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第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
第1课时 三角形的边 同步分层练习
核心知识归纳：
1.了解三角形的分类;
2.掌握三角形的三边关系;
3.能用分类讨论思想解决与等腰三角形边长有关的问题
基础题
1．下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A． B．
C． D．
2．用一根小木棒与两根长分别为3cm，6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（ ）
A．5cm B．3cm C．2cm D．1cm
3．下列关于三角形的分类，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．现有2cm，4cm，5cm，8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，选法种数有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
5．如图所示，图中有 个三角形；其中以AB为边的三角形有 ；含∠ACB的三角形有 ；在△BOC中，OC的对角是 ，∠OCB的对边是 ．
6．在△ABC中，AB＝3，BC＝7，AC＝a，则a边的取值范围是 ．
7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a，b满足|a+b﹣4|+（a﹣b+2）2＝0，则第三边的长c的取值范围是 ．
8．（1）已知等腰三角形的一边长等于8cm，一边长等于9cm，求它的周长；
（2）等腰三角形的一边长等于6cm，周长等于28cm，求其他两边的长．
9．已知a，b，c是△ABC的三边长．
（1）若a，b，c满足|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）若a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）＝0，试判断△ABC的形状；
（3）化简：|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|．
中档题
10．已知钝角三角形ABC中，∠C＞90°，AC＝5，BC＝3，AB＝x，则x的取值范围是（ ）
A．2＜x＜8 B．5＜x＜8 C．2＜x≤8 D．5＜x≤8
11．平面内，将长分别为1，1，5，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
12．用一根长为10cm的绳子围成一个三角形，若所围成的三角形中一边的长为2cm，且另外两边长的值均为整数，则这样的围法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
13．如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．已知等腰三角形三边的长分别是4x﹣2，x+1，15﹣6x，则它的周长是 ．
15．数学活动课上，老师让同学们用长分别是20cm，90cm，100cm的三根木棒搭一个三角形的木架，小明不小心把100cm的木棒折去了35cm，他发现：用折断后剩下的木棒与另两根木棒怎么也搭不成三角形．
（1）你知道为什么吗？
（2）100cm的木棒折去多长后就不能搭成三角形？
创新题
16．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论．
（1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PC AB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）将（1）中点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
第1课时 三角形的边 同步分层练习
核心知识归纳：
1.了解三角形的分类;
2.掌握三角形的三边关系;
3.能用分类讨论思想解决与等腰三角形边长有关的问题
基础题
1．下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】因为三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的定义．解题的关键是熟练记住定义．
2．用一根小木棒与两根长分别为3cm，6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（ ）
A．5cm B．3cm C．2cm D．1cm
【思路点拔】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求第三根木条的取值范围．
解：设第三根木棒长为x cm，由三角形三边关系定理得6﹣3＜x＜6+3，
所以x的取值范围是3＜x＜9，
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．
3．下列关于三角形的分类，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据三角形的分类可直接选出答案．
解：A、等腰直角三角形应该是直角三角形，不符合题意；
B、该选项中的三角形的分类正确，符合题意；
C、等腰三角形包括等边三角形，不符合题意；
D、等腰三角形包括等边三角形，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
4．现有2cm，4cm，5cm，8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，选法种数有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【思路点拔】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解：其中的任意三条组合有2cm、4cm、5cm；2cm、4cm、8cm；4cm、5cm、8cm；2cm、5cm、8cm共四种情况，
根据三角形的三边关系，则2cm、4cm、5cm；4cm、5cm、8cm符合，
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．关键是掌握判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
5．如图所示，图中有 8 个三角形；其中以AB为边的三角形有 △ABO、△ABC、△ABD ；含∠ACB的三角形有 △BOC、△ABC ；在△BOC中，OC的对角是 ∠OBC ，∠OCB的对边是 OB ．
【思路点拔】利用三角形的定义以及三角形有关的角和边分别得出即可．
解：图中有8个三角形；其中以AB为边的三角形有△ABO、△ABC、△ABD；
含∠ACB的三角形有△BOC、△ABC；
在△BOC中，OC的对角是∠OBC，∠OCB的对边是OB．
故答案为：8，△ABO、△ABC、△ABD，△BOC、△ABC，∠OBC，OB．
【点评】此题主要考查了三角形有关定义，正确把握相关定义是解题关键．
6．在△ABC中，AB＝3，BC＝7，AC＝a，则a边的取值范围是 4＜a＜10 ．
【思路点拔】利用三角形三边关系，进而得出a边的取值范围．
解：∵在△ABC中，AB＝3，BC＝7，AC＝a，
∴a边的取值范围是：4＜a＜10．
故答案为：4＜a＜10．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，正确把握三角形三边性质是解题关键．
7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a，b满足|a+b﹣4|+（a﹣b+2）2＝0，则第三边的长c的取值范围是 2＜c＜4 ．
【思路点拔】根据非负数的性质，易得a+b，a﹣b的值，再根据三角形三边关系即可求出第三边的长c的取值范围．
解：∵|a+b﹣4|+（a﹣b+2）2＝0，
∴a+b＝4，b﹣a＝2，
∴第三边的长c的取值范围是2＜c＜4．
故答案为2＜c＜4．
【点评】本题综合考查了三角形三边关系与非负数的性质．两个非负数的和为0，两个数都必须为0．本题可将a+b，b﹣a看作一个整体．
8．（1）已知等腰三角形的一边长等于8cm，一边长等于9cm，求它的周长；
（2）等腰三角形的一边长等于6cm，周长等于28cm，求其他两边的长．
【思路点拔】（1）分8cm是腰长和底边两种情况讨论求解；
（2）分6是底边和腰长两种情况讨论求解．
解：（1）8cm是腰长时，三角形的三边分别为8cm、8cm、9cm，
能组成三角形，
周长＝8+8+9＝25cm，
8cm是底边时，三角形的三边分别为8cm、9cm、9cm，
能组成三角形，
周长＝8+9+9＝26cm，
综上所述，周长为25cm或26cm；
（2）6cm是腰长时，其他两边分别为6cm，16cm，
∵6+6＝12＜16，
∴不能组成三角形，
6cm是底边时，腰长为（28﹣6）＝11cm，
三边分别为6cm、11cm、11cm，
能组成三角形，
所以，其他两边的长为11cm、11cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
9．已知a，b，c是△ABC的三边长．
（1）若a，b，c满足|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）若a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）＝0，试判断△ABC的形状；
（3）化简：|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|．
【思路点拔】（1）根据非负数的性质，可得出a＝b＝c，进而得出结论；
（2）根据绝对值非负数的性质，得出a＝b或b＝c或a＝b＝c，进而得出结论；
（3）利用三角形的三边关系得到a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，然后去绝对值符号后化简即可．
解：（1）∵|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形；
（2）∵（a﹣b）（b﹣c）＝0，
∴a﹣b＝0或b﹣c＝0，
∴a＝b或b＝c或a＝b＝c，
∴△ABC为等腰三角形或等边三角形；
（3）∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，
∴原式＝a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）
＝a+b﹣c﹣b+c+a
＝2a．
【点评】此题考查三角形的三边关系和三角形分类，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．
中档题
10．已知钝角三角形ABC中，∠C＞90°，AC＝5，BC＝3，AB＝x，则x的取值范围是（ ）
A．2＜x＜8 B．5＜x＜8 C．2＜x≤8 D．5＜x≤8
【思路点拔】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析求解．
解：根据三角形的三边关系，得
5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8．
∵∠C＞90°，
∴AB为最长边，
∴5＜x＜8，
故选：B．
【点评】考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
11．平面内，将长分别为1，1，5，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【思路点拔】设这个凸五边形为ABCDE，连接BE，CE，并设BE＝a，CE＝b，先在△ABE和△CDE中，根据三角形的三边关系定理可得0＜a＜2，4＜b＜6，从而可得4＜a+b＜8，2＜b﹣a＜6，再在△BCE中，根据三角形的三边关系定理可得b﹣a＜d＜a+b，从而可得2＜d＜8，由此即可得出答案．
解：如图，设这个凸五边形为ABCDE，连接BE，CE，并设BE＝a，CE＝b，
在△ABE中，1﹣1＜a＜1+1，即0＜a＜2，
在△CDE中，5﹣1＜b＜5+1，即4＜b＜6，
∴4＜a+b＜8，2＜b﹣a＜6，
在△BCE中，b﹣a＜d＜a+b，
∴2＜d＜8，
观察四个选项可知，只有选项C符合，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键．
12．用一根长为10cm的绳子围成一个三角形，若所围成的三角形中一边的长为2cm，且另外两边长的值均为整数，则这样的围法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【思路点拔】根据三角形的两边之和大于第三边，根据周长是10厘米，可知最长的边要小于5厘米，进而得出三条边的情况．
解：∵三角形中一边的长为2cm，且另外两边长的值均为整数，
∴三条边分别是2cm、4cm、4cm．
故选：A．
【点评】本题主要考查了学生根据三角形三条边之间的关系解决问题的能力．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
13．如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形．求腰长的取值范围．
解：长为6的线段围成等腰三角形的腰长为a．则底边长为6﹣2a．
由题意得，．
解得a＜3．
所给选项中分别为：1，2，3，4．
∴只有2符合上面不等式组的解集．
∴a只能取2．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是把三棱柱的底面问题转化为三角形三边之间的关系问题．
14．已知等腰三角形三边的长分别是4x﹣2，x+1，15﹣6x，则它的周长是 12.3 ．
【思路点拔】首先根据等腰三角形有两边相等，分别讨论如果4x﹣2＝x+1，4x﹣2＝15﹣6x，15﹣6x＝x+1时的情况，注意检验是否能组成三角形．
解：∵等腰三角形三边的长分别是4x﹣2，x+1，15﹣6x，
∴①如果4x﹣2＝x+1，则x＝1，三边为：2，2，9；
2+2＜9，不能组成三角形，舍去；
②如果4x﹣2＝15﹣6x，则x＝1.7，三边为：4.8，2.7，4.8，
∴周长为12.3；
③如果15﹣6x＝x+1，则x＝2，三边为：6，3，3；
3+3＝6，不能组成三角形，舍去；
∴它的周长是 12.3．
故答案为：12.3．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系．解此题注意分类讨论思想的应用．
15．数学活动课上，老师让同学们用长分别是20cm，90cm，100cm的三根木棒搭一个三角形的木架，小明不小心把100cm的木棒折去了35cm，他发现：用折断后剩下的木棒与另两根木棒怎么也搭不成三角形．
（1）你知道为什么吗？
（2）100cm的木棒折去多长后就不能搭成三角形？
【思路点拔】（1）根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边之差小于第三边求解即可；
（2）根据三边关系确定第三边的长，然后确定折去的木条的长度即可．
解：（1）把100cm的木棒折去了35cm后还有65cm，
∵20+65＜90，
∴不能构成三角形；
（2）设折去x cm后不能搭成三角形，
根据题意得：20+（100﹣x）＜90，
解得：x＜30，
∴折去30cm后不能组成三角形．
【点评】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是确定第三边的取值范围，难度不大．
创新题
16．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论．
（1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PC ＜ AB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）将（1）中点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
【思路点拔】（1）根据三角形中两边之和大于第三边，即可得出结果，
（2）可延长BP交AC与M，根据两边之和大于第三边，即可得出结果，
（3）分别延长BP1、CP2交于M，再根据（2）中得出的BM+CM＜AB+AC，可得出BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，即可得出结果．
解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，
（2）△BPC的周长＜△ABC的周长．理由：
如图，延长BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，两式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC的周长＜△ABC的周长，
（3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长，理由：
如图，分别延长BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M，
可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，可得结论．
【点评】本题考查了比较线段的长短常常利用三角形的三边关系以及不等式的性质，通过作辅助线进行解答，难度较大．
