2021-2022学年第二学期南京外国语高一期末考试数学试卷
高一数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡相应位置上.
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1．设，则在复平面内对应的点位于21世纪教育网(www.21cnjy.com)
．第一象限
．第二象限
．第三象限
．第四象限
【答案】
【分析】根据复数的几何意义求出复数所对应的点的坐标即可
【解析】
复数在复平面内对应的点为，位于第二象限
故选：
2．已知中，, , ，则的解的个数为
.0
.1
.2
．无法确定
【答案】
【分析】根据正弦定理得到的值，因为为三角形中的角，即，利用正弦函数的图像得到满足条件的个数即可
【解析】
因为，根据正弦定理得，代入得到，由于，所以或
故选：
3.1，8，9，4，5，5，8，2，3，10这组数据的下四分位数（25百分位数）为
.
.3
C.
.8
【答案】
【分析】根据已知条件，将10个数按从小到大排序，再结合第25百分位数的定义，即可求解
【解析】
10个数从小到大排列，，因为，所以这组数据的第二十
五百分数是3
故选：
4．已知 ，则
.
.
C.
.
【答案】
【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式把要求的式子化简，运算求得结果
【解析】
已知，
故选：
5．如图，在四面体中，若 , ,是的中点，则下列结论错误的是
．平面⊥平面
.
C.为二面角的平面角
．平面⊥平面
【答案】
【分析】利用平面与平面垂直的定理证明即可
【解析】
因为，是的中点，所以，又，平面，平面，所以平面，为二面角的平面角，，平面平面，又平面，所以平面平面，故选项A错误
故选：
6．已知平面向量满足, ，则的值为
.
.
C.
.
【答案】
【分析】利用平面向量的基本运算即可
【解析】
因为，，所以，所以
故选：
7．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为3的等边三角形，为球的直径，且 ，则到面的距离为
.4
.2
C.3
.
【答案】
【分析】根据题意，利用截面圆的性质即可求出点到平面的距离，进而求出点到平面的距离
【解析】
设球心为，过三点的小圆的圆心为,则平面,延长交球于点，则平面，因为，所以，高
故选：
8．气象意义上从春季进入夏季的标志为"连续5天的日平均温度全都不低于22℃".现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位：℃):①甲地：5个数据的中位数为23，众数为22:②乙地：5个数据的中位数为26，平均数为25，众数为27;③丙地：5个数据中有1个数据是32，平均数为26，方差为11.2;④丁地：5个数据的20百分位数为23，平均数为27．其中肯定进入夏季的地区个数为
.4
.3
C.2
.1
【答案】
【分析】根据数据的特点估计出甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可
【解析】
对于，甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，则甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，23，24，25，其连续5天的日平均温度不低于22℃;
对于，乙地：5个数据的中位数为26，平均数为25，众数为27，当5个数据为20，25，26，27，27时，其连续5天的日平均温度有低于22℃，故不确定；
对于，丙地：5个数据中有1个数据是32，平均数为26，方差为11.2，所以其余四天与26差值的平方和为，若有一天温度低于22度，因为平均值为26，则必有一天高于30度，所以有，故可知其连续5天的日平均温度均不低于22℃；
对于，丁地：符合条件，但未进入夏季
综上所述，肯定进入夏季的地区有甲、丙两地
故选：
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得4分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．
9．下列说法错误的是
.有三个公共点的两个平面重合
.垂直于同一直线的两平面平行
C.垂直于同一直线的两直线平行
.垂直于同一平面的两平面平行
【答案】
【分析】根据直线的位置关系和平面的位置关系判定定理判断即可
【解析】
有三个公共点的两个平面可能只有一条交线，但此时两个平面不重合；垂直于同一直线的两平面平行；垂直于同一直线的两直线可能是异面直线；垂直于同一平面的两平面可能相互垂直，所以A、C、D错误
故选：
10.为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是
.
.
.若复数满足，则
.若复数满足，则的最大值为1
【答案】
【分析】根据复数的四则运算和几何意义求解即可
【解析】
，选项A正确；
，选项B正确；
设，则，，所以或，时，，选项C错误；
复数时，则复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，故的最大值为2，选项D错误
故选：
11．下图是某校九年级720名学生的1分钟仰卧起坐的成绩（次数）频率分布直方图，根据统计图的数据，同一组中数据以组中值代表，下列结论正确的是
.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的极差为20
.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为
.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的平均数为26
.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为14
【答案】
【分析】根据频率分布直方图的性质进行计算即可
【解析】
1分钟仰卧起坐的次数的极差为，故A选项错误；
1分钟仰卧起坐的次数的众数就是频率最高的中间值为27.5，故B选项正确；
1分钟仰卧起坐的平均数，故C选项正确；
1分钟仰卧起坐的次数少于20次的频率为，所以1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有72人，故D选项错误
故选：
12．如图所示，正方体的棱长为2,分别为的中点，点是正方形内的动点，下列说法正确的是
.
.与平面所成角的正弦值为
.存在点使得⊥平面
.若平面，则点的轨迹长度为
【答案】
【分析】根据面面平行和线面垂直的性质判断求解即可
【解析】
连接，则，又，所以平面，所以，故A选项正确；
延长交于，易得在延长线上，，则，则，设到平面距离为d，则，则，则与平面所成角的正弦值为，故B选项正确；
若平面，则，则在平面内射影垂直于，在平面内时不可能成立，故C选项错误；
如图所示，取的中点,的中点，连接，可得四边形是平行四边形，所以，同理可得，因为，所以平面平面，因为点是正方形内的动点，若平面，则点在线段上,所以点的轨迹长度，故D选项正确
故选：
三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13．已知向量满足,且则 .
【答案】0
【分析】向量垂直和平行时将向量的坐标进行简单计算即可
【解析】
因为，所以，因为，所以，故
故答案为：0
14．假设从高一（1）班60名同学中随机抽出30人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时，先将60名同学按01,02,03,…,59,60进行编号，如果从随机数表第7行第3列的数开始，按两位数连续向右读取，抽出的第5名同学的号码是（下面摘取了此随机数表第7行和第8行） .
630163 785916 595567 199810 507175 128673 580744 395238
844217 533157 245506 887704 744767 217633 502583 921206
【答案】19
【分析】由题目给出的随机数表，按照题目中给出的读取数表的方法计算即可
【解析】
从随机数表第7行第3列的数开始，按两位数连续向右读取，抽出的前5名同学的号码是，所以第5名同学的号码是19
故答案为：19
15，将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为 .
【答案】
【分析】设圆锥的底面半径，由圆锥的底面周长等于扇形的弧长可求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求解即可
【解析】
设圆锥的底面半径为r，则，所以r =1,设圆锥的高为h，则，所以该圆锥的体积为
故答案为：
16．在中,,是边上的一点，，若为锐角，
的面积为4，则___, .
【答案】 4
【分析】利用正弦定理和余弦定理求解即可
【解析】
由题意得，解得，又是锐角，所以
在中，.由正弦定理得，即.在中，，即
故答案为： 4
四、解答题：本大题共5小题，共48分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17．某市为了解人们对冬奥会的认知程度，举办了一次冬奥会知识竞赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高）．现从参赛者中抽取了人，按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．
(1)求；
(2)求抽取的人的年龄的中位数（结果四舍五入保留整数）:
(3)从年龄在和的参赛者中各选取5名参加知识竞赛，分别代表相应年龄组的成绩，年龄组的成绩为93,96,97,94,90，年龄组的成绩为93,98,94,95,90.
①分别求两组成绩的平均数和方差；
②以上述数据为依据，评价两个年龄组对冬奥会的认知程度，并谈谈你的感想．
【答案】见解析
【分析】利用频率分布直方图的平均值、方差、中位数求解方法计算即可
【解析】
（1）根据频率分布直方图得第1组的频率为,所以
（2）设中位数为a,则，所以，则中位数为32
（3）年龄在组的成绩的平均数为，方差
年龄在组的成绩的平均数为，方差
从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组内差异较大，故年龄在组的认知程度更好
18．已知函数.
(1）若是三角形中一内角且，求的值；
(2）若是锐角三角形中一内角且，求的值．
【答案】见解析
【分析】利用二倍角公式和和差公式化简，然后判断A的范围，用三角函数求解即可
【解析】
（1）由题可得，因为，所以，因为，所以，所以，则
（2）由题可得，因为，所以，所以，即
19．如图，在四棱锥中,,为棱上的中点．
(1）求证：平面;
(2）若平面, ，求证：平面平面.
【答案】见解析
【分析】
（1）取的中点，连接.由已知条件推导出四边形是平行四边形，由此能证明平面 PAD.
（2）由线面垂直得，.再由，得平面，进而得到，平面，由此可证明平面平面
【解析】
（1）取的中点，连接.因为为的中点，所以且.又，所以，所以四边形为平行四边形，所以.因为平面,平面，所以平面 PAD
（2）因为平面, 所以，.又，，所以平面，所以.因为平面，所以.因为，所以平面.因为平面，所以平面平面
20．在中，为的对边，
(1）求的值；
(2）求的值．
【答案】见解析
【分析】根据正弦定理和余弦定理计算即可
【解析】
（1）由题意可得，所以，所以，所以
（2），因为，所以，所以
21．在直角三角形中，,是的中点，如图所示，沿将翻折至的位置，使得平面平面.
(1）求三棱锥的体积；
(2)是线段上一个动点，且.
①当时，求二面角的余弦值：
②当与平面所成角的正弦值为时，则的值为 .
【答案】见解析
【分析】根据线面关系和线线关系求解即可
【解析】
（1）由题可得，取中点，所以，又平面平面，所以平面，所以
（2）三角形中，，则，可得，由，则，则，则，又因为平面平面,平面，平面平面,可得平面，又平面，可得平面平面,则二面角为直二面角，其余弦值为0
，连接，三角形中，，，，则，则，又，则，设到平面的距离为，则，则，与平面所成角的正弦为，则，则，三角形中，，则，三角形中，，则，则，解得或3，由可得2021-2022学年第二学期南京外国语高一期末考试数学试卷
高一数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡相应位置上.
中小学教育资源及组卷应用平台
1．设，则在复平面内对应的点位于21世纪教育网(www.21cnjy.com)
．第一象限
．第二象限
．第三象限
．第四象限
2．已知中，, , ，则的解的个数为
.0
.1
.2
．无法确定
3.1，8，9，4，5，5，8，2，3，10这组数据的下四分位数（25百分位数）为
.
.3
C.
.8
4．已知 ，则
.
.
C.
.
5．如图，在四面体中，若 , ,是的中点，则下列结论错误的是
．平面⊥平面
.
C.为二面角的平面角
．平面⊥平面
6．已知平面向量满足, ，则的值为
.
.
C.
.
7．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为3的等边三角形，为球的直径，且 ，则到面的距离为
.4
.2
C.3
.
8．气象意义上从春季进入夏季的标志为"连续5天的日平均温度全都不低于22℃".现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位：℃):①甲地：5个数据的中位数为23，众数为22:②乙地：5个数据的中位数为26，平均数为25，众数为27;③丙地：5个数据中有1个数据是32，平均数为26，方差为11.2;④丁地：5个数据的20百分位数为23，平均数为27．其中肯定进入夏季的地区个数为
.4
.3
C.2
.1
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得4分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．
9．下列说法错误的是
.有三个公共点的两个平面重合
.垂直于同一直线的两平面平行
C.垂直于同一直线的两直线平行
.垂直于同一平面的两平面平行
10.为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是
.
.
.若复数满足，则
.若复数满足，则的最大值为1
11．下图是某校九年级720名学生的1分钟仰卧起坐的成绩（次数）频率分布直方图，根据统计图的数据，同一组中数据以组中值代表，下列结论正确的是
.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的极差为20
.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为
.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的平均数为26
.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为14
12．如图所示，正方体的棱长为2,分别为的中点，点是正方形内的动点，下列说法正确的是
.
.与平面所成角的正弦值为
.存在点使得⊥平面
.若平面，则点的轨迹长度为
三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13．已知向量满足,且则 .
14．假设从高一（1）班60名同学中随机抽出30人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时，先将60名同学按01,02,03,…,59,60进行编号，如果从随机数表第7行第3列的数开始，按两位数连续向右读取，抽出的第5名同学的号码是（下面摘取了此随机数表第7行和第8行） .
630163 785916 595567 199810 507175 128673 580744 395238
844217 533157 245506 887704 744767 217633 502583 921206
15，将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为 .
16．在中,,是边上的一点，，若为锐角，
的面积为4，则___, .
四、解答题：本大题共5小题，共48分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17．某市为了解人们对冬奥会的认知程度，举办了一次冬奥会知识竞赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高）．现从参赛者中抽取了人，按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．
(1）求；
(2）求抽取的人的年龄的中位数（结果四舍五入保留整数）:
(3）从年龄在和的参赛者中各选取5名参加知识竞赛，分别代表相应年龄组的成绩，年龄组的成绩为93,96,97,94,90，年龄组的成绩为93,98,94,95,90.
①分别求两组成绩的平均数和方差；
②以上述数据为依据，评价两个年龄组对冬奥会的认知程度，并谈谈你的感想．
18．已知函数.
(1）若是三角形中一内角且，求的值；
(2）若是锐角三角形中一内角且，求的值．
19．如图，在四棱锥中,, DC =2AB,为棱上的中点．
(1）求证：平面;
(2）若平面, ，求证：平面平面.
20．在中，为的对边，
(1）求的值；
(2）求的值．
21．在直角三角形中，,是的中点，如图所示，沿将翻折至的位置，使得平面平面.
(1）求三棱锥的体积；
(2)是线段上一个动点，且.
①当时，求二面角的余弦值：
②当与平面所成角的正弦值为时，则的值为 .
