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21.4 二次函数的应用 导学案
(一)学习目标:
1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实阮总问题。
2.进一步理解二次函数图象的顶点坐标与函数的最值关系。
3.经历问题探究的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值。
(二)学习重难点:
重点:将简单的实际问题转化为数学问题,分析和表示变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值。
难点:正确理解题意,从实际问题中抽象出二次函数模型。
阅读课本,识记知识:
1.列二次函数解应用题
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的,不同的是,学习了二次函数后,表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式,对于应用题要注意以下步骤
(1)审清题意,弄清题中涉及哪些量,已知量有几个,已知量与变量之间的基本关系是什么,找出等量关系(即函数关系);
(2)设出两个变量,注意分清自变量和因变量,同时还要注意所设变量的单位要准确;
(3)列函数表达式,抓住题中含有等量关系的语句,将此语句抽象为含变量的等式?这就是二次函数;
(4)按题目要求,结合二次函数的性质解答相应的问题;
(5)检验所得解是否符合实际,即是否为所提问题的答案;
(6)写出答案.
要点诠释:常见的问题,求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系,把实际问题转化为函数问题,列出相关的函数关系式.
2.建立二次函数模型求解实际问题的一般步骤:
(1)恰当地建立直角坐标系;
(2)将已知条件转化为点的坐标;
(3)合理地设出所求函数关系式;
(4)代入已知条件或点的坐标,求出关系式;
(5)利用关系式求解问题.
注意:(1)利用二次函数解决实际问题,要建立数学模型,即把实际问题转化为二次函数问题.利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系,建立函数关系式,再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
【例1】如图,将一根长2 m的铁丝首尾相接围成矩形,则围成的矩形的面积的最大值是( )
A. m2 B. m2 C. m2 D.1 m2
【答案】A
【分析】设矩形的一边长为x m,则其邻边长为(1-x)m.设矩形的面积为S m2,则S=x(1-x)=-x2+x=-+(0【例2】 “燎原书店”销售某种中考复习资料,若每本可获利x元,一天可售出(200-10x)本,则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为( )
A.500元 B.750元 C.1 000元 D.4 000元
【答案】 C
【分析】设日利润为y元,由题意得y=(200-10x)x=-10(x-10)2+1 000,∴当x=10时,y有最大值1 000,即一天出售该种中考复习资料的日利润最大为1 000元.
选择题
1.由于长期受新型冠状病毒的影响,核酸检测试剂需求量剧增,某医院去年一月份用量是8000枚,二、三两个月用量连续增长,若月平均增长率为x,则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y(枚)与x的函数关系式是( )
A. B.
C. D.
2.如图,要在夹角为30°的两条小路OA与OB形成的角状空地上建一个三角形花坛,分别在边OA和OB上取点P和点Q,并扎起篱笆将花坛保护起来(篱笆的厚度忽略不计).若OP和OQ两段篱笆的总长为60 m,则该花坛(△POQ)面积的最大值为 m2.
3.如图,一名男生推铅球,铅球行进高度(单位:)与水平距离(单位:)之间的关是.则他将铅球推出的距离是( )
A. B. C. D.
4.某超市销售一种商品,每件成本为50元,销售人员经调查发现,该商品每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足函数关系式y=-5x+550,若要求销售单价不得低于成本,为使每月所获利润最大,该商品销售单价应定为多少 每月最大利润是多少 ( )
A.90元,4 500元 B.80元,4 500元
C.90元,4 000元 D.80元,4 000元
5.一边靠墙(墙有足够长),其他三边用米长的篱笆围成一个矩形花园,这个花园的最大面积是( )平方米.
A.56 B.66 C.72 D.144
6.将进货价格为35元的商品按单价40元售出时,能卖出200个.已知该商品单价每上涨1元,其销售量就减少5个.设这种商品的售价上涨元时,获得的利润为元,则下列关系式正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图,在边长为10的正方形中,E,F,C,H分别是边,,,上的点,且.设A,E两点间的距离为x,四边形的面积为y,则y与x的函数图象可能为()
A. B.
C. D.
8.如图①,某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线)的薄壳屋顶.已知它的拱宽为4米,拱高为0.8米.为了画出符合要求的模板,通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式.图②是以所在的直线为x轴,所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系,则图②中的抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
9.在抛掷实心球时,实心球运动的高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的函数关系式是,下列结论正确的是()
A.当时,实心球离地面的高度最小
B.实心球在空中飞行的最大高度是
C.投掷实心球的距离是
D.如果实心球在空中飞行速度是,则实心球从飞出到落地的时间为
10.如图1,在中,,,,动点从点开始沿边AB向点匀速移动(点的速度小于),同时动点从点开始沿边BC向点匀速移动,点到达时,点恰好到达C.的面积关于出发时间的函数图象如图2所示,则点的运动速度为( )
A. B. C. D.
填空题
11.某市的一种特产由于运输问题,长期只能在当地销售,该市政府对该特产的销售投资与收益的关系:每年投资x万元,可获利P=-(x-60)2+46(单位:万元),每年最多投入100万元的销售投资,则5年所获利润的最大值为 .
12.如图,高腾同学在校运会跳高比赛中采用背跃式,跳跃路线是一条抛物线,他跳跃的高度y(单位:m)与跳跃时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-x2+x+,那么他能跳过的最大高度为 m.
13.某超市销售一种饮料,每瓶进价为6元.当每瓶售价为10元时,日均销售量为160瓶,经市场调查表明,每瓶售价每增加1元,日均销售量减少20瓶.若超市计划该饮料日均总利润为700元,且尽快减少库存,则每瓶该饮料售价为 .
14.小华酷爱足球运动一次训练时,他将足球从地面向上踢出,足球距地面的高度(单位:)与足球被踢出后经过的时间(单位:)之间的关系为:,则足球距离地面的最大高度为 m.
15.跳绳是大家喜爱的一项体育运动,当绳子甩到最高处时,其形状视为一条抛物线.如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图,并且相距4米,现以两人的站立点所在的直线为x轴,其中小冬拿绳子的手的坐标是.身高米的小丽站在绳子的正下方,且距y轴的距离为1米,绳子刚好经过她的头顶.若身高米的小伟站在这条绳子的正下方,他距y轴m米,则m的取值范围为 .
三、解答题
16.某工厂现有74台机器,每台机器平均每天生产360件产品,现准备增加一批同类机器以提高生产总量,在试生产中发现,由于其他生产条件没变,因此每增加一台机器,每台机器平均每天将少生产4件产品.
(1)如果增加台机器,每天的生产总量为件,求与之间的关系式,并写出的取值范围;
(2)在(1)的条件下,增加多少台机器,可以使每天的生产总量最大,最大总量是多少?
17.某公司计划购进一批原料加工销售,已知该原料的进价为6.2万元/t,加工过程中原料的质量有20%的损耗,加工费m(万元)与原料的质量x(t)之间的关系为m=50+0.2x,销售价y(万元/t)与原料的质量x(t)之间的关系如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)设销售收入为P(万元),求P与x之间的函数关系式;
(3)原料的质量为多少吨时,所获销售利润最大 最大销售利润是多少万元 (销售利润=销售收入-总支出).
18.2023年7月,第31届世界大学生夏季运动会在成都举办,让四川成为了全世界年轻人关注的焦点,其中大运会吉祥物蓉宝也广受欢迎,成为热销商品.某商家以每套42元的价格购进一批蓉宝.若该商品每套的售价是50元时,每天可售出180套;若每套售价提高2元,则每天少卖4套.
(1)设蓉宝每套售价定为元时,求该商品销售量(套)与之间的函数关系式;
(2)求每套售价定为多少元时,每天销售所获利润最大,最大利润是多少元?
(一)课后反思:
本节课我学会了:
本节课存在的问题:
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1.【答案】B
【分析】本题考查二次函数的应用,设月平均增长率为x,根据题意列出函数关系式即可.
掌握增长率问题中增加量平均增长率原销售量,抓住公式列函数式是解题关键.
【详解】设月平均增长率为x,
根据题意得,.
故选:B.
2.【答案】225
【解析】如图,作PC⊥OB于点C,设OP长为x m,△POQ的面积为S m2.则OQ长为(60-x)m,∵∠POQ=30°,∴PC=OP=x(m),∴S=×x·(60-x)=-(x-30)2+225(03.【答案】C
【分析】此题把函数问题转化为方程问题来解,渗透了函数与方程相结合的解题思想方法.成绩就是当高度时x的值,所以解方程可求解.
【详解】解:当时,
解之得(不合题意,舍去),
所以推铅球的距离是10米.
故选:C.
【答案】B
【分析】设每月所获利润为w元,依题意得w=y(x-50)=(-5x+550)(x-50)=-5x2+800x-
27 500=-5(x-80)2+4 500,∵-5<0,∴图象开口向下,∴当x=80(80>50)时,w有最大值,为4 500,∴为使每月所获利润最大,该商品销售单价应定为80元,每月最大利润是4 500元.
5.【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用,设矩形垂直于墙的边长为米,面积为平方米,根据矩形的面积公式即可求出函数解析式,再利用配方法即可求出函数最值,解题的关键在于找出等量关系列出函数解析式.
【详解】解:设矩形垂直于墙的边长为米,面积为平方米,
根据题意得:,
∵,
∴当时,取最大值,最大值为,
故选:.
6.【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用,解题关键是理解“单价没上涨1元,其销售量就减少5元”的含义.
根据获得的利润销售量每个利润,设这种商品的售价上涨元时,获得的利润为元;即每个利润为元,销售量为:个,结合获得的利润为元,可得与的函数关系式,化简即可.
【详解】上涨前每件商品的利润为元,能卖出200个,上涨元后利润为元,能卖出个,根据题意得:
即:
故选:C
7.【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的综合,熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
本题需先设正方形的边长为,然后得出与是二次函数关系,从而得出函数的图象.
【详解】解:设正方形的边长为,则,
∴与的函数图象是A.
故选:A.
8.【答案】A
【分析】根据图形,设解析式为,根据,,构建方程组求解即得.
本题主要考查了二次函数的实际应用.熟练掌握待定系数法确定二次函数解析式,结合抛物线在坐标系的位置,将二次函数解析式设为适当的形式,是解题的关键.
【详解】∵抛物线关于y轴对称,
∴设解析式为,
由题知,,
得,
解得,
∴.
故选:A.
9.【答案】C
【分析】本题考查二次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.
根据二次函数的性质以及题意,可以判断各个选项中的说法是否正确,从而可以解答本题.
【详解】解:∵,
∴当时,取得最大值,此时,故选项A、B错误,
当时,,
解得(舍去),故选项C正确,
当时,,如果实心球在空中飞行速度是,则实心球从飞出到落地的时间为,故选项D错误,
故选:C.
10.【答案】C
【分析】本题考查动点问题的函数图象,解题的关键是明确题意,列出相应的函数关系式,可以根据函数关系式判断随着自变量的变化相应的函数图象如何变化;
根据题意可以分别得到和的长,从而可表示出三角形的面积,结合函数图象,从而可以确定点的运动速度.
【详解】解:∵.
且点P到达点B时,点Q到达点C.
设点P的速为,则点Q的速度,
∴,
∵
,
因为函数图象过点,
∴,
,
,
解得:,
点P的速度小于,
∴点P的运动速度为,
故选:C.
11.【答案】230万元
【解析】 ∵P=-(x-60)2+46,012. 【答案】
【解析】 ∵y=-x2+x+=-(x-1)2+,∴他能跳过的最大高度为m.
13.【答案】11元
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用,根据“总利润每瓶利润日均销售量”列方程求解可得.
【详解】解:设每瓶该饮料售价为元,
由题意可知,,
整理得,解得,,
当时,日均销售量为(瓶),
当时,日均销售量为(瓶),
,为尽快减少库存,每瓶该饮料售价为11元.
故答案为:11元.
14.【答案】9
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质,利用二次函数求最值,解题的关键是熟悉二次函数的性质,即顶点的纵坐标是函数的最值;
开口方向向下,最大值为顶点坐标纵坐标,由公式可得答案.
【详解】
,,,
足球距离地面的最大高度为抛物线的顶点坐标的纵坐标,
函数的对称轴为:,
当时,h最大,
将代入中得,
故答案为:9
15.【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用, 依据题意,设解析式为,再由小丽的坐标,且过,求出,,最后令时,求出,进而表示出的范围.解题的关键掌握待定系数法求二次函数解析式.
【详解】解:由题意,可知对称轴是:直线,
设解析式为,
又∵小丽头顶的坐标,且过,
∴
解得:,
解析式为.
当时,
或.
.
故答案为:.
16.【答案】(1)
(2)台,件
【分析】本题主要考查了列二次函数的关系式,求二次函数最大值,
对于(1),根据总产量机器的台数每台机器产量列出关系式,再整理即可;
对于(2),根据二次函数图象的性质讨论极值.
【详解】(1)根据题意,得,
∵解得:;
(2)∵中,
∴二次函数图象有最高点,函数有最大值,
即当,.
所以增加8台机器,可以使每天的生产量最大,最大总量是26896件.
17.【解析】 (1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,
将(20,15),(30,12.5)代入,得
解得
∴y与x之间的函数关系式为y=-0.25x+20.
(2)P=(1-20%)xy=0.8(-0.25x+20)x=-0.2x2+16x,
∴P与x之间的函数关系式为P=-0.2x2+16x.
(3)设销售利润为W万元,
∴W=P-6.2x-m=-0.2x2+16x-6.2x-(50+0.2x),
化简,得W=-0.2x2+9.6x-50,
整理,得W=-0.2(x-24)2+65.2,
∵-0.2<0,∴当x=24时,W有最大值,为65.2,
∴原料的质量为24吨时,所获销售利润最大,最大销售利润是65.2万元.
18.【答案】(1)
(2)每套售价定为元时,每天销售所获利润最大,最大利润是元.
【分析】(1)本题主要考查了一次函数的应用,根据“该商品每套的售价是50元时,每天可售出180套;若每套售价提高2元,则每天少卖4套.”列出解析式,即可求解.
(2)本题主要考查了二次函数的实际应用,根据利润等于每件的利润乘以销售量,可得到函数关系式,再利用二次函数的性质,即可求解.
【详解】(1)解:由题意得,,即.
(2)解:由题知,
,二次函数开口向下,有最大值,
即当时,最大,最大利润为元,
故每套售价定为元时,每天销售所获利润最大,最大利润是元.
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