2023~2024学年河南郑州中原区郑州外国语学校高一上学期期中数学试卷（11月）（PDF版含解析）

2023~2024学年河南郑州中原区郑州外国语学校高一上学期期中数学试卷
（11月）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、设集合 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、对于任意实数 ， ， ， ，下列结论正确的是（ ）
A.若 ，则
B.若 ， ，则
C.若 ， ，则
D.若 ， ，则
3、已知幂函数 在区间 上单调递增，则 （ ）
A.-2
B.1
C.
D.-1
4、函数 的大致图象是（ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知函数 在R上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
6、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每
天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把 看作是每天的“进步”率都是 ，一年后是
；而把 看作是每天“退步”率都是 ，一年后是 ．若李响同学和
肖济同学基础相同，从现在开始，李响同学每天“进步” ，而肖济同学每天“退步” ，经过 天后，李响同
学的水平大约是肖济同学的（ ）．（参考数据： ， ）
A. 倍
B. 倍
C. 倍
D. 倍
7、已知 ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知函数 ，若对任意的正数 、 ，满足 ，则 的最小值为
（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、若 ， ，且 ，则下列不等式恒成立的（ ）
A.
B.
C.
D.
10、下列说法中正确的有（ ）
A.命题p： ， ，则命题p的否定是 ，
B.“ ”是“关于x的方程 有一正一负根”的充要条件
C.奇函数 和偶函数 的定义域都是R，则函数 为偶函数
D.“ ”是“ ”的必要条件
11、已知关于 的不等式组 仅有一个整数解，则 的值可能为（ ）
A.－5
B.
C.
D.4
12、已知函数 ，以下结论正确的是（ ）
A. 为奇函数
B.对任意的 都有
C. 的值域是
D.对任意的 都有
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、写出一个同时满足下列条件①②③的函数 .
① 为偶函数；② 有最大值；③ 不是二次函数 .
14、已知关于 的不等式 的解集是空集，则实数 的取值范围是 ．
15、已知函数 的反函数为 ，且有 ，若 ， ，则 的最小
值为 .
16、已知函数 ，则不等式 成立的 的取值范围
是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
（1）计算： .
（2）解不等式： .
18、（本小题12分）
设函数 ．
(1)命题 ，使得 成立．若 为假命题，求实数 的取值范围；
(2)求不等式 的解集.
19、（本小题12分）
已知函数 ，
(1)若 在 上单调递增，求 的取值范围．
(2)若 ，对任意的 ，总存在： ，使得 成立，求 的取值范围．
20、（本小题12分）
杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02
秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前
1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作
速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （ 表示该阶段所用时间），疲
劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（ 表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力
得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为 不考虑
其他因素，所用时间为 （单位：h），请回答下列问题：
(1)请写出该运动员剩余体力 关于时间 的函数 ；
(2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为 多少
21、（本小题12分）
已知函数 的定义域为 ，对任意 都有 ，且 时， ．
(1)求 ；
(2)求证：函数 在 上单调递增；
(3)若 ， ，解关于x的不等 式 ．
22、（本小题12分）
设函数 是定义域为 的奇函数.
(1)求实数 值；
(2)若 ， 试判断函数 的单调性，并证明你的结论；
(3)在（2）的条件下，不等式 对任意实数 均成立，求实数 的取值范围.
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
D
<解析>:
解不等式 可得 ，所以 或 ；
由 可得 .
故选：D
2、
<答 案>:
B
<解析>:
对于A，取 ，满足 ，但 ，故A错误；
对于B，因为 ，所以 ．又因为 ，所以 ，故B正确；
对于C，若 ， ，取 ，但 ，故C错 误；
对于D，若 ， ，取 ， ，
，故D错误.
故选：B.
3、
<答 案>:
B
<解析>:
由题意有 ，解得 或 ，
①当 时， ，在区间 上单调递减，不合题意；
②当 时， ，在区间 上单调递增，符合题意.
故选：B
4、
<答 案>:
D
<解析>:
方法一：因为 ，即 ，所以 ，
所以函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，所以函数 是奇函数，其图象关于原点对称，
故排除 ；
当 时， ，即 ，因此 ，故排除A.
故选:D.
方法二： 由方法一，知函数 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除 ；
又 ，所以排除A.
故选：D.
5、
<答 案>:
C
<解析>:
因为 在R上是减函数，则 ，
解得 ，所以a的取值范围是 ．
故选：C.
6、
<答 案>:
D
<解析>:
设两人现在的水平为 ，经过 天后，李响同学的水平大约是肖济同学的 倍，
则 ，
，
．
故选：D．
7、
<答 案>:
C
<解析>:
由 ，则 ，
由 ， ，则 ，
由 ，则 .
则 .
故选：C
8、
<答 案>:
B
<解析>:
对任意的 ， ，所以，函数 的定义域为 ，
因为 ，即函数 为奇函数，
又因为 ，且函数 在 上为增函数，
所以，函数 在 上为增函数，
对任意的正数 、 ，满足 ，则 ，
所以， ，即 ，
所以， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，故 的最小值为 .
故选：B.
二、多选题
9、
<答 案>:
A;D
<解析>:
对于A和C，因为 ， ，所以 ，即 ，
当且仅当 时等号成立，故 ＜ ，则 ，故A正确，C错误；
对于B，代入 ， ＜ ，故B错误；
对于D， ，当且仅当 时等号成立，故D正确.
故选：AD
10、
<答案 >:
B;C
<解析>:
根据含有一个量词的命题的否定可判断A；判断“ ”和“关于x的方程 有一正一负根”之间的
逻辑关系可判断B；根据函数奇偶性定义判断C；判断“ ”和“ ”的推出关系可判断D.对于A，命题
p： ， ，
则命题p的否定是 ， ，A错误；
对于B，当 时，对于 有 ，
即方程有两个不等实根，设为 ，则 ，即 一正一负；
当 有一正一负根时，只需满足 ，即 ，
即“ ”是“关于x的方程 有一正一负根”的充要条件 ，B正确；
对于C，由题意知 的定义域为R，
由 可得 ，
即函数 为偶函数，C正确；
对于D，当 时，可得 ，
反之，当 ，比如 时， 无意义，
故“ ”是“ ”的充分条件，D错误，
故选：BC
11、
<答案 >:
A;B
<解析>:
或 ，
， 时，不等式无实数解；
，此不等式解为 ，不等式组只有一个整数解，则 ，即 ，∴
；
时，此不等式的解为 ，不等式组只有一个整数解，则 ， ，∴
，
综上， 的取值 范围是 ，四个选项中AB满足，
故选：AB．
12、
<答案 >:
A;B
<解析>:
对选项A： ， ，则 ，函数为奇函数，正确；
对选项B：当 时， ，函数单调递增，又函数为奇函数，
故函数在 上单调递增，即 ，正确；
对选项C：取 ，得到 ，当 时， ，方程无解，
当 时， ， 不满足 ，不正确；
对选项D：取 ， ，则 ，
，故 ，错误；
故选：AB.
三、填空题
13、
<答案 >:
（答案不唯一）
<解析>:
因为 为偶函数，则 ，
所以 的图象关于直线 对称，
又 有最大值，所以可取 .
故答案为： （答案不唯一）.
14、
<答案 >:
<解析>:
当 时，解得 或 ，
当 时，不等式为 ，解 集不为空集，不合要求，舍去；
当 时，不等式为 ，解集为空集，满足要求，
当 时，要想不等式解集为空集，则 ，
解得 ，
综上，实数 的取值范围是
故答案为：
15、
<答案 >:
<解析>:
函数 的反函数为 ，
∵ ，∴ ，即 ，则 ，
又 ， ，则 ，
∴
,
当且仅当 时取等号，
故 的最小值为 .
故答案为： .
16、
<答案 >:
<解析>:
由 得 的定义域为 ，
因为
，
，
所以 ，所以 的图象关于 对称.
记 ，
当 时，由复合函数单调性易知 单调递增，
记 ，则
记 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
综上， 在 上单调递增，图 象关于 对称
由图可知，要使 ，必有 ，
两边平方整理得 ，解得 ，
又 ， ，得 或 ，
所以 的解集为 .
故答案为：
四、解答题
17、
<答案 >:
（1）1；（2）
<解析>:
（1）
.
（2）由 可得
因为 在 上单调递增，
可知 ，解得 ，
故不等式的解集为 .
18、
<答案 >:
(1)
(2)答案见解析 .
<解析>:
（1） 为假命题，
， 恒成立为真命题，即不等式 在R上恒成立，
当 时， 恒成立，则 满足题意．
当 时，需满足 ，解得 ，
综上， ．
（2）不等式 等价于 ．
当 时，则 ，原不等式即为 ，解得 ；
当 时，则 ，解得 或 ；
当 时，则 ，解得 或 ；
综上所述，当 时，原不等式的解集为 或 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 或 ．
19、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）设 ，只需求 在 上单调递减，
对称轴 ；
（2）由题可得，只需证 ，
当 时， 只需证 对于 ，对称轴为
当 时，
当 时， ，无解
方法2：（2）由题可得，只需证
，
当 时， 只需 使得
即
在 上递增，
．
20、
<答案 >:
(1)
(2) 时有最小值，最小值为 .
<解析>:
（1）由题可先写出速度 关于时间 的函数 ，
代入 与 公式可得
解得 ；
（2）①稳定阶段中 单调递减，此过程中 最小值 ；
②疲劳阶段 ，
则有 ，
当且仅当 ，即 时，“ ”成立，
所以疲劳阶段中体力最低值为 ，
由于 ，因此，在 时， 运动员体力有最小值 .
21、
<答案 >:
(1)
(2)证明见解 析
(3)
<解析>:
（1）令 ， ，则 ，
即 ，
由 可知 .
（2）令 ，则 ，
即 .
若 ，则 ，所以 .
总之 ， .
，
又 所以 ,
由 且 可知 ，所以 ；
可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增.
（3）令 ，则 ，
所以 为偶函数，
又 ，
当 时， ，
此时 ，解得 ，
当 时， ，可得 或 ；
此时 成立，所以 符合不等式.
综上，原不等式的解为 .
22、
<答案 >:
(1)
(2) 在 上单调递减，证明见解析
(3)
<解析>:
（1）由于 是定义域为 的奇函数，
所以 ，
此时 ， ，满足 是奇函数，
所以 .
（2）由（1） 得 ，
若 ，则 ，
所以 是减函数，证明如下：
任取 ，则
，
由于 ， ，所以 ，
所以 ，
所以 在 上单调递减.
（3）由（1）得 ， 是定义在 上的奇函数，
依题意，不等式 恒成立，
即 恒成立，
由（2）得 在 上单调递减，
所以 ，
恒成立，
令 ，则对于函数 ，
函数在 上单调递增，最小值为 ，
所以 的最大值为 ，
所以 .