5.2二次根式的乘法与除法 湘教版初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析)

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5.2二次根式的乘法与除法湘教版初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为正整数，则正整数的最小值为( )
A. B. C. D.
2.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形：
甲： ；
乙： 其中， ．
A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确
4.下列二次根式：中，是最简二次根式的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.当时，化简的结果是( )
A. B. C. D.
6.如图，，，，为射线上一个动点，连接，将沿折叠，点落在点处，过点作的垂线并反向延长，分别交、于、两点．当为线段的三等分点时，的长为( )
A. B. C. 或 D. 或
7.下列各式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
8.二次根式：；；；；中最简二次根式是( )
A. B. C. D. 只有
9.下列二次根式：、、、、中，是最简二次根式的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.甲、乙两位同学计代数式分别有用心作了如下变形：
甲；
乙：．
下列关于这两种变形过程的说法正确的是( )
A. 甲、乙都正确 B. 甲、已知都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.若一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为 ．
12.计算： ______．
13.设的整数部分是，小数部分是，则的值是 ．
14.的值是一个整数，则正整数的最小值是 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”．
若，，求出，的“如意数”．
如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”．
已知，且，的“如意数”，求的值．
16.本小题分
先化简，再求值：，其中
17.本小题分
先化简，再求值，其中
18.本小题分
两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式．
例如：与、与等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；
请仿照上述过程，化去下式分母中的根号：为正整数；
利用有理化因式比较与的大小，并说明理由．
19.本小题分
先化简，再求值：，其中．
20.本小题分
阅读下列材料，并解决相应问题：，用上述类似的方法化简下列各式．
；若是的小数部分，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
主要考查了二次根式乘法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的运算法则：乘法法则除法法则解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．因为，且为整数，可判断是完全平方数，可得满足条件的最小正整数的值．
【解答】
解：是整数，且，
是整数，
即为完全平方数，
满足条件的最小正整数为．
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：、 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 ，的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、 是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了分母有理化，解题的关键是正确找出有理化因式或把分子化为含有分母的乘积形式利用分子，分母同时乘以有理化因式或分子化为含有分母的乘积形式求解注意有理化的因式不能为．
【解答】
解：分母为分式没有意义，甲同学的解答只有在的情况下才成立，
根据题意得，
当时，，不成立，故，
甲、乙同学的解答过程都正确．
故选A．
4.【答案】
【解析】解：中是最简二次根式的有，，共个．
故选：．
根据最简二次根式的定义分别判断解答即可．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
被开方数不含分母；
被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
5.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
根据二次根式的乘法的法则及化简的法则进行求解即可．
本题主要考查二次根式的乘法，二次根式有意义的条件，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是最简二次根式有关知识，利用最简二次根式定义进行判定．
【解答】
解：；是最简二次根式．
故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义分别判断解答即可．
【解答】
解：中是最简二次根式的有，，
故选A．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了分母有理化，解题的关键是正确找出有理化因式或把分子化为含有分母的乘积形式利用分子，分母同时乘以有理化因式或分子化为含有分母的乘积形式求解注意有理化的因式不能为．
【解答】
解：分母为分式没有意义，甲同学的解答只有在的情况下才成立，
只有乙同学的解答过程正确．
故选D．
11.【答案】
【解析】【分析】
首先根据长方体的体积公式列式，然后利用二次根式的乘法法则计算即可求解．
此题主要考查了二次根式的应用，同时也考查了长方体的体积公式，正确运用二次根式乘法、是解答问题的关键．
【解答】
解：依题意得，长方体的体积为：
．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
根据二次根式的乘法法则计算即可求解．
本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法运算是关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分母有理化，估算无理数的大小，代数式求值．将分母有理化，确定整数部分的值，再用这个数减，得的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】
解：，
整数部分，小数部分，
．
14.【答案】
【解析】【分析】
根据二次根式的乘法法则计算得到，再根据条件确定正整数的最小值即可．
本题考查二次根式的乘除法，二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用二次根式的乘法法则化简，属于中考常考题型．
【解答】
解：是一个整数，
正整数的最小值是．
故答案为
15.【答案】解：；
，，
，
，
，
；
，，的“如意数”，
，
，
即：．
【解析】根据题目中所给的运算规则可得“如意数”；
根据题目中所给的运算规则计算出“如意数”后，把所得的式子化为完全平方式的形式即可判定“如意数”的大小；
先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解．
本题考查的是新定义运算，分母有理化，整式的加减，根据题意理解“如意数”的运算法则是解题的关键．
16.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】此题考查了分式的化简求值，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
17.【答案】解：原式
，
把代入，
原式．

【解析】此题主要考查了分式的化简求值，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算是解题关键．
分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意化简后，将代入化简后的式子求出即可．
18.【答案】解：
；
，
，
，
，
，
即，
．
【解析】本题考查了二次根式的分母有理化，以及实数的大小比较，能找出分母的有理化因式是解此题的关键．
根据题意给出的方法即可求出答案；
首先比较两个式子的有理化因式，再比较这两个式子的大小即可．
19.【答案】解：，
，
当时，
原式．
【解析】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
直接化简得出的值，再利用分式的基本性质计算得出答案．
20.【答案】解：；
，
，
．
【解析】此题主要考查了分母有理化，正确表示出有理化因式是解题关键．
直接找出分母有理化因式进而化简求出答案；
先求出的值，进而代入化简求出答案．
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