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与一元二次方程根有关的问题 题型专练
题型1 与根的定义结合
1．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
2．若m是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，求3﹣2m2+2m的值．
3．已知x＝1是一元二次方程ax2+bx﹣20＝0的一个解，且a≠b，求的值．
题型2 与根的判别式结合
4．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0有两个负实数根；
③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2﹣bx+a＝0（c≠0）的实数根为和；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则．
其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．若关于x的方程x2+bx﹣c＝0（c≠0）有两个相等的实数根，则代数式的值是 ﹣2 ．
6．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于﹣3，求k的取值范围．
7．已知一元二次方程x2+px+q+1＝0的一个根为2
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：方程x2+px+q＝0有两个不等的实数根；
（3）若方程x2+px+q+1＝0有两个相等的实数根，求方程x2+px+q＝0两根．
题型3 与根与系数的关系结合
8．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）：
①若方程的两个根为﹣3和1，则2b+3c＝0；
②若a+2c＝0，则方程必有两个不相等的实数根；
③无论b＝2a+c或b＝a+2c，方程都有两个不相等的实数根；
④若x＝2m是方程的一个根，则式子b2+2abm﹣ac＝（2am+b）2一定成立．
以上说法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0的两根是一个矩形的两邻边的长．
（1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根；
（2）当矩形的对角线长为5时，求m的值；
（3）当m为何值时，矩形为正方形？
11．若α为一元二次方程x2﹣x+t＝0的根；
（1）则方程的另外一个根β＝，t＝ ；
（2）求α6+8β的值．
（3）求作一个关于y的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为α2，β2．中小学教育资源及组卷应用平台
与一元二次方程根有关的问题 题型专练
题型1 与根的定义结合
1．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【思路点拔】先将方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2，整理得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0，然后设x﹣2＝m，则am2+bm+2＝0，再根据题意可得x﹣2＝2024，从而进行计算即可解答．
解：a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2，
整理得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0，
设x﹣2＝m，
∴am2+bm+2＝0，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，
∴am2+bm+2＝0有一个根为m＝2024，
∴x﹣2＝2024，
解得：x＝2026，
∴一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为2026，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行是进行计算是解题的关键．
2．若m是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，求3﹣2m2+2m的值．
【思路点拔】把m代入方程得到m2﹣m的值，变形代数式后整体代入得结果．
解：∵m是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，
∴m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣m＝1．
∴3﹣2m2+2m
＝3﹣2（m2﹣m）
＝3﹣2×1
＝3﹣2
＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．掌握整体代入的思想方法是解决本题的关键．
3．已知x＝1是一元二次方程ax2+bx﹣20＝0的一个解，且a≠b，求的值．
【思路点拔】把x＝1代入方程，得到a+b＝20；然后将其代入所求的代数式求值即可．
解：把x＝1代入方程，得：a+b＝20，又a≠b
所以，10．
【点评】此题主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
题型2 与根的判别式结合
4．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0有两个负实数根；
③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2﹣bx+a＝0（c≠0）的实数根为和；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则．
其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路点拔】根据一元二次方程根的判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除．
解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，故①正确；
②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4ac＞0，
∴﹣4 a c＞0
∴a c＜0，即a和c异号，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，
∴
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根异号，故②错误；
③∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
令，，
∴方程cx2+bx+a＝0（c≠0）有两个实数根，令两根分别为x′1，x′2
∴，
，
∴方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，，故③错误；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：，
∴，
∴，故④正确．
故正确的有①④．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，等式的性质，根的判别式，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．
5．若关于x的方程x2+bx﹣c＝0（c≠0）有两个相等的实数根，则代数式的值是 ﹣2 ．
【思路点拔】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝0，即可得出b2＝﹣4c，将其代入中，即可求出结论．
解：∵关于x的方程x2+bx﹣c＝0（c≠0）有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4×1×（﹣c）＝0，
∴b2＝﹣4c，
又∵c≠0，
∴2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
6．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于﹣3，求k的取值范围．
【思路点拔】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ＝（k﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝2、x2＝k+1，根据方程有一根小于﹣3，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，
Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝0，
∴（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，
∴x1＝2，x2＝k+1．
∵方程有一根小于﹣3，
∴k+1＜﹣3，解得：k＜﹣4，
∴k的取值范围为k＜﹣4．
【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于﹣3，找出关于k的一元一次不等式．
7．已知一元二次方程x2+px+q+1＝0的一个根为2
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：方程x2+px+q＝0有两个不等的实数根；
（3）若方程x2+px+q+1＝0有两个相等的实数根，求方程x2+px+q＝0两根．
【思路点拔】（1）根据方程的解满足方程，把x＝2代入已知方程，可得q关于p的关系式；
（2）根据方程有两个不等实数根，可得判别式大于零，根据解不等式，可得答案；
（3）根据方程有两个相等的实数根，可得判别式等于零，根据解方程组，可得p、q的值，根据因式分解法，可得方程的解．
解：（1）∵一元二次方程x2+px+q+1＝0的一根为2，
∴4+2p+q+1＝0，
∴q＝﹣2p﹣5；
（2）∵x2+px+q＝0，
∴Δ＝p2﹣4q＝p2﹣4（﹣2p﹣5）＝（p+4）2+4＞0，
∴方程x2+px+q＝0有两个不等的实数根；
（3）x2+px+q+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝p2﹣4（q+1）＝0，
由（1）可知q＝﹣2p﹣5，
联立得方程组，解得，
把代入x2+px+q＝0，得
x2﹣4x+3＝0，
因式分解，得
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得x1＝1，x2＝3．
【点评】本题考查了根的判别式，（1）方程的解满足方程，（2）利用了根的判别式，（3）解方程组，因式分解解方程．
题型3 与根与系数的关系结合
8．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）：
①若方程的两个根为﹣3和1，则2b+3c＝0；
②若a+2c＝0，则方程必有两个不相等的实数根；
③无论b＝2a+c或b＝a+2c，方程都有两个不相等的实数根；
④若x＝2m是方程的一个根，则式子b2+2abm﹣ac＝（2am+b）2一定成立．
以上说法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】①由韦达定理求出b＝2a，c＝﹣3a，再对所求式子进行判断即可；
②利用判别式对方程的根情况进行判断即可；
③根据所给式子，利用判别式分别对方程的根的情况进行判断即可；
④将所求式子作差，判断差的符号即可．
解：①∵方程两根为﹣3和1，
∴﹣3+1，（﹣3）×1，
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∴2b+3c＝4a﹣9a＝﹣5a≠0，
故①不正确；
②∵a+2c＝0，
∴ca，
∵方程ax2+bx+c＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2+2a2＞0，故方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根，故②正确；
③∵b＝2a+c或b＝a+2c，
当b＝2a+c时，Δ＝b2﹣4ac＝（2a+c）2﹣4ac＝4a2+c2＞0，故方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根，
当b＝a+2c时，Δ＝b2﹣4ac＝（a+2c）2﹣4ac＝a2+4c2＞0，故方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根，
故③正确；
④∵x＝2m是方程的一个根，
∴4am2+2bm+c＝0，
∵（2am+b）2﹣（b2+2abm﹣ac）＝a（4am2+2bm+c）＝0，
∴b2+2abm﹣ac＝（2am+b）2，
故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，灵活应用方程根与等式的变形是解题的关键．
9．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
【思路点拔】（1）根据一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，可知Δ≥0，即可求得k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系和（x1+1）（x2+1）＝﹣1，可以求得k的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，
∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0，
解得k，
即k的取值范围是k；
（2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝k﹣2，
∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，
∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，
解得k＝3，
即k的值是3．
【点评】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有根时Δ≥0，以及根与系数的关系．
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0的两根是一个矩形的两邻边的长．
（1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根；
（2）当矩形的对角线长为5时，求m的值；
（3）当m为何值时，矩形为正方形？
【思路点拔】（1）先求出判别式Δ的值，再根据“Δ”的意义证明即可；
（2）设矩形的两边长分别为a，b，根据根与系数的关系a+b＝m+5，ab＝3m+6，再根据勾股定理建立方程就可以求出结论；
（3）当Δ＝0时，由根的判别式就可以求出结论．
（1）证明：Δ＝[﹣（m+5）]2﹣4×1×（3m+6）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，
因为不论m为何值，（m﹣1）2≥0，
所以△≥0，
所以无论m取什么实数值，该方程总有实数根；
（2）解：设矩形的两边长分别为a，b，
∴a、b是关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0的两根，
∴a+b＝m+5，ab＝3m+6，
∴（a+b）2＝（m+5）2，
∴a2+b2+2ab＝m2+10m+25，
∴a2+b2＝m2+10m+25﹣2（3m+6）＝m2+4m+13．
∵a2+b2＝52，
∴m2+4m+13＝25，
解得：m1＝﹣6，m2＝2，
∵a+b＝m+5＞0，
∴m的值为2．
（3）解：由题意，得
Δ＝[﹣（m+5）]2﹣4×1×（3m+6）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2＝0，
解得：m＝1．
【点评】本题是一道一元二次方程的综合试题，考查了根的判别式的运用，根与系数的关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时灵活运用根的判别式是解答本题的关键．
11．若α为一元二次方程x2﹣x+t＝0的根；
（1）则方程的另外一个根β＝ ，t＝ ﹣1 ；
（2）求α6+8β的值．
（3）求作一个关于y的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为α2，β2．
【思路点拔】（1）利用一元二次方程根与系数的关系列出等式即可求解；
（2）利用一元二次方程根的意义将α6适当变形后，再利用根与系数的关系解答即可求得结论；
（3）分别计算α2+β2与α2 β2的值，再依据求作一个一元二次方程的公式解得即可．
解：（1）由根与系数的关系，α+β＝1，αβ＝t，
∴β＝1﹣α＝1，
∴t＝αβ1，
故答案为：，﹣1；
（2）∵α为一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，
∴α2﹣α﹣1＝0．
∴α2＝1+α．
∴α6＝（α2）3
＝（1+α）3
＝1+3α+3α2+α3
＝1+3α+3（1+α）+α（1+α）
＝1+3α+3+3α+α+α2
＝1+3α+3+3α+α+1+α
＝8α+5．
∴α6+8β＝8α+5+8β＝8（α+β）+5＝8×1+5＝13．
（3）∵α+β＝1，αβ＝﹣1，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝1+2＝3，
α2 β2＝（αβ）2＝1，
∴两根分别为α2，β2，关于y的一元二次方程，二次项系数为1的方程是：y2﹣3y+1＝0．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，将α6适当变形后，再利用根与系数的关系解答是解题的关键．
