5.1二次根式 湘教版初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析)

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5.1二次根式湘教版初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若代数式有意义，则的取值范围是( )
A. 且 B. C. D. 且
2.已知、为实数，且，则的值为( )
A. B. C. D.
3.等式成立的的取值范围在数轴上可表示为( )
A. B. C. D.
4.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.下列运算结果正确的是( )
A. B. C. D.
8.下面是一位同学做的四道题：；；；．其中做对的一道题的序号是( )
A. B. C. D.
9.实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是( )
A. B. C. D.
10.若在实数范围内有意义，则的值可以是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.，则 ．
12.化简：___．
13.已知，化简 ．
14.若式子有意义，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是的小数部分，求的值．
16.本小题分
有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简．
例如，，
请仿照上例解下列问题：
；
．
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
已知，求的值．
19.本小题分
若有意义，则化简 ______；
化简 ______；
已知，求．
直接写出的最小值______．
20.本小题分
观察下列等式，解答后面的问题：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
请直接写出第个等式___________；
根据上述规律猜想：若为正整数，用含的式子表示第个等式是___________；
利用的结论化简：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得：，且，
解得：，且，
故选：．
根据二次根式有意义的条件可得，再根据分式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数求得，则，代入求值即可．
【解答】
解：由题意，得
解得：．
所以，
所以
．
故选：．
3.【答案】
【解析】【解答】
解：由题意可知：
解得：，
故选：．
【分析】
根据二次根式有意义的条件即可求出的范围．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数非负，本题属于基础题型．
4.【答案】
【解析】解：式子在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故选：．
二次根式的概念．形如的式子叫做二次根式，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
5.【答案】
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得：，
故选：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义：被开方数为非负数是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得：，
故选：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义：被开方数为非负数是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】根据二次根式的性质化简，，，再根据同类二次根式计算判断．
【详解】因为，所以不正确；
因为和不是同类二次根式，不能合并，所以不正确；
因为，所以 C正确；
因为，所以不正确．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】根据整式的加减，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式以及二次根式的化简逐项进行判断即可．
【解答】解：与不是同类项，不能合并，因此不正确，不符合题意；
，因此正确，符合题意；
，因此不正确，不符合题意；
，因此不正确，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查整式的加减，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式以及二次根式的化简，掌握合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式以及二次根式的化简的方法是正确判断的前提．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了实数与数轴，利用数轴上点的位置关系得出是解题关键．
根据数轴上点的位置关系，可得，根据二次根式的性质，绝对值的性质，可得答案．
【解答】
解：由数轴上点的位置关系，得，
所以
，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
则的值可以是，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出的范围，判断即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】直接利用算术平方根有意义的条件得出，的值进而得出答案．
【解答】解：，，，
，，
故．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据题意正确得出，的值是解题关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握是解答本题的关键根据二次根式的性质化简即可．
【解答】
解： ．
故答案为．
13.【答案】
【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键，根据题意化简二次根式，即可求解．
【详解】解：，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
15.【答案】解：由是的小数部分，得．
．
【解析】根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据二次根式的分母有理化，可得答案．
本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质，分母有理化．
16.【答案】解：，
；
，
．
【解析】结合题干思路利用配方法作答即可；
结合题干思路裂项构成完全平方作答即可．
本题考查了二次根式的性质与化简、完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．
17.【答案】解：．
【解析】【分析】本题考查了立方根、二次根式的性质、零指数幂、化简绝对值，根据立方根、二次根式的性质、零指数幂、绝对值的意义进行化简，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
18.【答案】解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以．

【解析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质求出的取值范围，再化简绝对值是解题关键．根据二次根式的性质求出，再化简绝对值，然后移项，两边同时平方即可得到的值．
19.【答案】
【解析】解：有意义，
，
，
，
，
故答案为：；
有有意义，
，
，
，
故答案为：；
有意义，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
故答案为：；
在坐标系中可以表示轴上一点到点和到点的距离之和，
当这三点共线时，轴上一点到点和到点的距离之和有最小值，最小值即点和点的距离，
的最小值，
故答案为：．
先根据二次根式有意义的条件得到，则，据此化简二次根式即可；先求出，再根据二次根式的性质化简即可；
先求出，则，据此化简绝对值得到，由此根据非负数的性质求出、的值即可得到答案；
在坐标系中可以表示轴上一点到点和到点的距离之和，则当这三点共线时，轴上一点到点和到点的距离之和有最小值，最小值即点和点的距离，据此利用勾股定理求解即可．
本题主要考查了化简二次根式，非负数的性质，勾股定理等等，能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
20.【答案】解：；
猜想第个等式为：为正整数；
证明：为正整数，
．
左边，
右边，
左边右边．
猜想成立．
原式，
，
．
【解析】解：第个等式为：；
见答案；
见答案．
利用题干中的规律解答即可；
利用题干中的规律写出猜想即可，再利用二次根式的性质，说明左边右边即可；
利用题干中的规律解析化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，数字变形的规律，本题是规律型题目，找准数字与等式的规律是解题的关键．
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