2023~2024学年广东江门新会区江门市新会一中高一上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年广东江门新会区江门市新会一中高一上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合 ,则 的子集个数为( )
A.
B.
C.
D.
2、命题“存在实数 满足 ”的否定为
A.任意实数 满足
B.任意实数 满足
C.任意实数 满足
D.存在实数 满足
3、已知 ， ，则 是 的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4、幂函数 在 上为减函数，则实数 的值为
A. 或
B.
C.1
D.2
5、设集合 , ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
6、已知不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是（ ）
A.
B. 或
C.
D. 或
7、函数 是定义在R上的奇函数， 时 ，则不等式 的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知 为偶函数，当 时， ，若直线 与函数 图像恰有4
个交点，则 的取值范围为（ ）
A. ，
B.
C. ，
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列命题是真命题的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10、下列命题中是假命题的有（ ）
A.函数 的最小值为2
B.若 ，则
C.不等式 对任意 R恒成立，则实数 的范围是
D.若 ，则
11、下列各组函数中，是同一函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
12、已知 ， ， ，则（ ）
A. 最大值为
B. 最大值为
C. 最小值为2
D. 最小值为2
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、设集合 ， ， .则实数 .
14、函数 的定义域为 ．
15、设 ，满足 ，则 的最小值是 ．
16、已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知集合 , .求:
(1) ；
(2) .
18、（本小题12分）
已知集合 ,
(1)分别求 ；
(2)若集合 ,求实数 的取值范围．
19、（本小题12分）
已知函数 ，若方程 的两个实数根分别为 和 .
（1）求实数 的值；
（2）试用定义证明函数 在 上单调性.
20、（本小题12分）
已知函数 .
(1)若 ，求函数 的最小值和最大值；
(2)当 ， 时，求函数 的最小值 .
21、（本小题12分）
如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面
积为 的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/ ；在四个相同的矩形（图中阴
影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/ ；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/ .设
总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m）.当x 为何值时，S最小？并求出这个最小值.
22、（本小题12分）
定义在 上的函数 满足:①对一切 恒有 ；②对一切 恒有 ；③当
时， ，且 ；④若对一切 (其中 )，不等式 恒
成立.
(1)求 的值；
(2)证明:函数 是 上 的递增函数；
(3)求实数 的取值范围.
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
C
<解析>:
.
根据子集的个数 为 ( 为集合元素的个数)
的子集个数 .
故选:C．
2、
<答 案>:
A
<解析>:
因为命题“存在实数 满足 ”，所以改量词：“存在实数 ”改为“任意实数 ”；否结论：
否为 ；故命题“存在实数 满足 ”的否定为“任意实数 满足
”.故选：A.
3、
<答 案>:
B
<解析>:
解出 即可判断.
由 解得 或 ，
因此 是 的必要不充分条件.
故选：B．
4、
<答 案>:
D
<解析>:
由于函数是幂函数，所以 ，解得 或 ，当 时， ，在 上
递减，符合题意．当 时， ，在 上递增，不符合题意．综上所述， 的值为 .故选：D
5、
<答 案>:
D
<解析>:
由已知条件在数轴上表示出集合 ，如下图所示：
由此可知 ，所以 的取值范围是 ，
故选: .
6、
<答 案>:
A
<解析>:
的解集为
且方程 的两根为： 和
，解得：
即 ，解得：
的解集为
因此正确答案为:
7、
<答 案>:
C
<解析>:
先解当 时， 的解集，由 是奇函数，求出当 时， 的解析式，再解 ，取并集
即为所求.
当 时 ， ， ，解得： ，
又 是奇函数，图像关于原点对称，
当 时， ， ，解得： ，
故不等式 的解集是
故选：C．
8、
<答 案>:
D
<解析>:
当 时， ，
由于 为偶函数，
所以当 时，则 ， ，
所以 ，
因为直线 与函数 图像恰有4个交点，
所以 ，
即函数 与函数 的图像恰有4个交点，
作出函数图像如下：
故有 ，解不等式得：
所以 的取值范围为
故选：D
二、多选题
9、
<答 案>:
A;B;D
<解析>:
对于A选项，当 时， ；当 时， .
所以， ， ，A无误；
对于B选项，取 ，则 ，B无误
对于C选项，取 ，则 ，C有 误；
对于D选项，取 ，则 ，D无 误.
因此正确答案为：ABD.
10、
<答案 >:
A;C;D
<解析>:
A.取 判断；B.解不等式 判断；C由 时判断；D取 时判断.
A.当 时, ,故错误；
B. 因为 ，解得 ,故正确；
C当 时，不等式显然恒成立，故错误；
D当 时， ，故错误．
故选：ACD．
11、
<答案 >:
A;C;D
<解析>:
选项A： ， 是同一函数；
选项B： ，不是同一函数；
选项C： 与 定义域都为 ， ，对应关系一样，是同一函数；
选项D ： 与 ，定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，选项正确；
故选：ACD.
12、
<答案 >:
B;C;D
<解析>:
对于A，因为 ， ， ，所以 ，则 ，
当且仅当 且 ，即 时，等号成立，
所以 最大值为 ，故A有误；
对于B，由选项A的分析易知，B无误；
对于C，因为 ，
当且仅当 且 ，即 时，等号成立，
所以 最小值为2，故C无误；
对于D，因为 ，则 ，
当且仅当 且 ，即 时，等号成立，
所以 最小值为2，故D无误.
因此正确答案为：BCD.
三、填空题
13、
<答案 >:
<解析>:
因为 ，所以 ，
显然 ，所以 ，解得： .
故答案为： .
14、
<答案 >:
<解析>:
解：由题意可得， ，
，
，
故函数的定义域为 ．
故答案为： ．
15、
<答案 >:
9
<解析>:
因为 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
故答案为： .
16、
<答案 >:
<解析>:
先比较 与 的大小，令 ，所以分以下两种情形来解不等式
.
情形一：当 ，即 时，有 ，注意到 在 严格单调递减，
所以 ，故此情形不符题意.
情形二：
一方面：当 ，即 时，有 .
另一方面：注意到 在 单调递减（但不严格单调递 减），因此若要保证 ，
必须有 （否则 ，此时有 ，不符题意），所以 ；
结合以上两方面有 .
综上所述：结合以上两种情形有 ；即实数 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）解： ，B x x ，
A B x x ；
（2） RA x x 或 x
，
RA B x x .
18、
<答案 >:
(1) ，
(2)
<解析>:
（1）集合
·
（2） ,
当 为空集时,
当 为非空集合时,可 得
综上所述: 的取值范围是
19、
<答案 >:
（1） ； ；（2）证明见解析.
<解析>:
（1）将 代入方程 ，得：
则方程 即为： ，可解得另一个实数根 ；
（2）由题（1）知： ，
设 ，则 =
，
，即 在 ， 上单调递增.
20、
<答案 >:
(1) ，
(2)答案不唯一，详见解析
<解析>:
（1） ， ，
故函数在 上单调递减，在 上单调递增，
， .
（2）当 ，即 时，函数 在 单调递减，
；
当 ，即 时， 函数 在 单调递减，在 上单调递增，
；
当 时，函数 在 单调递增， ；
综上所述：
当 时 ， ；
当 时，
当 时， ；
21、
<答案 >:
m时，S最小且 最小 元.
<解析>:
先求出 ，再利用基本不等式求解.
解：由题意，有 ，又 ，有 .
当且仅当 ，即 时取“=”.
∴当 m时，S最小且 最小 元.
22、
<答案 >:
（1）4，8（2）证明见解析（3）
<解析>:
（1）令 所以
所以
（2）因为
任取
因为当 时，
所以
所以 ，
所以函数 是 上的 递增函数，
（3）因为
又因为 恒成立
且函数 是 上的递增函数，
所以 ， (其中 )恒成立
所以 若对一切 (其中 )，恒成立.
当 ，即 时
所以 ，
解得
当 时，
解得
当 ，
所以 且
解得
综上：实数 的取值范围