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第7课时 一元二次方程根与系数的关系
提优目标：1.能运用一元二次方程的系数表示方程的两根的和与两根的积.
2.能运用一元二次方程的根与系数的关系解决有关的数学问题.
基础巩固
1．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C． D．x1x2＝7
【思路点拔】直接利用一元二次方程根与系数的关系解题即可．
解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握若x1，x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则．
2．若x＝﹣1是方程x2﹣2x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
【思路点拔】设另一根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
解：∵x＝﹣1是方程x2﹣2x+m＝0的一个根，设另一根为x1，
∴﹣1+x1＝2，
解得：x1＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
3．若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【思路点拔】首先根据根与系数的关系得出x1+x2＝8，再根据x1＝3x2，求得x1，x2，进一步得出x1x2＝m求得答案即可．
解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝8，
∵x1＝3x2，
解得x1＝6，x2＝2，
∴m＝x1x2＝6×2＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 2 ．
【思路点拔】直接利用根与系数的关系x1+x23，x1x21，再代入计算即可求解．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，
∴x1+x23，x1x21，
∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，熟记根与系数的关系时解题关键．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
5．关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且x12+x22，则m＝ ．
【思路点拔】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1x2，再由x12+x22变形得到（x1+x2）2﹣2x1x2，即可得到4m2﹣m，然后解此方程即可．
解：根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2，
∵x12+x22，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2，
∴4m2﹣m，
∴m1，m2，
∵Δ＝16m2﹣8m＞0，
∴m或m＜0，
∴m不合题意，
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
6．关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．
【思路点拔】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出b2﹣4ac＞0，把字母和数代入求出k的取值范围；
（2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出k的值．
解：（1）b2﹣4ac＝22﹣4×1×（3﹣k）＝﹣8+4k，
∵有两个不相等的实数，
∴﹣8+4k＞0，
解得：k＞2；
（2）∵方程的两个根为α，β，
∴αβ3﹣k，
∴k2＝3﹣k+3k，
解得：k1＝3，k2＝﹣1（舍去）．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和根的判别式，关键运用代入法来求值．
思维拓展
7．若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长．
解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，
∵菱形的面积＝两条对角线积的一半，
∴ab＝11即ab＝22．
∴由题意，得．
∴菱形的边长
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键．
8．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（ ）
A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【思路点拔】先把已知条件变形得到a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，则可把a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab＝mn﹣2，从而得到ab﹣mn的值．
解：∵（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，
∴a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，
而a、b、m、n为互不相等的实数，
∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，
∴ab＝mn﹣2，
∴ab﹣mn＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
9．α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k的值为 ﹣4 ．
【思路点拔】α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝4，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．
解：∵α、β是方程x2﹣x+k﹣1＝0的根，
∴α2﹣α+k﹣1＝0，α+β＝1，
∴α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝﹣k+1﹣1＝﹣k＝4，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．
10．若实数a、b分别满足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，且a≠b，则 ．
【思路点拔】先根据题意可以把a、b看作是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b＝3，ab＝2，再根据进行求解即可．
解：∵a、b分别满足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，
∴可以a、b看作是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根，
∴a+b＝3，ab＝2，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且，求m的值．
【思路点拔】（1）由判别式Δ＝（4m﹣1）2≥0，可得答案；
（2）根据根与系数的关系知x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，由进行变形直接代入得到5m2﹣7m+2＝0，求解可得．
（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）
＝4m2﹣4m+1+12m2﹣4m
＝16m2﹣8m+1
＝（4m﹣1）2≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：由题意知，x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，
∵，
∴，整理得5m2﹣7m+2＝0，
解得m＝1或m．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式．
12．已知关于x的方程kx2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得x12﹣x22＝0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2，x12﹣x22＝0，得出（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，即可得出x1+x2＝0，从而得到0，解得k值即可判断．
解：（1）∵关于x的方程kx2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
∴Δ＝（2k﹣3）2﹣4×k×（k+1）＝﹣16k+9＞0，且k≠0，
解得：k且k≠0．
（2）不存在，理由如下：
∵方程kx2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
∴x1+x2．
∵x12﹣x22＝0，即（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，
∴x1+x2＝0，
∴0，
解得：k，
∵，
∴不存在实数k，使得x12﹣x22＝0．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x12﹣x22＝0，找出关于k的方程．
延伸探究
13．阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为 x1，x2，x3，x4 ；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m，n满足：7，n2﹣n＝7且n＞0，求n2的值．
【思路点拔】（1）利用换元法降次解决问题；
（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣0，再模仿例题解决问题．
解：（1）令y＝x2，则有y2﹣5y+6＝0，
∴（y﹣2）（y﹣3）＝0，
∴y1＝2，y2＝3，
∴x2＝2或3，
∴x1，x2，x3，x4；
故答案为：x1，x2，x3，x4；
（2）∵a2≠b2，
令a2＝m，b2＝n．
∴m≠n，则2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0，
∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根，
∴，
此时a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn．
（3）令a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0，
∵n＞0，
∴n，即a≠b，
∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根，
∴，
故n2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝15．
【点评】本题考查根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
14．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2，x1x2．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
则 m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0 且s≠t，求的值．
【思路点拔】（1）利用根与系数的关系，即可得出x1+x2及x1x2的值；
（2）利用根与系数的关系，可得出m+n，mn，将其代入m2+n2＝（m+n）2﹣2mn中，即可求出结论；
（3）由实数s、t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，可得出s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出s+t，st，结合（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st，可求出s﹣t的值，再将其代入中，即可求出结论．
解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2，x1x2；
故答案为：，；
（2）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根分别为m，n，
∴m+n，mn，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn1；
（3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t，st，
∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（）2﹣4×（），
∴t﹣s＝±，
∴±．
【点评】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第7课时 一元二次方程根与系数的关系
提优目标：1.能运用一元二次方程的系数表示方程的两根的和与两根的积.
2.能运用一元二次方程的根与系数的关系解决有关的数学问题.
基础巩固
1．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C． D．x1x2＝7
2．若x＝﹣1是方程x2﹣2x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
3．若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 ．
5．关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且x12+x22，则m＝．
6．关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．
思维拓展
7．若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
8．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（ ）
A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1
9．α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k的值为 ．
10．若实数a、b分别满足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，且a≠b，则 ．
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且，求m的值．
12．已知关于x的方程kx2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得x12﹣x22＝0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
延伸探究
13．阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为 ；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m，n满足：7，n2﹣n＝7且n＞0，求n2的值．
14．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2，x1x2．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
则 m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0 且s≠t，求的值．
