八年级数学上册试题 第2章 轴对称图形综合测试卷 --苏科版（含详解）

第2章《轴对称图形》综合测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是2×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．则在网格中，能画出且与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的边，则这个三角形是（ ）．
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．不能确定
4．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，下列判断错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，平分交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则的周长为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．在中，斜边上的中线的长为，则斜边的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）．
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
8．如图，中，，，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：①BD平分；②；③的周长等于；④D是AC中点．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
9．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面四个说法中，其中正确的是（ ）
①的面积等于的面积；
②；
③；
④
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
10．如图，点在一条直线上，分别以，为边作等边三角形、，连接、，分别交、于点，相交于点．则下列说法：①；；③；④；⑤连接，则平分．其中正确的说法个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
11．如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数是______．
12．如图是用平行四边形纸条沿对边AB，CD上的点E，F所在的直线折成的V字形图案，已知∠2＝60°，则∠1的度数是______．
13．如图，ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠A＝30°，若BD＝2，则AD＝____．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，已知△BCE的周长为15cm，BC=7cm，则AC=______cm．
15．如图，等腰直角△ABC中，D为斜边AB的中点，E，F分别为腰AC，BC上（异于端点）的点，DE⊥DF，AB=10，设x=DE+DF，则x的取值范围是__________．
16．如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，BC＝5AD＝5，∠B＝45°，等腰直角三角形EMN中，含45°角的顶点E放在BC边上移动，直角边EM始终经过点A，斜边EN与CD交于点F，若△ABE为等腰三角形，则CF的长为 _____．
三、解答题（本大题共10题，共68分）
17．（6分）已知：如图，，交于点，，，，垂足分别为，．求证：是等腰三角形．
18．（6分）已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE＝4cm，D为AB中点，DE⊥AC于E，∠A＝30°，求AB和CD的长.
19．（6分）如图，公路OA与OB相交于点O，在两条公路相交内部有两个村庄E，F，现要修建一个电站，使得该电站到两条公路OA和OB的距离相等，且到两个村庄的距离相等．请你用尺规作出该电站的位置．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
20．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．求证：
(1)CF＝EB；
(2)AF+EB＝AE．
21．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，BD＝CD．
(1)求证：DE＝DF；
(2)判断△ABC的形状并证明．
22．（6分）如图，在中，，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，点F在AC上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求BE的长．
23．（6分）已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．
(1)如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD；
(2)如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC．
24．（6分）在△ABC中，AB=AC，在△ABC的外部作等边△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F.
(1)如图1，连接BD，若∠BAC=100°，求∠BDF的度数；
(2)如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN.若BN=DN，求证：MB=MN.
25．（10分）数学课上，老师出示了如下框中的题目：
在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且， 如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：________（填“＞”，“＜”或“=”）．
(2)特例启发，解答题目
解：题目中，与的大小关系是：________（填“＞”，“＜”或“=”）理由如下：
如图2，过点作，交于点，（请你继续完成解答过程）(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形中，点在直线上上，点在直线上，且．若的边长为3，，求的长（请你直接写出结果）．
26．（10分）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是直线BC、AC上的点．
(1)如图①，当点D、E分别在线段BC、AC上时，BE与AD相交于点F，且∠AFE＝60°，求证：AD＝BE；
(2)如图②，当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上时，CF为△ABC的高线，且BD＝CE，求证：CD＝2AF＋CE；
(3)如图③，当点D、E分别在线段BC、AC上时，BE与AD相交于点F，且∠AFE＝60°，恰好CF为△ADC的高线，BF＝35，DF＝5．求EF的长．
答案
一、选择题
1．C
【解析】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．D
【解析】解：如图所示：与△ABC成轴对称的格点三角形一共4个，
故选D．
3．B
【解析】解：如图，
CD平分∠ACE，且，
∴∠ACD＝∠DCE，∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE，
∴∠B＝∠A，
∴△ABC为等腰三角形，
故选B．
4．A
【解析】解：由作图知，直线是线段的垂直平分线，
所以、、，故C、D正确，不符合题意，
∵，
，故B正确，不符合题意，
故选：．
5．D
【解析】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=4，
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=2，
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE=AC=2.5，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=2+2.5+2.5=7．
故选：D．
6．C
【解析】解：∵在中，斜边上的中线的长为，
∴cm．
故选：C.
7．C
【解析】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为点，
由角平分线的性质定理得：，
的三边长分别是20，30，40，
，
故选：C．
8．B
【解析】解：∵AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠CBD=∠ABD=36°，
即BD平分∠ABC；故①正确；
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°
∴∠BDC=∠C=72°，
∴BC=BD，
∴BC=BD=AD，故②正确；
∴△BDC的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=AC+BC=AB+BC；故③正确；
∵CD＜BD，
∴CD＜AD，
∴D不是AC中点．故④错误．
故选：A．
9．B
【解析】解：是的AC边上的中线，
，
与等底同高，
，则说法①正确；
CF是的角平分线，
，
，是高，
，
，
由对顶角相等得：，
，则说法②正确；
，是高，
，
，
又，即，
，则结论③正确；
根据已知条件不能推出，
不能推出，则说法④错误；
综上，说法正确的是①②③，
故选：B．
10．D
【解析】解：∵△ABC与△DCE是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=∠DCE=60°，DC=EC，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
∴(SAS)
∴AD=BE，
故①正确；
∵，
∴∠DAC=∠EBC，
又∵∠ACB=∠BCD=60°，AC=BC，
∴，
故②正确；
∵，
∴AM=BN，
∴AD-AM=BE-BN
即DM=EN
故③正确；
∵∠DAC=∠EBC，∠AMC=∠BMD
∴∠BOM=∠ACB=60°
∴∠AOE=120°
故④正确；
如图，连接OC，过点C作CH⊥AB于点H，作CF⊥BE于点F，
∵，
∴CH=CF，
∴平分，
故⑤正确；
故选：D．
二、填空题
11．35°
【解析】解：，是的中线，
，，
∴∠BAC=40°，
，
是的角平分线，
，
故答案为：．
12．60°
【解析】解：如图，由折叠知，∠1=∠3，
∵∠2=60°，
∴∠1=∠3=（180°-60°）÷2=60°，
故答案为：60°．
13．6
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，AB=2BC，
∵CD⊥AB， ∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°-60°=30°，
∴BC=2BD，
∴AB=4BD，
∵BD=2，
∴AB=2×4=8，
∴AD=AB-BD=8-2=6，
故答案为6．
14．8
【解析】解：∵AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，
∴AE=CE，
∴AB=AE+BE=CE+BE，
∵△BCE的周长=BC+BE+CE=AB+BC=15cm，BC=7cm，
∴AB=8cm，
∴AC=AB=8cm，
故答案为：8．
15．
【解析】如图所示，
过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，分别交AC、BC于M、N，
∵△ABC是等腰三角形，点D是AB的中点，
∴DM= DN，又DE⊥DF，
∴∠EDM=∠FDN，
在△EDM和△FDN中
∴≌(ASA),
∴DE=DF，
在中， ∵AB=10，
∴AC=BC=，
当DE、DF与边垂直时和最小，即
,
当E或F有一个与C重合时，其和最大，即
,
∴．
故答案为：．
16．3或2或
【解析】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，
∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝5AD＝5，
∴BM＝（BC﹣AD）＝，∠C＝∠B＝45°，
∵∠B＝45°，
∴AB＝BM×＝4，
①如图1，AE＝BE时，
∵∠B＝45°，
∴∠BAE＝∠B＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝2，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣2＝3，
又∵∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CF＝CE＝3；
②如图2，AB＝BE时，
∵∠B＝45°，
∴∠AEB＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠CFE＝180°﹣∠C﹣∠CEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CF＝CE，
∵BC＝5，AB＝4，
∴CF＝CE＝BC﹣BE＝5﹣4；
③如图3，AB＝AE时，∠AEB＝∠B＝45°，
∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△ABE、△CEF都是等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣4＝，
∴CF＝CE＝×＝2；
综上所述，CF的长为3或5﹣4或2．
故答案为：3或5﹣4或2．
三、解答题
17．证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，
是等腰三角形．
18．解：∵DE⊥AC，∠A=30°，DE=4cm，
∴AD=2DE=8cm；
∵D为AB中点，
∴AB=2AD=16cm，
∵∠ACB=90°，
∴CD=AB=8cm．
∴AB和CD的长分别为：16cm，8cm．
19．解：电站应修建在∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线的交点P处，如图所示：点P即为所求．
20．（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF=EB；
（2）∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴DC=DE，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），
∴AC=AE，
∴AF+FC=AE，
即AF+BE=AE．
21．（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF；
（2）解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∴，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
22．（1）证明：∵AD平分∠BAC，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，
∴DC＝DE，又DF＝BD，
∴（HL），∴BE＝CF．
（2）在和中，
∵DE＝DF，AD＝AD，∴，
∴AC＝AE，AB＝AE＋BE＝AC＋BE，AC＝AF＋CF，
由（1）知CF＝BE，∴AB＝AF＋BE＋BE
即，∴．
23．（1）∵∠BAC＝∠EDF＝60°，
∴△ABC、△DEF为等边三角形，
∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，AB=AF
∴
∵BC=AC、CE=CD
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE，
∵AB＝AE+BE
∴AF＝AE+AD；
（2）在FA上截取FM＝AE，连接DM；AF，DE相交于点G
∵∠BAC＝∠EDF，
∴∠AED＝∠MFD，
∵AE=MF，ED=DF
∴△AED≌△MFD（SAS），
∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，
∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，
即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，
∵AC=DM
∴△ABC≌△DAM（SAS），
∴AM＝BC，
∴AE+BC＝FM+AM＝AF．
即AF＝AE+BC．
24.（1）解：∵△ACD是等边三角形，点E为AC的中点，
∴∠ADE=∠ADC=30°，AD=AC，
∵AB=AC，
∴AB=AD，∠BAD=∠BAC+∠CAD=160°，
∴∠ADB=10°，
∴∠BDF=∠ADE-∠ADB=30°-10°=20°；
（2）证明：连接AN，
∵CM平分∠ACB，
∴∠ACM=∠BCM=a，
∴∠ABC=∠ACB=2a，
∵DN是AC的垂直平分线，∴AN=CN，
∴∠NAC=∠NCA=a，
∴∠DAN=60°+a，
∵AB=AD，AN=AN，BN=DN，
∴△ABN≌△ADN（SSS），
∴∠ABN=∠ADN=30°，∠BAN=∠DAN=60°+a，
∴∠BAC=60°+2a，∴60°+2a+2a+2a=180°，
∴a=20°，∴∠NBC=∠ABC-∠ABN=40°-30°=10°，
∴∠MNB=∠MCB+∠NBC=30°，∴∠MNB=∠BMN，∴BM=MN．
25.（1）∵△ABC为等边三角形，点为的中点，
∴∠ABC=∠ACB=60°，CE平分∠ACB，
∴∠ECB=30°，
∵
∴∠D=∠ECB=30°，
∴∠DEB=60°-30°=30°，
∴DB=BE，
∵AE=BE，
∴AE=DB；故答案为：=
（2）理由如下：如图2，过作交于，∵是等边三角形，，，
，，即，
是等边三角形，，∴AB-AE=AC-AF，即BE=CF
，
，，
，
，，
在和中，，，BE=CF
，
，即，
（3）①如图：
当点E在直线BC下方时，以点E为圆心，EC长为半径画弧，交直线BC于点D，
过点E，作，延长AC于EF交于点F，∵，
∴∠AFE=∠ACB=60°，∠BCE=∠CEF，
∵∠A=60°，∠∠AFE=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∵DE=CE∴∠BDE=∠BCE
∴∠BDE=∠CEF∵∠ABC=60°，∴∠DBE=60°，
在△BDE和△EFC中
∠BDE=∠CEF， ∠DBE=∠AFE，DE=CE
∴△BDE≌△EFC，∴BD=EF，
∵EF=AE=5，∴BD=5，
∴CD=5+3=8；②如图：
当点E在直线BC上方时，以点E为圆心，EC长为半径画弧，交直线BC于点D，
过点E作，延长CA，交EF于点F，∵，
∴∠EFC=∠ACB，∠FEC=∠ECD
∵∠ACB=∠B，
∴∠EFC=∠B=60°，
∵∠FAE=∠BAC=60°，
∴△AEF为等边三角形，∴EF=AE=5，
∵DE=CE，∴∠ECD=∠EDC，∴∠FEC=∠EDC，
在△BDE和△EFC中
∠BDE=∠CEF， ∠DBE=∠AFE，DE=CE
∴△BDE≌△EFC，∴BD=EF=5，
∴CD=BD-BC=5-3=2，综上：CD=8或2．
26.（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴AB＝BC∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝∠AFE＝60°
∵∠AFE＝∠BAF＋∠ABF∠ABC＝∠CBE＋∠ABF
∴∠BAF＋∠ABF＝∠CBE＋∠ABF
∵∠ABF是公共角
∴∠BAD＝∠CBE在△ABD和△BCE中
∵∠BAD＝∠CBE，AB＝BC，∠ABD＝∠BCE
∴△ABD≌BCE（ASA）∴AD＝BE．
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠BAC＝60°
∵CF为△ABC的高线
∴CF⊥AB
∴∠AFC＝90°
∴∠ACF＝90°－∠BAC＝30°
∴AC＝BC＝2AF
∵BD＝CE
∴CD＝BC＋BD＝2AF＋CE．
（3）解：如图，延长BE至H，使AF＝FH，连接AH和CH．
∵∠AFE＝60°
∴△AFH是等边三角形
∴AF＝AH，∠BAC＝∠FAH＝60°
∴∠BAC－∠CAD＝∠FAH－∠CAD
又∵∠CAD为公共边
∴∠BAF＝∠CAH
在△BAF和△CAH中
∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAH，AF＝AH
∴△BAF≌△CAH（SAS）
∴∠ABF＝∠ACH，BF＝CH．
由（1）知∠ABC＝∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CBE
∴∠BAC－∠BAF＝∠ABC－∠CBE，即∠ABF＝∠CAD＝∠ACH
∴AF∥CH．∠AFC＋∠FCH＝180°
∵CF为△ABC的高线
∴CF⊥AB
∴∠AFC＝90°
∴∠FCH＝90°
又∵∠AFE＝60°
∴∠CFH＝30°
∴AF＝FH＝2CH=2BF=6
∴AD=AF＋DF＝7由（1）知AD=BE=7
∴EF=BE-BF=7-3=4．