3.2 函数与方程、不等式之间的关系——高一数学人教B版(2019)必修第一册课时优化训练（含解析）

3.2 函数与方程、不等式之间的关系
——高一数学人教B版(2019)必修第一册课时优化训练
1.若函数的唯一零点是-2，则实数a的可能取值为( )
A.-2 B.0 C. D.
2.函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
3.若函数有两个不同的零点，，且满足，则实数t的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.若二次函数的两个零点一个大于0，一个小于0，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.观察下列函数的图象，判断能用二分法求函数的零点的是( )
A. B.
C. D.
6.已知函数的两个零点分别为，，其中，，则( )
A. B.
C. D.
7.“函数在区间上满足”是“函数在区间内至少有一个零点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知奇函数的定义域为R，其图象是一条连续不断的曲线，若，则函数在区间内的零点个数至少为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.（多选）已知函数的图象是一条不间断的曲线，它的部分函数值如下表，则( )
x 1 2 3 4 5 6
y 202.301 52.013 -10.581 3.273 -10.733 -156.314
A.在区间上不一定单调
B.在区间内可能存在零点
C.在区间内一定不存在零点
D.至少有3个零点
10.（多选）已知函数以下结论正确的是( )
A.
B.在上单调递增
C.若方程无实根，则
D.若函数在上有8个零点，则所有零点之和为10
11.函数在区间上的零点为___________.
12.已知二次函数的零点为-1和2，则关于x的不等式的解集为___________.
13.函数，若，则，，的大小关系是__________（用“<”连接）.
14.已知函数的两个零点都大于2，则实数m的取值范围是__________.
15.设函数.
（1）若函数是偶函数，求实数a的值.
（2）若，记，求证：函数在上有零点.
答案以及解析
1.答案：BD
解析：由题意，得关于x的方程有唯一实数解.当时，符合题意；当时，的解是，所以.所以或.故选BD.
2.答案：B
解析：因为的定义域为，所以，所以函数在上单调递减，又，，所以函数有唯一零点，所以函数的零点所在区间为.
3.答案：C
解析：令，则，所以只需满足，即，解得.
4.答案：A
解析：设两个零点分别为，，则解得，故选A.
5.答案：A
解析：由题图可知，B，D选项中的函数无零点，A，C选项中的函数有零点，C选项中函数零点两侧的函数值符号相同，A选项中函数零点两侧的函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值.
6.答案：B
解析：设，令，则或，所以a，b是的两个零点.函数的图象可以看成的图象向下平移2个单位得到，且，，如图所示，所以.
7.答案：D
解析：记满足，但函数在区间内不存在零点，故充分性不成立.函数在内有零点，但，故必要性不成立，故选D.
8.答案：C
解析：由题意得，由，得，所以，故函数在内至少存在1个零点，由奇函数的性质，可知函数在内至少存在1个零点，所以函数在内至少存在3个零点.
9.答案：ABD
解析：由题中表格可知，，，，所以，，，又函数的图象是一条不间断的曲线，所以函数在区间，，内存在零点，即至少有3个零点，故D正确；由于只知道，的函数值，故无法判断在区间上的单调性，故A正确；虽然，，但不知道函数在内的取值情况，所以函数在内可能存在零点，故B正确，C错误.
10.答案：ABC
解析：由题意，得，，故，A正确；如图，由的图象知在上单调递增，B正确；若方程无实根，即函数的图象与直线无交点，由图象可知，此时，C正确；若函数在上有8个零点，即函数的图象与直线在上有8个不同的交点，则，由函数图象的对称性知，其零点之和为，D错误.
11.答案：
解析：方程的两个根分别为，，所以函数在区间上的零点为.
12.答案：
解析：二次函数的零点为-1和2，图象是开口向上的抛物线.由二次函数的零点与对应不等式解集之间的关系，可得关于x的不等式的解集为.
13.答案：
解析：令，解得或，即函数的零点为0和a，又，由函数零点存在定理，得.，，，所以，，.又，所以，所以.
14.答案：
解析：若函数的两个零点都大于2，则其图象与x轴的两个交点都在直线的右侧，如图所示.根据图象得解得.
15.答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）若函数是偶函数，则，即，
所以，解得，
此时，
又的定义域为R，，满足为偶函数，
所以.
（2）因为，
所以，.
因为，所以，，即，，
所以，，
所以当时，恒成立，
又函数的图象是连续的，
故函数在上有零点.