2.2命题与证明 湘教版初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析)

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2.2命题与证明湘教版初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为( )
A. B. C. D.
2.下列命题的逆命题正确的是
A. 对顶角相等
B. 三边都相等的三角形是等边三角形
C. 如果一个四边形是正方形，那么它的四条边相等
D. 如果一个四边形是矩形，那么它的对角线相等
3.下列命题中是假命题的是( )
A. 对顶角相等
B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
C. 同旁内角互补
D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
4.命题“若是偶数，则也是偶数”的逆命题是 ．
A. 若是偶数，则是偶数 B. 若是偶数，则是奇数
C. 若是奇数，则是奇数 D. 若是奇数，则是偶数
5.下列说法中正确的是．
A. 如果一个命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题
B. 如果一个命题是假命题，那么它的逆命题也是假命题
C. 每个命题都有逆命题
D. 如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题是真命题
6.下列命题属于真命题的是( )
A. 同旁内角相等，两直线平行 B. 相等的角是对顶角
C. 平行于同一条直线的两条直线平行 D. 同位角相等
7.能说明命题“对于任何实数，”是假命题的一个反例可以是( )
A. B. C. D.
8.下列选项中可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是( )
A. B. C. D.
9.下列命题中，真命题的个数是( )
过一点有且只有一条直线与已知直线平行
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
垂直于同一条直线的两条直线互相平行
两直线平行，同位角相等．
A. B. C. D.
10.在同一平面内，下列命题是假命题的是( )
A. 已知，，三条直线，若，，则
B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线相交
C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 若三条直线两两相交，则它们有一个或三个交点
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个角不小于度”，第一步应假设 ．
12.下列个命题中：
对顶角相等
同位角相等
平行于同一条直线的两直线平行
互补的角是邻补角
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
真命题共有 个
13.给出下列个命题：
垂线段最短；
两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
互补的角是邻补角；
同旁内角相等，两直线平行；
同旁内角的两个角的平分线互相垂直其中是真命题的是______填写命题的序号即可
14.下列命题：如果两个实数相等，那么它们的平方相等；如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么；平行四边形的对角线互相平分．其中逆命题是真命题的是 填写所有正确结论的序号．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
请写出“如图，在中，若，是，的中点，则”的逆命题．判断逆命题的真假，并说明你的理由．
16.本小题分
下列命题的逆命题是假命题，试举出反例：
如果一个整数的个位上的数字是，那么这个整数能被整除；
如果两个角都是直角，那么这两个角相等．
17.本小题分
如图，从下列三个条件；；中选出两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个命题．
写出组成的所有命题，并判断真假；
选择其中的一个真命题进行证明．
18.本小题分
求证：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的两条角平分线互相垂直．写出已知、求证，并给予证明
19.本小题分
下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于，已知：如图，，求证：
方法一证明：如图，过点作 方法二证明：如图，过点作
20.本小题分
如图，已知正方形和正方形有一个公共顶点，点，分别在和上．
将正方形绕点按顺时针旋转，判断命题“线段与的长始终相等”是否正确，若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例．
如图，将正方形绕点按顺时针旋转，连接，在旋转的过程中，你能否找到一条线段与线段的长始终相等？请说明你的理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：若，，则，真命题；
若，，则，真命题；
若，，则，真命题；
组成真命题的个数为个；
故选：．
由题意得出个命题，由不等式的性质再判断真假即可．
本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
此题考查的是逆命题的定义和判断命题的真假根据相关的几何定理进行判断即可．
【解答】
解：对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，是假命题，故不合题意；
B.三边都相等的三角形是等边三角形逆命题是等边三角形的三边都相等，是真命题，故合题意；
C.如果一个四边形是正方形，那么它的四条边相等逆命题是如果一个四边形的四条边都相等，则这个四边形是正方形，是假命题，故不合题意；
D.如果一个四边形是矩形，那么它的对角线相等的逆命题是如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形，是假命题，故不合题意．
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质与判定、平行公理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：对顶角相等是真命题，故不符合题意；
平行于同一条直线的两条直线互相平行是真命题，故不符合题意；
两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题，符合题意；
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行是真命题，故不符合题意；
故选：
【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确理解平行线的性质与判定是解题关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了命题的概念，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，根据逆命题的概念，可得答案．
【解答】
解：命题“若是偶数，则也是偶数”的逆命题是若是偶数，则是偶数．
故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了定义与命题，原命题与逆命题，真命题与假命题，解题的关键是掌握逆命题的概念；利用举反例的方法，逐个选项进行分析，即可得出结论．
【解答】
解：如果一个命题是真命题，那么它的逆命题也可能是真命题，也可能是假命题，例如：命题“如果一个整数的个位上的数字是，那么这个整数能被整除”的逆命题是“如果一个整数能被整除，那么这个整数的个位上的数字是”，逆命题是假命题，例如：能被整除，但个位不是故该选项说法错误，不符合题意；
B.如果一个命题是假命题，那么它的逆命题也可能是真命题，也可能是假命题，例如：命题“如果一个整数能被整除，那么这个整数的个位上的数字是”的逆命题是“如果一个整数的个位上的数字是，那么这个整数能被整除”，原命题是假命题，例如：能被整除，但个位不是但逆命题是真命题，故该选项说法错误，不符合题意；
C.每个命题都有逆命题，该选项说法正确，符合题意；
D.如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题也可能是真命题，也可能是假命题，例如：命题“如果一个整数能被整除，那么这个整数的个位上的数字是”的逆命题是“如果一个整数的个位上的数字是，那么这个整数能被整除”，原命题是假命题，例如：能被整除，但个位不是但逆命题是真命题，故该选项说法错误，不符合题意．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．利用平行线的判定与性质，对顶角的性质进行判断即可．
【解答】
解：、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；
B、相等的角不一定是对顶角，是假命题；
C、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；
D、两直线平行，同位角相等，是假命题；
故选：．
7.【答案】
【解析】解：当时，，
说明命题“对于任何实数，”是假命题，
故选：．
根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可．
本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查定义与命题，反例的作用，要证明一个命题是假命题的反例，只需要这个例子满足命题的题设，但不满足命题的结论即可，据此逐一判断各选项即可得解．
【解答】
解：、不满足，不是题设的条件，不是特例，故不是反例；
B、满足，不满足的要求，故是原命题的反例．
C、满足，也满足，故不是反例；
D、不满足，不是题设的条件，不是特例，故不是反例；
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查平行公理及推论、垂线和平行线的知识点，解题关键点是熟练掌握相关的定理分别利用平行公理及推论和平行线定义，垂线的性质得出即可．
【解答】
解：同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确；
同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，故错误；
两直线平行，同位角相等，故正确，
正确的有为和．
故选C．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
根据直线的相交和平乡以及垂直进行判断即可．
【解答】
解：、已知，，三条直线，若，，则，是真命题；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线相交，是假命题；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题；
D、若三条直线两两相交，则它们有一个或三个交点，是真命题；
11.【答案】三角形的三个内角都小于
【解析】解：用反证法证明三角形中至少有一个角不小于，
第一步应假设结论不成立，
即三角形的三个内角都小于．
故答案为：三角形的三个内角都小于．
熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接填空即可．
此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．
12.【答案】
【解析】解：对顶角相等，所以为真命题
两直线平行，同位角相等，所以为假命题
平行于同一条直线的两直线平行，所以为真命题
有一条公共边且互补的角是邻补角，所以为假命题
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，所以为真命题．
故真命题有个．
13.【答案】
【解析】解：是公理，正确；
忽略了两条直线必须是平行线，故错误；
举反例，两直线平行，同旁内角互补，显然这两个角不是邻补角，故错误；
“同旁内角互补，两直线平行”，故不符合平行线的判定，是错误的；
当同旁内角互补时，它们的角的平分线才互相垂直，故错误；
所以真命题是．
故答案为：．
根据平行线的判定与性质及垂线段最短公理，即可判断答案．
本题考查了真命题，余角和补角，平行线的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握平行线的判定与性质及垂线段最短是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：原命题的逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么这两个数相等，是假命题，不符合题意；
原命题的逆命题为：如果三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，符合题意；
原命题的逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意；
故答案为：．
15.【答案】解：命题“如图，在中，若，是，的中点，则”的逆命题是“在中，点在上，点在上，如果 ，那么，是，的中点”，逆命题是假命题，
理由：在中，点在上，点在上，如果 ，那么，不一定是，的中点，如图：
所以逆命题是假命题．
【解析】本题主要考查了逆命题和真命题的定义，反例的作用，对事物做出判断的语句叫做命题，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是掌握逆命题的概念；写出原命题的逆命题后，举出反例，说明逆命题是假命题即可．
16.【答案】【小题】解：命题“如果一个整数的个位上的数字是，那么这个整数能被整除”的逆命题是“如果一个整数能被整除，那么这个整数的个位上的数字是”，逆命题是假命题，例如：能被整除，但个位不是．
【小题】解：命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角都是直角”，逆命题是假命题，例如：，但它们不是直角．

【解析】 本题主要考查了逆命题和真命题的定义，反例的作用，对事物做出判断的语句叫做命题，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是掌握逆命题的概念；写出原命题的逆命题后，举出反例，说明逆命题是假命题即可．
本题主要考查了逆命题和真命题的定义，反例的作用，对事物做出判断的语句叫做命题，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是掌握逆命题的概念；写出原命题的逆命题后，举出反例，说明逆命题是假命题即可．
17.【答案】【小题】解：命题：若，，则真命题；命题：若，，则真命题；命题：若，，则真命题
【小题】证明，如图：
，
，
，
，
，
，
，
，
，

【解析】 本题考查的是命题的真假，根据题意解答即可，
本题考查的是平行线的判定与性质，根据，得到，再由平行线的性质解答即可，
18.【答案】已知：，，分别平分，，，交于点，
求证：．
证明：，
两直线平行，同旁内角互补，
，分别平分，，
，
，
，
．
【解析】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的和是，然后根据角平分线的定义求出这对同旁内角和的一半是，即可求证一对同旁内角的平分线互相垂直．
19.【答案】证明：方法一：过点作，
则， 两直线平行，内错角相等
点，，在同一条直线上，
平角的定义
．
即三角形的内角和为．
方法二：延长，如图，
，
，，
，
．
即三角形的内角和为．
【解析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
选择方法一，过点作，依据平行线的性质，即可得到，，再根据平角的定义，即可得到三角形的内角和为．
方法二：延长，由平行线的性质得：，，再由平角的定义可得，即可得到三角形的内角和为．
20.【答案】解：线段与的长始终相等是假命题，当点落在上时，；
如图，结论：．
理由：连接．
，
，
四边形，四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
．
【解析】是假命题；
结论：连接，证明≌，可得结论．
本题考查命题与定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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