江西省吉安市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·吉安期末）已知函数，则( )
A． B． C． D．
2．（2024高二下·吉安期末）已知随机变量服从正态分布，，则( )
A． B． C． D．
3．（2024高二下·吉安期末）函数满足，则的极大值点为( )
A． B． C． D．
4．（2024高二下·吉安期末）已知某厂甲、乙两车间生产同一批锂电池，合格率分别为，，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，现从该厂生产的一批锂电池中任取一件，则取到合格品的概率为( )
A． B． C． D．
5．（2024高二下·吉安期末）口袋中装有除颜色外完全相同的个红球、个白球和个黄球，从中任取一个球，事件表示“取到的是红球”，事件表示“取到的是白球”，事件表示“取到的是黄球”，则( )
A． B．事件，，可能同时发生
C．与互斥 D．事件与事件不相互独立
6．（2024高二下·吉安期末）设等比数列的前项和为，且，则( )
A． B． C． D．
7．（2024高二下·吉安期末）为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性人数的倍，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有( )
附：，．
A．人 B．人 C．人 D．人
8．（2024高二下·吉安期末）函数与函数公切线的斜率为( )
A． B． C．或 D．或
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·吉安期末）已知随机变量X~B(4，p)，E(X)=2，则（ ）
A．p= B．P(< X<)=
C．D(X)=2 D．E(4X+3)=11
10．（2024高二下·吉安期末）下列说法正确的是( )
A．若样本数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差为
B．值越接近，随机变量之间的线性相关程度越强
C．若，，则事件，相互独立
D．在一组样本数据，，，，不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为
11．（2024高二下·吉安期末）已知首项为的正项数列满足，则下列说法正确的是( )
A．为递增数列 B．
C． D．数列为递减数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·吉安期末）为等比数列的前项和，是首项为的等差数列，则的公差为 ．
13．（2024高二下·吉安期末）如图，数轴上一质点受随机外力的作用从原点出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位长度，则移动次后，最终质点位于数轴上的位置的概率为 ．
14．（2024高二下·吉安期末）当时，函数的值域为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·吉安期末）将个形状、大小、颜色都相同的排球随机放入个编号为，，，且最多容纳个排球的排球筐内，记编号为的排球筐内放入的排球个数为．
（1）求该排球筐内有球的概率
（2）求的分布列．
16．（2024高二下·吉安期末）已知为数列的前项和，且．
（1）求数列的通项公式
（2）设为数列的前项和，求证：．
17．（2024高二下·吉安期末）已知函数为上的增函数．
（1）当时，求的取值范围
（2）当时，求的值．
18．（2024高二下·吉安期末）年月日的“”晚会后，为进一步加强市场计量监管，切实保护消费者合法权益，某市监管局对某夜市一条街内的电子计价秤进行检定，通过购买商品并比较商家称重和执法人员称重的结果偏差，超过误差范围则判定为缺斤少两经检查，发现有家商贩出现缺斤少两问题，执法人员已对这些商贩进行处罚，限期责令整改以下是执法人员公布的家“缺斤少两”商贩的部分数据：商贩称重重量为、执法人员称重重量为(单位：kg)，，其他数据如下：，．
参考公式与数据：线性回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为，且，．
（1）利用最小二乘法，求执法人员称重重量与商贩称重重量之间的线性回归方程精确到小数点后位，下同
（2）经核实，数据点严重偏离回归方程，去除该点后利用相同方法重新计算线性回归方程，证明：直线与直线斜率相等，并求直线的线性回归方程．
19．（2024高二下·吉安期末）设函数．
（1）讨论的单调性
（2）已知直线与曲线交于三点，，，且．
(ⅰ) 若，，成等差数列，求(ⅱ)证明：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的概念；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
则.
故答案为：B.
【分析】先求函数的定义域以及导函数，再根据导数的定义求解即可.
2．【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：随机变量服从，且，
则，.
故答案为：D.
【分析】根据正态分布的曲线特征求解即可.
3．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为函数满足，所以，解得，故，则，
当时，解得；
当时，解得或，
即函数在单调递减，在单调递增，是的极大值点.
故答案为：B.
【分析】根据求得，再求导，根据导数判断函数的单调性求解极值点即可.
4．【答案】A
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记事件“任取一件，取得优品”，事件“取到甲车间的产品”，事件“取得乙车间的产品”，则，且，
所以取得优品的概率为：.
故答案为：A.
【分析】由题意，先记事件，再结合全概率公式求解即可.
5．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：由题意，可得，，
A、，故A错误；
B、因为，所以，事件A，B，C不可能同时发生，故B错误；
C、事件表示“取到的不是红球”即“取到的是黄球或白球”，事件表示“取到的不是白球”即“取到的是黄球或红球”，事件可以同时发生，即“取到的是黄球”，不是互斥，故C错误；
D、不等于，事件A与事件B不相互独立，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据和事件概率即可判断A；根据互斥事件即可判断B，C；根据独立事件的概率乘积公式即可判断D.
6．【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由等比数列的前项和为，且，
当时，；
当时，，当时，，
则，
又因为数列为等比数列，所以当时，，化简得.
故答案为：C.
【分析】根据数列与的关系求得，再根据等比数列求得公比为2，则，化简即可求解.
7．【答案】B
【知识点】独立性检验；2×2列联表
【解析】【解答】解：设被调查的男性人，则女性为人，
由题意，可得的列联表：
男性 女性 合计
喜欢钓鱼
不喜欢钓鱼
合计
则，因为本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论，所以，解得，所以被调查的男性至少有人.
故答案为：B.
【分析】设被调查的男性人，则女性为人，根据题意，得出的列联表，根据公式列不等式求解即可.
8．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究曲线上某点切线方程；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：设切点分别为，，
函数，的导函数分别为，
则切斜方程分别为，，
因为两切线相同，所以，且，
所以，所以或，
则公切线的斜率为或.
故答案为：C.
【分析】先设切点分别为，求导利用导数的几何意义结合点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算的值即可.
9．【答案】A,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率分布列；二项分布
【解析】【解答】解：A、因为随机变量服从二项分布，所以，解得，故正确；
B、由A 可知，则，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用二项分布的期望、方差公式求解即可判断A，B，C；利用离散型随机变量的均值的性质即可判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】极差、方差与标准差；样本相关系数r及其数字特征；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、数据的方差为，故A错误；
B、值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强，故B正确；
C、，
又，故，事件相互独立，故C正确；
D、若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据方差的性质计算即可判断A；根据线性相关系数的概念即可判断B；由独立事件概率的乘法公式推出即可判断C；根据相关系数的概念和性质即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：A、因为首项为的正项数列满足，
所以，即，则数列为递增数列，故A正确；
B、由A可知数列为递增数列，则，即，故B错误；
C、由A知，数列为递增数列，且，则，
即，故C正确.
D、由，可得，则数列为递减数列，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】由递推式可得得即可判断AB；由，结合数列的单调性即可判断C；由即可判断D．
12．【答案】2
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：显然数列的公比为1，为常数列，由可得，故，
则，即数列的公差为2．
故答案为：2．
【分析】根据等差数列的性质先推出数列的公比为1，再结合首项的值求解即可．
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意，可知质点移动6次，共有2×2×2×2×2×2＝64种情况，
质点位于4的位置时需向左移动1次，向右移动5次，共＝6种情况，则质点位于4的概率为.
故答案为：.
【分析】质点位于4的位置可知质点向左移动1次，向右移动5次，根据古典概型的概率公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：函数
，则，
令，因为，所以，
记，，
因为恒成立，所以在单调递增，
所以，所以，所以，
即函数的值域为.
故答案为：.
【分析】利用两角和差正弦公式化解可得，再采用换元法，令，记，求导判断其单调性求的值域即可.
15．【答案】（1）解：设事件“排球筐内有球”，
则易得且．
（2）解：由题意，的值可以为，，，，且
，
的分布列为
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）设事件“编号为2的排球筐内有球”为事件A，则，根据古典概型的概率公式计算即可；
（2）依题意的可能取值为0，1，2，3，4，求出所对应的概率，即可得分布列．
16．【答案】（1）解：当时，，可得，
当时，由，可得，
相减可得，即有，可得，
则是首项、公比都为的等比数列，故
（2）证明：．
上面两式相减可得
化简可得．
易得是单调递增数列，且，，，
故，得证．
【知识点】等比数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由，可得：，两式相减化为：，利用等比数列的通项公式求解即可．
（2）由，利用错位相减法求，再根据关于单调递增证明即可.
17．【答案】（1）解：当时，易得恒成立，
则，当且仅当，即时等号成立，
即的取值范围为；
（2）解：当时，，
则，又因为为上的增函数，所以，
设，
则，
则使得又，，
则必有，否则根据函数的单调性可推出不恒成立，与题意矛盾，
由，得当时，，为常函数，舍去；
当时，，为上的增函数，符合题意．
综上所述，．
【知识点】函数恒成立问题；函数的单调性与导数正负的关系；基本不等式
【解析】【分析】（1）求导，根据导函数恒大于等于0，结合基本不等式求解最值，即可得的取值范围；
（2）求导后将不等式变为在R上恒成立，分类讨论求解最值，即可得a的值.
18．【答案】（1）解：由题意，，
，
故
，
，
因此回归方程为；
（2）解：不妨设被删除的数据点为，由题意，
设删除该数据点后，商贩称重重量和执法人员称重重量的平均值分别为、，
因此，
，
故，
对于回归方程，
，
因此斜率相等得证．
故，
因此回归方程为．
【知识点】最小二乘法；线性回归方程
【解析】【分析】（1）由题意，结合最小二乘法估计公式求解回归直线方程即可；
（2）根据公式计算得到去除后的与去除前的相等，即可证明直线与直线斜率相等，求即可.
19．【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，解得；当时，解得，
则函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2） 解：（ ⅰ ）由得，因此直线与曲线的一个交点为原点．
设，
则直线与曲线的一个交点为原点，另外两个交点是直线和函数的图象的交点．
因为，所以由得，由得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，因此函数在处取得最小值．
因为当时，；当时，，
所以作直线和函数的图象如下：
因为直线与曲线交于、、三点，且，
所以由直线和函数的图象知、、．
因为，，成等差数列，所以，因此由得
所以由和解得，
因此．
(ⅱ)证明：由知：、，因此．
因为函数在上单调递减，所以要证，只要证，
即要证
令，
因此
，
所以函数在上单调递增，因此，
所以，因此．
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，求单调性区间即可；
（2）（i）令，即，故一个交点为原点．设，结合导数分析的单调性，再由，，成等差数，结合等差数列的性质求解即可；
（ii）证明：要证，即证，结合的单调性，
即证，即证，构造函数，，求导，结合导数与单调性关系证明即可．
1 / 1江西省吉安市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·吉安期末）已知函数，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的概念；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
则.
故答案为：B.
【分析】先求函数的定义域以及导函数，再根据导数的定义求解即可.
2．（2024高二下·吉安期末）已知随机变量服从正态分布，，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：随机变量服从，且，
则，.
故答案为：D.
【分析】根据正态分布的曲线特征求解即可.
3．（2024高二下·吉安期末）函数满足，则的极大值点为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为函数满足，所以，解得，故，则，
当时，解得；
当时，解得或，
即函数在单调递减，在单调递增，是的极大值点.
故答案为：B.
【分析】根据求得，再求导，根据导数判断函数的单调性求解极值点即可.
4．（2024高二下·吉安期末）已知某厂甲、乙两车间生产同一批锂电池，合格率分别为，，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，现从该厂生产的一批锂电池中任取一件，则取到合格品的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记事件“任取一件，取得优品”，事件“取到甲车间的产品”，事件“取得乙车间的产品”，则，且，
所以取得优品的概率为：.
故答案为：A.
【分析】由题意，先记事件，再结合全概率公式求解即可.
5．（2024高二下·吉安期末）口袋中装有除颜色外完全相同的个红球、个白球和个黄球，从中任取一个球，事件表示“取到的是红球”，事件表示“取到的是白球”，事件表示“取到的是黄球”，则( )
A． B．事件，，可能同时发生
C．与互斥 D．事件与事件不相互独立
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：由题意，可得，，
A、，故A错误；
B、因为，所以，事件A，B，C不可能同时发生，故B错误；
C、事件表示“取到的不是红球”即“取到的是黄球或白球”，事件表示“取到的不是白球”即“取到的是黄球或红球”，事件可以同时发生，即“取到的是黄球”，不是互斥，故C错误；
D、不等于，事件A与事件B不相互独立，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据和事件概率即可判断A；根据互斥事件即可判断B，C；根据独立事件的概率乘积公式即可判断D.
6．（2024高二下·吉安期末）设等比数列的前项和为，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由等比数列的前项和为，且，
当时，；
当时，，当时，，
则，
又因为数列为等比数列，所以当时，，化简得.
故答案为：C.
【分析】根据数列与的关系求得，再根据等比数列求得公比为2，则，化简即可求解.
7．（2024高二下·吉安期末）为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性人数的倍，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有( )
附：，．
A．人 B．人 C．人 D．人
【答案】B
【知识点】独立性检验；2×2列联表
【解析】【解答】解：设被调查的男性人，则女性为人，
由题意，可得的列联表：
男性 女性 合计
喜欢钓鱼
不喜欢钓鱼
合计
则，因为本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论，所以，解得，所以被调查的男性至少有人.
故答案为：B.
【分析】设被调查的男性人，则女性为人，根据题意，得出的列联表，根据公式列不等式求解即可.
8．（2024高二下·吉安期末）函数与函数公切线的斜率为( )
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究曲线上某点切线方程；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：设切点分别为，，
函数，的导函数分别为，
则切斜方程分别为，，
因为两切线相同，所以，且，
所以，所以或，
则公切线的斜率为或.
故答案为：C.
【分析】先设切点分别为，求导利用导数的几何意义结合点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算的值即可.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·吉安期末）已知随机变量X~B(4，p)，E(X)=2，则（ ）
A．p= B．P(< X<)=
C．D(X)=2 D．E(4X+3)=11
【答案】A,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率分布列；二项分布
【解析】【解答】解：A、因为随机变量服从二项分布，所以，解得，故正确；
B、由A 可知，则，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用二项分布的期望、方差公式求解即可判断A，B，C；利用离散型随机变量的均值的性质即可判断D.
10．（2024高二下·吉安期末）下列说法正确的是( )
A．若样本数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差为
B．值越接近，随机变量之间的线性相关程度越强
C．若，，则事件，相互独立
D．在一组样本数据，，，，不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为
【答案】B,C
【知识点】极差、方差与标准差；样本相关系数r及其数字特征；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、数据的方差为，故A错误；
B、值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强，故B正确；
C、，
又，故，事件相互独立，故C正确；
D、若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据方差的性质计算即可判断A；根据线性相关系数的概念即可判断B；由独立事件概率的乘法公式推出即可判断C；根据相关系数的概念和性质即可判断D.
11．（2024高二下·吉安期末）已知首项为的正项数列满足，则下列说法正确的是( )
A．为递增数列 B．
C． D．数列为递减数列
【答案】A,C,D
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：A、因为首项为的正项数列满足，
所以，即，则数列为递增数列，故A正确；
B、由A可知数列为递增数列，则，即，故B错误；
C、由A知，数列为递增数列，且，则，
即，故C正确.
D、由，可得，则数列为递减数列，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】由递推式可得得即可判断AB；由，结合数列的单调性即可判断C；由即可判断D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·吉安期末）为等比数列的前项和，是首项为的等差数列，则的公差为 ．
【答案】2
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：显然数列的公比为1，为常数列，由可得，故，
则，即数列的公差为2．
故答案为：2．
【分析】根据等差数列的性质先推出数列的公比为1，再结合首项的值求解即可．
13．（2024高二下·吉安期末）如图，数轴上一质点受随机外力的作用从原点出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位长度，则移动次后，最终质点位于数轴上的位置的概率为 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意，可知质点移动6次，共有2×2×2×2×2×2＝64种情况，
质点位于4的位置时需向左移动1次，向右移动5次，共＝6种情况，则质点位于4的概率为.
故答案为：.
【分析】质点位于4的位置可知质点向左移动1次，向右移动5次，根据古典概型的概率公式求解即可.
14．（2024高二下·吉安期末）当时，函数的值域为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：函数
，则，
令，因为，所以，
记，，
因为恒成立，所以在单调递增，
所以，所以，所以，
即函数的值域为.
故答案为：.
【分析】利用两角和差正弦公式化解可得，再采用换元法，令，记，求导判断其单调性求的值域即可.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·吉安期末）将个形状、大小、颜色都相同的排球随机放入个编号为，，，且最多容纳个排球的排球筐内，记编号为的排球筐内放入的排球个数为．
（1）求该排球筐内有球的概率
（2）求的分布列．
【答案】（1）解：设事件“排球筐内有球”，
则易得且．
（2）解：由题意，的值可以为，，，，且
，
的分布列为
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）设事件“编号为2的排球筐内有球”为事件A，则，根据古典概型的概率公式计算即可；
（2）依题意的可能取值为0，1，2，3，4，求出所对应的概率，即可得分布列．
16．（2024高二下·吉安期末）已知为数列的前项和，且．
（1）求数列的通项公式
（2）设为数列的前项和，求证：．
【答案】（1）解：当时，，可得，
当时，由，可得，
相减可得，即有，可得，
则是首项、公比都为的等比数列，故
（2）证明：．
上面两式相减可得
化简可得．
易得是单调递增数列，且，，，
故，得证．
【知识点】等比数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由，可得：，两式相减化为：，利用等比数列的通项公式求解即可．
（2）由，利用错位相减法求，再根据关于单调递增证明即可.
17．（2024高二下·吉安期末）已知函数为上的增函数．
（1）当时，求的取值范围
（2）当时，求的值．
【答案】（1）解：当时，易得恒成立，
则，当且仅当，即时等号成立，
即的取值范围为；
（2）解：当时，，
则，又因为为上的增函数，所以，
设，
则，
则使得又，，
则必有，否则根据函数的单调性可推出不恒成立，与题意矛盾，
由，得当时，，为常函数，舍去；
当时，，为上的增函数，符合题意．
综上所述，．
【知识点】函数恒成立问题；函数的单调性与导数正负的关系；基本不等式
【解析】【分析】（1）求导，根据导函数恒大于等于0，结合基本不等式求解最值，即可得的取值范围；
（2）求导后将不等式变为在R上恒成立，分类讨论求解最值，即可得a的值.
18．（2024高二下·吉安期末）年月日的“”晚会后，为进一步加强市场计量监管，切实保护消费者合法权益，某市监管局对某夜市一条街内的电子计价秤进行检定，通过购买商品并比较商家称重和执法人员称重的结果偏差，超过误差范围则判定为缺斤少两经检查，发现有家商贩出现缺斤少两问题，执法人员已对这些商贩进行处罚，限期责令整改以下是执法人员公布的家“缺斤少两”商贩的部分数据：商贩称重重量为、执法人员称重重量为(单位：kg)，，其他数据如下：，．
参考公式与数据：线性回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为，且，．
（1）利用最小二乘法，求执法人员称重重量与商贩称重重量之间的线性回归方程精确到小数点后位，下同
（2）经核实，数据点严重偏离回归方程，去除该点后利用相同方法重新计算线性回归方程，证明：直线与直线斜率相等，并求直线的线性回归方程．
【答案】（1）解：由题意，，
，
故
，
，
因此回归方程为；
（2）解：不妨设被删除的数据点为，由题意，
设删除该数据点后，商贩称重重量和执法人员称重重量的平均值分别为、，
因此，
，
故，
对于回归方程，
，
因此斜率相等得证．
故，
因此回归方程为．
【知识点】最小二乘法；线性回归方程
【解析】【分析】（1）由题意，结合最小二乘法估计公式求解回归直线方程即可；
（2）根据公式计算得到去除后的与去除前的相等，即可证明直线与直线斜率相等，求即可.
19．（2024高二下·吉安期末）设函数．
（1）讨论的单调性
（2）已知直线与曲线交于三点，，，且．
(ⅰ) 若，，成等差数列，求(ⅱ)证明：．
【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，解得；当时，解得，
则函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2） 解：（ ⅰ ）由得，因此直线与曲线的一个交点为原点．
设，
则直线与曲线的一个交点为原点，另外两个交点是直线和函数的图象的交点．
因为，所以由得，由得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，因此函数在处取得最小值．
因为当时，；当时，，
所以作直线和函数的图象如下：
因为直线与曲线交于、、三点，且，
所以由直线和函数的图象知、、．
因为，，成等差数列，所以，因此由得
所以由和解得，
因此．
(ⅱ)证明：由知：、，因此．
因为函数在上单调递减，所以要证，只要证，
即要证
令，
因此
，
所以函数在上单调递增，因此，
所以，因此．
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，求单调性区间即可；
（2）（i）令，即，故一个交点为原点．设，结合导数分析的单调性，再由，，成等差数，结合等差数列的性质求解即可；
（ii）证明：要证，即证，结合的单调性，
即证，即证，构造函数，，求导，结合导数与单调性关系证明即可．
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