2.3等腰三角形 湘教版初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析)

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2.3等腰三角形湘教版初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，，则是的( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
2.如图，，平分，过作交于点，若点在上，且满足，则的度数为( )
A.
B.
C. 或
D. 或
3.若是等腰三角形，，则的度数是( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或
4.如图，在等腰中，为的平分线，，，，则( )
A. B. C. D.
5.如图，是等边三角形，，分别是，边上的点，且，连接，相交于点，则下列说法正确的是( )
； ；；若，则
A. B. C. D.
6.若是等边三角形内一点，，且，则的度数为 ( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，，则的周长为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，是的两条中线，是上一个动点，则的最小值和下列线段长度相等的是 ．
A. B. C. D.
9.如图，是一钢架，且为使钢架更加坚固，需在其内部加一些钢管，，，，添加的钢管长度都与相等，则最多能添加的钢管的根数为 ( )
A. B. C. D.
10.下列三角形：有两个角等于；有一个角等于的等腰三角形；三个外角每个顶点处各取一个外角都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形其中是等边三角形的有( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.已知中，，，点为直线上异于，的一点，若是等腰三角形，则的度数为 ．
12.如图，是一个钢架结构，要使该钢架更加牢固，需在其内部从左至右顺次焊上长度相等的钢条，在，足够长的情况下，若最多只能焊上根，且，则度数的最大值为 结果保留整数．
13.如图，是射线上一动点，，则当的度数为 时，为等腰三角形．
14.如图，过，，三点的圆的圆心为点，过，，三点的圆的圆心为点如果，那么 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，平分，，垂足为点，．
求证：是等腰三角形．
16.本小题分
已知：如图，中，，．

利用尺规作图，作中边上的高不写作法，保留作图痕迹；
求证：．
17.本小题分
如图，在中，，，是的中点，于点，若，求的长．
18.本小题分
问题情境：
已知在中，，，为直线上的动点不与点，重合，点在直线上，且，设．
如图，若点在边上，，求和的度数；
拓广探索：如图，当点运动到点的左侧时，其他条件不变，试猜想和的数量关系，并说明理由；
当点运动到点的右侧时，其他条件不变，请直接写出和的数量关系．
19.本小题分
如图，在锐角中，，，的面积为，为内部一点，分别作点关于，，的对称点，，，连接，，则的最小值为_________．
20.本小题分
如图，在中，点是的中点，，连接，为上一点，，交于点，若，，求的长度．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题关键是掌握等边三角形的性质由题意得出是等边三角形，和均为等腰三角形，再结合三角形外角的性质得出，，即可求解．
【解答】
解： ，
是等边三角形，和均为等腰三角形，
，，，
，，
，，
，
故选A．
2.【答案】
【解析】解：以为圆心，以长为半径画圆交于，点，连接，，则，
，
平分，由图形的对称性可知，
，
，
；
当点位于点处时，
，
，
故选：．
以为圆心，以长为半径画圆交于，点，连接，，则，由图形的对称性可得，结合平行线的性质可求解，当点位于点处时，由可求解的度数．
本题主要考查等腰三角形的性质与判定，证明是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的运用，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题．分三种情形分别讨论，运用三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】
解：当时，
，
．
当时，
，
．
当时，
，
综上所述，的值为或或，
故选D．
4.【答案】
【解析】解：在等腰中，为的平分线，，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质和判定得出，进而解答即可．
此题考查等腰三角形的判定与性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出解答．
5.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而根据三角形外角的性质及相似三角形的性质与判定可进行求解．
【详解】解：是等边三角形，
，
，
，故正确；
，，
，故正确；
，
不成立，故错误；
过点作，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；故正确；
综上所述：说法正确的有；
故选B．
6.【答案】
【解析】提示：如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，移到处，移到处，所以，，连接，则是等边三角形，所以因为，所以，所以是直角三角形，因为，所以，所以又因为，所以．
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
如图连接，只要证明，即可推出，由，推出、、共线时，的值最小，最小值为的长度．
【解答】
解：如图，连接，
，，
，
，
，
，
、、共线时，的值最小，最小值为的长度，
故选：．
9.【答案】
【解析】如图，因为，所以，所以因为，所以，所以因为，所以，所以因为，所以，所以因为，所以，所以因为等腰三角形的底角小于，所以最多能添加的钢管为，，，，，共根．
10.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查等边三角形的判定，三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形．根据等边三角形的判定判断，三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
【解答】
解：两个角为度，则第三个角也是度，则其是等边三角形；
有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；
三个外角相等，则三个内角相等，则其是等边三角形；
根据等边三角形的性质，可得该等腰三角形的腰与底边相等，则三角形三边相等．
所以都正确．
故选D．
11.【答案】或或
【解析】略
12.【答案】
【解析】提示：设因为，所以，所以，所以，，所以且，所以，所以度数的最大值约为．
13.【答案】或或
【解析】略
14.【答案】
【解析】提示：连接，，则，所以，易得，所以因为，所以，所以．
15.【答案】解：平分，
．
，
．
．
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
【解析】本题主要考查等腰三角形的判定和平行线的性质以及角平分线的定义的运用．
直接利用平行线的性质得出，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出，根据等腰三角形的判定即可得出答案．
16.【答案】解：如图，即为所求；

证明：是边上的高，
，
，
，
，
，
又，
，
．

【解析】【分析】本题考查尺规作图作垂线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理：
过直线外一点作已知直线的垂线即可；
根据等边对等角可得，结合三角形内角和定理可得，结合，即可证明．
17.【答案】解：连接，为的中点，，，，，，，，，，，．
【解析】略
18.【答案】【小题】
，，，，．
【小题】
理由如下： 由知， 在中，，，，，，．
．
【小题】
．

【解析】 略
略
略
19.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了轴对称、等边三角形的判定与性质、三角形面积、垂线段最短等知识，关键是将转化成，将提取系数，最终转化成垂线段最短．形式上易与胡不归混淆．由和对称想到构造正三角形，将转化成，将提取系数，最终转化成垂线段最短．
【解答】
解：设与交于点，则，连接、、、，作，垂足为，
，的面积为，
，
根据对称性得，，，
，
是正三角形，
，
．
20.【答案】解：点是的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】根据题意可得，根据先求出，再结合推出，即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
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