1.4空间向量的应用同步练习卷（含解析）-高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册

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1.4空间向量的应用同步练习卷-高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
一、单选题
1．已知，则到直线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
2．在空间直角坐标系中，已知点，若点到平面的距离为，则点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知棱长为2的正方体，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图,二面角等于,是棱上两点, 分别在半平面内, ,, 且则的长等于（ ）
A．4 B． C． D．
6．如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，已知，，垂足，为两个不同的点，且，设直线与所成的角为，二面角的大小为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A．或 B．或1 C．或2 D．
8．如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设，分别是直线，的方向向量，，分别是平面，的一个法向量，则（ ）
A．若，则
B．若，，且，则与的夹角为
C．若，则直线与平面所成的角为
D．若，且，则
10．如图所示，已知正方体的边长为2，E、F、G、H分别为、BC、CD、的中点，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．平面AEF
C．点到平面AEF的距离为2
D．二面角的大小为
11．如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．直线和所成的角为
B．四面体的体积是
C．点到平面的距离为
D．平面与平面所成二面角的正弦值为
三、填空题
12．设直线的方向向量，平面的法向量，若，则 .
13．设分别是平面α，β的法向量，则平面α与平面β的夹角是 ．
14．如图，在正方体中，为棱的中点．动点沿着棱从点向点移动，对于下列三个结论：
①存在点，使得；
②的面积越来越大；
③四面体的体积不变．
所有正确的结论的序号是 ．
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围．
16．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为等边三角形，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
17．在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，，，为的中点.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
18．如图，在正方体中，已知棱长为4，点E，F分别在，上，.
(1)求异面直线AE和所成角的余弦值;
(2)求直线AE和平面所成角的正弦值；
(3)求平面和平面所成角的余弦值.
19．如图，三棱柱的所有棱长都是平面分别是的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由.
参考答案：
1．D
【分析】先求出与同方向的单位向量的坐标，继而计算和，代入点到直线的距离的向量公式计算即得.
【详解】由可知,
则与同方向的单位向量为，
又 , ,
故点到直线的距离为.
故选：D.
2．D
【分析】利用点到平面距离的向量求法逐项检验可得答案.
【详解】对于A，当时，设为平面的一个法向量，
，，
所以，即，令，则，
则点到平面的距离为，故A错误；
对于B，当时，设为平面的一个法向量，
，，
所以，即，令，则，
则点到平面的距离为，故B错误；
对于C，当时，设为平面的一个法向量，
，，
所以，即，令，则，
则点到平面的距离为，故C错误；
对于D，当时，设为平面的一个法向量，
，，
所以，即，令，则，
则点到平面的距离为，故D正确.
故选：D.
3．D
【分析】分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解.
【详解】如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设异面直线与所成角为，
则 ，
所以异面直线与所成角为.
故选：D.
4．D
【分析】设正方体的棱长，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出平面的法向量的坐标，求出的坐标，求出向量，的夹角的余弦值，进而求出直线与平面所成的角的正弦值，进而可得它的余弦值，再由函数的单调性，可得余弦值的取值范围．
【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长2，，，0，，，2，，，1，，，2，，
则，1，，，，
则，0，，，2，，
设平面的法向量，，，
则，即，令，
可得，1，，
，，，
，
设直线与平面所成的角为，，，
所以，
所以
，
设，
则，
设，，，
当时，即，
则，时，函数单调递减，，时，函数单调递增，
而时，；当时，；
当时，，
所以，时，，，所以，，
进而可得，
所以，．
故选：D．
5．A
【分析】借助向量来解决,由二面角的平面角的定义可得,求的模即为的长.
【详解】由二面角的平面角的定义知,,
由,,得,,,
,
所以,即．
故选：A．
6．A
【分析】由直线与直线夹角和二面角的范围求解即可.
【详解】由题意可知，，
.
且由图可知二面角为锐角，.
故选：A
7．B
【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可
【详解】因为
所以，
因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，化简得，解得或1．
故选：B
8．D
【分析】建系，求出相关点的坐标，用表示出，证明平面，求得平面的法向量，由条件得到，将的表达式整理成二次函数，利用其最小值即得.
【详解】
如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则有,
依题意，，
,
于是，.
又因平面，平面,则,
又,平面，故平面,
故平面的法向量可取为，
因平面，故，即.
则
，
因，故当时，.
故选：D.
9．AC
【分析】利用直线方向向量与平面法向量的位置关系，逐一分析各选项即可得解.
【详解】，分别是直线，的方向向量，，分别是平面，的一个法向量，
对于A，易知若，则，故A正确；
对于B，由，可知，直线，，
显然当与平行时，直线可以满足，故B错误；
对于C，当时，直线与平面所成的角为，故C正确；
对于D，若，
则直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，
又，则直线所成角可以为，即直线与不平行，故D错误.
故选：AC.
10．ABC
【分析】建系标点，对于AB：利用空间向量判断空间中线、面关系；对于C：利用空间向量求点到面的距离；对于D：利用空间向量求二面角.
【详解】以D为原点，DA，DC，所在直线分别为为x，y，z轴所在直线，建立空间直角坐标系，

则,,,,,,,，，
对于选项A：可得,．
因为，则，故A正确；
对于选项B：可得，，
设为平面AEF的一个法向量，则，
令，则，可得，
因为，即，
且平面AEF，所以平面AEF，故B正确；
对于选项C：因为，
所以点到平面AEF的距离为，故C正确；
对于选项D：由题意可知：是平面AFC的一个法向量，
则，
所以二面角的大小不是，所以D不正确．
故选：ABC.
11．BCD
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算A、C、D，利用割补法求出四面体的体积，即可判断B.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则，，，
对于A，，故，
故，即直线和所成的角为，故A错误；
对于B，易得四面体为正四面体，
则，故B正确；
对于C，，
设平面的法向量为，则有，
令，则，故点到平面的距离，故C正确；
对于D，设平面的法向量为，则有，
令，则，所以，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为，故D正确．
故选：BCD
12．
【分析】利用空间位置关系的向量证明可得，再列式计算即得.
【详解】由，得，则，所以.
故答案为：1
13．
【分析】
利用向量的夹角公式求出两个法向量的余弦，再根据平面与平面夹角的范围即可求出角的大小.
【详解】∵分别是平面α，β的法向量，
∴，
∵平面和平面夹角范围是，
∴平面α与平面β的夹角为．
故答案为：．
14．①③
【分析】
建立空间直角坐标系，设，表出各点坐标，设出（），列出方程，求出m的值；判断结论①，利用点到直线距离的向量公式表达出P到直线距离，表达出的面积，进而判断结论②；③把作为底，高为点P到底面的距离，可以判断结论③.
【详解】如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，设，
则，
令，解得：，所以存在点，使得，故①正确；
，，
设点到直线距离为，则，
所以，
因为，动点沿着棱从点向点移动，
所以从逐渐变到，随着的变大，的面积越来越小，②错误；
以为底，高为点到上底面的距离，
因为底面，所以不变，所以四面体的体积不变，③正确．
故答案为：①③．
【点睛】
方法点睛：求点到直线的距离，方法如下：
（1）等面积法：根据即可求出点到直线的距离；
（2）空间向量法：根据可得出点到直线的距离.
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过计算得出,取线段的三等分点（靠近点）证明平面平面即得；
（2）依题建系，设与轴成角，分别求得点坐标和两平面的法向量，计算它们夹角的余弦值的表达式，求其值域即得.
【详解】（1）
如图，连接，两线交于点，因则，，
在中，设，由余弦定理，，解得，则,
由题意知：共线且，取线段的三等分点（靠近点），
连接，则点是的中点，因为的中点，故有,
又平面，平面，故得，平面①
因且，易知为菱形，故得，
又平面，平面，故得，平面②
由① ，② ，因平面，故平面平面，
因平面，则平面.
（2）
如图，分别以，过点竖直向上的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设与轴成角，因，则且,
又，故即二面角的平面角，则，
于是，又.
则，
设平面的一个法向量为，则，可取；
又,
设平面的一个法向量为，则，可取.
设平面与平面的夹角为，则，
设，因，则，，
设，则，，
记，因函数在上单调递增，故，
则，故，
即平面与平面的夹角的余弦值的取值范围为.
【点睛】思路点睛：当在平面内难找到与已知直线平行的直线时，常构造面面平行得线面平行；对于两平面所成的二面角的平面角难得到时，常考虑建系，有时还需设变量，将问题转化成求变量的函数的值域来解决.
16．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，结合勾股定理的逆定理，利用线面垂直的判定推理即得.
（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用线面垂直的向量求法求解即得.
【详解】（1）在四棱锥中，正方形的边长为2，取的中点，连接，，
由，，得，由为的中点，得，
由为等边三角形，得，于是，即，
又，则，而，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，平面，则平面，
而平面，于是平面平面，在平面内过点作，
又平面平面，因此平面，即直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
有，
在中，由，，得，，
设平面的法向量为，，，
则，取，得，
设平面的法向量为，，，
则，取，得，
因此，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）为中点，连接、，由中位线、等腰直角三角形的性质易得、，再根据线面垂直的判定及性质可证结论.
（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，由法向量的夹角公式即可得解.
（3）假设存在N使面面PAB且，，由（2）易得，进而求面的法向量，由面面垂直易得求参数，即可确定存在性.
【详解】（1）若为中点，连接、，又M为AB的中点.
∴，由，则，
又△为等腰直角三角形，，易知：，
由，则面，
∵面，
∴.
（2）由（1）可构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，
∴，则，，，
若为面的一个法向量，则，令，即，
若为面的一个法向量，则，令，即，
∴，
由图可知二面角为锐角，则二面角的余弦值为.
（3）若存在N使得平面平面，且，，
由（2）知：，，则，，
若是面的一个法向量，则，令，则，
∴，可得.
∴存在N使得平面平面，此时.
18．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间角的向量求法分别求出线线角、线面角、面面角.
【详解】（1）在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
于是，，
所以异面直线AE和所成角的余弦值.
（2）由（1）知，，，
设平面的法向量为，则，令，得，
于是，
所以直线AE和平面所成角的正弦值.
（3）由（2）知，平面的法向量，显然平面为，
则，
所以平面和平面所成角的余弦值为.
19．(1)证明见解析；
(2)存在，理由见解析.
【分析】（1）由已知，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，则由两个法向量数量积等于零，即可得到平面平面.
（2）设出点的坐标，由点到平面的距离为，列出方程，方程有解，则存在点.
【详解】（1）如图，取的中点，连接，则，
又平面，所以平面，
所以两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，.
所以，
.
设分别为平面和平面的法向量，
由，得
令，则，
是平面的一个法向量.
由，得
令，则，
是平面的一个法向量，
，
平面平面.
（2）假设在线段（含端点）上存在点，使点到平面的距离为，
设，则.
由，解得：（舍去）或，
故在线段上存在点（含端点），
使点到平面的距离为.
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