5.3.3 古典概型——高一数学人教B版(2019)必修第二册课时优化训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 5.3.3 古典概型——高一数学人教B版(2019)必修第二册课时优化训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 339.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-06 22:24:55 | ||
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文档简介
5.3.3 古典概型
——高一数学人教B版(2019)必修第二册课时优化训练
1.下列试验是古典概型的是( )
A.在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C.向一个圆面内随机投一点
D.射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，……，命中0环
2.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
A. B. C. D.
3.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A. B. C. D.
4.一个不透明袋子中装有5个球，其中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同.若一次从中摸出2个球，则至少有1个红球的概率为( )
A. B. C. D.
5.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”.现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状、大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是( )
A. B. C. D.
6.世界数学三大猜想：“费马猜想”“四色猜想”“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”.281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1+2”由我国数学家陈景润在1966年取得.哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和.在不超过10的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为( )
A. B. C. D.
7.第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在中国四川省成都市举行，是中国西部第一次举办的世界性综合运动会.该届赛事共设篮球、排球、田径、游泳等18个大项，269个小项.甲同学准备在体操、跳水、羽毛球三个比赛项目中选择一个前去观看，乙同学准备在跳水和羽毛球中选择一个前去观看，则甲、乙观看同一比赛的概率是( )
A. B. C. D.
8.“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意一个数字相乘，乘积中仍然是1，4，2，8，5，7这6个数字轮流出现.若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选2个数字组成无重复数字的两位数，从这些两位数中随机选取1个，这个两位数大于72的概率为( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）.现要从甲、乙两名同学中选出1人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.则下列说法正确的有( )
A.甲参赛的概率大 B.乙参赛的概率大
C.这种选取规则公平 D.这种选取规则不公平
10.（多选）5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，不放回，然后由乙抽一张，则下列结论正确的是( )
A.甲中奖的概率 B.乙中奖的概率
C.只有乙中奖的概率 D.甲、乙都中奖的概率
11.现有四根长3，4，7，9的木棒，任取其中三根，首尾相连后，能组成二角形的概率为______________.
12.一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红色球、2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率为__________.
13.继淄博烧烤、哈尔滨冻梨后，最近天水麻辣烫又火了.据了解天水麻辣烫店内菜品一般由竹签串起成捆摆放，人们按照自己的喜好选好后递给老板，进行调制.某麻辣烫店内有西兰花、香菇、豆皮、海带、白菜等菜品，一游客打算从以上5种蔬菜中随机选择不同的3种，则西兰花和海带被选中的概率为________.
14.现有甲、乙、丙、丁4名学生参加学校社团文学社和街舞社的活动，每人参加且只能参加一个社团的活动，且参加每个社团是等可能的.则文学社和街舞社都至少有1人参加的概率为__________；甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的概率为__________.
15.甲、乙两名学生想代表学校参加某项学科竞赛，根据以往20次的测试，将测试成绩分成，，，，五组，并整理得到如下频率分布直方图.已知甲测试成绩的中位数为75.
（1）若依据甲、乙测试成绩的平均数作为选拔标准，应该选派甲、乙中的哪位同学代表学校参赛？（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）
（2）从甲、乙两人测试成绩不足60分的试卷中随机抽取3份，求恰有2份来自乙的概率.
答案以及解析
1.答案：B
解析：对于A，发芽与不发芽概率不一定相同；对于B，摸到白球与黑球的概率相同，均为；对于C，样本点有无限个；对于D，由于受射击运动员水平的影响，命中10环，命中9环，……，命中0环的概率不一定相等.
2.答案：D
解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，取法有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，其中这2个数互质的情况有，，，，，，，，，，，，，，共14种.所以这2个数互质的概率.故选D.
3.答案：A
解析：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的样本空间，共10种，其中3个数构成一组勾股数的样本点为，共1种，所以所求概率为.故选A.
4.答案：A
解析：记3个红球分别为A，B，C，2个白球分别为a，b.若一次摸出2个球，则所有可能的结果为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种.其中至少有1个红球的结果为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，共9种，因此所求概率.
5.答案：D
解析：记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为A，B，C，代表依次摸出的卡片，，则样本空间中的样本点有，，，，，，，，，共9个，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的有，，2个样本点，
所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是.故选D.
6.答案：D
解析：不超过10的质数有2，3，5，7，共4个，随机选取两个不同的数，基本事件为，，，，，，共6种，其和为奇数包含的基本事件有，，，共3个，所以.故选D.
7.答案：D
解析：用（甲，乙）表示甲、乙两同学的选择结果，记体操、跳水、羽毛球分别为A，B，C，则两人选择比赛项目的情况有，，，，，，共6种，其中甲、乙所选的比赛项目相同的情况有，，共2种，故所求概率.故选D.
8.答案：C
解析：从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选2个，所有不同的情况为：，，，，，，，，，，，，，，，共15种，则组成无重复数字的两位数的个数为.
若选取的两位数大于72，则十位数字只能是7或8，符合要求的所有的两位数为74，75，78，81，82，84，85，87，共8个，故所求概率.
9.答案：BD
解析：由题意，知由1，2，3，4，5组成的“三位递增数”有123，124，125，134，135，145，234，235，245，345，共10个.
记“甲参加数学竞赛”为事件A，事件A包含的情况有124，134，234，共3个，所以.
记“乙参加数学竞赛”为事件B，则事件B包含的情况有123，125，135，145，235，245，345，共7个，所以.
因为，即乙参赛的概率大，所以该选取规则不公平.故选BD.
10.答案：AD
解析：设中奖奖券为1，2，不中奖的奖券为3，4，5，则随机试验首先由甲抽一张，不放回，然后由乙抽一张的样本空间为，共20个样本点，事件甲中奖包含样本点，，，，，，，，共8个，所以事件A：甲中奖的概率，选项A正确；
事件乙中奖包含样本点，，，，，，，，共8个，所以事件B：乙中奖的概率，选项B错误；
事件只有乙中奖包含样本点，，，，，，共6个，所以事件C：只有乙中奖的概率，选项C错误；
事件甲、乙都中奖包含样本点，，共2个，所以事件D：甲、乙都中奖的概率，选项D正确.故选AD.
11.答案：
解析：由题意，从四根长3，4，7，9的木棒中，任取其中三根，共有4种取法，其中能组成三角形包含，，共有2种情况，所以能组成三角形的概率为.故答案为.
12.答案：
解析：用1，2，3表示3个红色球，4，5表示2个绿色球，用数组表示可能的结果，x是第一次摸到球的标号，y是第二次摸到球的标号，则样本空间所包含的样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20个.其中两个球颜色相同的有，，，，，，，，共8种，故所求概率为.
13.答案：
解析：由题意，设五种食材分别为a，b，c，d，e，则基本事件空间为
，
共10个基本事件，其中含有西兰花和海带的有，，，3个基本事件，所以.
14.答案：；
解析：甲、乙、丙、丁4名学生参加学校文学社和街舞社的活动的情况如下表.
文学社 街舞社
1 甲、乙、丙、丁
2 甲、乙、丙 丁
3 甲、乙、丁 丙
4 甲、丙、丁 乙
5 乙、丙、丁 甲
6 甲、乙 丙、丁
7 甲、丙 乙、丁
8 甲、丁 乙、丙
9 乙、丙 甲、丁
10 乙、丁 甲、丙
11 丙、丁 甲、乙
12 甲 乙、丙、丁
13 乙 甲、丙、丁
14 丙 甲、乙、丁
15 丁 甲、乙、丙
16 甲、乙、丙、丁
共有16种情况，即有16个样本点.
文学社和街舞社都至少有1人参加的样本点有14个，概率，
因此，文学社和街舞社都至少有1人参加的概率为.
甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的样本点有4个，概率.
15.答案：（1）甲
（2）
解析：（1）由甲的成绩的频率分布直方图可得，，
.
甲测试成绩的中位数为75，，
解得，.
甲的平均分为，
乙的平均分为.
则，学校应该选派甲代表学校参赛.
（2）甲测试成绩不足60分的试卷数为，设为A，B.
乙测试成绩不足60分的试卷数为，设为a，b，c.
从中抽3份的样本点有，，，，，，，，，，共10个样本点.
恰有2份来自乙的有，，，，，，共6个样本点，
故恰有2份来自乙的概率为.
——高一数学人教B版(2019)必修第二册课时优化训练
1.下列试验是古典概型的是( )
A.在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C.向一个圆面内随机投一点
D.射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，……，命中0环
2.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
A. B. C. D.
3.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A. B. C. D.
4.一个不透明袋子中装有5个球，其中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同.若一次从中摸出2个球，则至少有1个红球的概率为( )
A. B. C. D.
5.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”.现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状、大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是( )
A. B. C. D.
6.世界数学三大猜想：“费马猜想”“四色猜想”“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”.281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1+2”由我国数学家陈景润在1966年取得.哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和.在不超过10的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为( )
A. B. C. D.
7.第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在中国四川省成都市举行，是中国西部第一次举办的世界性综合运动会.该届赛事共设篮球、排球、田径、游泳等18个大项，269个小项.甲同学准备在体操、跳水、羽毛球三个比赛项目中选择一个前去观看，乙同学准备在跳水和羽毛球中选择一个前去观看，则甲、乙观看同一比赛的概率是( )
A. B. C. D.
8.“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意一个数字相乘，乘积中仍然是1，4，2，8，5，7这6个数字轮流出现.若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选2个数字组成无重复数字的两位数，从这些两位数中随机选取1个，这个两位数大于72的概率为( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）.现要从甲、乙两名同学中选出1人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.则下列说法正确的有( )
A.甲参赛的概率大 B.乙参赛的概率大
C.这种选取规则公平 D.这种选取规则不公平
10.（多选）5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，不放回，然后由乙抽一张，则下列结论正确的是( )
A.甲中奖的概率 B.乙中奖的概率
C.只有乙中奖的概率 D.甲、乙都中奖的概率
11.现有四根长3，4，7，9的木棒，任取其中三根，首尾相连后，能组成二角形的概率为______________.
12.一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红色球、2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率为__________.
13.继淄博烧烤、哈尔滨冻梨后，最近天水麻辣烫又火了.据了解天水麻辣烫店内菜品一般由竹签串起成捆摆放，人们按照自己的喜好选好后递给老板，进行调制.某麻辣烫店内有西兰花、香菇、豆皮、海带、白菜等菜品，一游客打算从以上5种蔬菜中随机选择不同的3种，则西兰花和海带被选中的概率为________.
14.现有甲、乙、丙、丁4名学生参加学校社团文学社和街舞社的活动，每人参加且只能参加一个社团的活动，且参加每个社团是等可能的.则文学社和街舞社都至少有1人参加的概率为__________；甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的概率为__________.
15.甲、乙两名学生想代表学校参加某项学科竞赛，根据以往20次的测试，将测试成绩分成，，，，五组，并整理得到如下频率分布直方图.已知甲测试成绩的中位数为75.
（1）若依据甲、乙测试成绩的平均数作为选拔标准，应该选派甲、乙中的哪位同学代表学校参赛？（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）
（2）从甲、乙两人测试成绩不足60分的试卷中随机抽取3份，求恰有2份来自乙的概率.
答案以及解析
1.答案：B
解析：对于A，发芽与不发芽概率不一定相同；对于B，摸到白球与黑球的概率相同，均为；对于C，样本点有无限个；对于D，由于受射击运动员水平的影响，命中10环，命中9环，……，命中0环的概率不一定相等.
2.答案：D
解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，取法有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，其中这2个数互质的情况有，，，，，，，，，，，，，，共14种.所以这2个数互质的概率.故选D.
3.答案：A
解析：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的样本空间，共10种，其中3个数构成一组勾股数的样本点为，共1种，所以所求概率为.故选A.
4.答案：A
解析：记3个红球分别为A，B，C，2个白球分别为a，b.若一次摸出2个球，则所有可能的结果为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种.其中至少有1个红球的结果为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，共9种，因此所求概率.
5.答案：D
解析：记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为A，B，C，代表依次摸出的卡片，，则样本空间中的样本点有，，，，，，，，，共9个，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的有，，2个样本点，
所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是.故选D.
6.答案：D
解析：不超过10的质数有2，3，5，7，共4个，随机选取两个不同的数，基本事件为，，，，，，共6种，其和为奇数包含的基本事件有，，，共3个，所以.故选D.
7.答案：D
解析：用（甲，乙）表示甲、乙两同学的选择结果，记体操、跳水、羽毛球分别为A，B，C，则两人选择比赛项目的情况有，，，，，，共6种，其中甲、乙所选的比赛项目相同的情况有，，共2种，故所求概率.故选D.
8.答案：C
解析：从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选2个，所有不同的情况为：，，，，，，，，，，，，，，，共15种，则组成无重复数字的两位数的个数为.
若选取的两位数大于72，则十位数字只能是7或8，符合要求的所有的两位数为74，75，78，81，82，84，85，87，共8个，故所求概率.
9.答案：BD
解析：由题意，知由1，2，3，4，5组成的“三位递增数”有123，124，125，134，135，145，234，235，245，345，共10个.
记“甲参加数学竞赛”为事件A，事件A包含的情况有124，134，234，共3个，所以.
记“乙参加数学竞赛”为事件B，则事件B包含的情况有123，125，135，145，235，245，345，共7个，所以.
因为，即乙参赛的概率大，所以该选取规则不公平.故选BD.
10.答案：AD
解析：设中奖奖券为1，2，不中奖的奖券为3，4，5，则随机试验首先由甲抽一张，不放回，然后由乙抽一张的样本空间为，共20个样本点，事件甲中奖包含样本点，，，，，，，，共8个，所以事件A：甲中奖的概率，选项A正确；
事件乙中奖包含样本点，，，，，，，，共8个，所以事件B：乙中奖的概率，选项B错误；
事件只有乙中奖包含样本点，，，，，，共6个，所以事件C：只有乙中奖的概率，选项C错误；
事件甲、乙都中奖包含样本点，，共2个，所以事件D：甲、乙都中奖的概率，选项D正确.故选AD.
11.答案：
解析：由题意，从四根长3，4，7，9的木棒中，任取其中三根，共有4种取法，其中能组成三角形包含，，共有2种情况，所以能组成三角形的概率为.故答案为.
12.答案：
解析：用1，2，3表示3个红色球，4，5表示2个绿色球，用数组表示可能的结果，x是第一次摸到球的标号，y是第二次摸到球的标号，则样本空间所包含的样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20个.其中两个球颜色相同的有，，，，，，，，共8种，故所求概率为.
13.答案：
解析：由题意，设五种食材分别为a，b，c，d，e，则基本事件空间为
，
共10个基本事件，其中含有西兰花和海带的有，，，3个基本事件，所以.
14.答案：；
解析：甲、乙、丙、丁4名学生参加学校文学社和街舞社的活动的情况如下表.
文学社 街舞社
1 甲、乙、丙、丁
2 甲、乙、丙 丁
3 甲、乙、丁 丙
4 甲、丙、丁 乙
5 乙、丙、丁 甲
6 甲、乙 丙、丁
7 甲、丙 乙、丁
8 甲、丁 乙、丙
9 乙、丙 甲、丁
10 乙、丁 甲、丙
11 丙、丁 甲、乙
12 甲 乙、丙、丁
13 乙 甲、丙、丁
14 丙 甲、乙、丁
15 丁 甲、乙、丙
16 甲、乙、丙、丁
共有16种情况，即有16个样本点.
文学社和街舞社都至少有1人参加的样本点有14个，概率，
因此，文学社和街舞社都至少有1人参加的概率为.
甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的样本点有4个，概率.
15.答案：（1）甲
（2）
解析：（1）由甲的成绩的频率分布直方图可得，，
.
甲测试成绩的中位数为75，，
解得，.
甲的平均分为，
乙的平均分为.
则，学校应该选派甲代表学校参赛.
（2）甲测试成绩不足60分的试卷数为，设为A，B.
乙测试成绩不足60分的试卷数为，设为a，b，c.
从中抽3份的样本点有，，，，，，，，，，共10个样本点.
恰有2份来自乙的有，，，，，，共6个样本点，
故恰有2份来自乙的概率为.