0) D．(1，1)
答案：B
解析：由f(x)＝＝1＋知函数f(x)＝的对称中心为(0，1)．故选B.
3．(教材改编)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________．
5
解析：函数图象关于x＝2对称，则f(x)＝f(4－x)对任意的x恒成立，令x＝3可得f(3)＝f(1)＝5，
结合偶函数的性质可得f(－1)＝f(1)＝5.
4．(易错)已知函数y＝f(x＋1)为奇函数，则函数y＝f(x)＋1的图象( )
A．关于点(1，1)对称
B．关于点(1，－1)对称
C．关于点(－1，1)对称
D．关于点(－1，－1)对称
答案：A
解析：函数y＝f(x＋1)为奇函数，图象关于(0，0)对称，
则函数y＝f(x)关于(1，0)对称，
所以函数y＝f(x)＋1的图象关于(1，1)对称．故选A.
5．定义在R上的非常数函数f(x)满足：f′(x)>0，且f(2－x)＋f(x)＝0.请写出符合条件的一个函数的解析式f(x)＝_______________．
x－1(答案不唯一)
解析：因为f′(x)>0得出f(x)为增函数，
由f(2－x)＋f(x)＝0，则函数对称中心为(1，0)，
所以y＝x－1满足要求．
课堂互动探究案
1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．
2．会利用对称公式解决问题．
问题思考·夯实技能
【问题1】 已知函数f(x)是奇函数，则函数f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称．反之，已知函数f(x＋1)是奇函数，则函数f(x)的图象关于什么对称？
提示：关于点(1，0)对称．
【问题2】 已知函数f(x)是偶函数，则函数f(x＋1)的图象关于直线x＝ －1对称．反之，已知函数f(x＋1)是偶函数，则函数f(x)的图象关于什么对称？
提示：关于直线x＝1对称．
关键能力·题型剖析
题型一 轴对称问题
例1 (1)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为( )
A．2 B．3 C．4 D．－1
解析：根据f(1＋x)＝f(－x)，可知：f(x)关于x＝对称，
那么要求函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和，
即求函数f(x)在[1，3]上的最大值与最小值之和，
因为f(x)＝log2(3x－1)单调递增，所以最小值与最大值分别为：f(1)＝1，f(3)＝3，f(1)＋f(3)＝4.
答案：C
(2)[2024·安徽芜湖模拟]已知函数y＝f(x＋1)是偶函数，且y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则( )
A．f(1)>f(0) B．f(2)>f(0)
C．f(－2)f(0)
解析：y＝f(x＋1)是偶函数，则y＝f(x)关于x＝1对称，
又因为y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则y＝f(x)在(－∞，1)上单调递减，
所以f(1)f(0)，
根据函数y＝f(x)关于x＝1对称，可知，f(2)＝f(0)，则f(－2)>f(2)，只有D正确．
答案：D
题后师说
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称 f(x)＝f(2a－x) f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称．
巩固训练1
(1)定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则( )
A．f(－1)f(3)
C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
解析：因为f(x＋2)＝f(2－x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，
所以f(3)＝f(1)，
由于f(x)在(－∞，2)上是增函数，
所以f(－1)答案：A
(2)已知f(x＋1)是R上的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x＋1，则f(1.4)＝( )
A．1.4 B．3.4
C．1.6 D．3.6
解析：因为f(x＋1)是R上的偶函数，
所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以f(x)关于x＝1对称，
当0≤x≤1时，f(x)＝x＋1，
所以f(1.4)＝f(0.6)＝0.6＋1＝1.6.
答案：C
题型二 中心对称问题
例2 (1)已知函数f(x)的定义域为R，且y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)成中心对称．当x>0时，f(x)＝，则f(－2)＝( )
A．1 B．3
C．－1 D．－3
解析：因为将y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝f(x)的图象且y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)成中心对称，
所以y＝f(x)的图象关于原点成中心对称，则y＝f(x)在R上是奇函数，
所以f(－2)＝－f(2)＝－＝－1.
答案：C
(2)已知函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝＋1，y＝f(x)与y＝g(x)有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为________．
4
解析：因为f(x)＋f(－x)＝2，所以y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称，y＝g(x)＝＋1的图象也关于点(0，1)对称，则交点关于(0，1)对称，所以4个交点的纵坐标之和为2×2＝4.
题后师说
函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b 2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点()成中心对称．
巩固训练2
(1)[2024·北京海淀模拟]下列函数中，没有对称中心的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x3
C．f(x)＝tan x D．f(x)＝2|x|
解析：f(x)＝的对称中心是(－1，0)，A不正确；f(x)＝x3的对称中心是(0，0)，B不正确；f(x)＝tan x的对称中心是(，0)，k∈Z，C不正确；f(x)＝2|x|结合指数型函数的图象可知函数无对称中心，D选项正确．
答案：D
(2)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1，1)对称，则b＝( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
解析：∵f(x)图象关于点(1，1)对称，∴f(x)＋f(2－x)＝2，
又f(2－x)＝(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b
＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b，
∴f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝2，
∴，解得a＝－3，b＝2.
答案：D
题型三 两个函数的图象的对称问题
例3 [2024·江西南昌模拟]设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－5)与函数y＝f(1－x)的图象关于( )
A．直线y＝3对称 B．直线x＝3对称
C．直线y＝2对称 D．直线x＝2对称
解析：函数y＝f(1－x)是由y＝f(－x)向右平移一个单位得到，
函数y＝f(x－1)是由y＝f(x)向右平移一个单位得到，
又函数y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，
所以函数y＝f(1－x)与y＝f(x－1)关于直线x＝1对称，
又y＝f(x－5)是由y＝f(x－1)向右平移4个单位，
所以函数y＝f(1－x)与函数y＝f(x－5)关于直线x＝3对称．
答案：B
题后师说
函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称．
巩固训练3
已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象( )
A．关于x＝1对称 B．关于x＝3对称
C．关于y＝3对称 D．关于(3，0)对称
解析：设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，
则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，
所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，
而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，
所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．
答案：A
1.下列函数与y＝ex关于x＝1对称的是( )
A．y＝ex－1 B．y＝e1－x
C．y＝e2－x D．y＝ln x
解析：f(x)＝ex关于x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x.
答案：C
2．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点( )
A．(－1，2) B．(1，2)
C．(－1，－2) D．(－2，1)
解析：函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称，y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1，2)．
答案：A
3．已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是( )
A．f(－1)C．f(2)解析：因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为x＝0，
所以f(x)的对称轴为x＝1，
又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得f(－1)答案：D
4．定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，当x∈[0，1)时，f(x)＝，则f(－)＝( )
A． B． C．－ D．－
解析：因为f(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以f(x)＝f(－2－x)，
因为f(x)为奇函数，且当x∈[0，1)时，f(x)＝，
所以f(－)＝f(－2＋)＝f(－)＝－f()＝－＝－.
答案：C
5．已知函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，且当x≥2时，f(x)＝x2－6x＋5，则f(1)＝______．
解析：因为函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，
所以当x＝1时，f(1)＝f(3)＝32－6×3＋5＝－4.
－4(共43张PPT)
第五节 二次函数与幂函数
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.幂函数
(1)幂函数的概念
注意幂函数与指数函数的区别
一般地，函数________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
y＝xα
(2)常见的五种幂函数的图像与性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
定义域 R R R {x|x≥0} ________
值域 R {y|y≥0} R ________ {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 ________
单调性 在R上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
{x|x≠0}
{y|y≥0}
奇函数
图象
过定点 (1，1)
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝______________．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________．
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的________．
ax2＋bx＋c(a≠0)
(m，n)
零点
(2)二次函数的图象与性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域 _____________
_____________
[，＋∞)
(－∞，]
单调性 在____________上单调递增； 在____________上单调递减
在___________上单调递增；
在___________上单调递减
奇偶性 当________时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 _____________ 对称性 图象关于直线__________成轴对称图形 [－，＋∞)
(－∞，－]
(－∞，－]
[－，＋∞)
b＝0
(－)
x＝－
【常用结论】
1．一般地，对于幂函数f(x)＝(m∈Z，n∈N*，m与n互质)，当m为偶数时，f(x)为偶函数；当m，n均为奇数时，f(x)为奇函数；当n为偶数时，f(x)为非奇非偶函数．
2．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝是幂函数．( )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )
(3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．( )
×
√
×
×
2．(教材改编)已知某二次函数的图象与函数y＝2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1，3)，则此函数的解析式为( )
A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3
C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3
答案：D
解析：设所求函数的解析式为y＝－2(x＋h)2＋k(a≠0)，根据顶点为(－1，3)，可得h＝1，且k＝3，故所求的函数解析式为y＝－2(x＋1)2＋3.故选D.
3．(教材改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则函数y＝f(x)的解析式为_________．
f(x)＝
解析：设y＝xα，则＝2α，即＝2α，
∴α＝.
∴f(x)＝.
4．(易错)已知α∈{－2，－1，－，1，2，3}．若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________．
－1
解析：因为幂函数f(x)＝xα为奇函数，所以α可取－1，1，3，
又f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递减，
所以α＜0，故α＝－1.
5．(易错)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
[－，0]
解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3在(－∞，4)上单调递增，当a≠0时，f(x)在(－∞，4)上单调递增．
则a需满足解得－≤a<0.
综上可知，－≤a≤0.
课堂互动探究案
1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律．
2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．
问题思考·夯实技能
【问题1】 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，这种说法对吗？
提示：对．根据五种幂函数的图象可知，幂函数的图象会出现在第一、第二、第三象限，一定不会出现在第四象限．
【问题2】 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，x∈[m，n]，
(1)当－≤m时，最小值和最大值分别是多少？
(2)当m<－时，最小值和最大值分别是多少？
(3)当<－≤n时，最小值和最大值分别是多少？
(4)当－>n时，最小值和最大值分别是多少？
提示：(1)最小值为f(m)，最大值为f(n)；(2)最小值为f(－)，最大值为f(n)；(3)最小值为f(－)，最大值为f(m)；(4)最小值为f(n)，最大值为f(m)．
关键能力·题型剖析
题型一 幂函数的图象与性质
例1 (1)已知幂函数y＝(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则( )
A．p，q均为奇数，且>0
B．q为偶数，p为奇数，且<0
C．q为奇数，p为偶数，且>0
D．q为奇数，p为偶数，且<0
答案：D
解析：因为函数y＝的定义域为(－∞，0)且在(0，＋∞)上单调递减，
所以<0，
因为函数y＝的图象关于y轴对称，
所以函数y＝为偶函数，即p为偶数，
又p、q互质，所以q为奇数，
所以选项D正确．
(2)[2024·河南许昌模拟]已知函数f(x)＝是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数，则实数m的值为________．
1
解析：因为函数f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数，则m2＋m－1＝1，解得m＝－2或m＝1，
又因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以m>0，所以m＝1.
题后师说
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)在区间(0，1)上，幂函数的指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，函数图象越远离x轴．
(3)在比较幂函数值的大小时，必须结合幂函数的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
巩固训练1
(1)已知函数f(x)＝g(x)＝f(－x)，则函数g(x)的图象大致是( )
答案：B
解析：(1)因为g(x)＝f(－x)，所以 g(x)图象与f(x)的图象关于y轴对称，
由f(x)解析式，作出f(x)的图象如图，
从而可得g(x)图象为B选项．
(2)已知a＝，b＝，c＝，则( )
A．bC．a答案：B
解析：由y＝2x，y＝(x>0)单调递增，
则可知a＝>b＝＝，c＝>a＝ c>a>b，即B正确．
题型二 二次函数
角度一 二次函数的解析式
例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解析：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a<0)．∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线对称轴为x＝＝.
∴m＝，又根据题意f(x)有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a(x－)2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a(2－)2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－4(x－)2＋8＝－4x2＋4x＋7.
题后师说
求二次函数解析式的三个策略
巩固训练2
已知二次函数f(x)的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且f(x)在区间[－1，4]上的最大值为12，则函数f(x)的解析式为______________．
f(x)＝2x2－10x
解析：设f(x)＝ax(x－5)，(a>0)其对称轴为直线x＝，又f(x)在区间[－1，4]上的最大值为12，
所以f(－1)＝6a＝12，a＝2，所以f(x)＝2x2－10x.
角度二 二次函数的图象
例3 (多选)设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
答案：ABD
解析：函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为x＝－，与x轴的交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，
A中，a<0，－<0，－<0，>0，则a<0，b<0，c<0，
∴abc<0，符合题意；
B中，a<0，－>0，－>0，<0，则a<0，b>0，c>0，
∴abc<0，符合题意；
C中，a>0，－<0，－<0，>0，则a>0，b>0，c>0，
∴abc>0，不符合题意；
D中，a>0，－>0，－>0，>0，则a>0，b<0，c>0，
∴abc<0，符合题意．
题后师说
识别二次函数图象应学会“三看”
巩固训练3
已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则函数f(x)的图象可能是( )
答案：D
解析：由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，所以函数图象开口向上，排除A，C；
又f(0)＝c<0，排除B.
角度三 二次函数的单调性与最值
例4 [2024·河南南阳模拟]已知函数 f(x)＝x2－2ax＋a(a∈R).
(1)若函数 f(x)在[2a－4，2a－1]上单调，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使得函数 f(x)在区间[－1，1]上的最小值为－2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解析：(1)由题意可得 f(x)＝x2－2ax＋a(a∈R)开口向上，对称轴x＝－＝a，
∴函数在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，
∵函数 f(x)在[2a－4，2a－1]上单调，
∴2a－1≤a或2a－4≥a，
解得a≤1或a≥4，
∴a的取值范围为(－∞，1]
(2)由题意可得 f(x)＝x2－2ax＋a(a∈R)开口向上，对称轴x＝－＝a，函数在对称轴处取最小值，
f(x)min＝f(a)＝a2－2a·a＋a＝－a2＋a，
若函数 f(x)在区间[－1，1]上的最小值为－2，
则 f(x)min＝－a2＋a≤－2，解得a≤－1或a≥2，
当a≤－1时，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，
此时函数的最小值为f(－1)＝(－1)2－2a×(－1)＋a＝3a＋1＝－2，
解得a＝－1，
当a≥2时，f(x)在区间[－1，1]上单调递减，
此时函数的最小值为f(1)＝12－2a×1＋a＝－a＋1＝－2，
解得a＝3，
综上，存在实数a＝－1或a＝3，使得函数f(x)在区间[－1，1]上的最小值为－2.
题后师说
求二次函数在闭区间上最值的类型及策略
巩固训练4
[2024·河北邯郸模拟]已知函数f(x)＝－x2＋4x＋2在区间[3，m]上的最大值为10，则m的取值范围是________．
[4，＋∞)
解析：由已知f(x)＝－x2＋4x＋2对称轴为x＝4，
当m≥4时，f(x)＝－x2＋4x＋2最大值为f(4)＝10，符合题意；
当m<4时，f(x)＝－x2＋4x＋2最大值为f(m)＝－m2＋4m＋2＝10，解得m＝4(舍去)；
综上m≥4.
1.已知点(8，2)在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝x－1
答案：B
解析：由题意可得解得所以f(x)＝.
2．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．cC．a答案：A
解析：因为a＝＝<1，b＝>1，c＝＝<1，
又0<<<<1，y＝在(0，＋∞)上单调递增，
所以c＝<＝a.
综上，c3．若－14，则函数f(x)＝ax2＋bx－b的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：B
解析：对于函数f(x)＝ax2＋bx－b，因为－14，
则对称轴为x＝－>2，Δ＝b2＋4ab＝b(b＋4a)>0，且f(0)＝－b<0，
所以函数开口向下，对称轴在y轴右侧，与x轴有两个交点，且交y轴负半轴，
故函数经过一、三、四象限，不经过第二象限．
4．已知函数f(x)＝ax2＋2ax－3(a>0)，则( )
A．f(0)>f(1) B．f(－2)>f(4)
C．f(－3)>f(1) D．f(－4)>f(1)
答案：D
解析：f(x)＝ax2＋2ax－3(a>0)对称轴为x＝－1，
则f(x)在(－∞，－1]上单调递减，在[－1，＋∞)上单调递增，
f(0)5．若函数f(x)＝x2－2x＋a的定义域和值域均为[1，b](b>1)，则a－b的值为________．
0
解析：因为f(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，对称轴为x＝1，开口向上，
所以函数在[1，b](b>1)上单调递增，
又因为定义域和值域均为[1，b](b>1)，
所以即解得(舍去)或
所以a－b＝0.(共47张PPT)
第一节 函数的概念及表示
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.函数的概念
一般地，设A，B是非空的________，如果对于集合A中的________一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：________、________和________.
(2)两个函数只有当________和________分别相同时，这两个函数才相同．
实数集
任意
唯一确定
定义域
对应关系
值域
定义域
对应关系
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析式法、列表法、图象法．
4．分段函数
在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数．
【常用结论】
1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．几种常见函数的定义域
(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合．
(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合．
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．
(5)f(x)为指数式时，函数的定义域是使底数大于0且不等于1的实数集合．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线．( )
(2)直线x＝1与函数y＝f(x)的图象的交点最多有两个．( )
(3)函数y＝1与y＝x0是同一个函数. ( )
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( )
×
×
×
×
2．(教材改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
答案：B
解析：A中函数的定义域不是[－2，2]，C中图象不表示函数，D中函数的值域不是[0，2].故选B.
3．(教材改编)下列函数f(x)与g(x)是同一个函数的是( )
A．f(x)＝x－1，g(x)＝－1
B．f(x)＝x2，g(x)＝()4
C．f(x)＝x2，g(x)＝
D．f(x)＝x，g(x)＝
答案：C
解析：在A中，f(x)定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，∴f(x)与g(x)不是同一函数；在B中，f(x)定义域为R，g(x)定义域为{x|x≥0}，定义域不同，∴f(x)与g(x)不是同一函数；在C中，f(x)与g(x)定义域与对应关系都相同，∴f(x)与g(x)是同一函数；在D中，f(x)与g(x)定义域都是R，但对应关系不同，∴f(x)与g(x)不是同一函数．故选C.
4．(易错)函数y＝ln (2－x)的定义域为( )
A．(0，2) B．[0，2)
C．(0，1] D．[0，2]
答案：B
解析：由题意知，x≥0且2－x>0，
解得0≤x＜2，故其定义域是[0，2)．故选B.
5．(易错)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝________．
-3
解析：∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－f(1)＝－2，
当a>0时，2a＝－2，∴a＝－1(舍去)，
当a≤0时，a＋1＝－2，∴a＝－3.
课堂互动探究案
1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域．
2．在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】 若两个函数的定义域和值域都相同，那么这两个函数是同一函数吗？请举例说明．
提示：不是．例如函数y＝x与函数y＝2x的定义域和值域都是R，但这两个函数不是同一函数．
【问题2】 请你将函数f(x)＝|x＋1|用分段函数形式表示？并用图象法表示．
提示：f(x)＝
关键能力·题型剖析
题型一函数的定义域
例1 (1)函数y＝的定义域为( )
A．(－4，－1) B．(－4，1)
C．(－1，1) D．(－1，1]
答案：C
解析：由题意得，
解得，故定义域为(－1，1)．
(2)[2024·河北衡水模拟]已知函数y＝f(x)的定义域为[0，4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是( )
A．(1，5] B．(1，2)∪(2，5)
C．(1，2)∪(2，3] D．(1，3]
答案：C
解析：因为函数y＝f(x)的定义域为[0，4]，又函数y＝＋(x－2)0有意义，
则有，解得1所以函数y＝＋(x－2)0的定义域是(1，2)
题后师说
求函数定义域的策略
巩固训练1
(1)[2024·河南周口模拟]函数f(x)＝的定义域为( )
A．{x|x≥－1}
B．{x|－10}
C．{x|x>－1}
D．{x|－1≤x<0或x>0}
答案：B
解析：要使函数有意义，则，解得x>－1且x≠0，
所以函数的定义域为{x|－10}．
(2)已知函数f(x)＝lg ，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域是( )
A．{x|x>2或x<0} B．
C．{x|x>2} D．
答案：B
解析：要使f(x)＝lg 有意义，则>0，
即(1－x)(1＋x)>0，解得－1要使g(x)＝f(x－1)＋有意义，则，解得≤x<2，
所以函数g(x)的定义域为.
题型二 函数的解析式
例2 (1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
(2)已知f(x)是一次函数，并且f(f(x))＝4x＋3，求f(x)．
(3)函数f(x)满足方程2f(x)＋f()＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)．
解析：(1)设u＝＋1，则＝u－1(u≥1)．
∴f(u)＝(u－1)2＋2(u－1)＝u2－1(u≥1)．即f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.
∴解得或
故所求的函数为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.
(3)(构造法)∵2f(x)＋f()＝2x，①
将x换成，则换成x，
得2f()＋f(x)＝.②
由①②消去f()，得3f(x)＝4x－. ∴f(x)＝x－(x∈R且x≠0)．
题后师说
求函数解析式的方法
巩固训练2
(1)已知f()＝，则f(x)＝( )
A．(x＋1)2(x≠1) B．(x－1)2(x≠1)
C．x2－x＋1(x≠1) D．x2＋x＋1(x≠1)
答案：C
解析：f()＝＝()2－＋1.令＝t(t≠1)，得f(t)＝t2－t＋1(t≠1)，
即f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝__________．
x2－x＋2
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，
∴即
∴f(x)＝x2－x＋2.
(3)若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝________．
x＋1
解析：对 x∈R恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，①
所以有3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1，②
由①②解得f(x)＝x＋1.
题型三 分段函数
角度一 分段函数求值
例3 (1)[2024·江西上饶模拟]若函数f(x)＝，则f(f(－2))＝( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：A
解析：由函数f(x)＝得f(－2)＝4＋9＝13，
∴f(f(－2))＝f(13)＝log216＝4.
(2)函数f(x)＝，则f(－8)＝( )
A．4 B．2 C．8 D．6
答案：B
解析：因为f(x)＝，
所以f(－8)＝f(－5)＝f(－2)＝f(1)＝2.
题后师说
在求分段函数的函数值时，一定要先判断自变量属于定义域的哪个子集，再代入相应的关系式．若涉及复合函数求值，则从内到外逐层计算，当自变量的值不确定时，要分类讨论．
巩固训练3
已知函数f(x)＝，则f(f(4))＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案：D
解析：f(x)＝，f(4)＝－3＝－1，f(f(4))＝f(－1)＝1＋1＝2.
角度二 分段函数与方程、不等式
例4 (1)已知f(x)＝，若f(f(1))＝f(－1)，则实数a的值为( )
A．－ B．－4或－
C．－4 D．不存在
答案：B
解析：由题意，f(1)＝a＋3，f(－1)＝，即f(a＋3)＝.
当a＋3≥0，即a≥－3时，f(a＋3)＝a＋3(a＋3)＝4a＋9＝，解得a＝－，满足题意；
当a＋3<0，即a<－3时，f(a＋3)＝2a＋3＝，解得a＝－4，满足题意．
所以a＝－或－4.
(2)[2024·黑龙江大庆模拟]已知函数f(x)＝，若f(2a－1)－1≤0，则实数a的取值范围是( )
A．[，＋∞) B．(－∞，－]
C．[0，] D．(－∞，]
答案：D
解析：因为f(2a－1)－1≤0 f(2a－1)≤1.
①当2a－1≥1时，f(2a－1)＝ln (2a－1)≤1 1≤a≤.
②当0≤2a－1<1时，f(2a－1)＝0≤1 ≤a<1.
③当2a－1<0时，f(2a－1)＝2a－1≤1 a<.
综上所述a≤.
题后师说
(1)解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．
巩固训练4
(1)[2024·吉林通化模拟]已知函数f(x)＝，则方程f(x)＝的解集为( )
A． B．
C． D．
答案：A
解析：当x≥0时，f(x)＝x2＝，解得x＝或x＝－(舍去)，当x<0时，f(x)＝＝，解得x＝(舍去)，故解集为.
(2)已知f(x)＝，则使f(x)≥－1成立的x的取值范围是( )
A．[－2，2] B．[－2，0]
C．[－2，2) D．(0，2]
答案：A
解析：方法一 当x≤0时f(x)＝2x＋3，不等式f(x)≥－1可化为2x＋3≥－1，解得x≥－2，又x≤0，所以－2≤x≤0；
当x>0时，f(x)＝－(x－1)2，不等式f(x)≥－1可化为－(x－1)2≥－1，解得0≤x≤2，又x>0，所以0综上，使不等式f(x)≥－1成立的x的取值范围是[－2，2].
方法二 函数f(x)的图象如图所示，虚线表示y＝－1，函数f(x)图象在虚线y＝－1及以上的部分中x的取值范围即不等式f(x)≥－1的解集．
由图可知，x的取值范围就是点A的横坐标与点B的横坐标之间的范围．
在y＝2x＋3中，令y＝－1，得x＝－2，所以点A的横坐标为－2.
在y＝－(x－1)2中，令y＝－1，得x＝0(舍去)或x＝2，
所以点B的横坐标为2，所以使不等式f(x)≥－1成立的x的取值范围是[－2，2].
1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是( )
答案：C
解析：根据函数的定义知道，一个自变量只能有对应的一个函数值；反之，一个函数值可以有不同的自变量．
2．函数f(x)＝＋x0的定义域是( )
A．(－1，1) B．[－1，1]
C．[－1，0)∪(0，1] D．(-1，0)∪(0，1)
答案：D
解析：函数f(x)＝＋x0，
则，即，即f(x)的定义域是(－1，0)
3．已知函数f(x)＝，则f(f(1))＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：A
解析：当x＝1时，f(1)＝21＋1＝3，当x＝3时，f(3)＝|3－5|＝2，所以f(f(1))＝f(3)＝2.
4．设函数f(x)满足f ()＝1＋x，则f(x)的表达式为( )
A． B．
C． D．
答案：A
解析：令＝t，则x＝，代入f ()＝1＋x，
得f(t)＝1＋＝，
即f(x)＝.
5．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为__________________．
(－∞，－2)∪(2，+∞)
解析：当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2.综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，+∞)．
状元笔记 求函数值域的一般方法
方法一 分离参数法
【典例1】 函数f(x)＝的值域为( )
A．(－∞，，＋∞) B．(－∞，，＋∞)
C．(－∞，－，＋∞) D．(－∞，，＋∞)
[答案] D
[解析] 依题意，f(x)＝＝＝＝－·，由于－·的值域为(－∞，0)故函数f(x)的值域为(－∞，，＋∞)．
方法二 配方法
【典例2】 函数f(x)＝的值域为________．
[0，]
[解析] 因为＝，所以0≤，所以函数的值域为[0，].
方法三 换元法
【典例3】 函数y＝2x－的值域为( )
A．(－∞，－] B．(－∞，－)
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
[答案] D
[解析] 函数的定义域是{x|x≥1}，令＝t，则t∈[0，＋∞)，x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2＝2(t－)2＋，
因为t≥0，所以y≥.
方法四 单调性法
【典例4】 函数y＝的值域为_____________．
[－， ]
[解析] 因为，
所以－2≤x≤3，
所以此函数的定义域为[－2，3]，
又因为y＝－是减函数，
当x＝－2时，y＝－取得最大值，
当x＝3时，y＝－取得最小值－，
所以值域为[－， ].
方法五 基本不等式法
【典例5】 函数y＝(x>1)的值域为_____________．
[2＋4, ＋∞)
[解析] y＝＝(x－1)＋＋4，
∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝(x－1)＋＋4≥2＋4，
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时等号成立．
∴函数的值域为[2＋4，＋∞)．