九年级数学上点拨与训练：21.2 解一元二次方程方法专训（含解析）

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九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第九课时 解一元二次方程方法专训
一、专题导航
二.老师告诉你
解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，有些特殊方程还可以用换元法，在具体解题过程中，结合方程特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果。
方法一、用直接开平方法解方程
若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。
1．用直接开平方法解方程3（x-3）2-24=0，得方程的根是（　　）
A. x=3+2 B. x=3-2
C. x1=3+2，x2=3-2 D. x=-3±2
2．给出以下方程的解题过程，其中正确的有（　　）
①解方程（x-2）2=16，两边同时开方，得x-2=±4，移项得x1=6，x2=-2；
②解方程x（x-）=（x-），两边同时除以（x-）得x=1，所以原方程的根为x1=x2=1；
③解方程（x-2）（x-1）=5，由题得x-2=1，x-1=5，解得x1=3，x2=6；
④方程（x-m）2=n的解是x1=m+，x2=m-．
A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3．如果（a+b+1）（a+b-1）=63，那么a+b的值为_____．
4．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1=2，x2=-1，那么方程a（x+m+2）2+b=0的解_____．
方法二、用配方法解方程
解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。
注意：用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。
1．用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（　　）
A. （x+1）2=6 B. （x+2）2=9 C. （x-1）2=6 D. （x-2）2=9
2．解方程：2x2-6x-7=0（配方法解）
3．用配方法解方程：x（x+4）=8x+12．
4．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵（-）2=a-2+b≥0，∴a+b≥2，当且仅当a=b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，求x+的最小值；
（2）当x＜0时，求x+的最大值；
（3）当x＞0时，求y=的最小值．
5．如图，在Rt△ABC中，AC=8cm,BC=6cm,P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为1cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为2cm/s,若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为4cm？
（2）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？
方法三、用公式法解方程
一元二次方程的求根公式是：
用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出的值；（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。
1．利用公式解可得一元二次方程式3x2-11x-1=0 的两解为a、b,且a＞b,求a值为何（　　）
A. B.
C. D.
2．用公式法解一元二次方程：2x2-3x+1=0．
3．关于x的一元二次方程mx2-（3m-1）x+2m-1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．
方法四、用因式分解法解方程
如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。
1．方程x2-（+）x+=0的根是（　　）
A. x1=，x2= B. x1=1，x2=
C. x1=-，x2=- D. x=±
2．解方程：x（x-5）=5-x.小滨的解答如下：
解：原方程可化简为x（x-5）=-（x-5），
方程两边同时除以x-5，得x=-1，
小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程．
3．定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程是否为黄金方程，并说明理由．
（2）已知是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值．
4．已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：
x2-1=0，
x2+x-2=0，
x2+2x-3=0，
…
x2+（n-1）x-n=0．
（1）请解上述一元二次方程；
（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．
方法五、用适当方法解方程
1.在解一元二次方程时，配方法不常用，直接开平方法与因式分解法适用于特殊的—元二次方程，公式法适用于任意的一元二次方程，是解一元二次方程的通用方法。
2.选择解法的顺序：首先考虑用直接开平方法或因式分解法求解，如不便求解，再考虑用公式法或配方法求解。
1）若给定的方程为（x—a）２＝b（b≠０）的形式（或经过简单变形可转化为这种形式），可采用直接开平方法；
２）若给定的一元二次方程可化为一边是零，另一边是易于分解成两个一次因式的积的形式，可采用因式分解法；若方程两边都是整式的乘积形式，且有公因式也可采用因式分解法.
３）不是特殊形式的方程，可在化为一般形式后，采用配方法或公式法（不易用因式分解时）；
４)用公式法求解时，要先计算b２—4ac的值，若b２—4ac<0，则此方程没有实数根。
1．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）（x﹣1）2＝2；（2）2x2+5x＝﹣2
2．用适当的方法解方程：
（1）x2+10x+16=0；
（2）x2+2x=x+2．
3．按要求解下列方程：
（1）x2+4x+2=0（配方法）；
（2）2x2-4x=-1（用公式法解）；
（3）3x2+2x-1=0．
方法六、用换元法解方程
1.换元法：在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
2.换元法功能：换元法又称变量替换法,是我们解题常用的方法之一。利用换元法,可以化繁为简,化难为易,从而找到解题的捷径。
用换元法解一元二次方程的策略
关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化,复杂问题简单化,也体现了转化思想的运用.
1．若实数x满足方程（x2+2x） （x2+2x-2）-8=0，那么x2+2x的值为（　　）
A. -2或4 B. 4 C. -2 D. 2或-4
2．已知，则的值为________．
3．阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
【问题】解方程：x2+2x+4-5=0．
【提示】可以用“换元法”解方程．
解：设=t（t≥0），则有x2+2x=t2
原方程可化为：t2+4t-5=0
【续解】
4．阅读下面的材料，解答后面的问题
材料：“解方程x4-3x2+2=0”
解：设x2=y,原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2
当y=1时，即x2=1，解得x=±1；
当y=2时，即x2=2，解得x=±
综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=-
问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是_____
A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法
（2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0．
5．阅读材料并回答下面的问题：
为解方程（x2-1）2-5（x2-1）+4=0，我们可以将x2-1看成为一个整体，然后设x2-1=y,则原方程化为y2-5y+4=0①，解得：y1=1，y2=4．当y=1时，x2-1=1，∴x2=2，∴x=±；当y=4时，x2-1=4，∴x2=5，∴x=±∴原方程的根为：x1=，x2=-，x3=，x1=-．
在由原方程得到方程①的解题过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想，
请利用以上方法解方程：
①x4-x2-6=0；
②（x2+3）2-9（x2+3）+20=0．
专题检测
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．方程（x-a）2=b（b＞0）的根是（　　）
A. B.
C. D. x=±a±b
2．一元二次方程2x2-3x+1=0化为（x+a）2=b的形式，正确的是（　　）
A. B.
C. D. 以上都不对
3．方程x2-6x-5=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（　　）
A. （x-6）2=41 B. （x-3）2=4 C. （x-3）2=14 D. （x-6）2=36
4．下列方程中，没有实数根的是方程（　　）
A. -3x2+2x+10=0 B. 2x2+8x-3=0 C. 3x2+2x=1 D. x2+3x+3=0
5．用公式法解方程x2-6x+1=0所得的解正确的是（　　）
A. B.
C. D.
6．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-11x+30=0的解，则这个三角形的周长是（　　）
A. 11 B. 11或12 C. 12 D. 10
7．方程（1-x）（1+x）（1+x2）+15=0的实数根是（　　）
A. 1 B. ±1 C. 2 D. ±2
8．若实数x、y满足（x2+y2+2）（x2+y2-2）=0，则x2+y2的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 2或-1 D. 2或-2
二、填空题(共5题，共20分)
9．解方程：（x-5）2=9的解为x=_____．
10．4x2+9y2+12x-6y+10=0，则8x-9y=_____．
11．一元二次方程的解为______．
12．一元二次方程x2-5x+6=0的两根是直角三角形的两直角边长，则这个直角三角形的斜边长为_____．
13．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）-3=0，那么x2+3x=_____．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）用适当的方法解一元二次方程
（1）3x2-1=4x
（2）x2-2x-399=0
（3）2x2-7x=0
（4）4x-6=（2x-3）2．
15．（8分）阅读下列材料：
“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，所以，我们常需要将代数式配成完全平方式．
例如“试说明多项式x2+4x+5的最小值为1”．
x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴x2+4x+5的最小值为1．
试利用“配方法”解决下列问题：
（1）因式分解：x2+4x-5；
（2）求多项式-x2+4x+5的最大值．
16．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根．
17．（8分）阅读与思考：阅读下面内容并完成任务．
小明同学在解一元二次方程（x-3）2=x-3时，两边同时除以x-3，得到x-3=1，于是得到原方程根为x=4；小华同学的解法是：将x-3移到等号左边，得到（x-3）2-（x-3）=0，提公因式，得（x-3）（x-3-1）=0即x-3=0或x-4=0，进而得到原方程的两个根x1=3，x2=4．
任务一：请对小明、小华同学的解法是否正确作出判断；
任务二：若有不正确，请说明其理由；
任务三：直接写出方程（x-5）3-4（x-5）2=0的根．
18．（8分）已知一元二次方程x2-2x+m-1=0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且满足x12+x1x2=1，求m的值．
19 .（8分）阅读材料：
在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：
解方程：x2﹣3|x|+2＝0．
解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2﹣3y+2＝0．
解得：y1＝1，y2＝2．
当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1；
当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2．
∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
（1）解方程：x4﹣10x2+9＝0．
（2）解方程：﹣＝1．
（3）若实数x满足x2+﹣3x﹣＝2，求x+的值．
九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第九课时 解一元二次方程方法专训（解析版）
一、专题导航
二、老师告诉你
解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，有些特殊方程还可以用换元法，在具体解题过程中，结合方程特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果。
方法一、用直接开平方法解方程
若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。
1．用直接开平方法解方程3（x-3）2-24=0，得方程的根是（　　）
A. x=3+2 B. x=3-2
C. x1=3+2，x2=3-2 D. x=-3±2
【答案】C
【解析】先移项、系数化1，则可变形为（x-3）2=8，然后利用数的开方解答，求出x-3的值，进而求x.
解：移项得，3（x-3）2=24，两边同除3得，（x-3）2=8，开方得，x-3=±2，所以x1=3+2，x2=3-2．故选C．
2．给出以下方程的解题过程，其中正确的有（　　）
①解方程（x-2）2=16，两边同时开方，得x-2=±4，移项得x1=6，x2=-2；
②解方程x（x-）=（x-），两边同时除以（x-）得x=1，所以原方程的根为x1=x2=1；
③解方程（x-2）（x-1）=5，由题得x-2=1，x-1=5，解得x1=3，x2=6；
④方程（x-m）2=n的解是x1=m+，x2=m-．
A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】直接开平方法必须具备两个条件：
（1）方程的左边是一个完全平方式；
（2）右边是非负数．将右边看作一个非负已知数，利用数的开方解答．
解：①应先将系数化为1再开方．所以错．
②在不知道因式是否为零的情况下，将其作为除数来化简方程，容易造成丢根．所以错．
③方程右边不为0，不能用因式分解法解．所以错．
④当n为负数时，不能直接开平方．所以错．
故选：A．
3．如果（a+b+1）（a+b-1）=63，那么a+b的值为_____．
【答案】±8
【解析】将a+b看作整体，用平方差公式解答，求出a+b的值即可；
解：∵（a+b+1）（a+b-1）=63，
∴（a+b）2-12=63，
∴（a+b）2=64，
a+b=±8；
故答案为：±8
4．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1=2，x2=-1，那么方程a（x+m+2）2+b=0的解_____．
【答案】x3=0，x4=-3
【解析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=-1，（a,m,b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=2或x+2=-1，
解得x=0或x=-3．
故答案为：x3=0，x4=-3．
方法二、用配方法解方程
解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。
注意：用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。
1．用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（　　）
A. （x+1）2=6 B. （x+2）2=9 C. （x-1）2=6 D. （x-2）2=9
【答案】C
【解析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解：由原方程移项，得
x2-2x=5，
方程的两边同时加上一次项系数-2的一半的平方1，得
x2-2x+1=6
∴（x-1）2=6．
故选：C．
2．解方程：2x2-6x-7=0（配方法解）
【解析】把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方的形式，再用直接开平方法求出方程的根．
解：x2-3x-=0，
x2-3x=，
x2-3x+=，
=，
x-=±，
x=±，
∴x1=，x2=．
3．用配方法解方程：x（x+4）=8x+12．
【解析】利用配方法进行求解即可．
解：x（x+4）=8x+12，
x2+4x=8x+12，
x2-4x=12，
x2-4x+4=12+4，
（x-2）2=16，
x-2=±4，
x=2±4，
∴x1=6，x2=-2．
4．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵（-）2=a-2+b≥0，∴a+b≥2，当且仅当a=b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，求x+的最小值；
（2）当x＜0时，求x+的最大值；
（3）当x＞0时，求y=的最小值．
【解析】（1）根据阅读材料计算；
（2）把x+化为-（-x-），根据阅读材料计算；
（3）把化为x+3+，根据阅读材料计算．
解：（1）当x＞0时，x+≥2=2，
∴当x＞0时，x+的最小值是2；
（2）当x＜0时，x+=-（-x-），
-x-≥2=2，
∴-（-x-）≤-2，
∴当x＜0时，x+的最大值是-2；
（3）y==x+3+，
x+≥2=8，
∴x+的最小值是8，
∴x+3+的最小值是11，
∴当x＞0时，y=的最小值是11．
5．如图，在Rt△ABC中，AC=8cm,BC=6cm,P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为1cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为2cm/s,若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为4cm？
（2）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？
【解析】（1）根据勾股定理PC2+CQ2=PQ2，便可求出经过2或s后，P、Q两点的距离为4cm；
（2）根据三角形的面积公式S△PCQ=×PC×CQ以及二次函数最值便可求出t=1.75s时△PCQ的面积最大，进而求出四边形BPQA的面积最小值．
解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=8cm,BC=6cm,
∴AB=10cm,
设经过ts后，P、Q两点的距离为4cm,
ts后，PC=6-t cm,CQ=2t cm,
根据勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2，
代入数据（6-t）2+（2t）2=（4）2；
解得t=2或t=，
故t为2或时，P、Q两点的距离为4cm；
（2）设经过ts后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小，
ts后，PC=6-tcm,CQ=2t cm,
S△PCQ=×PC×CQ=×（6-t）×2t=-t2+6t
当t=-时，即t=3s时，△PCQ的面积最大，
即S△PCQ=×PC×CQ=×（6-3）×6=9（cm2），
∴四边形BPQA的面积最小值为：S△ABC-S△PCQ最大=×6×8-9=15（cm2），
当点P运动3秒时，四边形BPQA的面积最小为：15cm2．
方法三、用公式法解方程
一元二次方程的求根公式是：
用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出的值；（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。
1．利用公式解可得一元二次方程式3x2-11x-1=0 的两解为a、b,且a＞b,求a值为何（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】利用公式法即可求解．
解：3x2-11x-1=0，
这里a=3，b=-11，c=-1，
∴Δ=（-11）2-4×3×（-1）=133＞0，
∴x==，
∵一元二次方程式3x2-11x-1=0 的两解为a、b,且a＞b,
∴a的值为．
故选：D．
2．用公式法解一元二次方程：2x2-3x+1=0．
【解析】直接利用求根公式计算可得．
解：∵a=2，b=-3，c=1，
∴Δ=（-3）2-4×2×1=1＞0，
则x==，
即x1=1，x2=．
3．关于x的一元二次方程mx2-（3m-1）x+2m-1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．
【解析】由一元二次方程的Δ=b2-4ac=1，建立m的方程，求出m的解后再化简原方程并求解．
解：由题意知，m≠0，Δ=b2-4ac=[-（3m-1）]2-4m（2m-1）=1
∴m1=0（舍去），m2=2，∴原方程化为：2x2-5x+3=0，
解得，x1=1，x2=3/2．
方法四、用因式分解法解方程
如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。
1．方程x2-（+）x+=0的根是（　　）
A. x1=，x2= B. x1=1，x2=
C. x1=-，x2=- D. x=±
【答案】A
【解析】本题运用的是因式分解法来解题，将方程化为因式的乘积，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
解：原方程变形为：（x-）（x-）=0，
解得x=或x=．
故选：A．
2．解方程：x（x-5）=5-x.小滨的解答如下：
解：原方程可化简为x（x-5）=-（x-5），
方程两边同时除以x-5，得x=-1，
小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程．
【解析】方程解答不正确，两边除以（x-5）时，没有考虑为0的情况，写出正确过程即可．
解：方程解答不正确，
正确解答为：方程化简得：x（x-5）=-（x-5），
移项得：x（x-5）+（x-5）=0，
分解因式得：（x-5）（x+1）=0，
可得x-5=0或x+1=0，
解得：x1=5，x2=-1．
3．定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程是否为黄金方程，并说明理由．
（2）已知是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值．
【答案】（1）一元二次方程是黄金方程，理由见解析
（2）或
【解析】
（1）根据黄金方程的定义进行求解即可；
（2）根据黄金方程的定义得到，则原方程为，再由a是此黄金方程的一个根，得到，解方程即可．
【小问1详解】
解：一元二次方程是黄金方程，理由如下：
由题意得，，
∴，
∴一元二次方程是黄金方程；
小问2详解】
解：∵是关于x的黄金方程，
∴，
∴，
∴原方程为，
∵a是此黄金方程的一个根，
∴，即，
∴，
解得或．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键．
4．已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：
x2-1=0，
x2+x-2=0，
x2+2x-3=0，
…
x2+（n-1）x-n=0．
（1）请解上述一元二次方程；
（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．
【解析】（1）分别利用因式分解法解各方程；
（2）根据方程根的特征易得这n个方程都有一个根为1，另外一根等于常数项．
解：（1）x2-1=0，解得x1=1，x2=-1，
x2+x-2=0，解得x1=1，x2=-2，
x2+2x-3=0，解得x1=1，x2=-3，
…x2+（n-1）x-n=0，解得x1=1，x2=-n；
（2）这n个方程都有一个根为1，另外一根等于常数项．
方法五、用适当方法解方程
1.在解一元二次方程时，配方法不常用，直接开平方法与因式分解法适用于特殊的—元二次方程，公式法适用于任意的一元二次方程，是解一元二次方程的通用方法。
2.选择解法的顺序：首先考虑用直接开平方法或因式分解法求解，如不便求解，再考虑用公式法或配方法求解。
1）若给定的方程为（x—a）２＝b（b≠０）的形式（或经过简单变形可转化为这种形式），可采用直接开平方法；
２）若给定的一元二次方程可化为一边是零，另一边是易于分解成两个一次因式的积的形式，可采用因式分解法；若方程两边都是整式的乘积形式，且有公因式也可采用因式分解法.
３）不是特殊形式的方程，可在化为一般形式后，采用配方法或公式法（不易用因式分解时）；
４)用公式法求解时，要先计算b２—4ac的值，若b２—4ac<0，则此方程没有实数根。
1．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）（x﹣1）2＝2；（2）2x2+5x＝﹣2
【答案】（1）x1＝1+，x2＝1-．（2）x1＝﹣，x2＝﹣2．
【解析】（1）利用直接开方法，求解即可；
（2）先把等号右边的项移到等号左边，再利用因式分解法求解即可．
解：（1）（x﹣1）2＝2，
开方得：x﹣1＝±，
则x1＝1+ ，x2＝1﹣；
（2）整理得：2x2+5x+2＝0，
分解因式得：（2x+1）（x+2）＝0，
可得2x+1＝0或x+2＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣2．
故答案为（1）x1＝1+ ，x2＝1﹣；（2）x1＝﹣，x2＝﹣2．
【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法和直接开方法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法.
2．用适当的方法解方程：
（1）x2+10x+16=0；
（2）x2+2x=x+2．
【解析】（1）利用因式分解法把方程转化为x+8=0或x+2=0，然后解一次方程即可；
（2）先把方程变形为x（x+2）-（x+2）=0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）x2+10x+16=0，
（x+8）（x+2）=0，
x+8=0或x+2=0，
所以x1=-8，x2=-2；
（2）x2+2x=x+2，
x（x+2）-（x+2）=0，
（x+2）（x-1）=0，
x+2=0或x-1=0，
所以x1=-2，x2=1．
3．按要求解下列方程：
（1）x2+4x+2=0（配方法）；
（2）2x2-4x=-1（用公式法解）；
（3）3x2+2x-1=0．
【解析】（1）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程-公式法，进行计算即可解答；
（3）利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答．
解：（1）x2+4x+2=0，
x2+4x=-2，
x2+4x+4=2，即（x+2）2=2，
∴x+2=±，
∴x1=-2+，x2=-2-；
（2）2x2-4x=-1，
2x2-4x+1=0，
这里a=2，b=-4，c=1，Δ=（-4）2-4×2×1=8＞0，
∴x==，
∴x1=，x2=；
（3）3x2+2x-1=0，
（3x-1）（x+1）=0，
∴3x-1=0或x+1=0，
∴x1=，x2=-1．
方法六、用换元法解方程
1.换元法：在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
2.换元法功能：换元法又称变量替换法,是我们解题常用的方法之一。利用换元法,可以化繁为简,化难为易,从而找到解题的捷径。
用换元法解一元二次方程的策略
关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化,复杂问题简单化,也体现了转化思想的运用.
1．若实数x满足方程（x2+2x） （x2+2x-2）-8=0，那么x2+2x的值为（　　）
A. -2或4 B. 4 C. -2 D. 2或-4
【答案】B
【解析】设x2+2x=y,则原方程化为y（y-2）-8=0，求出y,即可得出选项．
解：设x2+2x=y,则原方程化为y（y-2）-8=0，
解得：y=4或-2，
当y=4时，x2+2x=4，此时方程有解，
当y=-2时，x2+2x=-2，此时方程无解，舍去，
所以x2+2x=4．
故选：B．
2．已知，则的值为________．
【答案】
【解析】设a=x2+y2，代入即可得到一个关于a的一元二次方程，即可求解.
解：设x2+y2=a，则原方程化为
(a+1)(a+2)-6=0，
a2+3a+2-6=0，
a2+3a-4=0，
(a-1)(a+4)=0，
解得a=-4或1，
又∵x2+y2≥0，
∴x2+y2=1.
故答案为1.
【点睛】本题考查用换元法求解一元二次方程的问题，掌握一元二次方程的解法并注意x2+y2≥0是解本题的关键.
3．阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
【问题】解方程：x2+2x+4-5=0．
【提示】可以用“换元法”解方程．
解：设=t（t≥0），则有x2+2x=t2
原方程可化为：t2+4t-5=0
【续解】
【解析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再分别解方程=-5和方程=1，然后进行检验确定原方程的解．
解：（t+5）（t-1）=0，
t+5=0或t-1=0，
∴t1=-5，t2=1，
当t=-5时，=-5，此方程无解；
当t=1时，=1，则x2+2x=1，配方得（x+1）2=2，解得x1=-1+，x2=-1-；
经检验，原方程的解为x1=-1+，x2=-1-．
4．阅读下面的材料，解答后面的问题
材料：“解方程x4-3x2+2=0”
解：设x2=y,原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2
当y=1时，即x2=1，解得x=±1；
当y=2时，即x2=2，解得x=±
综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=-
问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是_____
A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法
（2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0．
【答案】C
【解析】（1）利用换元法解方程；
（2）设x2-2x=y,原方程化为y2-y-6=0，求出y,把y的值代入x2-2x=y,求出x即可．
解：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法．
故答案是：C；
（2）设x2-2x=y,原方程化为y2-y-6=0，
整理，得
（y-3）（y+2）=0，
得y=3或y=-2
当y=3时，即x2-2x=3，解得x=-1或x=3；
当y=-2时，即x2-2x=-2，方程无解．
综上所述，原方程的解为x1=-1，x2=3．
5．阅读材料并回答下面的问题：
为解方程（x2-1）2-5（x2-1）+4=0，我们可以将x2-1看成为一个整体，然后设x2-1=y,则原方程化为y2-5y+4=0①，解得：y1=1，y2=4．当y=1时，x2-1=1，∴x2=2，∴x=±；当y=4时，x2-1=4，∴x2=5，∴x=±∴原方程的根为：x1=，x2=-，x3=，x1=-．
在由原方程得到方程①的解题过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想，
请利用以上方法解方程：
①x4-x2-6=0；
②（x2+3）2-9（x2+3）+20=0．
【解析】根据题意给出的方法以及根据一元二次方程的解法即可求出答案．
解：①令t=x2，
∴t≥0，
∴原方程化为：t2-t-6=0，
∴（t-3）（t+2）=0，
∴t=3或t=-2（舍去），
∴x2=3，
∴原方程的根为x=±．
（2）令t=x2+3，
∴t≥3，
∴原方程化为：t2-9t+20=0，
∴（t-4）（t-5）=0，
∴t=4或t=5，
当t=4时，
∴x2+3=4，
∴x=±1，
当t=5时，
∴x2+3=5，
∴x=±．
综上所述，原方程的根为x=±1或x=±．
专题检测
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．方程（x-a）2=b（b＞0）的根是（　　）
A. B.
C. D. x=±a±b
【答案】A
【解析】两边直接开平方可得x-a=±，再把a移到方程有边即可．
解：（x-a）2=b（b＞0），
两边直接开平方得：x-a=±，
故：x1=+a,x2=-+a,
故选：A．
2．一元二次方程2x2-3x+1=0化为（x+a）2=b的形式，正确的是（　　）
A. B.
C. D. 以上都不对
【答案】C
【解析】先把常数项1移到等号的右边，再把二次项系数化为1，最后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配方即可．
解：∵2x2-3x+1=0，
∴2x2-3x=-1，
x2-x=-，
x2-x+=-+，
（x-）2=；
∴一元二次方程2x2-3x+1=0化为（x+a）2=b的形式是：（x-）2=；
故选：C．
3．方程x2-6x-5=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（　　）
A. （x-6）2=41 B. （x-3）2=4 C. （x-3）2=14 D. （x-6）2=36
【答案】C
【解析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解：∵x2-6x-5=0
∴x2-6x=5
∴x2-6x+9=5+9
∴（x-3）2=14
故选：C．
4．下列方程中，没有实数根的是方程（　　）
A. -3x2+2x+10=0 B. 2x2+8x-3=0 C. 3x2+2x=1 D. x2+3x+3=0
【答案】D
【解析】分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
解：A、Δ=b2-4ac=22-4×（-3）×10=124＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；
B、Δ=b2-4ac=82-4×2×（-3）=88＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C、Δ=b2-4ac=22-4×3×（-1）=16＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项错误；
D、Δ=b2-4ac=32-4×1×3=-3＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．
故选：D．
5．用公式法解方程x2-6x+1=0所得的解正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】利用公式法求解即可．
解：∵a=1，b=-6，c=1，
∴△=（-6）2-4×1×1=32＞0，
则x===3±2，
故选：D．
6．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-11x+30=0的解，则这个三角形的周长是（　　）
A. 11 B. 11或12 C. 12 D. 10
【答案】A
【解析】根据一元二次方程的解法即可求出第三边，然后根据三角形的三边关系即可求出周长．
解：由x2-11x+30=0，
解得：x=6或x=5，
当第三边长为6时，
由三角形三边关系可知：2+4=6，
故不能组成三角形，
当第三边为5时，
由三角形三边关系可知：4+2＞5，能够组成三角形，
∴这个三角形的周长为：2+4+5=11，
故选：A．
7．方程（1-x）（1+x）（1+x2）+15=0的实数根是（　　）
A. 1 B. ±1 C. 2 D. ±2
【答案】D
【解析】利用直接开平方法求解即可．
解：（1-x）（1+x）（1+x2）+15=0，
（1-x2）（1+x2）+15=0，
1-（x2）2+15=0，
∴（x2）2=16，
∴x=±2．
故选：D．
8．若实数x、y满足（x2+y2+2）（x2+y2-2）=0，则x2+y2的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 2或-1 D. 2或-2
【答案】B
【解析】设t=x2+y2，原方程变形为（t+2）（t-2）=0，解之即可得出t的值，再根据x2+y2非负即可确定t的值．
解：设t=x2+y2，则t≥0，
原方程变形为（t+2）（t-2）=0，
解得：t=2或t=-2（舍去）．
故选：B．
二、填空题(共5题，共20分)
9．解方程：（x-5）2=9的解为x=_____．
【答案】8或2
【解析】直接利用平方根的定义解方程，可得答案．
解：（x-5）2=9，
∴x-5=±3，
∴x=8或x=2．
故答案为：8或2．
10．4x2+9y2+12x-6y+10=0，则8x-9y=_____．
【答案】-15
【解析】已知等式左边配方后，利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出代数式的值．
解：∵4x2+9y2+12x-6y+10=（4x2+12x+9）+（9y2-6y+1）=（2x+3）2+（3y-1）2=0，
可得2x+3=0，3y-1=0，
解得：x=-，y=，
则8x-9y=8×（-）-9×=-15，
故答案为：-15．
11．一元二次方程的解为______．
【答案】
【解析】先把方程化为一般式，然后利用公式法求解即可．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解题的关键．
12．一元二次方程x2-5x+6=0的两根是直角三角形的两直角边长，则这个直角三角形的斜边长为_____．
【答案】
【解析】解一元二次方程求得直角三角形的两直角边长，利用勾股定理求得即可．
解：∴x2-5x+6=0，
（x-3）（x-2）=0，
解得x1=3，x2=2，
∴直角三角形的两直角边长分别为3和2，
∵斜边长=．
故答案为：．
13．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）-3=0，那么x2+3x=_____．
【答案】1
【解析】设x2+3x=y,方程变形后，求出解得到y的值，即可确定出x2+3x的值．
解：设x2+3x=y,
方程变形得：y2+2y-3=0，即（y-1）（y+3）=0，
解得：y=1或y=-3，即x2+3x=1或x2+3x=-3（无解），
故答案为：1．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）用适当的方法解一元二次方程
（1）3x2-1=4x
（2）x2-2x-399=0
（3）2x2-7x=0
（4）4x-6=（2x-3）2．
【解析】（1）方程整理后，利用公式法求出解即可；
（2）方程整理后，利用配方法求出解即可；
（3）方程利用因式分解法求出解即可；
（4）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
解：（1）方程整理得：3x2-4x-1=0，
这里a=3，b=-4，c=-1，
∵△=16+12=28，
∴x==；
（2）方程整理得：x2-2x=399，
配方得：x2-2x+1=400，即（x-1）2=400，
开方得：x-1=20或x-1=-20，
解得：x1=21，x2=-19；
（3）分解得：x（2x-7）=0，
解得：x1=0，x2=3.5；
（4）方程整理得：（2x-3）（2x-3-2）=0，
解得：x1=1.5，x2=2.5．
15．（8分）阅读下列材料：
“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，所以，我们常需要将代数式配成完全平方式．
例如“试说明多项式x2+4x+5的最小值为1”．
x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴x2+4x+5的最小值为1．
试利用“配方法”解决下列问题：
（1）因式分解：x2+4x-5；
（2）求多项式-x2+4x+5的最大值．
【解析】（1）原式配方后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可；
（2）原式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可．
解：（1）x2+4x-5
=x2+4x+4-9
=（x+2）2-9
=[（x+2）+3][（x+2）-3]
=（x+5）（x-1）；
（2）-x2+4x+5
=5-（x2-4x）
=5-（x2-4x+4-4）
=5-（x-2）2+4
=9-（x-2）2，
∵（x-2）2≥0，
∴当（x-2）2=0时，9-（x-2）2取得最大值9．
16．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根．
【解析】（1）根据根的判别式可得4+4k＞0，解不等式可求k的取值；
（2）根据k＞-1，且k是最小整数，那么可知k=0，再把k=0代入原方程，解关于x的一元二次方程即可．
解：（1）∵方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
∴Δ=4-4×1×（-k）=4+4k＞0，
解得k＞-1；
（2）∵k＞-1，且k是最小整数，
∴k=0，
把k=0代入原方程，可得x2+2x=0，
解得x1=0，x2=-2．
17．（8分）阅读与思考：阅读下面内容并完成任务．
小明同学在解一元二次方程（x-3）2=x-3时，两边同时除以x-3，得到x-3=1，于是得到原方程根为x=4；小华同学的解法是：将x-3移到等号左边，得到（x-3）2-（x-3）=0，提公因式，得（x-3）（x-3-1）=0即x-3=0或x-4=0，进而得到原方程的两个根x1=3，x2=4．
任务一：请对小明、小华同学的解法是否正确作出判断；
任务二：若有不正确，请说明其理由；
任务三：直接写出方程（x-5）3-4（x-5）2=0的根．
【解析】任务一：根据解题过程即可判断；
任务二：当x-3=0时，方程的两边不能同时除以x-3．
任务三：移项后分解因式，即可得出三个一元一次方程，再求出方程的解即可．
解：任务一：小明同学的解法错误；小华同学的解法；
任务二：当x-3=0时，方程的两边不能同时除以x-3．
任务三：（x-5）3-4（x-5）2=0，
（x-5）2（x-5-4）=0，
x-5=0或x-9=0，
解得：x1=x2=5，x3=9．
18．（8分）已知一元二次方程x2-2x+m-1=0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且满足x12+x1x2=1，求m的值．
【解析】（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式Δ=b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
（2）x1是方程的实数根，就适合原方程，可得到关于x1与m的等式．再根据根与系数的关系知，x1x2=m-1，故可求得x1和m的值．
解：（1）根据题意得Δ=b2-4ac=4-4×（m-1）＞0，解得m＜2；
（2）∵x1是方程的实数根，
∴x12-2x1+m-1=0 ①
∵x1，x2是方程的两个实数根
∴x1 x2=m-1
∵x12+x1x2=1，
∴x12+m-1=1 ②
由①②得x1=0.5，
把x=0.5代入原方程得，m=．
19 .（8分）阅读材料：
在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：
解方程：x2﹣3|x|+2＝0．
解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2﹣3y+2＝0．
解得：y1＝1，y2＝2．
当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1；
当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2．
∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
（1）解方程：x4﹣10x2+9＝0．
（2）解方程：﹣＝1．
（3）若实数x满足x2+﹣3x﹣＝2，求x+的值．
【分析】（1）设x2＝a，则原方程可化为a2﹣10a+9＝0，求得a的值之后，继而可得x2＝1或x2＝9，解之即可；
（2）设＝m，则原方程可化为m﹣＝1，即m2﹣m﹣2＝0，求得m的值后，即可得＝﹣1、＝2，解之即可；
（3）设x+＝y，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝2，即y2﹣3y﹣4＝0，解之求得y之后，即可得．
【解答】解：（1）设x2＝a，则原方程可化为a2﹣10a+9＝0，
即（a﹣1）（a﹣9）＝0，
解得：a＝1或a＝9，
当a＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当a＝9时，x2＝9，∴x＝±3；
（2）设＝m，则原方程可化为m﹣＝1，即m2﹣m﹣2＝0，
∴（m+1）（m﹣2）＝0，
解得：m＝﹣1或m＝2，
当m＝﹣1时，＝﹣1，即x2+x+1＝0，由△＝1﹣4×1×1＝﹣3＜0知此时方程无解；
当m＝2时，＝2，即2x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝1或x＝﹣，
经检验x＝1和x＝﹣都是原分式方程的解；
（3）设x+＝y，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝2，即y2﹣3y﹣4＝0，
∴（y+1）（y﹣4）＝0，
解得：y＝﹣1或y＝4，
即x+＝﹣1（方程无解，舍去）或x+＝4，
故x+＝4．
【点评】本题主要考查换元法解方程，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换是解题的关键．
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