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一元二次方程的实际应用 题型专练
题型1 传播问题
1．某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
【思路点拔】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则第一轮感染中有x台电脑被感染，第二轮感染中有（1+x）x台电脑被感染，根据“一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则第一轮感染中有x台电脑被感染，第二轮感染中有（1+x）x台电脑被感染，
根据题意得：1+x+（1+x）x＝100，
整理得：（1+x）2＝100，
则x+1＝10或x+1＝﹣10，
解得：x1＝9，x2＝﹣11（不符合题意，舍去）．
答：每轮感染中平均一台电脑感染9台电脑．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
题型2 平均变化率问题
2．某种品牌手机经过7，8月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率．
【思路点拔】设每次下降的百分率为x，根据该种品牌手机的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
解：设每次下降的百分率为x，
依题意，得：2500（1﹣x）2＝1600，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．
答：每次下降的百分率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
题型3 循环问题
3．某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛．
（1）比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？
（2）如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？
【思路点拔】（1）设比赛组织者应计划邀请x个队参赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设需要y天完成比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，结合比赛的总场数不超过每天比赛的场数×比赛的天数，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
解：（1）设比赛组织者应计划邀请x个队参赛，
根据题意得：x（x﹣1）＝4×7，
整理得：x2﹣x﹣56＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（不符合题意，舍去）．
答：比赛组织者应计划邀请8个队参赛；
（2）设需要y天完成比赛，
根据题意得：5y（8+2）×（8+2﹣1），
解得：y≥9，
∴y的最小值为9．
答：至少需要9天完成比赛．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
题型4 商品销售问题
4．某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，每千克核桃的售价每降低1元，则平均每天的销售量可增加20千克．设每千克核桃应降价x元，则：
（1）降价后，每千克核桃获利 （60﹣x﹣40） 元，平均每天可售出 （100+20x） 千克核桃（用含x的代数式表示）；
（2）该专卖店打算尽快降低这种核桃库存的同时，平均每天仍获利2880元，那么每千克核桃应降价多少元？
【思路点拔】（1）利用每千克核桃的销售利润＝售价﹣进价，即可用含x的代数式表示出每千克核桃的销售利润；利用平均每天的销售量＝100+20×每千克核桃降低的钱数，即可用含x的代数式表示出平均每天的销售量；
（2）利用总利润＝每千克的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合该专卖店打算尽快降低这种核桃库存，即可得出每千克核桃应降价11元．
解：（1）∵每千克核桃应降价x元，
∴降价后，每千克核桃获利（60﹣x﹣40）元，平均每天可售出（100+20x）千克核桃．
故答案为：（60﹣x﹣40）；（100+20x）．
（2）根据题意得：（60﹣x﹣40）（100+20x）＝2880，
整理得：x2﹣15x+44＝0，
解得：x1＝4，x2＝11，
又∵该专卖店打算尽快降低这种核桃库存，
∴x＝11．
答：每千克核桃应降价11元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
题型5 面积问题
5．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于13cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
【思路点拔】（1）这段铁丝被分成两段后，围成正方形．其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（5﹣x），根据“两个正方形的面积之和等于12cm2”作为相等关系列方程，解方程即可求解；
（2）设两个正方形的面积和为y，可得二次函数y＝x2+（5﹣x）2＝2（x）2，利用二次函数的最值的求法可求得y的最小值是12.5，所以可判断两个正方形的面积之和不可能等于12cm2．
解：（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（5﹣x）cm，
依题意列方程得x2+（5﹣x）2＝13，
整理得：x2﹣5x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解方程得x1＝2，x2＝3，
2×4＝8cm，20﹣8＝12cm；
或3×4＝12cm，20﹣12＝8cm．
因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是8cm、12cm；
（2）两个正方形的面积之和不可能等于12cm2．理由：
设两个正方形的面积和为y，则
y＝x2+（5﹣x）2＝2（x）2，
∵a＝2＞0，
∴当x时，y的最小值＝12.5＞12，
∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm2；
（另解：由（1）可知x2+（5﹣x）2＝12，
化简后得2x2﹣10x+13＝0，
∵△＝（﹣10）2﹣4×2×13＝﹣4＜0，
∴方程无实数解；
所以两个正方形的面积之和不可能等于12cm2．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，等量关系是：两个正方形的面积之和＝17或12．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．
6．有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为2米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪．
（1）如图1，在矩形场地上修筑两条的纵横小路．
①请写出两条小路的面积之和S＝ （2a+2b﹣4）平方米 （用含a、b的代数式表示）；
②若a：b＝2：1，且草坪的总面积为312米2，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
（2）如图2，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（m，n为常数），若a＝28．b＝14，且草坪的总面积为120平方米，求m+n的值．
【思路点拔】（1）①根据两条小路的面积之和＝两个长方形的面积﹣重叠的正方形的面积表示即可；
②根据草坪的总面积为312米2，列一元二次方程，求解即可；
（2）根据草坪的总面积为120平方米，列方程求解，再进一步求出符合条件的m和n的值，即可求出m+n的值．
解：（1）①根据题意，两条小路的面积之和S＝（2a+2b﹣4）平方米，
故答案为：（2a+2b﹣4）平方米；
②根据题意，得（a﹣2）（b﹣2）＝312，
又∵a：b＝2：1，
∴a＝2b，
∴原方程化为（2b﹣2）（b﹣2）＝312，
解得b1＝﹣11（不符合题意，舍去），b2＝14，
∴a＝2b＝28（米），
答：原来矩形场地的长为28米，宽为14米；
（2）根据题意，得（28﹣2n）（14﹣2m）＝120，
整理得（14﹣n）（7﹣m）＝30，
∵m，n为正整数，
∴14﹣n是正整数且是30的约数，7﹣m是正整数且是30的约数，
当14﹣n＝5时，7﹣m＝6，
∴n＝9，m＝1，
∴m+n＝10；
当14﹣n＝6时，7﹣m＝5，
∴n＝8，m＝2，
∴m+n＝10；
当14﹣n＝10时，7﹣m＝3，
∴n＝4，m＝4，
∴m+n＝8，
综上所述，m+n＝8或10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
题型6 数字问题
7．一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数．
【思路点拔】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（9﹣x），根据个位数字与十位数字的平方和为45，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（9﹣x），
依题意，得：x2+（9﹣x）2＝45，
整理，得：x2﹣9x+18＝0，
解得：x1＝3，x2＝6．
当x＝3时，这个两位数为63；
当x＝6时，这个两位数为36．
答：这个两位数为36或63．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
题型7 动态几何问题
8．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点
也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发．
①经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2；
②△PBQ的面积能否等于5cm2，并说明理由．
【思路点拔】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出△PQB的面积为，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．
解：如图，
①过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．
∵∠ABC＝30°，
∴2QE＝QB．
∴S△PQB PB QE．
设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，
则PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）．
根据题意， （6﹣t） t＝4．
t2﹣6t+8＝0．
t1＝2，t2＝4．
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．
答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2；
②当面积等于5时， （6﹣t） t＝5．
t2﹣6t+10＝0．
∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×10＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根，
所以△PBQ的面积不能等于5cm2，
【点评】本题考查了一元二次方程的运用，注意求得的值的取舍问题．
9．如图，一根木棍OE垂直平分柱子AB，AB＝200cm，OE＝260cm，一只小猫C由柱子底端A点以2cm/s的速度向顶端B点爬行，同时，另一只小猫D由O点以3cm/s的速度沿木棍OE爬行．问：是否存在这样的时刻，使两只小猫与O点组成的三角形面积是1800cm2？
【思路点拔】分两种情况进行讨论：（1）当小猫C在AO上运动；（2）当小猫C在OB上运动；根据三角形的面积公式即可列方程求解．
解：有两种情况：
（1）当小猫C在AO上运动时，设xs后两只小猫与O点组成的三角形面积为1800cm2，
由题意，得3x×（100﹣2x）＝1800，
整理，得x2﹣50x+600＝0，
解得x1＝20，x2＝30．
（2）当小猫C在OB上运动时，
设y秒钟后，两只小猫与O点组成的三角形面积为1800cm2，
由题意，得3y（2y﹣100）＝1800，
整理，得y2﹣50y﹣600＝0，
解得y1＝60，y2＝﹣10（舍去）．
答：20s或30s或60s后，使两只小猫与O点组成的三角形面积是1800cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，培养了学生的抽象思维能力，使学生学会用运动的观点来观察事物．分两种情况进行讨论是难点中小学教育资源及组卷应用平台
一元二次方程的实际应用 题型专练
题型1 传播问题
1．某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
题型2 平均变化率问题
2．某种品牌手机经过7，8月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率．
题型3 循环问题
3．某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛．
（1）比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？
（2）如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？
题型4 商品销售问题
4．某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，每千克核桃的售价每降低1元，则平均每天的销售量可增加20千克．设每千克核桃应降价x元，则：
（1）降价后，每千克核桃获利 （60﹣x﹣40） 元，平均每天可售出 （100+20x） 千克核桃（用含x的代数式表示）；
（2）该专卖店打算尽快降低这种核桃库存的同时，平均每天仍获利2880元，那么每千克核桃应降价多少元？
题型5 面积问题
5．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于13cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
6．有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为2米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪．
（1）如图1，在矩形场地上修筑两条的纵横小路．
①请写出两条小路的面积之和S＝ （2a+2b﹣4）平方米 （用含a、b的代数式表示）；
②若a：b＝2：1，且草坪的总面积为312米2，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
（2）如图2，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（m，n为常数），若a＝28．b＝14，且草坪的总面积为120平方米，求m+n的值．
题型6 数字问题
7．一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数．
题型7 动态几何问题
8．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点
也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发．
①经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2；
②△PBQ的面积能否等于5cm2，并说明理由．
9．如图，一根木棍OE垂直平分柱子AB，AB＝200cm，OE＝260cm，一只小猫C由柱子底端A点以2cm/s的速度向顶端B点爬行，同时，另一只小猫D由O点以3cm/s的速度沿木棍OE爬行．问：是否存在这样的时刻，使两只小猫与O点组成的三角形面积是1800cm2？
