2023~2024学年河南郑州郑州市回民中学高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年河南郑州郑州市回民中学高二上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）．
A. ， ，
B. ， ，
C. ， ，
D. ， ，
2、直线 的一个方向向量是（ ）
A.
B.
C.
D.
3、如图所示，三棱锥 中， ， ， ，且 ， ，则
（ ）．
A.
B.
C.
D.
4、已知方程 表示的曲线是椭圆，则实数 的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
5、直线 ， ，若 ，则 的值为( )
A.
B.
C. 或
D. 或
6、已知 , 是椭圆 的焦点，点 在 上，则 的最大值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
7、设直线 的方程为 ,则直线 的倾斜角 的范围是（ ）．
A.
B. ,
C. ,
D.
8、在直三棱柱 中， ， ， 分别是 ， 的中点， ，
则 与 所成角的余弦值是（ ）．
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知空间向量 、 、 ,下列命题中不正确的是（ ）．
A.若向量 、 共线，则向量 、 所在的直线平行
B.若向量 、 所在的直线为异面直线，则向量 、 一定不共面
C.若存在不全为 的实数 、 、 使得 ,则 、 、 共面
D.对于空间的任意一个向量 ,总存在实数 、 、 使得
10、已知直线 在 轴上的截距是 轴上截距的 倍，则 的值可能是（ ）．
A.
B.
C.
D.
11、已知直线 与曲线 有且仅有 个公共点，则 的取值可能是（ ）．
A.
B.
C.
D.
12、如图，棱长为 的正方体 中, 分别为 , 的中点，则（ ）．
A.直线 与底面 所成的角为
B.平面 与底面 夹角的余弦值为
C.直线 与直线 的距离为
D.直线 与平面 的距离为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知点 是点 在坐标平面 内的射影，则 ．
14、已知两条平行直线 ，则 与 间的距离为
15、圆 与圆 的公共弦的长为 ．
16、已知椭圆 的左、右焦点分别为 , ,其离心率 .若 是椭圆上任意一点, 是椭圆
的右顶点，则 的周长为 , . 的最大值为 .(本题第一空 分，第二空 分)
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
求适合下列条件的椭圆标准方程:
(1)、与椭圆 有相同的焦点，且经过点 ;
(2)、经过 两点.
18、（本小题12分）
经过椭圆 的左焦点 作倾斜角为 的直线 ，直线 与椭圆相交于 ， 两点，求 的长．
19、（本小题12分）
一动圆与圆 外切，同时与圆 内切，求动圆圆心 的轨迹方程，并说
明它是什么曲线．
20、（本小题12分）
已知 的顶点 ,边 上的中线 所在直线方程为 ,边 上的高 所在直线方程为
.求:
(1)、顶点 的坐标;
(2)、直线 的方程．
21、（本小题12分）
已知圆 ： ，直线 ： .
(1)求证：直线 恒过定点；
(2)直线 被圆 截得的弦何时 最长？何时最短？并求截得的弦长最短时 的值以及最短弦长.
22、（本小题12分）
如图，在三棱柱 中， ， ， ， 在底面 的射影为
的中点， 是 的中点．
(1)、证明： 平面 ．
(2)、求二面角 的平面角的正切值．
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
C
<解析>:
略
2、
<答 案>:
A
<解析>:
因为直线 的斜率为 ，所以直线的一个方向向量为 ，
又因为 与 共线，所以 的一个方向向量可以是 ，
因此正确答案为：A.
3、
<答 案>:
C
<解析>:
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选C．
由 ， ，可得 ， ，代入即可得出．
4、
<答 案>:
B
<解析>:
根据题意，方程 表示的曲线是椭圆，
则 ，
解可得： ，且 ，
故 的取值范围为 ．
故选B．
5、
<答 案>:
A
<解析>:
解：直线 的斜率为： ，直线 ，所以 的斜率为：
， 所以 ， 解得 ， (舍去)． 故选A．
6、
<答 案>:
暂无
<解析>:
略
7、
<答 案>:
暂无
<解析>:
略
8、
<答 案>:
A
<解析>:
如图，建立空间直角坐标系，
设 ，
则各点坐标为 ， ， ， ，
， ，
∴
．
故选A．
二、多选题
9、
<答 案>:
暂无
<解析>:
略
10、
<答案 >:
暂无
<解析>:
略
11、
<答案 >:
暂无
<解析>:
略
12、
<答案 >:
暂无
<解析>:
略
三、填空题
13、
<答案 >:
<解析>:
∵点 是点 在坐标平面 内的射影，
∴ ，
则 ，
故答案为： ．
14、
<答案 >:
/
<解析>:
解：因为 即为 ，
所以 与 间的距离
故答案为：
15、
<答案 >:
<解析>:
圆 与圆 的方程相减得： ，
由圆 的圆心 ，半径 为 ，
且圆心 到直线 的距离 ，
则公共弦长为 ．
故答案为： ．
16、
<答案 >:
暂无;暂无
<解析>:
略
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)、
暂无
(2)、
暂无
<解析>:
(1)、略
(2)、略
18、
<答案 >:
．
<解析>:
略
19、
<答案 >:
，轨迹为椭圆．
<解析>:
设动圆圆心为 ，半径为 ，
设已知圆 的圆心为 ， ；
圆 ，圆心为 ， ．
当动圆与圆 相外切时，有 ，①
当动圆与圆 相内切时，有 ，②
将①式与②式相加后得 ．
∴动圆圆心 到点 和点 距离和是常数 ，
所以点 的轨迹是焦点，为点 ， ,
长轴长等于 的椭圆轨迹方程为 ．
20、
<答案 >:
(1)、
暂无
(2)、
暂无
<解析>:
(1)、略
(2)、略
21、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2)当 过圆心时弦长最长；当 的方程为 时最短； ；最短弦长为
<解析>:
（1）直线 的方程可化为
联立 ，解得
故直线 恒过定点
（2）当直线 过圆心 时 ，直线被圆截得的弦长最长
设 ，当直线 时，直线被圆截得 的弦长最短
则直线 的斜率为
由 得直线 的斜率为 ，解得
此时 的方程为 ，即
圆心 到直线 的距离为
∴最短弦长
故当 过圆心时弦长最长；当 的方程为 时最短； ；最短弦长为
22、
<答案 >:
(1)、
证明见解析．
(2)、
．
<解析>:
(1)、∵ ， 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 面 ， ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ 平面 ．
(2)、如图，
以 中点 为坐标原点，
以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建系，
则 ，
，
易知 ， ， ，
， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
由 得 ，
取 ，得 ，
又平面 的法向量为 ，
∴ ，
∴二面角 的平面角的正切值 ．
故答案为： ．