九年级数学上册 21.3 二次函数与一元二次方程 导学案（知识清单 典型例题 巩固提升）

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21.3 二次函数与一元二次方程 导学案
（一）学习目标：
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.能运用二次函数及其图像、性质确定方程的解或不等式的解集。
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根。
（二）学习重难点：
重点：能运用二次函数及其图像、性质确定方程的解或不等式的解集。
难点：理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
阅读课本，识记知识：
1.一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 图象与轴的交点个数：
①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.
②当时，图象与轴只有一个交点；
③当时，图象与轴没有交点.
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
2.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；
3.二次函数常用解题方法总结：
(1)求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
(2)求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
(3)根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；
(4)二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
【例1】已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是(-2,0),
(5,0),则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解是(　　)
A.x1=-2,x2=5　　　 B.x1=2,x2=-5
C.x1=-2,x2=-5　　　 D.x1=2,x2=5
【答案】A　
【分析】∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为(-2,0),(5,0),即自变量取-2和5时函数值为0,∴一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2,x2=5.
【例2】 下表是一组二次函数 的自变量x与函数值y的对应值：那么下列选项中可能是方程 的近似根的是（ ）
x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线法求方程的近似根，采用零距离比较法，与零的距离越小，越近似看成方程的根，得到所求方程的近似根即可．
【详解】观察图表的，得与零的距离最小，
方程 的近似根的是：
故选B．
选择题
1.已知直线y=kx+2过第一、二、三象限,则直线y=kx+2与抛物线y=x2-2x+3的公共点个数为(　　)
A.0　 　B.1　　 C.2　 　D.1或2
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解分别为x1,x2,则x1+x2的值为(　　)
A.2　 　B.1　　 C.-1　 　D.-2
3.已知二次函数y=ax2+bx+c中自变量x的部分取值和对应函数值y如表:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 5 0 -3 -4 -3 …
则在实数范围内能使得y<0成立的x取值范围是(　　)
A.x>3　　　　B.x<-1 C.-13
4.如图,点A(2.18,-0.51)和B(2.68,0.54)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上,则方程ax2+bx+c=0的一个近似解可能是(　　)
A.2.18　 　B.2.68　　 C.-0.51　 　D.2.45
5.根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（ ）
3.24 3.25 3.26
0.01 0.03
A． B．
C． D．
6.已知抛物线，与x轴的一个交点为，则代数式的值为（）
A． B． C． D．
7.已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将其向右平移后得到的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．
8.抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：
①；②；③；④；⑤
其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9.关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
10.如图所示，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且，与y轴相交于点E，过点E的直线平行于x轴，与抛物线相交于P，Q两点，则线段的长为（ ）

A． B． C． D．
填空题
11．二次函数y=2(x-1)(x+5)的图象与x轴的两个交点之间的距离是　　　　.
12.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A(-3,-1)、B(0,2)两点,则关于x的不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是　　　　　.
13．小王同学在探究函数的性质时，作出了如图所示的图像，请根据图像判断，当方程有两个实数根时，常数k满足的条件是 ．
14．已知二次函数，小明利用计算器列出了下表：
x
那么方程的一个近似根是 （精确到）
15．已知抛物线，当时，，当或时，，抛物线与轴交于A，B两点，则AB的长为 ．
三、解答题
16．已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点.
(1)求k的值;
(2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标.
17.二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)直接写出不等式的解集；
(2)若关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，求k的取值范围．
18.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大3，那么称这样的方程为“友好方程”．例如:一元二次方程的两个根是2和5，则方程就是“友好方程”．
(1)若一元二次方程是“友好方程”，求的值；
(2)若是“友好方程”，求代数式的值；
(3)若方程抛是“友好方程”，且相异两点M，N都在抛物线上，求一元二次方程的根．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
【答案】C　
【解析】∵直线y=kx+2过第一、二、三象限,∴k>0.
令x2-2x+3=kx+2,整理得x2-(2+k)x+1=0.∴Δ=[-(2+k)]2-4=k2+4k=k(k+4),
∵k>0,∴Δ>0,∴直线y=kx+2与抛物线y=x2-2x+3的公共点个数为2.
【答案】D　
【解析】∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解分别为x1,x2,∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为(x1,0),(x2,0),∵抛物线的对称轴为x=-1,∴=-1,∴x1+x2=-2.
3.【答案】C　
【分析】观察表中数据可得该二次函数图象的对称轴为直线x=1,图象开口向上.
∵当x=-1时,y=0,∴根据二次函数图象的对称性知当x=3时,y=0,∴当-14.【答案】D　
【分析】∵图象上有两点,分别为A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54),∴当x=2.18时,y=
-0.51<0;当x=2.68时,y=0.54>0,∴在2.18与2.68之间,必存在一个x值使y=0,又∵2.18<2.45<2.68,故选项D符合.由图象可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点在0与1之间,无选项符合.故选D.
5．【答案】B
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据表中数据得到时，；时，，于是可判断在和之间取某一值时，，由此得到方程的一个解的范围．
【详解】解：时，；
时，，
∴当时，的值可以等于0，
∴方程的一个解的范围是．
故选：B．
6．【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标的含义，求解代数式的值，熟练掌握抛物线与轴的交点特征是解决问题的关键．把点代入抛物线的解析式可得，再整体代入代数式求值即可．
【详解】解∶抛物线与轴的一个交点为，
，
故选D．
7．【答案】A
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的平移等知识，属于常考题型，掌握二次函数的性质是关键．
首先求出抛物线的对称轴为，然后由得到抛物线向右平移8个单位得到抛物线，进而得到抛物线的对称轴为，即可求解．
【详解】∵抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），
∴对称轴为
∵
∴抛物线向右平移8个单位得到抛物线
∴抛物线的对称轴为
∴
∴解得．
故选：A．
8．【答案】C
【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据二次函数的图象和性质一一判断即可．
【详解】解：∵抛物线对称轴，经过点，
∴，
，
，
，
∴，故①正确，
∵抛物线对称轴，经过点，
∴和关于对称轴对称，
时，，
∴，故②正确，
∵抛物线与x轴交于，抛物线对称轴，
抛物线与x轴的另外一个交点为，
时，，
，
，
，即，故③错误，
抛物线与x轴有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，
，故④正确，
，
，故⑤正确，
故正确的有4个，
故选：C．
9．【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和二次函数的关系，根的判别式的意义；
分两种情况：①方程有两个相等的实数根，且在的范围内时，可得，求出和，再根据确定m的范围，得到此时m的值；②方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时，根据一元二次方程的解和二次函数的关系得出不等式组，求解即可．
【详解】解：①当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时，
则，
解得：，
此时，
∴，
解得：，
∴；
②当一元二次方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时，
∴或，
解不等式组得该不等式组无解；
解不等式组得：，
综上，m的取值范围为：或，
故选：D．
10．【答案】B
【分析】先求出三点的坐标，进一步可得点的坐标；再利用待定系数法求出直线的解析式，可得点的坐标，从而可得点的坐标，即可求解．
【详解】解：令，则，
令，则，解得：，
∴，
∵，
令，则，解得：，
∴，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令，则，
∴，
∵过点E的直线平行于x轴，
令，则，
解得：，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题以及抛物线上点的坐标，解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
11.【答案】6
【解析】当y=0时,2(x-1)(x+5)=0,解得x1=1,x2=-5,∴二次函数y=2(x-1)(x+5)的图象与x轴的交点坐标是(1,0),(-5,0),∴两个交点之间的距离是1-(-5)=6.
12. 【答案】-3【解析】由图象可知,当-3kx+m的解集是-313．【答案】或
【分析】本题考查了二次函数与方程的关系，求得函数的顶点坐标，然后结合图像即可求解．
【详解】解：∵
∴顶点坐标为
∴与直线有3个交点，
观察图像，当方程有两个实数根时，常数k满足的条件是为或，
故答案为：或．
14．【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，注意数形结合的思想方法．
【详解】解∶由可得：
，
当时，，
当时，，
故的一个近似根，
距离x轴更近，
的一个近似根是，
的另一个近似根是
故答案为：或
15．【答案】5
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的交点横坐标为和，再根据根与系数的关系得到，，则，，所以函数化为函数，即，利用交点式得到、的坐标是，，从而得到的长度．
【详解】解：当时，，当或时，，
抛物线与轴的交点横坐标为和，
，，
，，
，
函数化为函数，即，
函数与轴的交点、的坐标是，，
．
故答案为5．
16．解析　(1)∵抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,∴k2+k-6=0,解得k1=
-3,k2=2.
又∵抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k与x轴有两个交点,∴方程x2+(k2+k-6)x+3k=0有两个不等的实根,∴Δ=02-4×3k>0,∴k<0,∴k=-3.
(2)由(1)知抛物线的解析式为y=x2-9.
∵点P到y轴的距离是2,∴点P的横坐标为2或-2,当x=2时,y=-5,当x=-2时,y=
-5.∴点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5).
17.【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
（1）根据图象在x轴上方时即可求得x的取值范围；
（2）根据图象开口向下，最大值为y= 2可得k的取值范围．
【详解】（1）解∶由图象可得在时，抛物线在轴上方，
的解集为．
（2）抛物线开口向下，且函数最大值为2，
当时，直线与抛物线有两个交点，
即当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
18．【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，新定义，抛物线与轴的交点问题；
（1）将一元二次方程的根转化为抛物线与轴交点问题，由一个根比另一个根大可得抛物线与轴交点距离对称轴个单位，从而求解．
（2）由方程的一个解为可得另一根为或，然后根据根与对称轴的关系分类求解．
（3）由抛物线上点，坐标求得抛物线对称轴为直线，进而求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
的解或，
把代入得，
解得，
故答案为：．
（2）解：∵的解为或
∴或
（3）解：∵相异两点M，N都在抛物线上，
∴的对称轴为直线，
∵是“友好方程”，
∴一元二次方程的根为或
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