2.4线段的垂直平分线 湘教版初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析)

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2.4线段的垂直平分线湘教版初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，的垂直平分线交于，的垂直平分线交于，，则的度数为( )
A. B. C. D.
2.如图，在已知的中，按以下步骤作图：分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；作直线交于点，连接，若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
3.已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则符合要求的作图痕迹是( )
A. B.
C. D.
4.如图，在中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是( )
A. B.
C. D.
5.如图，中，，，的平分线与的垂直平分线相交于点，点、分别在、上，点沿折叠后与点重合，则的度数为( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，连接若是等边三角形，则的度数为 ( )
A. B. C. D.
7.在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交边于点，，且，则的值为 ( )
A. B. C. 或 D. 或
8.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，、是方格纸中的两个格点即正方形的顶点在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9.如图，在四边形中，，，，分别是，上的点．当的周长最小时，的度数为 ( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为，为上任意一点，，，，则周长的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图所示，在中，、分别垂直平分和，交于、，若，则 度，若的周长为，则 ．
12.已知、两点在线段的垂直平分线上，且，，则的度数是 ．
13.如图，在中，，为边上的垂直平分线，若点在直线上，连接，，则周长的最小值为 ．
14.如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，的周长是，则的长为 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，，．
尺规作图：作边的垂直平分线交于点；
连接，作的平分线交于点；要求：保留作图痕迹，不写作法
在所作的图中，求的度数．
16.本小题分
如图，中，，若和分别垂直平分和．
求的度数．
若周长为，长为，求的长．
17.本小题分
如图，在锐角三角形中，为边上一点，，在上求作一点，使得．
通过尺规作图确定点的位置保留作图痕迹；
证明满足此作图的点即为所求．
18.本小题分
如图，在中，．
尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接保留作图痕迹，不写作法；
在的条件下，若，，求的周长．
19.本小题分
如图，在中，．
如图，已知边的垂直平分线与边交于点，连接，求证：；
如图，以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接若，求的度数．
20.本小题分
如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点，延长，相交于点，连接，．
若的周长为，求的长；
若，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，同理可得，，结合图形计算，得到答案．
【解答】
解：，
，
的垂直平分线交于，
，
，
的垂直平分线交于，
，
，
．
故选A．
2.【答案】
【解析】【分析】
利用线段垂直平分线的性质得出，再利用三角形内角和等于得出即可．
本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
【解答】
解：由题意可得：垂直平分，
则，
故，，
则，
，
，
．
故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了尺规作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的作法和性质．
利用等线段代换得到，利用线段的垂直平分线的性质和基本作图进行判断．
【解答】
解：、由图可知，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；
B、由图可知，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；
C、由图可知，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；
D、由图可知，故能得出，故此选项正确．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线定理的逆定理以及尺规作图作线段的垂直平分线．由和可得，点在线段的垂直平分线上，因此这道题就转化成了作线段的垂直平分线，与的交点即为点．
【详解】，而，
，
点在线段的垂直平分线上，
即点为线段的垂直平分线与的交点．
观察四个选项，选项符合题意，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形中的折叠问题，解题得关键是掌握折叠的性质及线段的垂直平分线的性质与判定．
连接、，根据，的平分线与的垂直平分线交于点，得，由，，可得，即得，又，平分，知垂直平分，，即得，根据点沿折叠后与点重合，有，即得，故．
【解答】
解：连接、，如图：
，的平分线与的垂直平分线交于点，
，
，，
，
，
，平分，
垂直平分，
，
，
点沿折盈后与点重合，
，
，
．
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】提示：因为的垂直平分线与的垂直平分线分别交于点，，所以，分两种情况讨论：当与无重合时，如图，因为，，所以；当与有重合时，如图，因为，，所以．
8.【答案】
【解析】分析
本题考查了网格的特点和线段的垂直平分线，注意不要漏点，根据线段垂直平分线的性质，点在的垂直平分线上，最后根据方格纸确定点的个数．
详解
解：如图，满足，故点在的垂直平分线上，有个，
故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键，据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案．
【解答】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．作延长线，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】

【解析】【分析】
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
根据线段的垂直平分线的性质可知，，进而得、，即可解答．
【解答】
解：、分别垂直平分和，
，，
，等边对等角，
，
；
又，，
；
的周长为，
，
由知，，，
，即．
故答案为：；．
12.【答案】或
【解析】、两点在线段的垂直平分线上，，，设与交于点，，分两种情况讨论：当点与点在线段两侧时，；当点与点在线段同侧时，故答案为或．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】【分析】考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】
解：根据线段的垂直平分线的性质得，
所以的周长，
又，所以．
故答案为．
15.【答案】解：如图，直线，射线即为所求．
因为垂直平分线段，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为平分，
所以．
【解析】利用尺规作出线段的垂直平分线，交于，交于，连接；作的角平分线交于，直线，射线即为所求．
首先证明，推出，利用三角形内角和定理求出，即可解决问题．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
16.【答案】解：设，，，
和分别垂直平分和，
，，
，，
，
，
即，，
，
；
的周长为，
，
，，
，
即，
，
，
．
【解析】设，，，根据线段垂直平分线的性质得：，，由等腰三角形的性质得：，，再由三角形内角和定理相加可得结论；
根据周长为，列等式为，由等量代换得，可得的长．
本题主要考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长和内角和定理等知识，关键在于根据题意推出，，正确的进行等量代换．
17.【答案】解，如图所示，作线段的垂直平分线，与的交点即为点
解：由作图可知．
．
，
．
，，
．
点即为所求．

【解析】【分析】本题主要考查作图基本作图，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的尺规作图．
作线段的垂直平分线，与的交点即为点．
根据等腰三角形性质，求出，然后得出即可．
18.【答案】【小题】
解：如图；
【小题】
垂直平分，，的周长 ．

【解析】 略
略
19.【答案】【小题】证明：线段的垂直平分线与边交于点，
．
．
，
．
【小题】解：根据题意可知，
．
，且，
．
，
．
．

【解析】 本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等．
根据线段垂直平分线的性质可知 ，根据等腰三角形的性质可得 ，根据三角形内角和定理邻补角即可证得 ．
本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．
根据题意可知 ，根据等腰三角形的性质可得 ，再根据三角形的内角和公式即可解答．
20.【答案】【小题】
，分别垂直平分和，，的周长的周长为，
【小题】
，，，，，，

【解析】 略
略
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