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分课时教学设计
第1课时《11.1.1 平方根》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 理解平方根、算术平方根的概念与性质．理解开平方与平方之间互为逆运算关系．
学习者分析 从实际出发，体会算术平方根的概念，在思考、讨论、比较中体会算术平方根的含义．
教学目标 1、能记住平方根及算术平方根的概念； 2、能运用平方根的概念求出非负数的平方根．
教学重点 能运用平方根的概念求出非负数的平方根．
教学难点 平方根的概念和平方根的表示方法．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：教师活动1： 导入新课 1、我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是？ 答：加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算。 加法与减法互逆；乘法与除法互逆。 2、乘方有没有逆运算？ 学生活动1： 教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，引出新课. 先自主探究,再小组合作,分析,总结． 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，通过复习，引出新问题．从实际出发，体会算术平方根的概念，在思考、讨论、比较中体会算术平方根的含义. 环节二：教师活动2： 什么叫乘方？什么叫幂？ 已知底数、指数，求幂。乘方运算 已知幂、指数，求底数。乘方的逆运算 如果我们将+3﹑-3叫做9的平方根, +4 ﹑-4叫做16的平方根,请你根据这些例子,说一说,什么是平方根 要剪出一张面积为25cm2的正方形纸片，正方形的边长应是多少 （ ）2=25 容易知道，这个正方形的边长是5cm. 上述问题实质上就是要求一个数，这个数的平方等于25 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根( square root). 25的平方根只有一个吗 还有没有别的数的平方也等于25 因为52 = 25 ,所以5是25的一个平方根 又因为(-5)2 = 25 ,所以-5也是25的一个平方根 这就是说，5与-5都是25的平方根. 根据平方根的意义，我们可以利用平方运算来求一个数的平方根 . 平方根的性质 1、一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数； 2、0的平方根是0； 3、负数没有平方根 平方根的表示方法、读法 求一个数的平方根的运算叫做开平方。 开平方是平方的逆运算。 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 学生思考 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，掌握一个正数有两个平方根，其中正的平方根是它的算术平方根． . 环节三：教师活动3： 例1 求100的平方根. 解： 因为102=100,(-10) 2=100, 除了10和-10以外，任何数的平方都不等于100， 所以100的平方根是10和-10. 也可以说，100的平方根是±10. 试一试(1) 144的平方根是什么 (2) 0的平方根是什么 (3) -4有没有平方根 为什么 例2 将下列各数开平方: (1) 49 (2) 例3 用计算器求下列各数的算术平方根: (1) 529; (2) 44. 81(精确到0.01 ). 学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 在学生自主、合作、探究后，学生解答． ．活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，能运用平方根的概念进行开方运算．?
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列说法中，错误的是( ) A．0.09是0.3的算术平方根 B．2是4的算术平方根 C．－3是9的一个平方根 D．36的平方根是±6 2．(1)36的算术平方根是 ； (2)3的平方根是 ； 3.判断下列说法是否正确 （1）－9的平方根是－3; ( ) （2）49的平方根是7 ； ( ) （3） －7 是 49的平方根; （ ） （4）（－3）2的平方根是±3 ；（ ） （5）平方根是它本身的数是1 （ ） （6）算术平方根是它本身的数是1 （ ） 选做题： 4.求下列各数的平方根与算术平方根． (1)64；(2)0.49；(3)(－5)2. 【综合拓展类作业】 5.已知一个正数的两个平方根分别是a和2a﹣9，求a的值，并求这个正数．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 下列说法中，正确的是( ) A. 4是16的算术平方根； B. (-4)2的平方根是4； C. (-2)2的平方根是-2； D. -1的算术平方根都是-1 选做题： 2、一个正数x的两个平方根是2a-3与5-a，则x的值是( ) 49 B. 36 C. 64 D. 81 【综合拓展类作业】 3、已知一个数的算术平方根为2m-3，且这个数的平方根为±(m-2)，求m的值．
教学反思
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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 七年级 学期 秋季
课题 11.1.1 平方根
教科书 书 名：义务教育教科书数学七年级上册 出版社：浙江教育出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1、能记住平方根及算术平方根的概念； 2、能运用平方根的概念求出非负数的平方根．
课前学习任务
复习引入 复习引入 1、我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是？ 答：加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算。 加法与减法互逆；乘法与除法互逆。 2、乘方有没有逆运算？ 什么叫乘方？什么叫幂？ 已知底数、指数，求幂。乘方运算 已知幂、指数，求底数。乘方的逆运算 如果我们将+3﹑-3叫做9的平方根, +4 ﹑-4叫做16的平方根,请你根据这些例子,说一说,什么是平方根
课上学习任务
【学习任务一】 探究一： 要剪出一张面积为25cm2的正方形纸片，正方形的边长应是多少 容易知道，这个正方形的边长是5cm. 上述问题实质上就是要求一个数，这个数的平方等25. 【学习任务二】 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根( square root). 25的平方根只有一个吗 还有没有别的数的平方也等于25 例1 求100的平方根 探究二： (1) 144的平方根是什么 (2) 0的平方根是什么 (3) -4有没有平方根 为什么 通过这些题目的解答，你能发现什么 请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答. 一个正数如果有平方根*，那么必定有两个，它们互为相反数。 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作 ，读作“根号a”; 另一个平方根是它的相反数，即- . 因此，正数a的平方根可以记作士，其中a称为被开方数. 因为0的平方等于0，而其他任何数的平方都不等 于0，所以0的平方根只有一个(就是0)， 也叫做0的算术平方根，记作，即有= 0. 负数有平方根吗 思考:有没有一个数的平方是负数 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。 平方与开平方是互为逆运算 将一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根. 平方根的性质： ①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
②0只有一个平方根，它就是0本身；
③负数没有平方根。 【学习任务三】 例2 将下列各数开平方: (1) 49 (2) 例3 用计算器求下列各数的算术平方根: (1) 529; (2) 44. 81(精确到0.01 ). 说明：用计算器求一个正数的算术平方根,只需直接按书写顺序按键即可. 【学习任务四】课堂练习 必做题： 1．下列说法中，错误的是( ) A．0.09是0.3的算术平方根 B．2是4的算术平方根 C．－3是9的一个平方根 D．36的平方根是±6 2．(1)36的算术平方根是 ； (2)3的平方根是 ； 3.判断下列说法是否正确 （1）－9的平方根是－3; ( ) （2）49的平方根是7 ； ( ) （3） －7 是 49的平方根; （ ） （4）（－3）2的平方根是±3 ；（ ） （5）平方根是它本身的数是1 （ ） （6）算术平方根是它本身的数是1 （ ） 选做题： 4.求下列各数的平方根与算术平方根． (1)64；(2)0.49；(3)(－5)2. 【综合拓展类作业】 5.已知一个正数的两个平方根分别是a和2a﹣9，求a的值，并求这个正数． 【知识技能类作业】 必做题： 1. 下列说法中，正确的是( ) A. 4是16的算术平方根； B. (-4)2的平方根是4； C. (-2)2的平方根是-2； D. -1的算术平方根都是-1 选做题： 2、一个正数x的两个平方根是2a-3与5-a，则x的值是( ) 49 B. 36 C. 64 D. 81 【综合拓展类作业】 3、已知一个数的算术平方根为2m-3，且这个数的平方根为±(m-2)，求m的值．
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 八年级上册第11章
课标要求 1、让学生经历又一次数系的扩展过程，进一步体验数学发展源于实践，又作用于实际的辩证关系．2、理解平方根、算术平方根、立方根等概念；认识平方与开平方、立方与开立方间的关系；会用平方、立方的概念求某些数的平方根与立方根，并用根号表示，会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根．3、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．4、能估计某些无理数的大小，培养学生的数感与估计能力，会进行简单的实数运算．
内容分析 华东师大版《数学》八年级上册第11章《数的开方》可以看成其后的代数内容的起始章．本章在数的开方的基础上引入了无理数的概念，从而引出了实数的概念，并说明在实数范围内可以进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算，而且在有理数范围内成立的运算律和运算性质在实数范围内仍然适用，这样就为今后在实数范围内研究各种问题作好了准备。因此，本章不仅是学习二次根式、一元二次方程的准备知识，而且是今后所要学习到的包括函数、平面解析几何在内的大部分知识的基础．
学情分析 本章要在教学中反复强调平方根与算术平方根这两个概念间的联系和区别，会查表或用计算器正确、迅速求出一个数的平方根 ．算术根的概念难在学生对正数开平方有两个结果不习惯，容易将算术根与平方根的概念混淆；实数的概念比较抽象，初二学生较难理解，因此在教学时一定要把握住要求，对实数及其有关概念，采用浅显、直观的描述性讲法，力图通过对后面知识的学习逐步加深对它们的认识．
单元目标 教学目标1、理解平方根、算术平方根、立方根的概念:认识平方与开平方、立方与开立方间的关系: 会用平方、立方的概念求某些数的平方根与立方根，会用根号表示；会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根． 2、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应． 3、能估计某些无理数的大小，培养学生的数感与估算能力，会进行简单的实数运算．（二）教学重点、难点教学重点：平方根、算术平方根的概念及求法．会查表或用计算器正确、迅速求出一个数的平方根． 教学难点：算术根的概念和实数的概念．实数的概念比较抽象，初二学生较难理解．
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架 （二）教学策略建议(一)突出主要概念，并注意讲清概念间的联系与区别本章的特点是涉及的概念多，尤其是相互联系、成对出现的概念多。如乘方运算与开方运算，平方与平方根，立方与立方根，平方根与算术平方根，用计算器求平方根与立方根的方法，有理数与无理数，有理数范围与实数范围等．因此，为便于学生了解本章的概念，教学时一是要注意突出其中的主要概念，二是要注意讲清相关概念的联系与区别． 例如，本章的主要概念是平方根、算术平方根、无理数等．为便于讲清平方根和算术平方根的概念，教材将这两个概念并入一个小节，先讲平方根，后讲算术平方根。指出由于算术平方根的值唯一确定，可用符号√a表示，而由于正教a的两个平方根互为相反数，其负平方根可以表示为-√a,这样就可以用算术平方根来表示和研究平方根，通过这种对其间联系与区别的提示，有助于加深对它们的了解． (二)注意加强与几何知识的联系从教学进度的安排看，在代数里先讲数的开平方的概念及其计算，接着几何里以此为基础讲勾股定理，然后又在代数里根据勾股定理来说明等无理数的几何意义．此外，在引入平方根概念时， 注意联系几何里已知面积求边长的需要；在引入立方根概念时，注意联系几何里已知体积求边长的需要．在习题配备方面，适当安排了一些需要用到数的开方的几何问题．上述做法，有助于学生从整体上去认识所学习的代数、几何知识，将它们有机地联系起来． (三)注意启发学生的思维在本章的教学中，我们要使教材既具有规范性，又具有启发性，从而使教材能够吸引学生，达到既学习知识，又启发思维、培养能力的目的． 例如，讲正数的平方根的情况时，在提出了平方根的概念后，先让学生“想一想”，某些具体的正数的平方根是什么。正数的两个平方根之间有什么关系，然后再说出这个问题的结论。随后， 在讨论负数的平方根的情况时，也是先发问:“负数有平方根吗？”让学生自己去发现规律并用自己的言语加以表达。在教学中，充分让学生体会到如何抓住平方根的意义，利用平方运算来寻求一个非负数的平方根，用平方运算求平方根是一个逆向思维的过程． (四)注意培养学生数感在实数的大小比较和运算时，学生可以通过计算器来比较大小，也可以先让学生进行估算，然后得出结论，培养学生的估算能力。又如，在认识√2是一个无理数时，按照计算器显示的结果来想象√2在数轴上的位置，这实际上是对无理数的一个估计，同时也能让学生从数的方面体会到: 一个无理数，可以在数轴上找到一个对应点．
课时安排课时编号单元主要内容课时数11.1.1平方根111.1.2立方根111.2实数1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务11.1.1平方根1、能记住平方根及算术平方根的概念；2、能运用平方根的概念求出非负数的平方根．1.能运用平方根的概念求出非负数的平方根．2.培养学生观察、比较和概括的思维能力．活动一：完成探究问题和做一做．活动二：例题和练习，培养学生观察，归纳的能力．11.1.2 立方根1、能记住立方根的概念；2、能运用立方根的概念求出立方根．1.能运用立方根的概念求出立方根．2.发展学生的抽象概括能力．活动一：完成探究问题．活动二：通过例题会运用相关概念解决问题．活动三：体会立方根的概念在生活中的应用． 11.2 实数1、了解无理数和实数的意义,能对实数按要求进行分类;了解有理数的运算法则在实数范围内仍实用. 2、能利用化简对实数进行简单的四则运算．1.了解无理数和实数的意义,能对实数按要求进行分类．2.对实数进行简单的四则运算，培养学生的运算能力．活动一：通过回顾体会分类思想．活动二：完成探究问题，合作学习．活动三：解答例题和针对练习．体会有理数的运算法则在实数范围内仍实用.
《第11章 数的开方》单元教学设计教学设计
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（华师大版）八年级
上
11.1.1 平方根
数的开方
第11章
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
教学目标：
1、能记住平方根及算术平方根的概念；
2、能运用平方根的概念求出非负数的平方根.
新知讲解
任务一
什么是乘方？
求n个相同因数的积的运算叫乘方.
正数的任何次幂都是正数；
负数的奇次幂是负数；
负数的偶次幂是正数.
底数
幂
指数
新知讲解
请同学们完成下列各题
32=_________ （-3）2=_______
72=_________ （-7）2=_______
9
9
49
49
新知讲解
任务二
新知讲解
要剪出一张面积为25cm2的正方形纸片，正方形的边长应是多少
新知讲解
（ ）2=25
容易知道，这个正方形的边长是5cm.
上述问题实质上就是要求一个数，这个数的平方等于25
5
新知讲解
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根( square root).
提炼概念
新知讲解
25的平方根只有一个吗
还有没有别的数的平方也等于25
新知讲解
因为52 = 25 ,所以5是25的一个平方根
又因为(-5)2 = 25 ,所以-5也是25的一个平方根
这就是说，5与-5都是25的平方根.
根据平方根的意义，我们可以利用平方运算来求一个数的平方根 .
典例精析
例1 求100的平方根.
解： 因为102=100,(-10) 2=100,
除了10和-10以外，任何数的平方都不等于100，
所以100的平方根是10和-10.
也可以说，100的平方根是±10.
新知讲解
(1) 144的平方根是什么
(2) 0的平方根是什么
(3) -4有没有平方根 为什么
试一试
解：
（1）144的平方根是±12
(2) 0的平方根是0
(3) -4没有平方根，因为任何数的平方都不等于负数。
新知讲解
新知讲解
一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作 ，读作“根号a”;
另一个平方根是它的相反数，即- .
因此，正数a的平方根可以记作± ，其中a称为被开方数.
概括
新知讲解
因为0的平方等于0，而其他任何数的平方都不等
于0，所以0的平方根只有一个(就是0)，
也叫做0的算术平方根，记作 ，即有 = 0.
概括
新知讲解
2
根指数
被开方数
读作：
二次根号a
简写为：
读作：根号a
（a≥0)
根号
新知讲解
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方是互为逆运算
将一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根.
在例1中，我们可以先求出100的算术平方根是
= 10，然后得知100的平方根是± =±10.
新知讲解
平方根的性质：
①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
②0只有一个平方根，它就是0本身；
③负数没有平方根。
新知讲解
例2 将下列各数开平方:
(1) 49 (2)
解
(1)因为72 = 49，所以 = 7,
因此49的平方根为± =±7.
(2)因为 = ，所以 = ,
因此 的平方根为士 =±
新知讲解
例3 用计算器求下列各数的算术平方根:
(1) 529;
(2) 44. 81(精确到0.01 ).
说明：用计算器求一个正数的算术平方根,只需直接按书写顺序按键即可.
新知讲解
解：(1) 在计算器上依次键入
5 2 9 =
显示结果为23,所以529的算术平方根为
= 23。
(2)在计算器上依次键入
4 4 . 8 1 =
显示结果为____， 要求精确到0.01，可得
≈____。
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1．下列说法中，错误的是( )
A．0.09是0.3的算术平方根
B．2是4的算术平方根
C．－3是9的一个平方根
D．36的平方根是±6
2．(1)36的算术平方根是 ；
(2)3的平方根是 ；
6
A
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.判断下列说法是否正确
（1）－9的平方根是－3; ( )
（2）49的平方根是7 ； ( )
（3） －7 是 49的平方根; （ ）
（4）（－3）2的平方根是±3 ；（ ）
（5）平方根是它本身的数是1 （ ）
（6）算术平方根是它本身的数是1 （ ）
×
×
√
×
√
×
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
4.求下列各数的平方根与算术平方根．
(1)64；(2)0.49；(3)(－5)2.
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
【综合拓展类作业】
课堂练习
5.已知一个正数的两个平方根分别是a和2a﹣9，求a的值，并求这个正数．
解：∵一个正数有两个平方根，且互为相反数，
∴a+2a﹣9=0，
解得：a=3，
将a=3带入a和2a﹣9，
得到3和﹣3， 32=9，
∴这个正数是9．
课堂总结
平
方
运
算
指数
底数
幂
开平
方
运
算
a的平方根
被开方数
根号
已知底数和指数求幂
已知幂和指数求底数
互为逆运算
平方和开平方
求一个数的平方根的运算叫做开平方。
开平方是平方的逆运算。
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1. 下列说法中，正确的是( )
A. 4是16的算术平方根； B. (-4)2的平方根是4；
C. (-2)2的平方根是-2； D. -1的算术平方根都是-1
A
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
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2、一个正数x的两个平方根是2a-3与5-a，则x的值是( )
49 B. 36 C. 64 D. 81
解：∵正数x的两个平方根是2a-3与5-a，
∴2a-3+5-a=0，
解得a=-2，
所以，2a-3=2×(-2)-3=-4-3=-7，
所以，x=(-7)2=49，
故选A．
作业布置
【综合拓展类作业】
3、已知一个数的算术平方根为2m-3，且这个数的平方根为±(m-2)，求m的值．
作业布置
【综合拓展类作业】
解：由题意可知，2m-3是m-2或者-(m-2)两数中的一个．
当2m-3=m-2时，解得 m=1．
所以，这个数为(2m-3)2=(2×1-3)2=1．
当2m-3=-(m-2)时，解得m=
所以这个数为(2m-3)2=(2× -3)2=
因为算术平方根为2m-3是正数，
所以m=1不符合题意舍去
所以m=
