5.3二次根式的加法和减法 湘教版初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析)

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5.3二次根式的加法和减法湘教版初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则的值为
A. B. C. D.
2.的值一定是 ( )
A. 正数 B. 非正数 C. 非负数 D. 负数
3.观察下列等式：
第个等式：
第个等式：
第个等式：
第个等式：
按照上述规律，计算：( )
A. B. C. D.
4.把四张形状大小完全相同宽为的小长方形卡片如图不重叠地放在一个底面为长方形长为，宽为的盒子底部如图，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图中两块阴影部分的周长和是( )
A. B. C. D.
5.南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章一书中，给出了“秦九韶公式”，也叫“三斜求积术”，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为设的三边长分别为，，，该的面积为( )
A. B. C. D.
6.如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为( )
A. B. C. D.
7.下列各式不成立的是( )
A. B.
C. D.
8.若，，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
9.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
10.下列各式计算正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.对于任意正数，，定义运算如下：如图，在一个长方形中无重叠的放入边长分别为和的两张正方形纸片，当，，则图中空白部分面积为 ．
12.计算 ．
13.计算： ______．
14.若与最简二次根式能合并，则的值为______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
小明在做作业的过程中发现一个计算题目“”处印刷不清楚，“计算：”
他把“”处的数字猜成，请你帮他计算出结果；
他妈妈说：“你可能猜错了，我看到该题目的标准答案是”请通过计算说明“”处的数字到底是多少？
16.本小题分
计算：．
已知直角三角形的三边长分别为，，，其中，求的值．
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
现有两块同样大小的长方形纸片，丽丽采用如图所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片，．
裁出的正方形纸片的边长为______．
求图中阴影部分的面积．
小明想采用如图所示的方式，在长方形纸片上裁出面积是的两块正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由．
19.本小题分
【数学探究】
用“”、“”“”填空：
______，
______，
______；
由中各式猜想与的大小，并说明理由．
请利用上述结论解决下面问题：
某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要______．
20.本小题分
在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
，
，
，
，
，．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
化简：；
若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了完全平方公式和二次根式的混合运算，先利用完全平方公式变形，然后代入数值计算即可．
【解答】
解：原式
．
故选A．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次根式的加减及二次根式的非负性，先把二次根式化成最简二次根式，再进行加减，再根据为非负数，就可作出判断．
【解答】
解：原式
，
为非负数，
为非负数，
为非正数，
故选B．
3.【答案】
【解析】【解答】
解：第个等式：
第个等式：
第个等式：
第个等式：
按照上述规律，
．
故选：．
【分析】
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用已知运算规律得出，进而利用二次根式的加减运算法则得出答案．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了实数运算的几何应用，依据图形，正确求出两块阴影部分的长宽是解题关键．
根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
【解答】
由题意得：下面那块阴影部分为长方形，长宽分别为，
上面那块阴影部分也为长方形，长宽分别为，
则两块阴影部分的周长和是．
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次根式的应用，理解题意，能将所给三角形的三边长正确代入面积公式并准确计算是解题的关键．
由题意，将，，代入中即可求解．
【解答】
解：的三边长分别为，，，
将，，代入中得，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的应用，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．
根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【解答】
解：两张正方形纸片的面积分别为和，
它们的边长分别为，，
，，
空白部分的面积
，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的混合运算等，掌握二次根式的性质与化简是解题的关键．
根据二次根式的运算法则，把每个选项的正确结果计算出来，即可判断不成立的是哪个选项．
【解答】
解：、原式，故本选项成立；
B、原式，故本选项成立；
C、原式，故本选项不成立；
D、原式，故本选项成立．
故选C．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】【分析】本题考查了二次根式的运算，属于基础题，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
【详解】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、，所以选项错误；
C、，所以选项错误；
D、，所以选项正确；
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】利用二次根式的加减法对进行判断；根据二次根式的乘法法则对、进行判断．根据二次根式的性质对进行判断．
【解答】解：、与不能合并，所以选项的计算错误；
、原式，所以选项的计算正确；
、原式，所以选项的计算错误；
、原式，所以选项的计算错误．
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查新定义，二次根式的应用，整式混合运算等知识．
先求出，，再用割补法列式计算即可．
【解答】
解：，，
，
空白部分面积为：
．
12.【答案】
【解析】【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：．
利用二次根式加减的法则运算即可．
本题主要考查了二次根式的加减法，先化简再合并是解答此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，最简二次根式能与合并，
，
解得，
故答案为：．
根据两个根式能够合并，化简后它们的被开方数相同解答即可．
本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．
15.【答案】解：由题意得：
他计算出的结果为；
设“”处的数字是，则
，
，
解得：，
“”处的数字是．
【解析】把代入列式，再计算即可；
设“”处的数字是，再建立方程求解即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，方程思想的应用，熟记二次根式的混合运算的运算顺序是解本题的关键．
16.【答案】解：原式
；
解：是直角三角形，且，，
为斜边长，
由勾股定理得：，
解得：．
【解析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
根据二次根式的乘法，完全平方公式计算后合并即可；
本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．
先确定为斜边长，再根据勾股定理建立方程求解即可．
17.【答案】解：
；
．
【解析】先利用二次根式性质化简，先算除法，再算加减即可；
先利用完全平方公式以及平方差公式计算，再合并同类项即可．
本题考查了二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简，完全平方公式以及平方差公式的应用，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
18.【答案】
【解析】解：根据题意得：截出的正方形纸片的边长为，的边长为，
故答案为：；
根据题意得：截出的正方形纸片的边长为，
则长方形的长为，宽为，
阴影部分的面积；
不能截出，理由如下：
面积为的两个正方形纸片的边长均为，
，
不能在长方形木板上截出面积为的两个正方形木板．
由正方形的面积可得边长为，再利二次根式的性质化简，即可求解；
由正方形的面积可得边长为，求出长方形的长和宽，再用长方形的面积减去两个正方形的面积，即可求解；
先求截出的两个正方形木板的边长，再与长方形木板的长比较即可．
本题考查二次根式的应用，正方形的性质，熟练掌握二次根式的化简和运算，长方形的面积公式是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：，
，
同理，；
，
证明：，
；
面积为，对角线相互垂直的四边形风筝，
，
即，
．
做对角线的竹条至少要．
用作差法及完全平方公式比较大小即可解决前两问，再应用问的公式即可解决问．
本题主要考查了作差法及完全平方公式比较大小的方法，将问转化为问是本题难点．
20.【答案】【小问详解】
解：；
【小问详解】
，
，
，
，
．

【解析】【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、分母有理化等知识点．
进行分母有理化即可；
参照题干给定的方法，先进行分母有理化，再求值即可．
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