4.4 幂函数（含答案）高一数学人教B版(2019)必修第二册课时优化训练

4.4 幂函数
——高一数学人教B版(2019)必修第二册课时优化训练
1.已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
2.在同一坐标系中，函数，的图象不可能是( )
A. B.
C. D.
3.已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则( )
A. B. C. D.
4.函数，不论a为何值，的图象均过点，则实数b的值为( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
5.若，，，则( ).
A. B. C. D.
6.若幂函数的图象过点，且，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是( )
A. B.是减函数
C.是奇函数 D.是偶函数
8.已知幂函数在上单调递增，函数，，，使得成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.（多选）若幂函数是奇函数，则m的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.（多选）已知幂函数的图象经过点，则( )
A.函数为减函数
B.函数为偶函数
C.当时，
D.当时，
11.若幂函数的图象过点，则的值是_________.
12.幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为__________.
13.已知幂函数的图象经过点，且满足条件，则实数a的取值范围是__________.
14.已知幂函数在上单调递减，若，则a的取值范围为_________.
15.已知幂函数的图象过点.
（1）求实数n的值；
（2）设函数，用定义证明：在上单调递减.
答案以及解析
1.答案：B
解析：是幂函数，设，将代入解析式，
得，解得，故，则，
故，解得.故选B.
2.答案：D
解析：当时，的图象不过原点且在第一象限，单调递减；的图象在第四象限且单调递增，如选项C所示.
当时，且，，没有符合要求的图象.
当时，的图象在第一象限且单调递减.
当时，的图象过原点，在第一象限且单调递增，且增长得越来越慢，没有符合要求的图象；
当时，的图象过原点，在第一象限且单调递增，如A，B所示.故选D.
3.答案：C
解析：因为为幂函数，
所以，即，解得或，
则或.
又因为的图象与坐标轴没有公共点，
所以，则，故选C.
4.答案：A
解析：幂函数的图象过定点，的图象过定点，结合已知条件可知，则.
5.答案：C
解析：指数函数为减函数，所以，即.幂函数在区间上为增函数，所以，即.因此.
6.答案：B
解析：由已知条件可得，解得，则，
所以函数在R上为增函数.
由可得，解得.故选B.
7.答案：C
解析：函数为幂函数，则，解得或.
当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A;
当时，在区间上单调递减，满足题意.
函数在和上单调递减，但不是减函数，排除B;
因为函数定义域关于原点对称，且，
所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.
故选：C.
8.答案：A
解析：因为幂函数在上单调递增，所以解得，即.
当时，的取值范围为.
又因为函数在R上为增函数，所以当时，的取值范围为.
因为，，使得成立，所以，，即，解得.故选A.
9.答案：BD
解析：因为函数是幂函数，所以，解得或.当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意；当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意.故选BD.
10.答案：CD
解析：设幂函数，则，解得，所以，定义域为.
A选项，因为，故在上为增函数，故A错误；
B选项，因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误；
C选项，由A可知，在上单调递增，故当时，，故C正确；
D选项，当时，
，
又，所以，D正确.故选CD.
11.答案：5
解析：由题意知，所以.
12.答案：
解析：由题意可知，解得或.当时，在区间上单调递增，故不满足题意；当时，在区间上单调递减，满足题意.故.
13.答案：
解析：设，则，，即，，，.
14.答案：
解析：幂函数在上单调递减，则解得.不等式化为，显然函数在R上单调递增，
因此，解得，
所以a的取值范围为.
15.答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由函数是幂函数，得，解得.
当时，函数的定义域为，显然此函数图象不可能过点，即不符合题意；
当时，函数的定义域为，显然此函数图象可以过点，
所以，函数，.
（2）证明：由（1）知，函数，则函数.
任取，且，
则，
由，得，且，因此，
则，即，
所以函数在上单调递减.