4.6 函数的应用(二)
——高一数学人教B版(2019)必修第二册课时优化训练
1.推动小流域综合治理提质增效,推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一.某乡村落实该举措后因地制宜,发展旅游业,预计2023年平均每户将增加4000元收入,以后每年度平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以10%的增速增长的,则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12000元的年份大约是( )
(参考数据:,,)
A.2033年 B.2034年 C.2035年 D.2036年
2.由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈,美国加大了对我国一些高科技公司的打压,为突破西方的技术封锁和打压,我国的一些科技企业积极实施了独立自主、自力更生的策略,在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题,实现芯片制造的国产化,加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元,在此基础上,计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%,则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是( )参考数据:,,.
A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年
3.锂电池在存放过程中会发生自放电现象,其电容量损失量随时间的变化规律为,其中Q(单位)为电池容量损失量,p是时间t的指数项,反映了时间趋势由反应级数决定,k是方程剩余项未知参数的组合,与温度T和电池初始荷电状态M等自放电影响因素有关.以某种品牌锂电池为研究对象,经实验采集数据进行拟合后获得,相关统计学参数,且预测值与实际值误差很小.在研究M对Q的影响时,其他参量可通过控制视为常数,电池自放电容量损失量随时间的变化规律为,经实验采集数据进行拟合后获得,相关统计学参数,且预测值与实际值误差很小.若该品牌电池初始荷电状态为,存放16天后,电容量损失量约为( )
(参考数据为:)
A.100.32 B.101.32 C.105.04 D.150.56
4.宇宙之大,粒子之微,无处不用到数学.2023年诺贝尔物理学奖颁给了“阿秒光脉冲”,光速约为,1阿秒等于.现有一条的线段,第一次截去总长的一半,以后每次截去剩余长度的一半,若要使其长度小于光在1阿秒内走的距离,则需要截(参考数据:,)?( )
A.30次 B.31次 C.32次 D.33次
5.如今我国物流行业蓬勃发展,极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系(a,b为常数),若该果蔬在的保鲜时间为,在的保鲜时间为,那么在时,该果蔬的保鲜时间为( )
A. B. C. D.
6.为了贯彻落实《中共中央、国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》,某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺,使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为,首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为,第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型(,),其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量,为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量,n为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准,若该企业排放的废水符合排放标准,则至少需要改良工艺(参考数据:,)( )
A.15次 B.16次 C.17次 D.18次
7.在固定电压差(电压为常数)的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度I(单位:A)与电线半径r(单位:mm)的三次方成正比.若电流通过半径为的电线时,电流强度为,则电流通过半径为的电线时,电流强度为( )
A. B. C. D.
8.国家新能源车电池衰减规定是在质保期内,电池的性能衰减不能超过,否则由厂家免费为车主更换电池.某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示:电池的性能平均每年的衰减率为,该品牌设置的质保期至多为( )
(参考数据:,)
A.12年 B.13年 C.14年 D.15年
9.(多选)研究表明,地震时释放的能量E(单位:J)与地震里氏震级M之间的关系为,则( )
A.震级为2级的地震释放的能量为
B.释放能量为的地震震级为3级
C.9级地震释放的能量是8级地震释放的能量的10倍
D.释放能量之比为的两场地震的震级相差2级
10.(多选)溶液酸碱度是通过来计量的.的计算公式为,其中表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.例如纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升,则纯净水的是7.当时,溶液呈酸性,当时,溶液呈碱性,当(例如:纯净水)时,溶液呈中性.我国规定饮用水的值在之间,则下列选项正确的是( )(参考数据:取)
A.若苏打水的是8,则苏打水中的氢离子浓度为摩尔/升
B.若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升,则胃酸的是
C.若海水的氢离子浓度是纯净水的倍,则海水的是
D.若某种水中氢离子的浓度为摩尔/升,则该种水适合饮用
11.近几年由于北京房价的上涨,二手房市场交易火爆.房子几乎没有变化,但价格却上涨了.小张在2010年以80万元的价格购得一套新房,假设这10年来价格年膨胀率不变,那么到2020年,这套房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是__________.
12.已知某种食品保鲜时间与储存温度有关,满足函数关系(y为保鲜时间,x为储存温度),若该食品在冰箱中的保鲜时间是144小时,在常温的保鲜时间是48小时,则该食品在高温的保鲜时间是_______小时
13.后疫情时代,人们的健身需求更加多样化和个性化.某健身机构趁机推出线上服务,健身教练进入直播间变身网红,线上具有获客、运营、传播等便利,线下具有器械、场景丰富等优势,线上线下相互赋能,成功吸引新会员留住老会员.据机构统计,当直播间吸引粉丝量不低于2万人时,其线下销售健身卡的利润y(单位:万元)随粉丝量x(单位:万人)的变化情况如下表所示.根据表中数据,我们用函数模型进行拟合,建立y关于x的函数解析式.请你按此模型估测,当直播间的粉丝量为33万人时,线下销售健身卡的利润大约为___________万元.
x(万人) 3 5 9
y(万元)
14.牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化:如果物体初始温度为,则经过一定时间t(单位:分钟)后的温度T满足,其中是环境温度,h为常数,现有一杯的热水用来泡茶,研究表明,此茶的最佳饮用口感会出现在.经测量室温为,茶水降至大约用时一分钟,那么为了获得最佳饮用口感,从泡茶开始大约需要等待_____________分钟.
(参考数据:.)
15.某市某区大力开展民心工程,近几年来对全区的老房子进行“平改坡”(“平改坡”是指在建筑结构许可条件下,将多层住宅平屋面改建成坡屋顶,并对外立面进行整修粉饰,达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为),且每年“平改坡”面积的百分比相等.若改造到原来面积的一半,所用时间需10年.已知到今年为止,“平改坡”剩余面积为原来的.
(1)求每年“平改坡”的百分比.
(2)问到今年为止,该“平改坡”工程已经进行了多少年?(参考数据)
答案以及解析
1.答案:C
解析:设经过n年之后,每年度平均每户收入增加y元,
由题得,即,
则,,
又,则.所以所求年份大约是2035年.
故选:C.
2.答案:D
解析:设2020年后第n年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元,
由得,
两边同取常用对数,得,所以,
所以从2026年开始,该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.
故选:D.
3.答案:C
解析:根据题意,可得,,,
代入,
可得,
因为该品牌电池初始荷电状 ,
所以存放16天后,电容量损失量,
故选:C.
4.答案:B
解析:根据已知可得,光在1阿秒内走的距离为.
设截x次后,剩余的长度为(单位:m),则.
令,可得,
结合函数的单调性,两边同时取对数可得,
所以.所以应当截31次.故选B.
5.答案:D
解析:由题得,,
所以时,,此时.故选D.
6.答案:B
解析:由题意知,,当时,,故,,故,由得,即,则,而,故,故若该企业排放的废水符合排放标准,则至少需要改良工艺16次,故选B.
7.答案:D
解析:由已知,设比例系数为k,则.
由题意,当时,,故有,解得,
所以.
故当时,(A).故选D.
8.答案:C
解析:设该品牌设置的质保期至多为x年,
由题意可得,,则,
两边取对数,即,则,
即,则,
因为,所以,则,又因为,所以,
故选:C.
9.答案:BD
解析:对于A,当时,,解得,A错误;
对于B,当时,,解得,B正确;
对于C,令9级地震释放的能量为,8级地震释放的能量为,则,于是,C错误;
对于D,设释放的能量为,对应的震级为,释放的能量为,对应的震级为,
则,且,两式相减得,解得,D正确.故选BD.
10.答案:ABC
解析:对于A,若苏打水的是8,即,所以,
即苏打水中的氢离子浓度为摩尔/升,所以A正确;
对于B,若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升,则,即B正确;
对于C,若海水的氢离子浓度是纯净水的倍,则海水的氢离子浓度是,
因此,即海水的是,所以C正确;
对于D,若某种水中氢离子的浓度为摩尔/升,则;
而不在范围内,即可得该种水不适合饮用,即D错误;
故选:ABC.
11.答案:
解析:这套房子一年后的价格为.
这套房子两年后的价格为,…,
由此可推得2020年,这套房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是.
12.答案:16
解析:由题意,,即,于是当时,
.
13.答案:
解析:依题意,,消去b得,,解得,
则,
因此函数模型为,当时,,
所以线下销售健身卡的利润大约为万元.
故答案为:.
14.答案:6
解析:根据题意可知, 环境温度,初始温度,
经过一定时间t(单位:分钟)后的温度T满足
因为茶水降至大约用时一分钟,即,,
所以,解得,则,
所以要使得该茶降至,即,则有,得,
故.
所以大约需要等待6分钟.
故答案为:6.
15.答案:(1)
(2)5年
解析:(1)设每年“平改坡”的百分比为x(),
则,即,解得.
即每年“平改坡”的百分比为.
(2)设到今年为止,该“平改坡”工程已经进行了n年,
则,即,解得,
所以到今年为止,该“平改坡”工程已经进行了5年.