(共50张PPT)
第六节 双曲线
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．
差的绝对值
焦点
焦距
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程
图形
简单几何性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：________，对称中心：________ 顶点 ____________ A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 ____________ ____________ 离心率 实虚轴 实轴长|A1A2|＝________；虚轴长|B1B2|＝__________；实半轴长__________，虚半轴长__________ a，b，c的关系 c2＝________(c>a>0，c>b>0) 坐标轴
原点
A1(－a，0)，A2(a，0)
y＝±x
y＝±x
(1，＋∞)
2a
2b
a
b
a2＋b2
【常用结论】
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2.
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )
(3)双曲线＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是＝0，即±＝0.( )
(4)关于x，y的方程＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
×
√
√
×
2．(教材改编)双曲线2x2－y2＝8的渐近线方程是( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
答案：C
解析：由题意，＝1的渐近线方程为y＝± x＝±x.故选C.
3．(教材改编)经过点A(4，1)且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为__________．
＝1
解析：由题意，设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
代入点A(4，1)的坐标得42－12＝λ，
解得λ＝15，
所以所求双曲线的方程为＝1.
4．(易错)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
6
解析：设双曲线x2－＝1的左右焦点分别为F1，F2，
∴a＝1，b＝4.
则||PF1|－|PF2||＝2，
可设|PF2|＝4，
则|PF1|＝2或|PF1|＝6，
∵c＝>4，∴|PF1|>2，
∴|PF1|＝2(舍去)，∴|PF1|＝6.
5．(易错)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________．
2或
解析：由题意知＝tan ＝或＝tan ＝，
当＝时，e＝ ＝＝2；
当＝时，e＝ ＝ ＝.
课堂互动探究案
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．
2．掌握双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
3．了解双曲线的简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】 方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？
【问题2】 如何由双曲线方程＝1(a>0，b>0)求出其渐近线方程？已知双曲线的渐近线方程为y＝kx，如何设双曲线方程？
答案：若A＞0，B＜0表示焦点在x轴上的双曲线；若A＜0，B＞0表示焦点在y轴上的双曲线，当上述两种条件都不满足时，不表示双曲线，所以Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是AB＜0.
答案：由双曲线方程＝1(a>0，b>0)求渐近线方程，只需把1变成0，整理得±＝0.反过来，若双曲线的渐近线方程为y＝kx，则双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
关键能力·题型剖析
题型一 双曲线的定义及应用
例1(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x2－＝1(x≤－1)
B．x2－＝1
C．x2－＝1(x≥1)
D．－x2＝1
答案： A
解析：如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.
根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离之差是常数且小于|C1C2|.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离比到C1的距离大)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8，故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．故选A.
(2)已知双曲线x2－y2＝2，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为( )
A．2 B．2
C． D．2
答案：D
解析：设θ＝∠F1PF2＝60°，则＝|PF1||PF2|sin θ，
而cos θ＝
＝，且||PF1 |-|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c，所以|PF1||PF2|＝，故＝＝＝＝2.故选D.
题后师说
(1)在利用双曲线的定义求双曲线的轨迹时，要注意分清是双曲线还是双曲线的一支．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
巩固训练1
(1)[2024·江西上饶模拟]已知圆x2＋y2－4y＝0的圆心为S，过点T(0，－2)的直线m交圆S于C，D两点，过点T作SC的平行线，交直线SD于点M，则点M的轨迹为( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
答案： D
解析： x2＋y2－4y＝0，即圆x2＋(y－2)2＝12，故S(0，2)，r＝2，
因为SC平行于TM，|SD|＝|SC|，所以|MT|＝|MD|，故||MT|－|MS||＝|SD|＝2，
故点M的轨迹为双曲线．
故选D.
(2)[2024·河南开封模拟]已知双曲线x2－my2＝1(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2且与双曲线右支相交于A，B两点，若|AB|＝2，则△ABF1的周长为( )
A．6 B．7
C．8 D．不能确定
答案：C
解析：双曲线x2－my2＝1(m>0)的实半轴长a＝1，
由双曲线的定义，可得|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，
所以|AF1|＝2＋|AF2|，|BF1|＝2＋|BF2|，
则△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋6＝|AB|＋6＝8.故选C.
题型二 双曲线的标准方程
例2(1)经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)的双曲线的标准方程是( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
答案： B
解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则解得
故双曲线的标准方程为＝1.故选B.
(2)[2024·河南许昌模拟]已知双曲线C的渐近线方程为2x±3y＝0，且经过点(3，2)，则C的标准方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
答案：A
解析：根据渐近线方程可设双曲线C方程为：＝λ(λ≠0)，
∵双曲线C过点(3，2)，∴λ＝2－1＝1，
∴双曲线C的标准方程为＝1.故选A.
(3)[2024·黑龙江哈尔滨模拟]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，且|PQ|＝4，△PQF1的周长为20，则该双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B．＝1
C．－y2＝1 D．＝1
答案：C
解析：因为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
所以＝，
因为过F2的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，|QF1|－|QF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|＋2a，|QF1|＝|QF2|＋2a，
则△PQF1的周长为|PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝4a＋2|PQ|＝4a＋8＝20，
所以a＝3，则b＝1，
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.故选C.
题后师说
求双曲线方程的两种方法
巩固训练2
(1)[2024·河北张家口模拟]“k>2”是“＝1表示双曲线”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案： B
解析：当(k＋2)(k－2)>0，即k<－2或k>2时，＝1表示双曲线，
所以“k>2”是“＝1表示双曲线”的充分不必要条件．
故选B.
(2)已知点F1，F2分别是等轴双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上，|F1F2|＝2|OP|，△PF1F2的面积为8，则双曲线C的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
答案：D
解析：|F1F2|＝2|OP|，O是F1F2的中点，所以PF1⊥PF2，
a＝b，则c＝a，
解得a＝2，
所以双曲线方程为＝1.故选D.
题型三 双曲线的几何性质
角度一 渐近线
例3(1)[2024·河南开封模拟]已知双曲线x2－my2＝1(m>0)的左、右焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案： D
解析：由题意可得x2－my2＝1 ＝1(m>0)，故c2＝22＝1＋ m＝，
渐近线方程为y＝± x＝±x.故选D
(2)已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案：C
解析：设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，
因为＝ ＝，所以＝4，则＝2，
所以渐近线方程为y＝±x＝±x.故选C.
题后师说
求双曲线渐近线方程的两种常用方法
角度二 离心率
例4(1)[2024·河南郑州模拟]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0)，点P在第一象限且在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|OP|＝c，|PF|＝2a，则双曲线C的离心率为( )
A． B．2 C． D．3
答案： B
解析：
由题意知点P在第一象限且在双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线上，
设渐近线的倾斜角为α，则tan α＝，即＝，
结合sin2α＋cos2α＝1，可得cosα＝±，
结合题意可知α∈(0，)，故cos α＝，
又|OP|＝c，|PF|＝2a，
在△PFO中利用余弦定理得|PF|2＝|OF|2＋|OP|2－2|OF||OP|cos α，
即4a2＝c2＋c2－2c2cos α，
即cos α＝－＝，即c2－ac－2a2＝0，
故e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．故选B.
(2)[2024·九省联考]设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，则C的离心率为( )
A． B．2
C． D．
答案：D
解析：由双曲线的对称性可知＝＝，有四边形AF1BF2为平行四边形，
令＝＝m，则＝＝2m，
由双曲线定义可知＝2a，
故有2m－m＝2a，即m＝2a，
即＝＝m＝2a，＝＝4a，
＝cos ∠AF2B＝2a×4a cos ∠AF2B＝4a2，
则cos ∠AF2B＝，即∠AF2B＝，故∠F2BF1＝，
则有cos ∠F2BF1＝＝＝－，
即＝－，即＝－，则e2＝7，由e>1，故e＝.故选D.
题后师说
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
巩固训练3
(1)[2024·江苏镇江模拟]点(0，4)到双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．5
答案： C
解析：由题意可得双曲线的一条渐近线为：by－ax＝0，
所以(0，4)到by－ax＝0的距离为d＝＝＝，所以＝，
不妨设b＝4m(m>0)，则c＝5m，a＝＝3m，所以e＝＝.故选C.
(2)[2024·河北唐山模拟]已知直线l：x－y－2＝0过双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与C的一条渐近线平行，则C的实轴长为______．
2
解析：直线x－y－2＝0与x轴交点为(2，0)，斜率为，
由题意解得
所以双曲线的实轴长为2a＝2.
(3)[2024·安徽黄山模拟]设双曲线＝1(a>0，b>0)，其右焦点为F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点H，且与另一条渐近线交于点Q，若＝，则双曲线的离心离为__________．
2
解析：设点H为第一象限内一点，如图所示，
设双曲线的左焦点为F′，因为＝，则H为FQ的中点，
又因为OH⊥FQ，所以|OF|＝|OQ|，且∠QOH＝∠FOH＝∠QOF′，
又因为∠QOH＋∠FOH＋∠QOF′＝3∠FOH＝π，则∠FOH＝，
直线OH的方程为y＝x，则＝tan ＝，
因此，该双曲线的离心率为e＝＝＝＝＝2.
1.(多选)[2020·新高考Ⅰ卷]已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
答案：ACD
解析：对于选项A，∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1可变形为＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵m＝n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为 的圆，错误；对于选项C，∵mn<0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0 y＝± x，正确；对于选项D，∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1 y＝± ，该方程表示两条直线，正确．综上选ACD.
2．[2021·新高考Ⅱ卷]已知双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________.
y＝±x
解析：因为双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
所以e＝＝ ＝2，所以＝3，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
3．[2022·全国甲卷] 若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．
解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y＝，即x－my＝0.圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公式，得＝1，解得m＝±.又因为m＞0，所以m＝.
4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A＝－F2B，
则C的离心率为________．
解析：由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为＝－，所以，即，所以y0)．
＝(c，－y0)，＝(c，y0)，因为⊥，所以·＝0，即＝0，解得＝4c2.
因为点A(c，－y0)在双曲线C上，所以＝1，又＝4c2，所以＝1，即＝1，化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝.(共38张PPT)
第七节 抛物线
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________.
相等
焦点
准线
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形
顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点 ________ ________ ________ ________
离心率 e＝1 准线方程 ________ ________ ________ ________
F(，0)
F(－，0)
F(0，)
F(0，－)
x＝－
x＝
y＝－
y＝
【常用结论】
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F(，0)的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )
(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.( )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )
(4)抛物线的方程都是二次函数．( )
×
√
×
×
2．(教材改编)已知抛物线的焦点坐标为(0，)，则该抛物线的标准方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝x
C．x2＝2y D．x2＝－2y
答案：C
解析：由题意可设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，
则＝，得p＝1.
∴抛物线的标准方程为x2＝2y.故选C.
3．(教材改编)抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于6的点的坐标是______________．
(3，6)或(3，－6)
解析：抛物线y2＝12x的准线方程为x＝－3.
∵抛物线y2＝12x上的点到焦点的距离等于6，
∴根据抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标为3，
代入抛物线方程，可得y2＝36，
∴y＝±6，即所求点的坐标为(3，6)或(3，－6)．
4．(易错)抛物线y＝－x2的焦点坐标是( )
A．(0，－) B．(－，0)
C．(0，－1) D．(－1，0)
答案：C
解析：抛物线的标准方程为x2＝－4y，
故抛物线开口向下，焦点在y轴的负半轴上，
∴焦点坐标为(0，－1)．故选C.
5．(易错)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是________________．
y2＝－x或 x2＝y
解析：设抛物线的标准方程为y2＝kx或 x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y．
课堂互动探究案
1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程．
2．掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点)．
3．了解抛物线的简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】 抛物线的定义中，为什么要强调直线l不经过点F
【问题2】 抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是什么？
答案：若直线l经过点F，则到点F与到直线l的距离相等的点的轨迹是过点F且与l垂直的直线．
答案：焦点F到准线l的距离．
关键能力·题型剖析
题型一 抛物线的定义
例1(1)[2024·江西南昌模拟]已知F为抛物线E：y2＝4x的焦点，A，B，C为E上的三点，若＝)，则||＋||＋||＝________．
6
解析：由题意知F(1，0)，设A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，
由＝)，得1－x1＝(x2－x1＋x3－x1)，所以x1＋x2＋x3＝3，
由抛物线的定义得||＋||＋||＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝x1＋x2＋x3＋3＝6.
(2)[2024·广东广州模拟]设动点P在抛物线y＝x2上，点P在x轴上的射影为点M，点A的坐标是(2，0)，则|PA|＋|PM|的最小值是________．
－1
解析：抛物线x2＝4y的焦点F(0，1)，准线方程为y＝－1，
延长PM交准线于N，连PF，显然PN垂直于抛物线的准线，由抛物线定义知：
|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PN|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1，当且仅当点P是线段AF与抛物线的交点时取等号，
而|AF|＝，所以|PA|＋|PM|的最小值为－1.
题后师说
抛物线定义的应用策略
巩固训练1
(1)[2024·辽宁辽阳模拟]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(m，2)在抛物线C上，且|MF|＝4，则p＝( )
A．2 B．4
C．8 D．12
答案： B
解析：由题意可得|MF|＝2＋＝4，则p＝4.故选B.
(2)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在C上，若点Q(6，3)，则△PQF周长的最小值为( )
A．13 B．12 C．10 D．8
答案：A
解析：y2＝2×4x，故F(2，0)，
记抛物线C的准线为l，则l：x＝－2，
记点P到l的距离为d，点Q(6，3)到l的距离为d′，
则|PQ|＋|PF|＋|QF|＝|PQ|＋d＋≥d′＋5＝8＋5＝13.故选A.
题型二 抛物线的标准方程
例2(1)[2024·河南郑州模拟]抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，一条平行于y轴的光线，经过点A(1，4)，射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若|AB|＋|BF|＝5，则抛物线C的准线方程是( )
A．y＝－ B．y＝－1
C．y＝－2 D．y＝－4
答案： B
解析：由题意可知，抛物线的准线方程为y＝－，根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，所以|AB|＋|BF|＝4＋＝5，得p＝2，所以抛物线的准线方程为y＝－1.故选B.
(2)[2024·北京丰台模拟]在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分(如图中虚线所示)，称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为__________米．
80
解析：以抛物线最高点为坐标原点，平行于地面为x轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝－2py，
由题意得A(80，－40)，将其代入抛物线方程得6 400＝80p，
解得p＝80，故安全抛物线的焦点到其准线的距离为80米．
题后师说
求抛物线标准方程的常用方法
巩固训练2
(1)已知抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
答案： C
解析：由题意抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x＝－1的距离相同，因此－＝－1，p＝2，抛物线方程为y2＝4x.故选C.
(2)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________________．
y2＝－8x或x2＝－y
解析：设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，或x2＝2py(p≠0)．
将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.
题型三 抛物线的几何性质
例3(1)已知△ABC的顶点在抛物线y2＝2x上，若抛物线的焦点F恰好是△ABC的重心，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案： C
解析：抛物线的焦点F为(，0)，由重心的性质有xA＋xB＋xC＝3xF＝，又由抛物线的定义知|FA|＝xA＋，同理可得|FA|＋|FB|＋|FC|＝xA＋xB＋xC＋＝3xF＋，
所以|FA|＋|FB|＋|FC|＝3.故选C.
(2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是( )
A．p＝4 B．＝
C．|BD|＝|BF| D．|BF|＝4
答案：AB
解析：如图所示，分别过A，B作抛物线C的准线m的垂线，垂足为E，M，抛物线的准线交x轴于点P，则|PF|＝p，由于直线l的斜率为，则倾斜角为60°，因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知|AE|＝|AF|，所以△AEF是等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，所以|AE|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，解得p＝4，A正确；因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，又PF∥AE，所以F为AD中点，则＝，B正确；所以∠DAE＝60°，∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，C错误；因为|BF|＝|DF|＝|AF|＝，D错误．故选AB.
题后师说
应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
巩固训练3
(1)直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则|AB|＝( )
A．4 B． C．8 D．
答案：C
解析：抛物线的焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－，
设＝＝6x2，
因为|AF|＝3|BF|，所以x1＋＝3(x2＋)，得x1＝3x2＋3， ①
因为|AF|＝3|BF|，所以|y1|＝3|y2|，即x1＝9x2， ②
由方程①②可得x1＝，x2＝，
所以|AB|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋3＝8.故选C.
(2)[2024·山东青岛模拟]已知O为坐标原点，在抛物线y2＝2px(p>0)上存在两点E，F，使得△OEF是边长为4的正三角形，则p＝________．
解析：根据抛物线的对称性可知：由△OEF为等边三角形，所以E，F关于坐标轴x轴对称，由|EO|＝4，∠EOx＝30°，所以E(2，2)，将E(2，2)代入可得4＝4p p＝.
1．[2022·全国乙卷]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( )
A．2 B．2
C．3 D．3
答案：B
解析：由已知条件，易知抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.又B(3，0)，则|AF|＝|BF|＝2.不妨设点A在第一象限，则A(x0，2)．根据抛物线的定义可知x0－(－1)＝2，所以x0＝1，所以A(1，2)，所以|AB|＝＝2.故选B.
2．[2021·新高考Ⅱ卷]抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝( )
A．1 B．2
C．2 D．4
答案：B
解析：抛物线的焦点坐标为，
其到直线x－y＋1＝0的距离：d＝＝，
解得p＝2(p＝－6舍去)．故选B.
3．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，
若|FQ|＝6，则C的准线方程为____________.
x＝－
解析：不妨设P(，p)，∴Q(6＋，0)，＝(6，－p)， ∵ PQ⊥OP， ∴ ×6－p2＝0，
∵p>0，∴p＝3，∴C的准线方程为x＝－.
4．[2022·全国乙卷]已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________．
解析：由题意可得：()2＝2p×1，则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x，准线方程为x＝－，点A到C的准线的距离为1－(－)＝.(共45张PPT)
第三节 圆的方程
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.圆的定义与方程
定长
(a，b)
(－，－)
2．点与圆的位置关系
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，点M(x0，y0)，
(1)(x0－a)2＋(y0－b)2________r2 点M在圆上；
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2________r2 点M在圆外；
(3)(x0－a)2＋(y0－b)2________r2 点M在圆内．
＝
>
<
【常用结论】
1．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在任一弦的中垂线上．
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心和半径．( )
(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．( )
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．( )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F>0.( )
√
×
×
√
2．(教材改编)圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案：C
解析：圆心为(1，－1)且过原点的圆的半径为
＝，
故圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程为
(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
3．(教材改编)若坐标平面上的原点O在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为__________．
(－)
解析：∵原点O在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，
∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，得2m2<4，解之得－
4．(易错)若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－∪，＋∞)
B．(－∞，－2∪，＋∞)
C．(－∞，－∪，＋∞)
D．(－∞，－2∪，＋∞)
答案：B
解析：将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得(x＋)2＋(y－1)2＝－2.由其表示圆可得－2＞0，解得m＜－2或m＞2.故选B.
5．(易错)半径为3，圆心的纵、横坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为_________________________________．
(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x＋3)2＋(y＋3)2＝9
解析：由题意可设圆心坐标为(a，a)，
则圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝9，
∴|a|＝r＝3，
∴a＝±3，
∴所求圆的方程为：
(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x＋3)2＋(y＋3)2＝9.
课堂互动探究案
1.掌握确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．
2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题．
问题思考·夯实技能
【问题1】 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
【问题2】 所有的二元二次方程Ax2＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0都可以表示圆吗？
答案：圆的标准方程明确地表达了圆的几何要素，即圆心坐标和半径长．圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，圆心和半径需要代数运算才能得出．
答案：不可以．只有二元二次方程的二次项系数A＝B≠0，D2＋E2－4AF>0才能表示圆．
关键能力·题型剖析
题型一 圆的方程
例1 (1)若圆C经过点A(2，5)，B(4，3)，且圆心在直线l：3x－y－3＝0上，则圆C的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－3)2＝4
B．(x－2)2＋(y－3)2＝8
C．(x－3)2＋(y－6)2＝2
D．(x－3)2＋(y－6)2＝10
答案：A
解析：圆C经过点A(2，5)，B(4，3)，
可得线段AB的中点为(3，4)，又kAB＝＝－1，
所以线段AB的中垂线的方程为y－4＝x－3，
即x－y＋1＝0，
由解得
即C(2，3)，圆C的半径r＝＝2，
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4.故选A.
(2)[2024·江西吉安模拟]请写出一个过点O(0，0)，且与直线x＋y－4＝0相切的圆的标准方程为__________________________．
(x－1)2＋(y－1)2＝2(答案不唯一)
解析：设O为直径的一个端点，O到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝2为圆的直径，
可知半径r＝，又若圆心(a，b)在直线y＝x上，且a2＋b2＝2，
解得a＝b＝1，所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
题后师说
求圆的方程的两种方法
巩固训练1
(1)已知圆心为(－2，1)的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
答案： B
解析：根据题意知圆心为(－2，1)，半径为2，故圆的方程为：(x＋2)2＋(y－1)2＝4.故选B.
(2)设圆C圆心在射线y＝x(x≤0)上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为( )
A．x2＋y2－8x－6y＝0
B．x2＋y2－6x－8y＝0
C．x2＋y2＋8x＋6y＝0
D．x2＋y2＋6x＋8y＝0
答案：C
解析：因为圆心在射线y＝x(x≤0)上，故设圆心为(a，a)(a≤0)，
又半径为5，且经过坐标原点，所以 ＝5，解得a＝－4或a＝4(舍去)，
即圆的圆心坐标为(－4，－3)，则圆的方程为(x＋4)2＋(y＋3)2＝25，即x2＋y2＋8x＋6y＝0.故选C.
题型二 与圆有关的轨迹问题
例2已知直角三角形ABC的斜边为AB，且点A(－1，0)，B(3，0)．
(1)求直角顶点C的轨迹方程；
解析：设点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
又AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1.
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.故直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程．
解析：设点M(x，y)，C(x0，y0)，因为点B(3，0)，M是线段BC的中点，所以x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．故点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
题后师说
求与圆有关的轨迹问题的常用方法
巩固训练2
(1)点P(1，0)，点Q是圆x2＋y2＝4上的一个动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是( )
A．(x－)2＋y2＝1
B．x2＋(y－)2＝4
C．x2＋(y－)2＝1
D．(x－)2＋y2＝4
答案： A
解析：设点M的坐标为M(x，y)，因为M点是线段PQ的中点，
可得Q(2x－1，2y)，点Q在圆上，
则(2x－1)2＋(2y)2＝4，即(x－)2＋y2＝1.故选A.
(2)[2024·湖南郴州模拟]已知A，B是⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25上的两个动点，P是线段AB的中点，若|AB|＝6，则点P的轨迹方程为( )
A．(x－4)2＋(y－2)2＝16
B．(x－2)2＋(y－4)2＝11
C．(x－2)2＋(y－4)2＝16
D．(x－4)2＋(y－2)2＝11
答案：C
解析：因为AB中点为P，所以CP⊥AB，又|AB|＝6，所以|CP|＝ ＝4，
所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为(x－2)2＋(y－4)2＝16.故选C.
题型三与圆有关的最值问题
角度一 利用几何意义求最值
例3已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－5＝0，
(1)求3x－y的最大值和最小值；
解析：因为x2＋y2－4x－5＝0，即(x－2)2＋y2＝9，所以圆心为C(2，0)，半径r＝3，
令3x－y＝z，即3x－y－z＝0，则圆心到直线的距离d＝≤3，
所以6－3≤z≤6＋3，即3x－y的最大值为6＋3，最小值为6－3.
(2)求(x－3)2＋(y－1)2的最大值和最小值；
解析：(x－3)2＋(y－1)2表示圆上的点A(x，y)与点B(3，1)的距离的平方，
因为|BC|＝＝，
所以(r－|BC|)2≤|AB|2≤(r＋|BC|)2，即≤11＋6，
所以(x－3)2＋(y－1)2的最小值为11－6，最大值为11＋6.
(3)求的最大值和最小值．
解析：表示圆上的点A(x，y)与点D(－3，2)连线的斜率，
设过点D(－3，2)的直线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，
所以d＝≤3，即16k2＋20k－5≤0，解得≤k≤，
所以的最大值为，最小值为.
题后师说
与圆有关的最值问题的三种几何转化法
角度二 利用对称性求最值
例4已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1.圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5－4 B．－1
C．6－2 D．
答案：A
解析：两圆的圆心均在第一象限，圆C1(2，3)，半径为1，圆C2(3，4)，半径为3.
作点C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C′1C2|＝5，
所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4.故选A.
题后师说
形如|PA|＋|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)，要立足两点：
(1)减少动点的个数．
(2)“曲化直”，即将折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
角度三 建立函数关系求最值
例5已知P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为________．
12
解析：＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，
∵P(x，y)在圆上，
∴ ·＝x2－4＋y2＝6y－8－4＝6y－12，
∵2≤y≤4，∴·≤12.
巩固训练3
(1)设P(x，y)是圆C：(x－2)2＋y2＝1上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．6 B．25
C．26 D．36
答案： D
解析： (x－5)2＋(y＋4)2表示圆C上的点到点(5，－4)的距离的平方，
∵圆C(x－2)2＋y2＝1的圆心C(2，0)，半径为1，
圆心C到点(5，－4)的距离为＝5，
∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(5＋1)2＝36.故选D.
(2)一束光线，从点A(－2，2)出发，经x轴反射到圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是________．
5－1
解析：由圆C的方程可得圆心坐标C(3，3)，半径r＝1，设A点关于x轴对称点A′(－2，2)，连接A′C交x轴于Q点，交圆C于P点，则A′P为所求的最短距离，证明如下：
任取x轴上一点Q，则|AQ|＋|QP|＝|A′Q|＋|QP|≥|A′P|，
当且仅当A′，Q，P三点共线时取等号，
所以|A′P|＝|A′C|－r＝－1＝5－1.
1.圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2关于直线x－y＝0对称的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝2
C．(x－2)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝2
答案：C
解析：由圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，可知圆心坐标为(1，2)，半径为，
因为点(1，2)关于直线y＝x的对称点为(2，1)，
所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2关于直线x－y＝0对称的圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝2，故选C.
2．已知点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，则实数a的取值范围为( )
A．(－1，＋∞)
B．(－1，0)
C．(－1，0)
D．(－∞，0)
答案：C
解析：因为点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，
所以解得a∈(－1，0)
故选C.
3．[2022·全国甲卷]设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________．
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
解析：因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设M(a，1－2a)．由点(3，0)，(0，1)均在⊙M上，可得点(3，0)，(0，1)到圆心M的距离相等且为⊙M的半径，所以r＝＝，解得a＝1.所以M(1，－1)，r＝，所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
4．[2022·全国乙卷]过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为__________________．
答案：(x－2)2＋(y－3)2＝13[或(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x－)2＋(y－)2＝或(x－)2＋(y－1)2＝]
解析：设点A(0，0)，B(4，0)，C(－1，1)，D(4，2)．(1)若圆过A，B，C三点，则圆心在直线x＝2上，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝9＋(a－1)2，解得a＝3，则半径r＝＝，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.(2)若圆过A，B，D三点，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝4＋(a－2)2，解得a＝1，则半径r＝ ＝，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.(3)若圆过A，C，D三点，易求线段AC的中垂线方程为y＝x＋1，线段AD的中垂线方程为y＝－2x＋5.联立得方程组解得则半径r＝ ＝，
所以圆的方程为＋＝.(4)若圆过B，C，D三点，易求线段BD的中垂线方程为y＝1，线段BC的中垂线方程为y＝5x－7.联立得方程组解得则半径r＝＝，所以圆的方程为＋(y－1)2＝.(共52张PPT)
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
位置关系 几何法 代数法
相交 d________r Δ________0
相切 d________r Δ________0
相离 d________r Δ________0
<
>
＝
＝
>
<
2.圆与圆的位置关系
已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝，
则圆心距d＝|C1C2|＝ .
则两圆C1，C2有以下位置关系：
位置关系 外离 内含 相交 内切 外切
圆心距与半径的关系 ________ ________ ________ ________ ________
图示
公切线条数 4 0 2 1 3
d>r1＋r2
0≤d<|r1－r2|
|r1－r2|d＝|r1－r2|
d＝r1＋r2
【常用结论】
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝·.
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．( )
(2)在圆中最长的弦是直径．( )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交．( )
(4)联立两相交圆的方程，并消去二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在直线的方程．( )
√
√
×
√
2．(教材改编)直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦AB的长为( )
A． B．
C． D．
答案：B
解析：由已知可知圆C的圆心为(1，2)，半径r＝，圆心到直线的距离为d＝＝.
∴|AB|＝2＝2 ＝.故选B.
3．(教材改编)圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆(x－1)2＋(y－4)2＝16的位置关系是( )
A．外切 B．内切
C．相交 D．相离
答案：C
解析：由题意知，圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0的标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝1，
所以圆心为(－2，2)，半径为1，
圆(x－1)2＋(y－4)2＝16的圆心为(1，4)，半径为4，
所以两圆的圆心距为：＝，又两圆半径之和为5，半径之差为3，3<<5，所以两圆相交，故选C.
4．(易错)过点P(2，4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为( )
A．3x＋4y－4＝0
B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0
D．y＝4或3x＋4y－4＝0
答案：C
解析：当斜率不存在时，x＝2与圆相切；
当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则＝1，解得k＝，则切线方程为4x－3y＋4＝0.故切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
5．(易错)若半径为r，圆心为(0，1)的圆和定圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切，则r＝_____________．
＋1或－1
解析：由题意，定圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心为A(1，2)，半径R＝1，
半径为r的圆的圆心为B(0，1)，
所以|AB|＝＝，
因为两圆相切，
所以|AB|＝|R－r|或|AB|＝|R＋r|.
即|1－r|＝或|1＋r|＝，
解得r＝1±或r＝－1±，
因为r>0，所以r＝＋1或r＝－1.
课堂互动探究案
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
问题思考·夯实技能
【问题1】 几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
【问题2】 将两个相交的非同心圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？
答案：“几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”．判断直线与圆的位置关系，一般用几何法．
答案：两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在直线．
关键能力·题型剖析
题型一 直线与圆的位置关系
例1(1)已知M(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线l：ax＋by＝r2，则( )
A．m∥l且l与圆相交
B．m⊥l且l与圆相离
C．m∥l且l与圆相离
D．m⊥l且l与圆相交
答案：C
解析：由kOM＝＝可知，以M为中点的弦所在直线m的斜率为－，
则直线m的方程为y＝－x＋b＋，直线l的方程可化为y＝－x＋，
因为M(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内一点，所以a2＋b2由>＝b＋可知，m∥l，
圆心O到直线l：ax＋by＝r2的距离为d＝>r.
故直线l与圆相离．故选C.
(2)[2024·广东茂名模拟]已知直线l：y＝kx与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，则“0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：由圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1可得圆心(2，1)，半径为1，
所以直线l与圆C相交 圆心(2，1)到直线l：kx－y＝0的距离d＝<1，解得0题后师说
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆上或圆内，可判断直线与圆相交或相切．
巩固训练1
(1)设m∈R，则直线l：mx＋y－m－1＝0与圆x2＋y2＝2的位置关系为( )
A．相离
B．相切
C．相交或相切
D．相交
答案： C
解析：因为mx＋y－m－1＝0，所以m(x－1)＋y－1＝0，即直线恒过定点(1，1)；
因为点(1，1)恰在x2＋y2＝2上，所以直线和圆的位置关系是相交或相切．故选C.
(2)若直线l：x－y＋a＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝1有公共点，则实数a的最小值是________.
－4
解析：由于直线l：x－y＋a＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝1有公共点，
因此圆心C(2，0)到直线l：x－y＋a＝0的距离d＝≤1，
于是|2＋a|≤2，解得a∈[－4，0]，因此实数a的最小值是－4.
题型二 圆的弦长及切线问题
角度一 弦长问题
例2(1)已知⊙O的圆心是坐标原点O，且截直线x－y＋2＝0得到的弦长为2，则⊙O的方程为( )
A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝8
C．x2＋y2＝12 D．x2＋y2＝16
答案： B
解析：由题意，原点到直线x－y＋2＝0的距离为d＝＝，
设⊙O的半径为r，因为⊙O被直线x－y＋2＝0截得的弦长为2，
由圆的弦长公式，可得2＝2＝2，解得r＝2，
又由⊙O的圆心为坐标原点，所以圆⊙O的方程为x2＋y2＝8.
故选B.
(2)[2024·湖北荆州模拟]若直线x－2y＋a＝0被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则实数a的值为__________．
1
解析：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1，1)，半径r＝1，
弦长为2，则直线过圆心，即1－2＋a＝0，解得a＝1.
题后师说
角度二 切线问题
例3(1)[2024·河北张家口模拟]过点P(1，1)作圆E：x2＋y2－4x＋2y＝0的切线，则切线方程为( )
A．x＋y－2＝0
B．2x－y－1＝0
C．x－2y＋1＝0
D．x－2y＋1＝0或2x－y－1＝0
答案： C
解析：由题意可知：圆E：x2＋y2－4x＋2y＝0的圆心E(2，－1)，半径r＝，
∵12＋12－4×1＋2×1＝0，
∴点P在圆E上，
又∵kPE＝＝－2，则切线的斜率k＝，
∴切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.故选C.
(2)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点P(－4，a)作圆C的一条切线，切点为A，则|PA|＝( )
A．2 B．±4
C．2 D．7
答案：D
解析：由圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0，可得(x－3)2＋(y－1)2＝9，
所以圆心C(3，1)，半径为r＝3，
又由直线l：x＋ay－1＝0是圆C的对称轴，即直线l过圆心C(3，1)，
即3＋a－1＝0，解得a＝－2，即P(－4，－2)，
则|PC|＝＝，
所以切线长为|PA|＝＝＝7.故选D.
题后师说
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线．
角度三 有关弦长、切线的最值(范围)问题
例4(1)[2024·湖北武汉模拟]已知直线l：x＋y－3＝0上的两点A，B，且|AB|＝1，点P为圆D：x2＋y2＋2x－3＝0上任一点，则△PAB的面积的最大值为( )
A．＋1 B．2＋2
C．－1 D．2－2
答案： A
解析：把圆D：x2＋y2＋2x－3＝0变形为(x＋1)2＋y2＝4，
则圆心D(－1，0)，半径r＝2，
圆心D到直线l：x＋y－3＝0的距离d＝＝2，
则圆D上的点到直线AB的距离的最大值为d＋r＝2＋2，又|AB|＝1，
∴△PAB的面积的最大值为×(2＋2)×1＝＋1.
故选A.
(2)[2024·河南开封模拟]过直线l：3x＋4y－1＝0上一点P作圆M：x2＋(y－4)2＝1的两条切线，切点分别是A，B，则四边形MAPB的面积最小值是( )
A．1 B．
C．2 D．2
答案：D
解析：圆M：x2＋(y－4)2＝1的圆心M(0，4)到直线l：3x＋4y－1＝0的距离d＝＝3，
故|MP|的最小值是3，又因为|MA|＝1，则|AP|＝≥2，
故△AMP的面积的最小值是S＝×1×2＝，故四边形MAPB的面积的最小值是2.故选D.
题后师说
涉及与圆的弦长、切线有关线段长度的最值(范围)问题，解题的关键是弄清楚圆心到已知直线的最短距离，然后再解决问题．
巩固训练2
(1)[2024·吉林延边模拟]经过P(2，3)向圆x2＋y2＝4作切线，切线方程为( )
A．5x－12y＋26＝0
B．13x－12y＋10＝0
C．5x－12y＋26＝0或x＝2
D．13x－12y＋10＝0或x＝2
答案：C
解析：①当切线的斜率不存在时，直线x＝2是圆的切线．
②当切线斜率存在时，设切线方程为l：y－3＝k(x－2)，
由(0，0)到切线距离为d＝＝2得k＝，
此时切线方程为y－3＝(x－2)即5x－12y＋26＝0.故选C.
(2)[2024·广东深圳模拟]若过点M(2，1)的直线l与圆O：x2＋y2＝8交于A，B两点，则弦AB最短时直线l的方程为( )
A．2x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0
C．x＋2y－4＝0 D．2x＋y－5＝0
答案：D
解析：
当AB最短时，直线l⊥OM，
所以kl·kOM＝－1.
又kOM＝，所以kl＝－2，
所以l的方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.故选D.
题型三 圆与圆的位置关系
例5(1)(多选)[2024·广东珠海模拟]已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列说法正确的是( )
A．C1与C2的公切线恰有4条
B．C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0
C．C1与C2相交弦的弦长为
D．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则＝12
答案： BD
解析：由已知得圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝3，
圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝4，
|C1C2|＝＝5，r2－r1故两圆相交，所以C1与C2的公切线恰有2条，故A错误；
做差可得C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0，
C1到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为2＝，故C错误；
若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝12，故D正确．故选BD.
(2)[2024·山东潍坊模拟]已知圆C：x2＋y2－4x cos θ－4y sin θ＝0，与圆C总相切的圆D的方程是_________．
x2＋y2＝16
解析：圆C标准方程为(x－2cos θ)2＋(y－2sin θ)2＝4，
圆C的圆心为(2cos θ，2sin θ)，半径为2，
由圆心坐标可知圆心轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，
故圆C上总有点与原点距离为4，由圆的标准方程可知圆D的方程是：x2＋y2＝16.
题后师说
(1)处理与两圆的位置关系相关的问题时，多用圆心距与两圆半径的和或差的大小关系判断，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
(3)求两圆公共弦长时，在其中一圆中，弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，利用勾股定理求解．
巩固训练3
(1)已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4，则圆C1与C2的位置关系是( )
A．内含 B．相交
C．外切 D．相离
答案：D
解析：圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，
圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4的圆心为C2(3，4)，半径r2＝2，
因为|C1C2|＝＝5>r1＋r2＝3，
所以两圆相离，故选D.
(2)[2024·河南驻马店模拟]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为( )
A．2ax＋by－1＝0 B．2ax＋by－3＝0
C．2ax＋2by－1＝0 D．2ax＋2by－3＝0
答案：D
解析：将两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，
即2ax＋2by－a2－b2＝0，
因为圆C1的圆心为(0，0)，半径为1，且公共弦AB的长为1，
则C1(0，0)到直线2ax＋2by－a2－b2＝0的距离为，
所以＝，解得a2＋b2＝3，
所以直线AB的方程为2ax＋2by－3＝0，故选D.
1．[2023·新课标Ⅰ卷]过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( )
A．1 B．
C． D．
答案：B
解析：如图，x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝，所以圆心到点(0，－2)的距离为＝2，由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ＝＝＝，所以cos ＝，所以sin α＝2sin cos ＝2×＝.故选B.
2．(多选)[2021·新高考Ⅱ卷]已知直线l：ax＋by－r2＝0(r>0)与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
答案：ABD
解析：圆心C(0，0)到直线l的距离d＝，
若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；
若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，
所以d＝＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD.
3．[2022·新高考Ⅰ卷]写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________．
答案：3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＋1＝0(答对其中之一即可)
解析：由题意知两圆的圆心和半径分别为O1(0，0)，O2(3，4)，r1＝1，r2＝4.因为|O1O2|＝r1＋r2，所以两圆外切．由两圆外切，画出示意图，如图．
设切点为A(x，y)．由O1A＝，得A(，)．因为＝，所以切线l1的斜率k1＝－，所以l1：y－＝－(x－)，即3x＋4y－5＝0.由图象易得两圆均与直线l2：x＝－1相切，过两圆圆心的直线方程为l：y＝x.联立解得故直线l与l2的交点为P(－1，－)．由切线定理，得两圆的另一公切线l3过点P.设l3：y＋＝k(x＋1)．由点到直线的距离公式，得＝1，解得k＝，所以l3：y＋＝(x＋1)，即7x－24y－25＝0.
4．[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆＝1有公共点，则a的取值范围是________．
[]
解析：因为kAB＝，所以直线AB关于直线y＝a对称的直线方程为(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以≤1，整理，得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤.(共47张PPT)
第五节 椭圆
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的____________，两焦点间的距离叫做椭圆的____________．
常数
焦点
焦距
2．椭圆的标准方程和几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
范围 ____________ ____________ ____________
____________
对称性 对称轴：________，对称中心：________ －a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
坐标轴
原点
顶点 A1________， A2________， B1________， B2________ A1________，
A2________，
B1________，
B2________
轴长 长轴A1A2的长为________； 短轴B1B2的长为________ 焦点 F1_______，F2______
F1_______，F2______
焦距 |F1F2|＝________ 离心率 e＝________∈(0，1) a，b，c的关系 ________ (－a，0)
(a，0)
(0，－b)
(0，b)
(0，－a)
(0，a)
(－b，0)
(b，0)
2a
2b
(－c，0)
(c，0)
(0，－c)
(0，c)
2c
c2＝a2－b2
【常用结论】
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大最大．
＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤()2＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
(6)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(3)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( )
(4)椭圆＝1(a>b>0)与椭圆＝1(a>b>0)的焦距相同．( )
×
×
√
√
2．(教材改编)已知椭圆C：＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
答案：C
解析：不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.故选C.
3．(教材改编)若F1(3，0)，F2(－3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则点P的轨迹方程是________________________．
＝1
解析：因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＝1.
4．(易错)已知椭圆＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为________．
9
解析：根据题意得椭圆＝1中，a＝6，
P是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且|PF1|＝3，
故|PF1|＋|PF2|＝2a＝12.
又|PF1|＝3，
∴|PF2|＝12－3＝9，
即点P到另一个焦点的距离为9.
5．(易错)已知椭圆＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为________．
3或
解析：若a2＝5，b2＝m，则c＝，由＝，即＝，解得m＝3；若a2＝m，b2＝5，则c＝.由＝，即＝，解得m＝.
课堂互动探究案
1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程．
2．掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
3．掌握椭圆的简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】 “动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a为常数)”是“点P的轨迹是椭圆”的什么条件？
答案：若P点的轨迹是椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，且a为常数)成立．
若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，且a为常数)，当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．
所以“动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a为常数)”是“点P的轨迹是椭圆”的必要不充分条件．
【问题2】 椭圆方程中参数a，b，c之间的关系是什么？并在图中表示出来．
答案：c2＝a2－b2.
关键能力·题型剖析
题型一 椭圆的定义及应用
例1(1)[2024·山东滨州模拟]已知圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：(x－2)2＋(y－2)2＝16，圆I与圆O1，O2均相切，则圆I的圆心I的轨迹中包含了哪条曲线( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
答案： B
解析：由圆O1：x2＋y2＝1可得，圆心O1(0，0)，半径r1＝1；
由圆O2：(x－2)2＋(y－2)2＝16可得，圆心O2(2，2)，半径r2＝4.
又|O1O2|＝＝2，且|O1O2|＝2<3＝r2－r1，
所以两圆内含，又r1设圆I的半径为R.
由题意结合图象可得，圆I应与圆O1外切，与圆O2内切．
则有，
所以|O2I|＋|O1I|＝r1＋r2＝5>|O1O2|，
根据椭圆的定义可得，圆I的圆心I的轨迹为椭圆．故选B.
(2)设点P为椭圆C：＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
解析：由题意知，c＝.
又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，
|F1F2|＝2，
∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P|·|PF2|－2|F1P|·|PF2|cos 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，
∴|F1P|·|PF2|＝，
＝|F1P|·|PF2|sin 60°＝＝.
【变式练习】 若将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“PF1⊥PF2”，则△PF1F2的面积为________．
答案：∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2
＝4(a2－4)＝4a2－16，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
＝4.
题后师说
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
巩固训练1
(1)设椭圆＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，椭圆上的点P，Q满足P，Q，F1三点共线，则△F2PQ的周长为( )
A．2a B．2b C．4a D．4b
答案： C
解析：椭圆＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，显然椭圆的弦PQ经过点F1，
由椭圆的定义得，△F2PQ的周长|PF2|＋|PQ|＋|QF2|＝|PF2|＋|PF1|＋|QF1|＋|QF2|＝4a.故选C.
(2)[2024·黑龙江哈尔滨模拟]已知F(1，0)为椭圆＝1的焦点，P为椭圆上一动点，A(1，1)，则|PA|＋|PF|的最小值为( )
A．6－ B．1
C．6－2 D．6－
答案：A
解析：
由F(1，0)为椭圆＝1的焦点，
∴c＝1，a2＝9，b2＝m，
∴9＝m＋1，∴m＝8，
设椭圆的左焦点为F1，由椭圆的定义得|PF|＝2a－|PF1|＝6－|PF1|，
∴|PF|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF1|≥6－|AF1|＝6－，
所以|PF|＋|PA|的最小值为6－.故选A.
题型二 椭圆的标准方程
角度一 定义法
例2[2024·江西吉安模拟]已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的标准方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＋x2＝1 D．＋y2＝1
答案：B
解析：由对称性|AF2|＝|AB|＝，又|F1F2|＝2，则|AF1|＝＝ ＝，
所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，a＝2，又c＝1，则b＝＝，
椭圆的标准方程为＝1.故选B.
角度二 待定系数法
例3若A(－2，0)，B(1，2)，C(1，)，D(1，－)四个点中恰有三个点在椭圆上，则椭圆的标准方程为________．
答案：因为椭圆是对称图形，所以C(1，)，D(1，－)必在椭圆上．
又点B与点C的横坐标相同，纵坐标不同，所以点B(1，2)不在椭圆上，所以点A(－2，0)在椭圆上．
设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则得所以椭圆的方程为＝1.
题后师说
求椭圆方程的常用方法
巩固训练2
(1)若k∈R，则“－2A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案： B
解析：若方程＝1表示椭圆，
则解得－2所以“－2(2)已知F1，F2为椭圆C：＝1(a＞b＞0)的两个焦点，若P(1，)在椭圆上，且满足|PF1|＋|PF2|＝4，则椭圆C的方程为________．
＝1
解析：由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
可得a＝2，
将P(1，)代入椭圆方程，可得＝1，解得b＝，
即椭圆的方程为＝1.
题型三 椭圆的几何性质
角度一 离心率
例4(1)[2024·安徽阜阳模拟]已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A，B，F为椭圆的一个焦点，若△ABF为直角三角形，则该椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
答案： C
解析：如图，|AF|＝a＋c，|BF|＝a，|AB|＝，由已知得2a2＋b2＝(a＋c)2，且b2＝a2－c2，e＝>0，得c2＋ac－a2＝0，e2＋e－1＝0，解得e＝.故选C.
(2)[2024·河南新乡模拟]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点M，N是椭圆C上关于y轴对称的两点．若直线AM，AN的斜率之积为，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
答案：D
解析：由题意，椭圆C的左顶点为A(－a，0)，
因为点M，N是椭圆C上关于y轴对称的两点，可设M(x0，y0)，则N(-x0，y0)，
所以kAM＝，kAN＝，可得kAMkAN＝·＝＝，
又因为＝1，即，
代入可得＝，所以离心率为e＝＝＝＝.故选D.
(3)[2024·广东河源模拟]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线y＝－x的对称点P落在C上或C内，则椭圆C的离心率的取
值范围为________．
(0，]
解析：设C的半焦距为c，则F(－c，0)关于直线y＝－x的对称点P的坐标为(0，c)，
因为P落在C上或C内，所以b≥c，所以a2－c2＝b2≥c2，则a2≥2c2，
两边同时除以a2，解得e∈(0，].
题后师说
求椭圆离心率或其范围的方法
巩固训练3
(1)[2024·九省联考]椭圆＋y2＝1(a>1)的离心率为，则a＝( )
A． B．
C． D．2
答案： A
解析：由题意得e＝＝＝，解得a＝.故选A.
(2)椭圆＝1(a>b>0)的四个顶点ABCD构成菱形的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率e＝________．
解析：由题设，内切圆半径为c＝，故ab＝c·，
所以a2b2＝a2c2＋b2c2，则a4－3a2c2＋c4＝0，即e4－3e2＋1＝0，
所以e2＝，(e2＝>1舍)，故e＝.
角度二 与椭圆有关的范围(最值)问题
例5[2024·重庆沙坪坝模拟]过椭圆＝1上一动点P分别向圆C1：(x＋3)2＋y2＝4和圆C2：(x－3)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2＋2|PN|2的取值范围为____________．
[90，165]
解析：∵a＝6，b＝3，c＝＝3，易知C1(－3，0)，C2(3，0)为椭圆的两个焦点，
|PM|2＋2|PN|2＝|PC1|2－4＋2(|PC2|2－1)＝－6，
根据椭圆定义|PC1|＋|PC2|＝2a＝12，
设|PC2|＝t，则a－c≤t≤a＋c，即3≤t≤9，
则|PM|2＋2|PN|2＝(12－t)2＋2t2－6＝3t2－24t＋138＝3(t2－8t＋46)，
当t＝4时，|PM|2＋2|PN|2取到最小值90.
当t＝9时，|PM|2＋2|PN|2取到最大值165.
故|PM|2＋2|PN|2的取值范围为：[90，165].
题后师说
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、椭圆的定义、椭圆性质．
(2)利用函数，尤其是二次函数．
(3)利用基本不等式．
巩固训练4
已知F1，F2为椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆的离心率为，M为椭圆上一动点，∠F1MF2的最大值为( )
A． B．
C． D．
答案：A
解析：∵e＝＝，∴a＝2c，
M为椭圆上一动点，设|MF1|＝m，
|MF2|＝n，则m＋n＝2a，
在△MF1F2中，由余弦定理可得：cos ∠F1MF2＝
＝＝－1
≥－1＝－1＝，
当且仅当m＝n时“＝”成立．
∴cos ∠F1MF2的最小值为，又∠F1MF2∈(0，π)，
∴∠F1MF2的最大值为.故选A.
1．[2023·新课标Ⅰ卷]设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝，则a＝( )
A． B．
C． D．
答案：A
解析：由已知得e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝，得a＝.故选A.
2．[2023·全国甲卷]设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若＝0，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．1 B．2
C．4 D．5
答案：B
解析：方法一 因为＝0，所以PF1⊥PF2，则＝|PF1|·|PF2|＝b2tan ，得|PF1|·|PF2|＝1×tan ，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B.
方法二 因为＝0，所以PF1⊥PF2，所以＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B.
3．[2023·新课标Ⅱ卷]已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB 面积是△F2AB 面积的2倍，则m＝( )
A． B．
C．－ D．－
答案：C
解析：由题意，F1(－，0)，F2(，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即＝2×，解得m＝－或m＝－3(舍去)，故选C.
4．[2021·新高考Ⅰ卷]已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13 B．12
C．9 D．6
答案：C
解析：由题，a2＝9，b2＝4，则|MF1|＋|MF2|＝2a＝6，
所以|MF1|·|MF2|≤()2＝9(当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立)．故选C.(共45张PPT)
第一节 直线的方程
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.直线的方向向量
若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上两点，则l的方向向量的坐标为______________；若l的斜率为k，则方向向量的坐标为______________．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l__________之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴__________时，规定它的倾斜角为0°.
(2)范围：直线l的倾斜角的取值范围为____________．
(x2－x1，y2－y1)
(1，k)
向上的方向
平行或重合
0°≤α＜180°
3．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的________叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝________，倾斜角是90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝____________．
正切值
tan α
4．直线方程的五种形式
名称 几何条件 方程 适用条件
点斜式 过点(x0，y0)，斜率为k ________ 与x轴不垂直的直线
斜截式 在y轴上的截距为b，斜率为k ________ 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2) ________ 与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0)“截距式”中截距不是距离，在用截距式时，应先判断截距是否为0 ________ 不过原点，且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 — Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面内所有直线
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
＝
＝1
【常用结论】
1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
2.特殊位置的直线方程
(1)与x轴重合的直线方程为y＝0；
(2)与y轴重合的直线方程为x＝0；
(3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为y＝b；
(4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为x＝a；
(5)过原点且斜率为k的直线方程为y＝kx.
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线都有倾斜角与斜率.( )
(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．( )
(4)截距就是距离．( )
×
×
√
×
2．(教材改编)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
答案：A
解析：过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，所以k＝＝＝1，解得m＝1.故选A.
3．(教材改编)过点P(2，－3)且倾斜角为45°的直线的方程为________．
y＝x－5
解析：设直线解析式为y＝x＋b，把P(2，－3)代入，得b＝－5，故直线方程为y＝x－5.
4．(易错)直线x tan 60°＋y－2＝0的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案：C
解析：设直线的倾斜角为α，∵直线x tan 60°＋y－2＝0，∴y＝－x tan 60°＋2，∴直线的斜率为k＝－tan 60°＝tan 120°，∵0°≤α<180°，∴α＝120°.
5．(易错)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________________．
x＋y－5＝0或3x－2y＝0
解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＝1，
则＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.
课堂互动探究案
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
问题思考·夯实技能
【问题1】 直线的倾斜角越大，斜率越大对吗？
答案：不对．设直线的倾斜角为α，斜率为k.
【问题2】
在平面直角坐标系中，给定直线l上一个定点P0(x0，y0)和斜率k，则直线l上不同于该定点的任意一点P(x，y)的横坐标x与纵坐标y所满足的关系式是什么？
答案：y－y0＝k(x－x0)
关键能力·题型剖析
题型一直线的倾斜角与斜率
例1(1)直线2x cos α－y－3＝0(α∈)的倾斜角的变化范围是( )
A．[] B．[]
C．[) D．[]
答案：B
解析：因为直线2x cos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，
由于α∈[]，所以≤cos α≤，
因此k＝2cos α∈[1，].
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]，
由于θ∈[0，π)，
所以θ∈[]，即倾斜角的变化范围是[].故选B.
(2)直线l过点P(－1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
[]
解析：∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)，
∴kPA＝＝，kPB＝＝.
由图可知，直线l的斜率k的取值范围为[].
【变式练习】 若本例(2)中“P(－1，0)”改为“P(1，0)”，其他条件不变，则直线l的斜率的取值范围为_____________________．
(－∞，－
解析：如图所示：
当直线l过B时设直线l的斜率为k1，
则k1＝＝－，
当直线l过A时设直线l的斜率为k2，
则k2＝＝1，
∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－
题后师说
(1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tan x在[0，，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，，π)上并不是单调的．
(2)过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率取值范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在．
巩固训练1
(1)已知动直线l：x＋my－2＝0的倾斜角的取值范围是()，则实数m的取值范围是( )
A．(－，－1) B．(－1，－)
C．(，1) D．(1，)
答案： B
解析：由题设知：直线斜率范围为(1，)，即1<－<，可得－1(2)已知点P，Q的坐标分别为(－1，1)，(2，2)，直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ的延长线相交，则实数m的取值范围是_____________．
－3解析：如图所示，
由题知kPQ＝＝，
直线x＋my＋m＝0过点M(0，－1)．
当m＝0时，直线化为x＝0，一定与PQ相交，所以m≠0，
当m≠0时，kl＝－，考虑直线l的两个极限位置．
①l经过Q，即直线l1，则＝＝；
②l与直线PQ平行，即直线l2，则＝kPQ＝，
因为直线l与PQ的延长线相交，
所以<－<，即－3题型二 求直线方程
例2(1)[2024·江苏淮安模拟]在平面直角坐标系xOy中，直线l通过原点，n＝(3，4)是l的一个法向量，则直线l倾斜角的余弦值为( )
A．－ B．
C． D．－
答案： A
解析：因为直线l通过原点，n＝(3，4)是l的一个法向量，
所以直线l的方程为3x＋4y＝0，设直线l的倾斜角为θ，则tan θ＝－，
又且0°≤θ<180°，解得cos θ＝－.
故选A.
(2)一条直线l经过P(，－3)，并且倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍，则直线l的方程为__________．
y＝－x
解析：因为直线y＝x的斜率为，
所以直线y＝x的倾斜角为，
所以直线l的倾斜角为，
所以直线l的斜率为tan ＝－，
因为直线l经过P(，－3)，
所以直线l的方程为y＋3＝－(x－)，即y＝－x.
题后师说
求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
巩固训练2
(1)已知三角形三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在直线方程是( )
A．x－13y＋5＝0 B．x－13y－5＝0
C．x＋13y＋5＝0 D．x＋13y＝0
答案： C
解析：由B(3，－3)，C(0，2)，得BC的中点坐标为D(，－)，又A(－5，0)，
∴kAD＝＝－.
∴BC边上中线所在直线方程是
y－0＝－(x＋5)，即x＋13y＋5＝0.故选C.
(2)过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为_______________________．
x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
解析：设在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线
方程为＝1，
把点(2，1)代入，可得＝1，求得a＝3或a＝4，
故要求的直线的方程为＝1或＝1，
即x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
题型三 直线方程的综合应用
例3已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
解析：方法一 设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A(2－，0)，B(0，1－2k)，S△AOB＝(1－2k)·(2－)＝[4＋(－4k)＋(－)]≥(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
方法二 设直线l：＝1，且a＞0，b＞0，因为直线l过点M(2，1)，所以＝1，则1＝≥2，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，当且仅当＝＝时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l为＝1，即x＋2y－4＝0.
【变式练习】 本例中，条件不变，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
解析：方法一 由本例方法一知A(，0)，B(0，1－2k)(k＜0)，
所以|MA|·|MB|＝·
＝2＝2[(－k)＋]≥4.
当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号．
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
方法二 由本例方法二知A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，＝1.
所以|MA|·|MB|＝||·||＝－·
＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b)()－5＝2()≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
题后师说
利用最值取得的条件求直线方程，一般涉及函数思想，即建立目标函数，根据其结构求最值，有时也涉及基本不等式，何时取等号，一定要弄清楚．
巩固训练3
已知直线l过点M(1，1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，求直线l的方程．
解析：设直线l的斜率为k，则k＜0，所以直线l的方程
为y－1＝k(x－1)(k＜0)
则A(1－，0)，B(0，1－k)，
∴|MA|2＋|MB|2＝[(－)2＋1]＋[1＋(－k)2]
＝2＋k2＋≥2＋2·＝4，
当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，
∴当|MA|2＋|MB|2取得最小值4时，直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
1．如图，已知直线PM，QP，QM的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为( )
A．k1B．k1C．k2D．k3答案：B
解析：由于直线PM的倾斜角为钝角，QP、QM的倾斜角为锐角，
当倾斜角为锐角时，斜率为正，即k3>0，k2>0，当倾斜角为钝角时，斜率为负，即k1<0，
又因为倾斜角为时，倾斜角越大，斜率越大，即k3所以k12．过点(1，2)且方向向量为(－1，2)的直线的方程为( )
A．2x＋y－4＝0
B．x＋y－3＝0
C．x－2y＋3＝0
D．2x－y＋4＝0
答案：A
解析：由题意可知直线的斜率k＝＝－2，由点斜式方程得，
所求直线的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故选A.
3．已知直线l的方程为x sin α＋y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角范围为( )
A．(0，，π) B．[0，，π)
C．[0，，π) D．[0，，π)
答案：B
解析：由直线l的方程为x sin α＋y－1＝0，α∈R，化为y＝－x sin α＋，
∵α∈R，∴－1≤sin α≤1，设直线l的倾斜角为φ，且0≤φ＜π，则tan α＝－sin α∈[－]，
所以0≤φ≤或≤φ<π；
即直线l的倾斜角范围是[0，，π)．故选B.
4．直线l的方程为(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直线l过定点________，若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是________．
(1，－4)
[3，＋∞)
解析：直线l的方程可化为a(x－1)＋x＋y＋3＝0，则解得x＝1，y＝－4，所以直线l过定点(1，－4)．若直线l不经过第三象限，则解得a≥3.(共17张PPT)
高考大题研究课八 圆锥曲线中的
定点、定值问题
会用直线与圆锥曲线的有关知识解决定点、定值问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
关键能力·题型剖析
题型一 定点问题
例1[2023·全国乙卷]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率是，点A(－2，0)在C上．
(1)求C的方程；
解析：因为点A(－2，0)在C上，所以＝1，得b2＝4.
因为椭圆的离心率e＝＝，所以c2＝a2，
又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，c2＝5，
故椭圆C的方程为＝1.
(2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
解析：由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设为k(k≠0)，
设lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0，
则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k>0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝.
直线AP：y＝(x＋2)，
令x＝0，解得yM＝，
同理得yN＝，
则yM＋yN＝2
＝2
＝2
＝2
＝2×
＝6.
所以MN的中点的纵坐标为＝3，
所以MN的中点为定点(0，3)．
题后师说
求解直线或曲线过定点问题的策略
巩固训练1
[2024·山西吕梁模拟]已知抛物线C：y2＝2px过点A(2，4)．
(1)求抛物线C的方程；
解析： A(2，4)坐标代入抛物线方程得16＝4p，解得p＝4，
∴抛物线方程为y2＝8x.
(2)P，Q是抛物线C上的两个动点，直线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为4，证明：直线PQ恒过定点．
解析：证明：显然直线PQ斜率不为0，故可设PQ：x＝my＋t，将PQ的方程与y2＝8x联立得y2－8my－8t＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－8t，
所以Δ>0 64m2＋32t>0 2m2＋t>0，
kPA＝＝＝，同理：kQA＝，
由题意：＝4，
∴2(y1＋y2)＝y1y2＋4(y1＋y2)，
∴y1y2＝－2(y1＋y2)，即t＝2m，
代入直线得x＝my＋2m＝m(y＋2)，
故直线PQ恒过定点(0，－2)．
题型二 定值问题
例2[2024·湖南长沙模拟]已知双曲线x2－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
(1)求k的取值范围；
解析：∵l与圆相切，∴1＝，∴m2＝1＋k2，
由得(1－k2)x2－2mkx－(m2＋1)＝0，
∴
∴k2<1，∴－1故k的取值范围为(－1，1)．
(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1k2是定值吗？证明你的结论．
解析：由已知可得A1，A2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，
∴k1＝，k2＝，
∵x2>x1，∴x2－x1＝＝，
∴k1·k2＝＝
＝＝
＝＝，
又因为m2＝1＋k2，所以m2－k2＝1，
∴k1·k2＝＝－(3＋2)为定值．
题后师说
求定值问题的策略
巩固训练2
[2024·河北保定模拟]已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭圆C经过点P(2，2)，
(1)求椭圆C的方程；
解析：设椭圆的方程为＝1(a>b>0)，
根据题意得解得
故所求椭圆方程为＝1.
(2)若A，B是椭圆上不同于点P的两个动点，直线PA，PB与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，证明：直线AB的斜率为定值．
解析：如图所示，
设直线l：y＝kx＋m交该椭圆＝1于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．
将y＝kx＋m代入＝1，
得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－20＝0，
所以
由直线PA，PB能与x轴共同围成底边在x轴上的等腰三角形，
可得kPA＋kPB＝0，
即＝＝0，
整理得(kx1＋m－2)(x2－2)＋(kx2＋m－2)(x1－2)＝2kx1x2＋(m－2k－2)(x1＋x2)－4(m－2)＝0，
即2k·－(m－2k－2)·－4(m－2)＝0，
即(4k－1)m＋8k2－10k＋2＝0，
所以当k＝时，不论m为何值时(4k－1)m＋8k2－10k＋2＝0都成立，
所以直线PA，PB与x轴共同围成底边在x轴上的等腰三角形时直线AB的斜率为定值.(共24张PPT)
高考大题研究课九 圆锥曲线中的
最值、范围问题
会用直线与圆锥曲线、函数、不等式的有关知识解决最值、范围问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
关键能力·题型剖析
题型一 最值问题
例1[2024·河北秦皇岛模拟]已知双曲线＝1(a>0，b>0)实轴的一个端点是P，虚轴的一个端点是Q，直线PQ与双曲线的一条渐近线的交点为()．
(1)求双曲线的方程；
解析：设点P(a，0)，点Q(0，b)，则直线PQ的方程为＝1，
与渐近线y＝x联立，得解之得
即直线PQ与双曲线的一条渐近线交点为()，
又直线PQ与双曲线的一条渐近线的交点为()，
所以即a＝b＝1，因此双曲线方程为x2－y2＝1.
(2)若直线y＝kx＋(0解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋代入x2－y2＝1，
得(1－k2)x2－2x－－1＝0，
则Δ＝4＋4(1－k2)(＋1)＝>0，x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝|x1－x2|＝
＝·
＝2＝2，
点O到直线y＝kx＋的距离d＝，所以△OAB的面积为
S＝|AB|d＝×2＝×2＝，
令t＝k2－k4，所以S＝＝，令s＝，则S＝，
因为0即当s＝4，t＝，k2＝，k＝时，等号成立，
此时满足Δ>0，所以△OAB面积的最小值为2.
题后师说
圆锥曲线中最值的求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等．
巩固训练1
[2024·江西上饶模拟]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率e＝，点F1，F2为椭圆C的左、右焦点且经过点F1(－c，0)的最短弦长为3.
(1)求椭圆C的方程；
解析：由题意，解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为＝1.
(2)过点F1分别作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1与椭圆交于不同两点A，B，l2与直线x＝c交于点P，若＝λ，且点Q满足＝λ，求|PQ|的最小值．
解析：由(1)得F1(－1，0)，若直线l1的斜率为0，则l2为x＝－1与直线x＝1无交点，不满足条件．
设直线l1：x＝my－1，若m＝0，则λ＝1则不满足＝λ，所以m≠0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，y0)，
由得：(3m2＋4)y2－6my－9＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－.
因为，
即则－y1＝λy2，y1－y0＝λ(y2－y0)，
所以λ＝－＝，解得y0＝＝－，则x0＝－4，即Q(－4，－)，
直线l2：x＝－y－1，联立解得P(1，－2m)，
∴|PQ|＝ ≥5，当且仅当m＝或m＝－时等号成立，
∴|PQ|的最小值为5.
题型二 范围问题
例2[2024·河北沧州模拟]已知P为圆M：(x＋)2＋y2＝16上任一点，N(，0)，＝λ，λ∈(0，1)，且满足()·＝0.
(1)求动点Q的轨迹Γ的方程；
解析：如图，由()·＝0，可得|QN|＝|QP|，
因为|MQ|＋|QP|＝|MP|＝4，所以|NQ|＋|QM|＝4，
所以动点Q的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，
所以动点Q的轨迹Γ的方程为＝1.
(2)直线l：y＝kx＋1与轨迹Γ相交于A，B两点，与x轴交于点D，过AB的中点且斜率为－的直线与x轴交于点E，记μ＝，若k∈[，2]，求μ的取值范围．
解析：直线l的方程为y＝kx＋1(≤k≤2)，联立消去y并整理，
得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，Δ＝(4k)2－4×(－2)×(2k2＋1)＝32k2＋8>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝，可得线段AB的中点坐标为(－)，
所以线段AB垂直平分线的方程为
y－＝－(x＋)，
令y＝0，可得E(－，0)，
对于直线y＝kx＋1，令y＝0，可得D(－，0)，
所以|DE|＝|－－(－)|＝，
又|AB|＝
＝＝，
所以μ＝＝＝2，
令t＝k2＋1∈，则y＝8(k2＋1)＋－14＝8t＋－14，
y′＝8－，当t∈时，y′>0，所以y＝8t＋－14在上单调递增，
所以y∈，则μ∈ .
题后师说
解圆锥曲线中范围问题的策略
巩固训练2
[2024·吉林长春模拟]已知抛物线x2＝2py(p>0)焦点为F，点A(4，m)在抛物线上，|AF|＝5.
(1)求抛物线方程；
解析：由题意可得：
解得或
故抛物线方程为x2＝4y或x2＝16y.
(2)过焦点F直线l与抛物线交于M，N两点，若MN最小值为4，且∠MAN是钝角，求直线斜率范围．
解析：抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F(0，)，
设l：y＝kx＋，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程消去y得x2－2pkx－p2＝0，
则Δ＝4p2k2＋4p2＝4p2(k2＋1)>0，x1＋x2＝2pk，x1x2＝－p2，
可得|MN|＝＝2p(1＋k2)≥2p＝4，解得p＝2，
此时p＝2，则x2＝4y，l：y＝kx＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(4，4)，F(0，1)，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
若直线l：y＝kx＋1过点A(4，4)，则4＝4k＋1，解得k＝，
若∠MAN是钝角，则·<0，且A，M，N三点不共线，
∵＝(x1－4，y1－4)，＝(x2－4，y2－4)，
则·＝(x1－4)(x2－4)＋(y1－4)(y2－4)
＝(x1－4)(x2－4)＋(kx1－3)(kx2－3)＝(1＋k2)x1x2－(3k＋4)(x1＋x2)＋25＝－4(1＋k2)－4k(3k＋4)＋25＝－16k2－16k＋21<0，
解得k>或k<－，
注意到k≠，故直线斜率范围为(－∞，－，＋∞)．(共25张PPT)
高考大题研究课十 圆锥曲线中的
证明与探索性问题
会用直线与圆锥曲线中有关知识解决证明与探索性问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
关键能力·题型剖析
题型一 证明问题
例1(12分)[2023·新课标Ⅱ卷]已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．
思路导引
(1)由题意求出a，b→C的方程
(2)设直线方程→与C联立→消去y→韦达定理→写出直线MA1，NA2的方程→联立消去y→解得x，即交点的横坐标为定值→点P在定直线上．
解析：(1)设双曲线方程为＝1(a＞0，b＞0)，
由焦点坐标得c＝2，由e＝＝得a＝2，b＝＝4，→正确求出a，b，c得2分
∴双曲线方程为＝1.→正确写出双曲线方程得1分
→正确写出左、右顶点A1，A2的坐标得1分
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然直线的斜率不为0，
所以设直线MN的方程为x＝my－4，且－＜m＜.→正确设出直线MN的方程得1分
联立方程组得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，且Δ＝64(4m2＋3)＞0，则y1＋y2＝，y1y2＝，→正确消去x得到关于y的一元二次方程，写出Δ及y1＋y2、y1y2的表达式得2分
直线MA1的方程为y＝(x＋2)，直线NA2的方程为y＝(x－2)→正确写出直线MA1，NA2的方程得1分
联立直线方程
消去y得＝＝＝＝＝＝－，→正确得出＝－得3分
→正确解出x＝－1，下结论得1分
题后师说
圆锥曲线证明问题的类型及求解策略
(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何要素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系相等或不等．
(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．
巩固训练1
[2023·北京卷]已知椭圆E：＝1(a>b>0)的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，|AC|＝4.
(1)求E的方程；
解析：依题意，得e＝＝，则c＝a，
又A，C分别为椭圆上、下顶点，|AC|＝4，所以2b＝4，即b＝2，
所以a2－c2＝b2＝4，即a2－a2＝a2＝4，则a2＝9，
所以椭圆E的方程为＝1.
(2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝－2交于点N.求证：MN∥CD.
解析：因为椭圆E的方程为＝1，所以A(0，2)，C(0，－2)，B(－3，0)，D(3，0)，
因为P为第一象限E上的动点，设P(m，n)(0易得kBC＝＝－，则直线BC的方程为y＝－x－2，
kPD＝＝，则直线PD的方程为y＝(x－3)，
联立解得
即M，
而kPA＝＝，则直线PA的方程为y＝x＋2，
令y＝－2，则－2＝x＋2，解得x＝，即N，
又＝1，则m2＝9－，8m2＝72－18n2，
所以kMN＝
＝
＝
＝
＝
＝＝，
又kCD＝＝，即kMN＝kCD，
显然，MN与CD不重合，所以MN∥CD.
题型二 探索性问题
例2[2024·河南郑州模拟]已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，F为椭圆的右焦点，A为椭圆的下顶点，A与圆x2＋(y－2)2＝1上任意点距离的最大值为3＋.
(1)求椭圆的方程；
解析：由题意可知e＝＝，A(0，－b)，
又A到圆上距离最大值为2－(－b)＋1＝3＋b＝3＋，∴b＝.
又解得a2＝4，b2＝3.
故椭圆方程为＝1.
(2)设点D在直线x＝1上，过D的两条直线分别交椭圆于M，N两点和P，Q两点，点F到直线MN和PQ的距离相等，是否存在实数λ，使得|DM|·|DN|＝λ|DP|·|DQ|？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．
解析：若D点与F点重合，则λ不存在，
若D点与F点不重合，∵点F到直线MN和PQ的距离相等，且F在直线x＝1上，
∴kMN＋kPQ＝0，
设D(1，m)，由题意可知直线MN，PQ的斜率均存在且不为0，
设直线MN的方程为y－m＝k1(x－1)，(k1≠0)，
由得x2(8k1m－8k2)x＋4m2－8k1m－12＝0，
设M(xM，yM)，N(xN，yN)，
则xM＋xN＝，xM·xN＝，
又|DM|＝|xN－1| ，
|DM|·|DN|＝)|(xM－1)(xN－1)|＝)|xMxN－(xM＋xN)＋1|＝，
设直线PQ的方程为y－m＝k2(x－1)(k2≠0)，
同理可得|DP|·|DQ|＝
又k1＝－k2，∴|DM|·|DN|＝|DP|·|DQ|，故λ＝1.
所以存在这样的λ＝1，使得|DM|·|DN|＝λ|DP|·|DQ|.
题后师说
存在性问题的解题策略
存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．
巩固训练2
[2024·江西南昌模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A，B分别为C上两个不同的动点，O为坐标原点，当△OAB为等边三角形时，|AB|＝8.
(1)求C的标准方程；
解析：由对称性可知当△OAB为等边三角形时，A，B两点关于x轴对称，
当△OAB为等边三角形时，△OAB的高为|AB|＝12，
由题意知点(12，4)在C上，代入y2＝2px，得(4)2＝24p，解得p＝2，
所以C的标准方程为y2＝4x.
(2)抛物线C在第一象限的部分是否存在点P，使得点P满足＝4，且点P到直线AB的距离为2？若存在，求出点P的坐标及直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
解析：由(1)知F(1，0)，根据题意可知直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为x＝ky＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
联立得y2－4ky－4m＝0，
所以Δ＝16k2＋16m>0，即k2＋m>0，且y1＋y2＝4k，y1y2＝－4m，
所以x1＋x2＝k(y1＋y2)＋2m＝4k2＋2m，
由＝4，得(x1－x0，y1－y0)＋(x2－x0，y2－y0)＝4(1－x0，－y0)，
所以所以即P(2－m－2k2，－2k)，
又点P在C上，所以4k2＝4(2－m－2k2)，即3k2＋m＝2， ①
所以k2＋m＝k2＋2－3k2＝2(1－k2)>0，解得－1又点P在第一象限，所以－2k>0，所以－1又点P到直线AB的距离d＝＝＝2，化简得m2－2m＝k2， ②
联立①②解得或(舍去)，或(舍去)．
此时点P()，直线AB的方程为3x＋y＋1＝0.(共51张PPT)
专题培优课 高考中的圆锥曲线压轴小题
【考情分析】 近几年高考常常把圆锥曲线作为压轴小题，难度较大，综合考查学生的分析问题、解决问题的能力．
关键能力·题型剖析
题型一 离心率范围问题
例1 (1)过双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且∠ADB为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1，)
B．(， )
C．(，2)
D．(，＋∞)
答案： D
解析：设双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1(－c，0)，
令x＝－c，得y＝±，可设A(－c，)，B(－c，－)，
由对称性，不妨设D(0，b)，可得＝(－c，－b)，＝(－c，－－b)，
由题意知A，D，B三点不共线，
所以∠ADB为钝角 ·<0，
即为c2－(＋b)(－b)<0，
将b2＝c2－a2代入化简得c4－4a2c2＋2a4>0，
由e＝，可得e4－4e2＋2>0，
又e>1，解得e2>2＋，则e>，
综上，离心率的取值范围为(，＋∞)．故选D.
(2)[2024·河北石家庄模拟]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的焦距为2，过椭圆C的右焦点F且不与两坐标轴平行的直线交椭圆C于A，B两点，若x轴上的点P满足|PA|＝|PB|且|PF|>恒成立，则椭圆C离心率e的取值范围为________．
(0，]
解析：依题意，点F(1，0)，设直线AB：x＝ty＋1，t≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x得：(b2t2＋a2)y2＋2b2ty＋b2－a2b2＝0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，线段AB的中点M(，－)，
因为|PA|＝|PB|，则有PM⊥AB，直线PM：y＋＝－t(x－)，
令y＝0得点P(，0)，而a2－b2＝1，有＝<1，
又|PF|>，即1－>，因此0<<，即b2t2＋a2>3，
依题意，b2t2＋a2>3恒成立，而恒有b2t2＋a2>a2，因此a2≥3 a≥，离心率e＝，
所以椭圆C离心率e的取值范围为0题后师说
求解圆锥曲线离心率范围问题的策略
巩固训练1
(1)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0，) B．(0，)
C．() D．(，1)
答案： B
解析：根据椭圆的对称性，不妨设焦点在横轴上的椭圆标准方程为：＝1(a>b>0)，设F1(－c，0)，F2(c，0)，设＝0 (－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝c2＝＝，点M(x0，y0)在椭圆内部，有b2a2b2>2a2－，要想该不等式恒成立，只需2a2－<0 2a2c20 0(2)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，点B的坐标为(0，b)，若C上的任意一点P都满足|PB|≥b，则C的离心率的取值范围是( )
A．(1，] B．[，＋∞)
C．(1，] D．[，＋∞)
答案：A
解析：设P(x，y)，|PB|≥b ≥b x2＋y2－2by≥0(*)，由＝1 x2＝a2(1＋)，代入不等式*中，化简，得y2－2by＋a2≥0恒成立，则有Δ＝4b2－≤0 b4≤a2c2 b2≤ac c2－a2≤ac e2－e－1≤0，解得≤e≤，而e>1，所以1题型二 圆锥曲线中的二级结论的应用
角度一 椭圆、双曲线中二级结论的应用
例2(1)(多选)[2024·安徽黄山模拟]已知椭圆C：＋y2＝1，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B分别是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，则下列选项正确的是( )
A．存在点P，使得cos ∠F1PF2＝－
B．若△PF1F2为直角三角形，则这样的点P有4个
C．直线PA与直线PB的斜率乘积为定值－
D.椭圆C内接矩形的周长取值范围是(4，8]
答案： CD
解析：设椭圆上任意一点为P(x，y)，F1(－，0)，F2(，0)，则＝＝(－x，－y)，|F1F2|＝2c＝2，
由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝
＝＝－1
∵|PF1|·|PF2|≤＝a2，cos ∠F1PF2≥－1＝－1，当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，此时P在椭圆的上下顶点处，cos ∠F1PF2最小，∠F1PF2最大，
对于A，当P在椭圆的上下顶点时，cos ∠F1PF2＝－1＝－>－，故不存在点P，使得cos ∠F1PF2＝－，故A错误；对于B，当P在椭圆的上下顶点时，cos ∠F1PF2的最小值为cos ∠F1PF2＝－>0，此时∠F1PF2为钝角，根据椭圆的对称性可知：当∠P为直角时，此时有4个满足位置的点P，当∠F1为直角时，满足条件的P有2个，同理∠F2为直角时，也有2个满足条件的P，故当△PF1F2为直角三角形时，有8个满足条件的P，故B错误；对于C，A(－，0)，B(0)，所以kAPkBP＝·＝＝＝－，故C正确；
对于D，不妨设M(sin α，cos α)是椭圆在第一象限的内接矩形的一顶点，根据椭圆的对称性可知椭圆的内接矩形的四个顶点关于坐标轴对称，故矩形的周长为4(sin α＋cos α)＝8sin (α＋)，故当α＝ 时，M()在椭圆上，此时周长最大为8，当α＝0时，此时8sin (α＋)＝4，此时M在短轴上，不能构成矩形，故周长大于4，故周长的范围为(4，8]，故D正确．故选CD.
(2)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，上顶点为A，过左焦点F1的直线l1与C交于D，E两点，过右焦点F2的直线l2经过A点，且l1⊥l2.若四边形AEF2D的面积为，则C的长轴长为________．
4
解析：设椭圆C的半焦距为c(c>0)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，则＝，椭圆C：＝1.
由题可知△AF1F2为等边三角形，所以|AF2|＝|AF1|＝|F1F2|＝2c，
因为过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，
所以kDE＝tan 30°＝.由线段垂直平分线的性质可得|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|.
直线DE的方程为y＝(x＋c)，与C的方程联立化简可得13x2＋8cx－32c2＝0，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以，
|DE|＝|x1－x2|＝·＝·＝.
所以＝|AF2||DE|＝＝，
解得c＝1，则a＝2.故C的长轴长为2a＝4.
题后师说
焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，且∠F1PF2＝θ，则椭圆中＝b2·tan ，双曲线中＝.周角定理：已知A，B为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝－，双曲线中kPA·kPB＝.
巩固训练2
(1)设椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为( )
A． B．
C．－1 D．－
答案： B
解析：∵∠F1AF2＝90°，
∴△F1AF2为等腰直角三角形，
∴b＝c，
∴a2＝2b2＝2c2，
∴＝，且∠AF2O＝45°
∴kMA＝－1，
又kMA·kMB＝－＝－，
∴kMB＝.故选B.
(2)[2024·安徽合肥模拟]已知M，N为双曲线＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两点，点M在第一象限且与点Q关于x轴对称，＝，直线NE交双曲线的右支于点P，若PM⊥MN，则双曲线的离心
率e为________．
解析：设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(－x1，－y1)，Q(x1，－y1)，由＝得E(x1，－y1)，
从而有kMN＝，kPN＝kEN＝＝－，又PM⊥MN，所以kMP＝－，
又由得＝，则＝，
即kPMkPN＝，所以kPMkPN＝(－)·(－)＝＝，所以e＝＝ ＝.
角度二 抛物线中的二级结论及应用
例3(1)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝( )
A．4 B．
C．5 D．6
答案： B
解析：∵F(1，0)，根据题意设y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，k≠0，
联立可得k2x2－(2k＋4)x＋k2＝0，
∴
又|AF|＝2|BF|，
∴1＋x1＝2(1＋x2)，
∴x1＝1＋2x2，又x1x2＝1，
∴x2＝，x1＝2，
∴|AB|＝p＋x1＋x2＝2＋2＋＝，故选B.
(2)(多选)[2024·山东德州模拟]已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，直线l与x轴交于点P，过点F的直线与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，则( )
A．若x1＋x2＝8，则|AB|＝12
B．·＝－27
C．＝
D．△PAB面积的最小值为16
答案：ACD
解析：抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线l：x＝－2，P(－2，0)，
设直线AB为x＝my＋2，
则即y2－8my－16＝0，
Δ＝64m2＋64>0，故＝64x1x2＝162，故x1x2＝4，
对选项A：|AB|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4＝12，正确；
对选项B：·＝x1x2＋y1y2＝4－16＝－12，错误；
对选项C：＝＝＝＝，正确；
对选项D：S△PAB＝×|PF|×|y2－y1|＝
2＝2≥16，
当m＝0时等号成立，正确．故选ACD.
题后师说
抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解题时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下：
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1·x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
巩固训练3
(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(4，0)，P为C上的一动点，A(5，1)，则下列结论正确的是( )
A．p＝4
B．当PF⊥x轴时，点P的纵坐标为8
C．|PF|的最小值为4
D．|PA|＋|PF|的最小值为9
答案：CD
解析：对于A，由抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(4，0)可知＝4 p＝8，故A错误；
对于B，当PF⊥x轴时，则点P的横坐标为4，将其代入y2＝16x中得y＝±8，故B错误；
对于C，设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝x0＋4，由于x0≥0，所以|PF|＝x0＋4≥4，故|PF|的最小值为4，故C正确；
对于D，过P作PM垂直于准线于M，过A作AE垂直于准线于E，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PM|≥|AM|≥|AE|＝9，当P，E，A三点共线时等号成立，故D正确．故选CD.
题型三 圆锥曲线与其他知识的综合
例4 人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数y＝x＋的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线．现将函数y＝3x＋的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则该双曲线C的离心率是( )
A．3＋ B．20－6
C． D．
答案：D
解析：由课本“探究与发现”可知y＝3x＋的两条渐近线分别为y＝3x，x＝0，
所以该函数对应的双曲线的焦点在y＝3x与x＝0夹角(锐角)的角平分线l上，
设l：y＝kx且k>3，
若α，β分别是y＝kx，y＝3x的倾斜角，故tan α＝k，tan β＝3，
故α－β为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，
因为y＝kx是y＝3x与x＝0夹角(锐角)的角平分线，
所以α－β＝－α，
由tan (α－β)＝tan (－α)＝＝，
即tan (α－β)＝＝＝，
整理得k2－6k－1＝0，可得k＝3±，
因为k>3，所以k＝3＋，
即tan (α－β)＝＝－3，
设焦点位于x轴上的双曲线方程：＝1，
则双曲线C一条渐近线斜率为，
所以＝－3，
所以函数y＝3x＋的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C的离心率
e＝ ＝＝.故选D.
题后师说
高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题，体现出数学的应用性．
巩固训练4
[2024·河北沧州模拟]若P为抛物线C：x2＝2py(p>0)在第二象限内一点，抛物线C的焦点为F，直线PF的倾斜角为30°，抛物线在点P处的切线与y轴相交于点M.若|OM|＝(O为坐标原点)，则△MPF的面积为____________．
解析：依题意，F(0，)，直线PF的斜率为tan 30°＝，则直线PF的方程为y＝x＋，
与抛物线C联立
整理得x2－px－p2＝0，
又P在第二象限内，解得抛物线x2＝2py(p>0)可写为y＝，y′＝，
所以＝＝－，所以直线MP的斜率为－，切线方程为y－＝－(x＋p)，
即y＝－x－，则点M(0，－)，P(－)，F(0，)，
根据两点间的距离公式可得|PF|＝|MF|＝|MP|＝p，|MF|＝p，所以△MPF为正三角形，
又|OM|＝，所以p＝3，
因此△MPF为边长是2的正三角形，则其面积为×22＝.
1．[2024·山西吕梁模拟]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx与C交于P，Q两点＝0，且△PF2Q的面积为4a2，则C的离心率是( )
A． B．
C．2 D．3
答案：B
解析：如图，若P在第一象限，因为＝0，所以PF1⊥QF1，
由图形的对称性知四边形PF1QF2为矩形，因为△PF2Q的面积为4a2，所以|PF1|·|PF2|＝8a2，
又因为|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
在Rt△PF1F2中，(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，解得e＝＝.
故选B.
2．[2024·河南开封模拟]已知F1，F2是椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|( )
A．有最大值4 B．有最大值3
C．有最小值4 D．有最小值3
答案：A
解析：由椭圆＋y2＝1可得a2＝4，b2＝1，c2＝3，所以a＝2，b＝1，c＝
因为点M在C上，所以|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，
设|MF1|＝t，t∈[a－c，a＋c]，即t∈[2－，2＋]，则|MF2|＝4－t，
所以|MF1|·|MF2|＝t(4－t)＝－t2＋4t，
由|MF1|·|MF2|＝－t2＋4t对应函数单调性可知，
当t＝2时，|MF1|·|MF2|＝－t2＋4t有最大值，最大值为4，
即|MF1|＝|MF2|＝2时，|MF1|·|MF2|最大值为4，
当t＝2－时，|MF1|·|MF2|＝－t2＋4t有最小值，最小值为－(2－)2＋4(2－)＝1，
即|MF1|＝2－，|MF2|＝2＋时，|MF1|·|MF2|最小值为1，
综上所述|MF1|·|MF2|最小值为1，最大值为4.故选A.
3．[2024·人大附中模拟]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(3，2)，点P为该抛物线上一动点，则△PAF周长的最小值是( )
A．3＋2 B．3
C．4＋2 D．2＋2＋2
答案：C
解析：
因为抛物线方程为y2＝4x，所以2p＝4 ＝1，
所以焦点F(1，0)，且抛物线准线方程为x＝－＝－1.
注意到△PAF的周长为C△PAF＝|PF|＋|FA|＋|PA|，
因为A(3，2)，F(1，0)，所以|FA|＝＝2，
所以C△PAF＝|PF|＋|PA|＋2.
因为根据抛物线定义，P点到准线x＝－1的距离等于|PF|，
则若求周长C△PAF最小值，即求P点到准线x＝－1的距离与PA长度之和的最小值即可，
由图可知，当P点为过A点作y轴垂线与抛物线的交点时，
P点到准线x＝－1的距离加PA长度之和最小，
最小值为3－(－1)＝4，
所以周长C△PAF的最小值为4＋2.故选C.
4．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，使得 ∠MPN＝120°，则C的离心率的取
值范围是________．
(0，]
解析：过P作PM，PN与圆x2＋y2＝b2相切，且切于点M，N，此时∠MPN最大，又圆
O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，使得∠MPN＝120°，
则∠MPN≥120°，
则∠OPM≥60°，
即sin ∠MPO＝，
即，
即0＜，
即C的离心率的取值范围是(0，].